Sự ổn định của hệ MJLS rởi rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ VÂN

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MJLS RỜI RẠC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán

Hà Nội - 2013



TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ VÂN

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MJLS RỜI RẠC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán

Người hướng dẫn khoa học:
Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn Th.s Nguyễn Trung Dũng. Thầy đã giao đề tài "Sự ổn định của

hệ MJLS rời rạc" cho em và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành
khóa luận này. Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy
cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K35A Toán đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Vân


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực tự bản thân và sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.s Nguyễn Trung Dũng.
Nội dung khóa luận không trùng lặp với bất kì công trình nghiên cứu nào
đã công bố.

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Trần Thị Vân

2


LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình toán học là bài toán đầu tiên gặp phải đối với người làm điều khiển. Bất
cứ đối tượng thực tế nào đều có thể mô tả các thuộc tính của nó bằng các phương
trình toán học. Ứng với mỗi đối tượng khác nhau lại có những thuộc tính khác nhau,
dẫn tới phương pháp mô hình toán học và phương trình toán học mô tả nó cũng

khác nhau. Các phương trình toán có thể là tuyến tính, phi tuyến, liên tục, hay rời
rạc.
Với các đối tượng khi mà có sự thay đổi đột ngột nào đó, mô hình của đối tượng
cũng thay đổi theo thì ta cần có một tập hợp các mô hình mô tả các trạng thái tương
ứng và cách thức chuyển đổi giữa các mô hình. Trên thực tế, ta không biết chính xác
khi nào xảy ra chuyển mô hình cũng như chuyển sang mô hình nào. Ta chỉ có thể
đưa ra xác suất về quá trình đó. Trong luận văn này, em đi tìm hiểu về lớp các đối
tượng như vậy, ví dụ như: hệ thống kinh tế, hệ thống điều khiển máy bay, hệ thống
điều khiển robot... Các hệ thống này được mô hình bằng tập các mô hình tuyến tính
gián đoạn cùng với việc mô tả quá trình chuyển mô hình tuân theo quy luật của xích
Markov. Những hệ thống như vậy thường được gọi là hệ thống tuyến tính bước nhảy
(MJLS).
Tiếp theo của việc mô hình hóa hệ thống, chúng ta phải đi khảo sát sự ổn định
của hệ thống. Điều này được thực hiện dựa trên những phân tích đối với các mô hình
của nó. Như vậy vai trò của việc mô hình hóa và kiểm tra sự ổn định của hệ thống là
vô cùng quan trọng. Ở đây, em trình bày luận văn tập trung vào vấn đề chứng minh
sự ổn định của hệ thống MJLS. Luận văn bao gồm các phần sau:
Chương 1: Kiến thức cơ sở. Trình bày về các kiến thức toán học liên quan như quá
trình Markov, một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính, lý thuyết về hệ tuyến
tính nhảy với thời gian rời rạc (MJLS).
Chương 2: Sự ổn định của MJLS. Trình bày về hệ thống MJLS và phân tích sự ổn
định của hệ thống và các ví dụ minh họa.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề
trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những
sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!


Mục lục
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Xích Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Xác suất chuyển trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Ma trận xác suất chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4. Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc(MJLS ) . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Hệ MJLS rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1. Bổ đề Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH THEO MOMENT CẤP 2 . .

15

2.1. Các tiêu chuẩn ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Các ví dụ minh họa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.

Quá trình Markov

Đầu thế kỷ XX, A. A. Markov (14 / 6 / 1856 - 20 / 7 / 1922) - nhà Toán học
và Vật lý nổi tiếng người Nga đã đưa ra một mô hình toán học để mô tả chuyển
động của các phân tử chất lỏng trong một bình kín. Về sau mô hình này được phát
triển và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học, sinh học, y học, kinh
tế, ... và được mang tên là: Quá trình Markov. Trong những năm gần đây, quá trình
Markov được ứng dụng rất nhiều trong thương nghiệp, tin học, viễn thông, .... Xích
Markov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thể đánh số được các
trạng thái).

1.1.1.

Xích Markov

Định nghĩa 1.1.1. Định nghĩa xích Markov
Kí hiệu X(t) là vị trí của hệ tại thời điểm t. E là tập gồm các giá trị của X(t).
E được gọi là không gian trạng thái của X(t). Ta nói rằng X(t) có tính Markov nếu:
P{X(tn+1 ) = j|X(t0 ) = i0 , ..., X(tn−1 ) = in−1 , X(tn ) = i}
= P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i}

5


với bất kỳ t0 < t1 < t2 < ... < tn < tn+1 < ... và i0 , i1 , ..., in−1 , i, j ∈ E.
Nếu X(t) có tính Markov và E đếm được thì X(t) được gọi là xích Markov.
Với t = 0, 1, 2 ... thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc.
Với t ∈ [0, +∞) thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian liên tục.
Ví dụ 1.1.
Cho ξ0 , ξ1 , ..., ξn , ... là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc
lập, Ek là tập các giá trị của ξk , Ek hữu hạn hay đếm được (k = 0, 1, 2..., n, ...).
∞

Đặt E =

Ek , rõ ràng E là tập không quá đếm được. Khi đó, ta thấy:
k=0

P{ξn+1 = j|ξ0 = i0 , ..., ξn−1 = in−1 , ξn = i}
= P{ξn+1 = j}
= P{ξn+1 = j|ξn = i}
= p(n, i, n + 1, j)
với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , ..., in−1 ∈ En−1 , i ∈ En , j ∈ En+1
Như thế (ξn ; n = 0, 1, 2...) là xích Markov.
Ví dụ 1.2.

Cho ξ0 , η1 , ..., ηn , ... là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc
lập, nhận các giá trị là những số nguyên.
Đặt Xn = ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn . Ta có:
P{Xn+1 = j|ξ0 = i0 , X1 = i1 , ..., Xn−1 = in−1 , Xn = i}
= P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 }

6


= P{ηn+1 = j − i|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , ηn = i − in−1 }
= P{ηn+1 = j − i}
và
P{Xn+1 = j|Xn = i}
= P{Xn + ηn+1 = j|ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn = i}
= P{ηn+1 = j − i|ξ0 + η1 + η2 + ... + ηn = i}
= P{ηn+1 = j − i}
Vậy (Xn ; n = 1, 2, ...) là xích Markov.

1.1.2.

Xác suất chuyển trạng thái

Đặt p(s, i,t, j) = P{X(t) = j|X(s) = i}, (s < t) là xác suất có điều kiện để hệ
tại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j. Do đó ta gọi
p(s, i,t, j) là xác suất chuyển trạng thái của hệ.
Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (t − s), tức là p(s, i,t, j) = p(s + h, i,t +
h, j) thì ta nói hệ thuần nhất theo thời gian.
Nhận xét
1. Các xích Markov ở ví dụ 1 và 2 ở trên không thuần nhất.
2. Nếu trong ví dụ 1 cho ξ0 , ξ1 , ..., ξn , ... là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập

và cùng phân phối xác suất thì (ξn ; n = 0, 1, ...) là xích Markov thuần nhất
và ngược lại.
3. Nếu trong ví dụ 2 cho η1 , η2 , ..., ηn , ... là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc
lập và cùng phân phối xác suất thì (Xn , n = 1, 2, ...) là xích Markov thuần
nhất. Thật vậy, bằng lập luận như trên ta có:

7


P{Xn+h = j|Xn = i}
= P{ηn+1 + ηn+2 + ... + ηn+h = j − i}
= P{η2 + η3 + ... + ηh+1 = j − i}
= P{Xh+1 = j|X1 = i}
với mọi n = 1, 2, ...; h = 1, 2, ...; i, j ∈ E ⊂ N

1.1.3.

Ma trận xác suất chuyển

Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất; Xn : Ω → E là biến ngẫu nhiên nhận
giá trị trong tập đếm được E. E là không gian trạng thái, các phần tử của nó được
kí hiệu là i, j, k ... ( có chỉ số hoặc không). Khi đó, tính Markov và tính thuần nhất
của (Xn ) có nghĩa là:
pi j = P(Xn+1 = j|Xn = i)
= P(Xn+1 = j|X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 , Xn = i)
không phụ thuộc vào n.
P = (pi j ) được gọi là ma trận xác suất chuyển sau 1 bước.
pi j là xác suất có điều kiện để hệ tại thời điểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyển
sang trạng thái j tại thời điểm n + 1 (tương lai).
(n)

pi j = P(Xn+m = j|Xm = i)
= P(Xn = j|X0 = i)
Nếu đặt các biến cố A = (Xn+1 = j), B = (Xn = i),C = (X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 )
thì tính Markov có nghĩa là P(A|B) = P(A|BC). Từ đó suy ra

8


P(AC|B) =

P(ABC)
P(B)

=

P(BC).P(A|BC)
P(B)

=

P(B).P(C|B).P(A|B)
P(B)

= P(C|B).P(A|B)
tức là quá khứ và tương lai là độc lập với nhau khi cho trước hiện tại.
Chú ý:
Từ công thức xác suất đầy đủ ta suy ra ma trận P = (pi j ) có tính chất:
0 ≤ pi j ≤ 1, ∀i, j ∈ E; ∑ pi j = 1
j∈E

Ma trận có tính chất như thế được gọi là ma trận ngẫu nhiên.
Xác suất chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức:
(n)

pi j = P(Xn+m = j|Xm = i) = P(Xn = j|X0 = i).
Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước chuyển
sang trạng thái j.
(1)
Rõ ràng pi j = pi j .
Quy ước
(0)

pi j =

nếu i = j
nếu i = j

1
0

(n)

Đặt P(n) = pi j . Ta định nghĩa P(n) là ma trận xác suất chuyển sau n bước.

1.1.4.

Phương trình Chapman-Kolmogorov

Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov ta có ∀ n = 0, 1, 2...

(n+1)

pi j

=

(n)

∑ pik pk j
k∈E

9

(1.1.1)


(n+1)

pi j

=

(n)

∑ pik

pk j

(1.1.2)

k∈E

∀n, m = 0, 1, 2, ... có

Tổng quát

(n+m)

pi j

=

(n) (m)
pk j

∑ pik

(1.1.3)

k∈E

(1.1.1) được gọi là phương trình ngược.
(1.1.2) được gọi là phương trình thuận.
(1.1.3) được gọi là phương trình Chapman - Kolmogorov.

Giải thích:
Để chứng minh(1.1.1) ta lập luận như sau:
Hệ xuất phát từ trạng thái i, sau n + 1 bước chuyển sang trạng thái j là kết quả
của việc hệ xuất phát từ trạng thái i, sau 1 bước chuyển sang trạng thái k nào đó;

thế rồi hệ xuất phát từ trạng thái k, sau n bước tiếp theo chuyển sang trạng thái j. Vì
vậy, từ công thức xác suất đầy đủ và tính Markov ta suy ra (1.1.1). Thật vậy, theo
công thức xác suất đầy đủ ta có:
(n+1)

pi j
=

= P(Xn+1 = j|X0 = i)

∑ P(Xn+1 = j|X0 = i, X1 = k).P(X1 = k, X0 = i)
k∈E

=

∑ P(Xn+1 = j|X1 = k)P(X1 = k, X0 = i) (do tính Markov)
k∈E

=

(n)

∑ pik pk j

(do tính thuần nhất)

k∈E

Điều này chứng minh (1.1.1).
Các công thức (1.1.2), (1.1.3) được chứng minh tương tự.

Các phương trình trên có dạng ma trận như sau:
P(n+1) = P.P(n)
P(n+1) = P(n) .P

10


P(n+m) = P(n) .P(m)
Từ đó suy ra:
P(n) = Pn

1.2.

Hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc(MJLS )

1.2.1.

Hệ MJLS rời rạc

Xét hệ có dạng sau:
xk+1 = H(σk )xk ,

x0 ∈ Rn

(1.2.4)

trong đó {σk } là xích Markov thuần nhất hữu hạn trạng thái. Giả sử không gian
trạng thái N = {1, 2, 3, ..., N}, ma trận xác suất chuyển P = (pi j )N×N và phân phối
ban đầu p = (p1 , p2 , p3 , ..., pN ).
Giả sử P{σ0 = i} = 1. Với σk = i thì H(i) ∈ {H1 , H2 , ..., HN }

Khi đó, hệ (1.2.4) được gọi là hệ tuyến tính nhảy với thời gian rời rạc hay MJLS
rời rạc.

1.2.2.

Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1.
Hệ (1.2.4) được gọi là ổn định σ - moment mũ (exponentially σ - moment stable)
nếu ∀x0 ∈ Rx , tồn tại các hằng số α, β > 0 độc lập với x0 sao cho:
E{||xk (x0 , w)||δ } ≤ α.||x0 ||δ .e−β k ,

k ≥ 0.

Định nghĩa 1.2.2.
Hệ (1.2.4) được gọi là ổn định σ - moment ngẫu nhiên (stochastically σ - moment
stable) nếu ∀x0 ∈ Rx , thì:
∞

∑ E{||xk (x0 , w)||δ } < ∞
k=0

11


1.3.

Một số bất đẳng thức ma trận tuyến tính

1.3.1.

Bổ đề Schur

Định nghĩa 1.3.1. Nghịch đảo suy rộng
Nghịch đảo suy rộng của một ma trận A ∈ B(Cn , Cm ) là ma trận đơn trị A+ ∈
B(Cn , Cm ) sao cho:
1. AA+ A = A
2. A+ AA+ = A+ .
3. (AA+ )∗ = AA+ .
4. (A+ A)∗ = A+ A.
Bổ đề 1.3.1. Bổ đề Schur
Xét ma trận Hermit Q
Q=

Q11

Q12

Q∗12

Q22

1. Q > 0 nếu và chỉ nếu
Q22 > 0
∗
Q11 − Q12 Q−1
22 Q12 > 0

hoặc
Q11 > 0

Q22 − Q∗12 Q−1
11 Q12 > 0
2. Q ≥ 0 nếu và chỉ nếu



 Q22 ≥ 0

Q12 = Q12 Q+
22 Q22


 Q − Q Q+ Q∗ ≥ 0
11
12 22 12
hoặc

12





 Q11 ≥ 0

Q12 = Q11 Q+
11 Q12


 Q − Q∗ Q+ Q ≥ 0

22
12 11 12

1.3.2.

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Bổ đề 1.3.2.
Cho ma trận A ≥ 0, và một vecto x > 0 thỏa mãn αx ≤ Ax ≤ β x cho α, β dương,
thì α ≤ ρ(A) ≤ β . Nếu αx < Ax, thì α < ρ(A). Nếu Ax < β x, thì ρ(A) < β .
Bổ đề 1.3.3.
1. Nếu A và B là các ma trận xác định dương thì tồn tại ma trận không suy biến
T sao cho T T AT = I và T T BT là ma trận chéo hóa được. (T T là ma trận
chuyển vị của T ).
2. Nếu A, B, A − B là các ma trận xác định dương, thì tồn tại một ma trận không
suy biến T sao cho T T (A − B)T = I − Λ(BA−1 ), trong đó Λ(X) kí hiệu ma
trận chéo hóa được, ma trận có các phần tử trên đường chéo chính là các
giá trị riêng của ma trận X.
3. Nếu A, B, A − B là các ma trận xác định dương, thì
0 < λmin (BA−1 ) ≤ λ (BA−1 ) ≤ λmax (BA−1 ) < 1,
λmin (BA−1 )xT Ax ≤ xT Bx ≤ λmax (BA−1 )xT Ax, ∀x ∈ Rn
Chứng minh.

1. Từ A > 0, tồn tại ma trận không suy biến T1 sao cho A = T1T T1 . Vì T1−T BT1−1 >
0, tồn tại một ma trận chéo hóa được T2 thỏa mãn T2T T2 = I và T2T (T1−T BT1−1 )T2
chéo hóa được. Lấy T = T1−1 T2 không suy biến, ta có T T AT = I và T T BT
chéo hóa được.

13

2. Lấy T là ma trận thỏa mãn điều kiện ở trên, thì ta có:
T T (A − B)T = I − T2T (T1−T BT1−1 )T2
Từ T2T = T2−1 , ta có σ (T1T BT −1 ) = σ (BA−1 ), trong đó σ (X) định nghĩa phổ
của ma trận X. Thật vậy, sử dụng tính chất của phép biến đổi tương đương
ta có:
σ (T1−T BT1−1 ) = σ (T1T (T1−T BT1−1 )T1−T )
= σ (BT −1 T1−T ) = σ (B(T1T T1 )−1 ) = σ (BA−1 ).
3. Theo chứng minh trên, tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho:
T T (A − B)T = I − Λ(BA−1 ).

Từ A − B > 0 do đó 1 − σ (BA−1 ) > 0, ..., λmax (BA−1 ) < 1.
Dễ dàng chỉ ra rằng bởi vì B > 0 nên λmin (BA−1 ) > 0
Với mọi x = 0, ta có:
xT Bx (T1 x)T (T1−T BT1−1 )(T1 x)
=
xT Ax
(T1 x)T (T1 x)
Ta có:
λmin (T1−T BT1T ) ≤

xT Bx
≤ λmax (T1−T BT1−T ).
xT Ax

Vì σ (T1−T BT1T ) = σ (BA−1 ), ta có:
xT Bx
λmin (BA ) ≤ T
≤ λmin (BA−1 )
x Ax

−1

Điều này dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh.

14


Chương 2

CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH
THEO MOMENT CẤP 2
2.1.

Các tiêu chuẩn ổn định

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự ổn định theo moment cấp 2 (hay
ổn định bình phương trung bình) của hệ (1.2.4). Ở đây, chúng ta sử dụng phương
pháp Lyapunov thứ hai để nghiên cứu sự ổn định.

Định lý 2.1.1.
Giả sử {σk } là một xích Markov thuần nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác
suất chuyển P. Khi đó, hệ (1.2.4) là ổn định moment cấp 2 mũ nếu và chỉ nếu với
Q(1), Q(2), ..., Q(N) là các ma trận dương cho trước tồn tại các ma trận xác định
dương P(1), P(2), ..., P(N) sao cho:

N

∑ pi j HiT P( j)H(i) − P(i) = −Q(i), i = 1, N.

j=1

Chứng minh.
Chứng minh điều kiện đủ
15

(2.1.1)


Xét hàm Lyapunov V (xk , σk ) = xkT .P(σk )xk
Vì P( j) dương với j = 1, N nên V (., .) luôn dương.
Ta định nghĩa:
∆V (xk , σk ) = V (xk+1 , σk+1 ) −V (xk , σk )
= xkT H T (σk ).P(σk+1 )H(σk )xk − xkT P(σk )xk
= xkT H T (σk ).P(σk+1 )H(σk ) − P(σK ) xk .
Ta có:
E{∆V (xk , σk )|xk = x, σk = i}
= xT E{H T (σk )P(σk+1 )H(σk ) − P(σk )|σk = i}x
N

= xT H T (i)

∑ P(σk+1 = j|σk = i).P( j)

H(i)x − xT P(i)x

j=1
N

= xT H T (i)

∑ pi j .P( j)

H(i)x − xT P(i)x

j=1

N

= xT

H T (i)

∑ pi j .P( j)

H(i)x − P(i) x

j=1
N

= xT

∑ pi j H T (i)P( j)H(i) − P(i)

x = −xT Q(i)x

(2.1.2)

j=1

Đặt

µ1 = Min{λmin [Q( j)P( j)−1 ] : 1 ≤ j ≤ N}

µ2 = Max{λmax [Q( j)P( j)−1 ] : 1 ≤ j ≤ N}
Từ (2.1.1) ta có P( j) > Q( j), j = 1, N, vì vậy từ bổ đề (1.3.3) ta thu được
0 < µ1 ≤ µ2 < 1.
16


Từ (2.1.2) ta có:
E{∆V (xk+1 , σk+1 )|xk = x, σk = i} ≤ −µ1 xT P(i)x = −µ1V (x, i), i ∈ N

Tức là:
E{V (xk+1 , σk+1 )|xk = x, σk = i} ≤ (1 − µ1 )V (x, i)

Điều này kéo theo:
E{V (xk+1 , σk+1 )} ≤ (1 − µ1 )E{V (xk , σk )}
Đặt:
λ1 = Min{λmin (P( j)) : j ∈ N}

λ2 = Max{λmax (P( j)) : j ∈ N}
Ta có: 0 < λ1 ≤ λ2 và từ (2.1.3) ta có:
E||xk ||2 ≤

E{V (xk , σk )} λ2
≤ E(||x0 ||2 )(1 − µ1 )k .
λ1
λ1

Điều này kéo theo hệ (1.2.4) ổn định moment cấp 2 mũ.
Chứng minh điều kiện cần

Với các ma trận dương cho trước Q( j), j ∈ N ta định nghĩa:
Φ(m, k) = H(σm−1 )H(σm−2 )...H(σk ), m > k
l

Pkl

=

∑ ΦT (m, k)Q(σk )Φ(m, k), k ≥ 0, l ≤ k
m=k

ν1 = Min{λmin (Q( j)) : j ∈ N}

17

(2.1.3)


ν2 = Max{λmax (Q( j)) : j ∈ N}
Trước hết ta chứng tỏ với mọi k
∞

∑ ΦT (m, k)Q(σm )Φ(m, k)

Pk∞ =

m=k

là một phần tử của L2 (Ω, F, P). Giả sử (1.2.4) ổn định moment cấp 2 mũ tức là
tồn tại 0 < α < 1 và β > 0 sao cho:

E{||xm ||2 } = E{||Φ(m, k)xk ||2 } ≤ β ||xk ||2 α m−k , m > k.
Khi đó ta có:
E{||Pkl ||2 } = sup E{xT (Pkl )T Pkl x}
||x||=1

2

=

sup E{x

T

||x||=1

Pkl x}
2

l

=

sup Ex

T

||x||=1

T

∑Φ

(m, k).Q(σk )Φ(m, k)x

m=k
2

l
T

≤ ν22

∑ E{(Φ(m, k)x)

Φ(m, k)x}

m=k
2

l

≤ ν22 B2

||x||2

∑α

m−k

m=k

ν22 B2 ||x||
≤
< +∞.
1−α
Điều này kéo theo Pk∞ ∈ L2 (Ω, F, P).
Định nghĩa:
∞

Pk = Pk∞ =

∑ ΦT (m, k)Q(σm )Φ(m, k), k ≥ 0.
m=k

Khi đó ta có:
Pk = H T (σk )Pk+1 H(σk ) + Q(σk ), k ≥ 0
18


Định nghĩa:
Pk (i) = E{Pk |σk = i} với k ≥ 0
Khi đó:
Pk (i) = H T (i)E{Pk+1 |σk = i}H(i) + Q(i), i ∈ N

(2.1.4)

và
N

E{Pk+1 |σk = i} =

∑ E{Pk+1 |σk+1 = j, σk = i}.P(σk+1 = j|σk = i)

j=1
N

=

∑ p j E{Pk+1 |σk+1 = j}

j=1
N

=

∑ p j Pk+1 ( j).

j=1

Chú ý 2.1.1.
Từ kết quả của Yang Ji, định lý trên cũng là điều kiện cần và đủ cho sự ổn định
theo moment cấp 2 và ổn định theo moment mũ cấp 2.

Chú ý 2.1.2.
Hàm Lyapunov V (xk , σk ) = xkT .P(σk )xk đo được đối với σ - đại số sinh bởi
σk−1 , σk−2 , ... và ma trận P(σk ) chỉ phụ thuộc σk . Do vậy nếu chúng ta sử dụng
hàm Lyapunov V (xk , σk ) = xkT R(σk−1 )xk thì ta có kết quả sau:

Định lý 2.1.2.
Giả sử {σk } là xích Markov thuần nhất, hữu hạn trạng thái với ma trận xác

19


suất chuyển P khi đó hệ (1.2.4) ổn định ngẫu nhiên theo moment cấp 2 nếu và chỉ
nếu S(1), S(2), ..., S(N) là các ma trận dương, tồn tại các ma trận xác định dương
R(1), R(2), ..., R(N) sao cho:
N

∑ pi j H T ( j)R( j).H( j) − R(i) = −S(i), i = 1, 2, . . . , N.

(2.1.5)

j=1

Chú ý 2.1.3.
Điều kiện cần và đủ cho hai định lý trên là tương đương. Ta có định lý sau:

Định lý 2.1.3.
Với Q(1), Q(2), ..., Q(N) là các ma trận dương cho trước, phương trình (2.1.1)
có nghiệm P(1), P(2), ..., P(N) xác định dương nếu và chỉ nếu với các ma trận
xác định dương S(1), S(2), ..., S(N) cho trước (2.1.5) có nghiệm xác định dương
R(1), R(2), ..., R(N).
Chứng minh.
Giả sử cho trước các ma trận xác định dương Q(1), Q(2), ..., Q(N), (2.1.1) có
nghiệm P(1), P(2), ..., P(N) xác định dương, với:
N

R(i) =

∑ pi j P( j),

N

S(i) =

j=1

∑ pi j Q( j), i = 1, 2, . . . , N

j=1

thì ta có:
N

∑ pi j H T ( j)R( j)H( j) − R(i)

j=1

N

=

∑

N

pi j H T ( j)

j=1

∑

j=1

H( j) − R(i)

k=1

N

=

∑ p jk P(k)

N

pi j

∑ p jk H T ( j)P(k)H( j)

− R(i)

k=1

20


N

=

∑ pi j (P( j) − Q( j)) − R(i)

j=1

N

= − ∑ pi j Q( j) = −S(i),
j=1

Vậy, R(1), R(2), ...R(N) là nghiệm của (2.1.5) với các ma trận xác định dương
S(1), S(2), ..., S(N).
Ngược lại, giả sử cho các ma trận xác định dương S(1), S(2), ..., S(N), (2.1.5) có
nghiệm R(1), R(2), ..., R(N) xác định dương . Bởi vì, S(1), S(2), ..., S(N), xác định
dương nên tồn tại một số dương α > 0 sao cho S(i) − αI xác định dương cho bất kì
i ∈ {1, 2, ..., N} . Định nghĩa:
P(i) = αI + H T (i)R(i)H(i), Q(i) = αI + H T (i)(S(i) − αI)H(i),
do đó ta có:
N

∑ pi j H T (i)P( j)H(i) − P(i)

j=1

N

= H T (i)

∑ pi j P( j)

H(i) − P(i)

j=1

N

= H T (i) αI + ∑ pi j H T ( j)R( j)H( j) H(i) − P(i)
j=1

= αH T (i)H(i) + H T (i)(R(i) − S(i))H(i) − P(i)
= αH T (i)H(i) + H T (i)R(i)H(i) − P(i) − H T (i)S(i)H(i)
= αH T (i)H(i) − αI − H T (i)S(i))H(i) = −Q(i),
và P(i), Q(i)(i = 1, 2, ..., N) xác định dương, P(i) là nghiệm của.(2.1.1)
Từ (2.1.5) và lý thuyết của phương trình Lyapunov, chúng ta chỉ ra được ổn định
√
Schur của pii H(i)(i ∈ N) là điều kiện cần cho ổn định moment cấp 2.
Chúng ta gọi (2.1.1), hoặc (2.1.5) là cặp phương trình Lyapunov. Trong khi thực

21


hành, không dễ dàng thấy được hai điều kiện cần và đủ đó cái nào tốt hơn. Trong
trường hợp chung, đối với xích Markov hữu hạn trạng thái, giải (2.1.1), hoặc (2.1.5)
đòi hỏi giải N cặp ma trận. Tuy nhiên, trong vài trường hợp đặc biệt, định lý cung
cấp một cách kiểm tra dễ dàng tính ổn định ngẫu nhiên. Ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.1.
Giả sử rằng {σk } là một xích ngẫu nhiên hữu hạn độc lập và phân phối đồng
nhất với phân phối xác suất {p1 , p2 , . . . , pN }, thì hệ (1.2.4) ổn định ngẫu nhiên
moment cấp 2 nếu và chỉ nếu với ma trận xác định dương S đều tồn tại một ma trận

xác định dương R sao cho thỏa mãn phương trình ma trận sau:
N

∑ pi H T (i)RH(i) − R = −S.

j=1

Lưu ý:
Trong trường hợp độc lập và phân phối thuần nhất, nếu sử dụng định lý (2.1.1),
thì chúng ta cần giải N cặp phương trình Lyapunov, điều này gây phức tạp hơn so
với việc sử dụng hệ quả (2.1.1).
Theo trên chúng ta chỉ xét tính ổn định ngẫu nhiên của moment cấp 2. Đây
không còn là vấn đề bởi vì kết quả sau đây chỉ ra điều kiện cần và đủ cho ổn định
moment cấp 2 và ổn định moment mũ cấp 2.

Định lý 2.1.4.
Giả sử {σk } là dãy Markov với trạng thái thời gian thuần nhất, hữu hạn thì tính
ổn định moment cấp 2, ổn định ngẫu nhiên moment cấp 2 và ổn định moment mũ
cấp 2 của hệ (1.2.4) là tương đương.

22