Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận
được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán – Trường ĐHSPHN 2,
các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện
để em hoàn thành đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC, Ths. Phùng Đức
Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của thầy cô và các
bạn để đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên
Nguyễn Thị Luyến

Nguyễn Thị Luyến

1

K32 CN - Toán


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

4

Chương 1. Các kiến thức có liên quan

6

1.1. Tập hợp lồi.

6

1.1.1. Định nghĩa tập lồi.

6

1.1.2. Một số bài tập.

6

1.2. Hàm số.

8

1.2.1. Định nghĩa hàm lồi.

8

1.2.2. Một số tính chất của hàm lồi.

8

Chương 2. Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán

đại số và giải tích

16

2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.

16

2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển.

16

2.1.2. Chứng minh các bất đẳng thức đại số.

22

2.1.3. Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác.

27

2.2. Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

34

2.3. Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương
trình có tham số.

40

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

Nguyễn Thị Luyến

2

K32 CN - Toán


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo Ths. Phùng Đức Thắng, cùng với đó là sự cố gắng của
bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành
quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và
lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là kết
quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác
giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên
Nguyễn Thị Luyến

Nguyễn Thị Luyến

3

K32 CN - Toán


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi là một môn học nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và
hàm lồi. Các kết quả của giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực.
Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã
được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học. Hầu
hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều
giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình
tròn,…Trong đại số, tính lồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương
trình học về hàm số bậc hai và dùng để khảo sát hàm số.
Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công
trong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứng
minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phương
trình chứa tham số.
Với lý do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải các bài
toán đại số và giải tích”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths. Phùng
Đức Thắng.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải

tích.
4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông.
+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số
Nguyễn Thị Luyến

4

K32 CN - Toán


và giải tích.
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương:
Chương 1. Các kiến thức có liên quan.
Chương 2. Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích.
Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi
được trình bày trong chương 1.
Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số lớp bài toán đại
số và giải tích. Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, các
bất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các bài toán về phương
trình và bất phương trình chứa tham số.

Nguyễn Thị Luyến

5

K32 CN - Toán

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN
1.1. Tập hợp lồi
1.1.1. Định nghĩa tập hợp lồi
Tập D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử a  D, b  D,
với mọi số   0    1 thì phần tử  a  1    b cũng thuộc tập hợp D .
1.1.2. Bài tập
Bài 1. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A  B cũng là tập hợp
lồi.
Lời giải
Lấy a,b tùy ý thuộc A  B , và  là số thực tùy ý sao cho 0    1.
Do A, B là hai tập lồi, mà a, b  A; a, b  B nên

 a  1    b  A

 a  1    b  B.
Từ đó  a  1    b  A  B . Vậy A  B là tập lồi.
Bài 2. Cho A và B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A  B cũng là tập hợp
lồi.
Lời giải
Đặt C  A  B , thì C  c : c  a  b với a  A, b  B .
Lấy c1 , c2 tùy ý thuộc C , và 0    1 là số thực tùy ý.
Vì

c1  C  c1  a1  b1 với a1  A, b1  B
c2  C  c2  a2  b2 với a2  A, b2  B.
Từ đó

c1  1    c2    a1  b1   1    a2  b2 

Nguyễn Thị Luyến

6

K32 CN - Toán


  a1  1    a2   b1  1    b2  .

(1)

Do A, B lồi mà a1 , a2  A; b1 , b2  B nên

 a1  1    a2  A,  b1  1    b2  B .
Từ (1) suy ra c1  1    c2  C.
Điều đó có nghĩa là C lồi, tức A  B lồi.
Bài 3. Cho hệ phương trình

a1 x  b1 y  c1  0
a x  b y  c  0
 2
2
2

. . .
an x  bn y  cn  0
Giả sử hệ trên có nghiệm và D là tập hợp nghiệm của hệ. Chứng minh
rằng D là tập lồi trong  2 .
Lời giải
Giả sử  x1 ; y1  và  x2 ; y2  là hai phần tử tùy ý của D , và  là số thực

tùy ý sao cho 0    1 .
Ta có

ak x1  bk y1  ck  0 và ak x2  bk y2  ck  0 với mọi k  1, n . Từ đó suy ra
với mọi k  1, n cũng có

 (ak x1  bk y1  ck )  1    ( ak x2  bk y2  ck )  0 ,
hay

ak  x1  1    x2   bk  y1  1    y2   ck  0.

(1)

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ rằng với mọi k  1, n thì phần tử

  x1 ; y1   1    x2 ; y2   D .
Theo định nghĩa D là tập lồi trong  2 .
Ta có điều cần chứng minh.

Nguyễn Thị Luyến

7

K32 CN - Toán


1.2. Hàm số
1.2.1. Định nghĩa hàm lồi
Giả sử D là tập hợp lồi trong  1 . Hàm số f : D   1 được gọi là hàm
lồi trên D , nếu như với mọi x1, x2  D, với mọi   0    1 , thì

f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2 .
Chú ý. 1) D là tập hợp lồi trong  1 . Hàm số f : D   1 được gọi là hàm lõm
trên D nếu như  f là lồi trên D.
2) Tương tự, ta có thể định nghĩa hàm lồi hai biến như sau:
Giả sử D là tập lồi trong  2 . Hàm số

f : D   1 được gọi là lồi trên

D , nếu như với mọi  x1; y1  ,  x2 ; y2   D; với mọi , 0    1, ta có

f   x1  1    x2 ;  y1  1    y2    f  x1 ; y1   1    f  x2 ; y2 .
1.2.2. Một số tính chất của hàm lồi
Tính chất 1. Cho D là tập hợp lồi trong  1 . Giả sử f1  x  , f 2  x  ,..., f n  x  là
các hàm lồi xác định trên D. Cho i  0 với mọi i = 1,n . Khi đó hàm số

1 f1  x   2 f 2  x   ...  n f n  x 
cũng là hàm lồi trên D .
Chứng minh
Đặt

F  x    i fi  x .
n

i 1

Lấy x1 , x2  D và  là số thực sao cho 0    1.
Ta có

F   x1  1    x2    i fi   x1  1    x2 .

n

(1)

i 1

Vì fi : D   1 là các hàm lồi với i  1, n , nên ta có với mọi i  1, n , thì

fi   x1  1    x2    fi  x1   1    fi ( x2 ) .
Do

(2)

i  0,  i  1, n nên từ (2) ta có

i fi   x1  1    x2   i  fi  x1   i 1    fi ( x2 ) , i = 1, n .
Nguyễn Thị Luyến

8

K32 CN - Toán


Từ đó đi đến

 i fi   x1  1    x2     i fi  x1   1     i fi  x2 
n

n

n

i 1

i 1

i 1

hay

 i fi   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2 .
n

(3)

i 1

Từ (1) và (3 ), đi đến

F   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2 .
Vậy F  x  là hàm lồi trên D. Ta có điều cần chứng minh.
Tính chất 2. (Mối liên hệ giữa tập lồi và hàm lồi)
Giả sử f : D   1 , ở đây D là tập lồi trong  1 .
Đặt

epi f :  x; y    2 : f  x   y, x  D
(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f).
Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi trong  2 .
Chứng minh
1) Giả sử f : D   1 là hàm lồi trên D .

Lấy

 x1 , y1 

 epi f ;  x2 , y2   epi f và  (0    1) .

Theo định nghĩa của tập hợp epi f , ta có

x1, x2  D và f  x1   y1, f  x2   y2 .

(1)

Do f là hàm lồi trên D , và do 0    1 , nên từ (1) ta có

f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2    y1  1    y2 .

(2)

Do x1 , x2  D , mà D là tập lồi nên

 x1  1    x2  D .
Kết hợp với (2) suy ra điểm   x1 ; y1   1    x2 ; y2   epi f , tức là epi f là
tập lồi.

Nguyễn Thị Luyến

9

K32 CN - Toán

2) Bây giờ giả sử epi f là tập lồi. Giả thiết trái lại f  x  không phải là
hàm lồi trên D . Điều đó có nghĩa là tồn tại x1 , x2  D , tồn tại  0;1 sao cho



 







  f  x1   1   f  x2 .

f  x1  1   x2

(3)

Theo định nghĩa thì

 x ; f  x 
1

1

 epi f ;  x2 ; f  x2    epi f .

Do epi f là tập lồi , mà   0;1 , nên





  x1; f  x1   + 1    x2 ; f  x2    epi f











(4)

 

(5)



  x1  1   x2 ;  f ( x1 )  1   f ( x2 )  epi f .
Từ (4) và theo định nghĩa của epi f , suy ra









 f ( x1 )  1   f ( x2 )  f  x1  1   x2 .
Từ (3), (5) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả sử sai, suy ra f là hàm lồi trên D .
Ta có điều cần chứng minh.
Tính chất 3. (Bất đẳng thức Jen-xen)

Cho D là tập lồi trong  1 , f : D   1 là hàm số xác định trên D . Khi
đó f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với mọi





n

x1 , x2 ,..., xn thuộc D , với mọi số i  0 i  1, n và  i  1 ta có bất đẳng
i 1

thức



n

f  i xi

i 1



  i f  xi .
n

i 1

(1)

Bất đẳng thức (1) gọi là bất đẳng thức Jen-xen.
Chứng minh
1) Giả sử (1) thỏa mãn, khi đó ứng với n  2 , theo định nghĩa f là hàm
lồi trên D .
2) Bây giờ giả sử f là hàm lồi trên D . Ta phải chứng minh (1) là đúng.
Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:
Nguyễn Thị Luyến

10

K32 CN - Toán


- Với n  1 , thì (1) hiển nhiên đúng.
- Với n  2 , theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng.
- Xét với n  k  1
Lấy x1 , x2 ,..., xk , xk 1  D , lấy i  0 , với mọi   1, k  1 mà
k 1

 i  1 .

i 1

Ta có
k 1

k 1

i 1

i 1

 i xi   i xi k xk  k 1 xk 1 .

Đặt

(2)

k 1

   i .
i 1

k 1

Do i  0 với mọi i = 1, 2, …, k+1 mà  i  1 , nên
i 1

0    1.

Ta viết lại (2) dưới dạng sau
k 1

 

 i xi   i xi  1     k xk  k 1 xk 1  .
i 1
i 1
1 
1 


k 1

Do xk , xk 1  D ;

k

1 

(3)

k 1
 0 và
1 

 0;
k
1 

+

k 1
1 

=1 ,
1 
1 

mà D là tập lồi, nên
x 

k

1 

xk +

k 1
xk 1  D .
1 

Bây giờ vế phải của (3) có dạng

1x1  2 x2  ...  k 1xk 1  1    x.

(4)

Ta thấy 1  2  ...  k 1  (1   )    (1   )  1 nên từ (4) và theo
giả thiết quy nạp suy ra

Nguyễn Thị Luyến

11

K32 CN - Toán






f 1 x1  2 x2  ...  k 1 xk 1  (1   ) x 



 1 f  x1   2 f  x2   ...  k 1 f  xk 1   (1   ) f x .

(5)

Do f là hàm lồi, nên


k

 

f x  f  k xk  k 1 xk 1  
f ( xk )  k 1 f ( xk 1 ).
1 

1 
1 
 1 



(6)

Kết hợp (3), (4), (5), (6), suy ra
k 1

k 1

i 1

i 1

f (  i xi )   i f  xi .
Vậy (1) cũng đúng khi n  k  1.
Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng với mọi n .
Đó là điều cần chứng minh.
Chú ý. Nếu ở (1) ta lấy 1  2  ...  n 

1
thì ta có dạng đặc biệt của bất
n

đẳng thức Jen-xen sau đây:
Nếu f : D   1 là hàm lồi trên tập lồi D   1 . Khi đó với mọi số n
nguyên dương, với mọi x1 , x2 ,..., xn thuộc D , ta có

1 n
 x1  x2  ...  xn 
f
   f  xi .
n
n i 1


Tính chất 4. (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số)
Cho f  x  là hàm số xác định trên  a; b và có đạo hàm cấp hai tại mọi
điểm x   a; b  . Nếu như f ''  x  > 0 với mọi x   a; b  , thì f  x  là hàm lồi
trên  a; b .
Chứng minh
Lấy x1 , x2 tùy ý thuộc  a; b và có thể giả sử a  x1  x2  b.
Lấy 1  0 , 2  0 sao cho 1  2  1.
Ta phải chứng minh

f  1x1  2 x2   1 f ( x1 )  2 f ( x2 ).

Nguyễn Thị Luyến

12

(1)

K32 CN - Toán


Rõ ràng (1) đúng nếu như có một trong hai số 1 hoặc 2 bằng 0. Vì thế ta có

thể cho là 1  0 , 2  0 và 1  2  1.
Áp dụng định lý Lagrange với hàm số f  x  trên  x1 ; 1 x1  2 x2  , ta thấy
tồn tại 1 , mà x1  1  1 x1  2 x2 , sao cho

f  1x1  2 x2   f ( x1 )   1x1  2 x2  x1  f ' 1 .

(2)

Vì

1 x1  2 x2  x1  x1  1  1  2 x2
 2 x1  2 x2
 2  x2  x1  .

Do đó từ (2) suy ra

f ' (1 ) 

f (1 x1  2 x2 )  f ( x1 )
.
2 ( x2  x1 )

(3)

Áp dụng định lí Lagrange với hàm số f  x  trên 1 x1  2 x2 ; x2  , ta thấy
tồn tại  2 mà 1x1  2 x2   2  x2 sao cho

f ( x2 )  f  1x1  2 x2  
Dễ thấy

 x2  1x1  2 x2  f '2 

(4)

x2  1 x1  2 x2  1  x2  x1  , vì thế từ (4) suy ra
f '  2  

f ( x2 )  f  1x1  2 x2 
1  x2  x1 

(5)

Vì f " x   0, x   a; b  , do đó f ’ x  là hàm đồng biến trên  a; b .
Do 1   2 nên f '(1 )  f '( 2 ) .

(6)

Từ (3), (5), (6) suy ra

f ( x2 )  f  1 x1  2 x2 
f  1x1  2 x2   f ( x1 )

.
1  x2  x1 
2  x2  x1 

(7)

Do x2  x1  0 ; 1  0 ; 2  0 . Nên từ (7) suy ra

2 f ( x2 )  2 f  1 x1  2 x2   1 f  1 x1  2 x2   1 f  x1 
hay

Nguyễn Thị Luyến

13

K32 CN - Toán


1 f ( x1 )  2 f  x

2



 f  1 x1  2 x2 

Vậy (1) đúng hay ta có điều phải chứng minh.
Trước khi xét tính chất 5 của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm sau:
Cho D   1 và f : D   1
- Hàm số f  x  gọi là đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x0  D , nếu như

f  x   f  x0  ,  x D.
- Hàm số f  x  gọi là đạt cực tiểu địa phương tại x0  D , nếu như tồn tại
lân cận V của x0 sao cho

f  x   f  x0  ,  x D V .
Tính chất 5. Cho D là tập lồi trong  1 và f : D   1 là hàm lồi. Khi đó nếu
như f đạt cực tiểu địa phương tại x0  D , thì nó cũng đạt cực tiểu toàn cục

tại x0 .
Chứng minh
Vì f đạt cực tiểu địa phương tại x0  D , nên tồn tại lân cận V của x0
sao cho

f  x   f  x0  ,  x  D  V .

(1)

Giả thiết phản chứng f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại x1  D , ngoài ra

f  x1   f  x0 .

(2)

Với mọi   0    1 , do tính lồi của f , ta có

f   x1  (1   ) x0    f ( x1 )  (1   ) f  x0 .

(3)

Thay (2) vào (3), ta có

f   x1  (1   ) x0    f ( x0 )  (1   ) f  x0  ,
hay

f   x1  (1   ) x0   f  x0 .

(4)

(4) đúng với mọi 0    1. Trong (4) cho   0 thì

Nguyễn Thị Luyến

14

K32 CN - Toán


 x1  (1   ) x0  x0 .
Như vậy, trong mọi lân cận của x0 luôn tìm được điểm x  D sao cho



f x  f  x0  .
Điều này mâu thuẫn với (1). Vậy giả thiết phản chứng sai, tức f cũng
đạt cực tiểu tại x0 .
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý. Tính chất trên cho ta một đặc trưng quan trọng nhất của hàm lồi là: Với
hàm lồi thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục.

Nguyễn Thị Luyến

15

K32 CN - Toán


CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO
CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1. Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức
Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức
sơ cấp. Lược dồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một
hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh. Sau
đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc
lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải.
2.1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển
Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí
thuyết bất đẳng thức. Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay gặp nhất là:
bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Schwartz, bất
đẳng thức Min-kop-xki.
Bất đẳng thức kinh điển quan trọng ở chỗ, vì nó là cơ sở để chứng minh
rất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất.
Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phương
pháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số
mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen.
Bài 1. (Bất đẳng thức Cauchy)
Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an . Chứng minh rằng
a1  a2  ...  an

n

n

a1a2 ...an .

Lời giải
1) Nếu tồn tại ak  0 1  k  n  .
Khi đó
n

a1a2 ...ak 1ak ak 1...an  0.

Trong khi đó do ai  0 ,  i= 1, n , nên ta có

Nguyễn Thị Luyến

16

K32 CN - Toán


a1  a2  ...  an
 0.
n

Vậy bất đẳng thức Cauchy đúng trong trường hợp này.
2) ai  0 ,  i= 1, n .
Xét hàm số f  x    ln x với x  0.
Ta có
f ' x   

1
1
 f ''  x   2  0 , x > 0.
x
x

Vậy f  x  là hàm lồi khi x  0 . Theo BĐT Jen-xen, ta có

1
 x  x  ...  xn 
f 1 2
   f  x1   f  x2   ...  f  xn  
n
n


x  x  ...  xn
1
  ln 1 2
   ln x1  ln x2  ...  ln xn 
n
n
 ln

x1  x2  ...  xn
 ln n x1 x2 ...xn .
n

(1)

Vì f  x   ln x là hàm đồng biến khi x  0 , nên từ (1) suy ra
x1  x2  ...  xn

n

n

x1 x2 ...xn .

Kết hợp cả hai trường hợp suy ra bất đẳng thức Cauchy được chứng minh.
Bài 2. (Bất đẳng thức Buniakowski)
Cho 2n số thực a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh rằng
(a12  a22  ...  an2 )  b12  b22  ...  bn2  

 a1b1  a2b2  ...  anbn 

2

.

Lời giải
Xét hàm số f  x   x 2 .

f '  x   2 x  f ''  x   2  0 x.
Vậy f  x  là hàm lồi trên toàn trục số.

Nguyễn Thị Luyến

17

K32 CN - Toán


ai
bi2
xi 
, i  n
, i = 1, n .

2
bi
 bj

Lấy

j 1

Khi đó

n

i  0 ,  i = 1, n và  i  1.
i 1

Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có

f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )
 (1 x1  2 x2  ...  n xn ) 2  1 x12  2 x22  ...  n xn2
2



2
2
 1  2 a1
1  2 a12
2 a2
2 an  
2 a2

2 an 
  n  b1  b2  ...  bn    n  b1 2  b2 2  ...  bn 2 
2
b2
bn    b 2  b1
b2
bn 
  b j  b1
j
j 1
 j 1

2
 n  n 
  a1b1  a2b2  ...  anbn     b 2j   a 2j 
 j 1  j 1 
  a1b1  a2b2  ...  anbn   (a12  a22  ...  an2 )  b12  b22  ...  bn2 .
2

Bất đẳng thức được Buniakowski chứng minh.
Bài 3. (Bất đẳng thức Schwartz)
Cho 2n số thực

a1 , a 2 , . .a.n, b 1;b

2

bi  0 , i  1, n .

, bn , trong

. . . , đó

Chứng minh
an2
a12 a22

 ... 

b1
b2
bn

 a1  a2  ...  an 
b1  b2  ...  bn

2

.

Lời giải
Xét hàm số f  x   x 2 . f  x  là hàm lồi trên toàn trục số R .
Lấy

xi 

ai
b
, i  n i , i = 1, n .
bi
 bj

j 1

n

Ta có

i  0 ,  i = 1, n và  i  1.
i 1

Theo bất đẳng thức Jen-xen , ta có

Nguyễn Thị Luyến

18

K32 CN - Toán


f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )
 (1 x1  2 x2  ...  n xn ) 2  1 x12  2 x22  ...  n xn2
2


 1  a1
a2
an  
1  a12
a22
an2 
  n  b1  b

 ...  bn    n  b1 2  b2 2  ...  bn 2 
2
b
b
bn  
b2
bn 
2
 b j  b1
  bj  1
j 1
 j 1


 a  a  ...  an 
 1 2

2

a12 a22
an2

  ...  .
b1 b2
bn

b1  b2  ...  bn

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 4. (Bất đẳng thức Holder)

Cho hai dãy số không âm a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn ; cùng hai số hữu tỉ
dương p và q thỏa mãn hệ thức
1
1

p
q

 1.

Chứng minh
a1b1  a2b2  ...  an bn 

a

p
1

1
p

 b

 a  ...  a
p
2

p
n

q
1

 b  ...  b
q
2

q
n



1
q

.

Lời giải
Do p, q  0 mà

1 1

 1  p  1.
p q

Xét hàm số f  x   x p với x  0.
Ta có
f '  x   px p 1  f ''  x   p 1  p  x p 2  0  do p  1, x  0 .

Vậy f  x  là hàm lồi khi x  0.

Lấy
1 q
i i

xi  a b

, i 

biq
n

b
j 1

Nguyễn Thị Luyến

19

q
j

i  1, n .

K32 CN - Toán


n

Có i  0 ,  i = 1, n và  i  1.
i 1

Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có

f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )
 (1 x1  2 x2  ...  n xn ) p  1 x1p  2 x2p  ...  n xnp
p



 1

  n  b1q a1b11q  b2q a2b21q  ...  bnq anbn1q   
q
  bj

 j 1

1
p 1 q
p 1 q
p 1 q
 n
b1q a1pb1    b2q a2pb2    ...  bnq anpbn  
 bqj





j 1

 n 
 (a1b1  a2b2  ...  anbn )    b qj 
 j 1 

p 1

p

a b

p q  p  pq
1 1

 a2pb2q  p  pq  ...  anpbnq  p  pq .1

Theo giả thiết ta có
1 1
 1
p q

(*)

 p  q  pq  0.

(2)

Thay (2) vào (1) và có
(a1b1  a2b2  ...  anbn )

Lũy thừa bậc

p

 n 
   bqj 
 j 1 

p 1

a

p
1

 a2p  ...  anp .

(3)

1
cả hai vế của (3), ta được
p

a1b1  a2b2  ...  anbn 

a

p
1

 a  ...  a
p
2

p
n

1
p

 b

q
1

 b  ...  b
q
2

q
n



p 1
p

.

(4)

Vẫn từ giả thiết (*), ta có

1
1
p 1
 1

.
q
p
p

(5)

Thay (5) vào (4), suy ra

Nguyễn Thị Luyến

20

K32 CN - Toán


a

a1b1  a2b2  ...  an bn 

p
1

 a  ...  a
p
2

p
n

1
p

 b

q
1

 b  ...  b
q
2

q
n



1
q

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 5. (Bất đẳng thức Min-kop-xki)

Cho hai dãy số không âm a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn . Chứng minh
n

a1a2 ...an  n b1b2 ...bn 

n

(a1  b1 )(a2  b2 )...(an  bn ).

Lời giải





Xét hàm số f  x   ln 1  e x .
Ta có

f ' x 

ex
ex

 f'' x  
> 0 x  R .
x
x 2
1 e
(1 e )

Vậy f  x  là hàm lồi trên toàn trục số.
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen với
xi  ln

bi
1
, i 
, i = 1, n
ai
n

ta có
f  1 x1  2 x2  ...  n xn   1 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  n f ( xn )





 ln 1  e1x1 2 x2 ...n xn 





 1 ln 1  e x1   2 ln 1  e x2   ...  n ln 1  e xn .

(1)

Ta có

1 x1  2 x2  ...  n xn 

 e1x1 2 x2 ...n xn 

n

1  b1
b2
bn 
 ln  ln  ...  ln 
n  a1
a2
an 
1 b1b2 ...bn
ln
n a1a2 ...an

b1b2 ...bn
.
a1a2 ...an

(2)

Ta có

Nguyễn Thị Luyến

21

K32 CN - Toán

1 ln 1  e x   2 ln 1  e x   ...   ln 1  e x  
1

n

2

n



1 
b1 
b2 
bn  
ln 1    ln 1    ...  ln 1 

n 
a1 
a2 
an  


1  a  b  a2  b2  ... an  bn 
 ln 1 1
n
a1a2 ...an


 ln n

 a1  b1  a2  b2  ... an  bn  .

(3)

a1a2 ...an

Từ (2), (3) suy ra

b b ...b
(1)  ln 1  n 1 2 n

a1a2 ...an


  a1  b1  a2  b2  ... an  bn  

n
 . (4)

ln



a
a
...
a

1 2
n




Do hàm y  ln x là hàm đồng biến khi x  0 , nên ta có

 4  1  n


n

b1b2 ...bn

a1a2 ...an

n

 a1  b1  a2  b2  ... an  bn 
a1a2 ...an

a1a2 ...an  n b1b2 ...bn 

n

(a1  b1 )(a2  b2 )...(an  bn ).

Bất đẳng thức được chứng minh.
2.1.2. Chứng minh các bất đẳng thức đại số

Chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức đại số nói riêng là
một phần quan trọng trong giáo trình dạy và học môn toán ở trường phổ thông.
Có rất nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức. Với mỗi bất
đẳng thức cho trước, dựa vào cấu trúc của bất đẳng thức ta có thể lựa chọn một
phương pháp chứng minh thích hợp. Trong đề tài này tôi trình bày cách sử dụng
bất đẳng thức Jen-xen để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Lược đồ chung
để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi (cụ
thể là sử dụng BĐT Jen-xen) để chứng minh.
Bài 1. Giả sử a1 , a2 ,..., an là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh
1
1
1

 ... 
1  a1 1  a2
1  an



1

n

n
.
a1a2 ...an

Lời giải

Nguyễn Thị Luyến

22

K32 CN - Toán


Xét hàm số f  x  

1
với x  0 .
1  ex

Ta có

e x

f ' x  

1  e 

x 2

 f ''  x  

e x  e x  1

 0 khi x  0.

1  e 

x 3

Vậy f  x  là hàm lồi với x  0.
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
1
 x  x2  ...  xn 
 f  x1   f  x2   ...  f  xn   ,
f 1


n
n



với xi  0, i  1, n .
Đặc biệt, lấy xi  ln ai  0 (do ai  1 , i=1, n ), ta có
1
1 e


ln a1  ln a2 ... ln an
n



1 1
1
1 



...

ln
a
ln
a
n 1  e 1 1  e 2
1  eln an 

1
1 1
1
1 


 ... 

,
n 1  a1 1  a2
1  an 
1  n a1a2 ...an

hay
1
1
1

 ... 
1  a1 1  a2

1  an



1

n

n
.
a1a2 ...an

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 2. Cho a1, a2 ,..., an  0 . Chứng minh rằng
a1
1

a2
2

an
n

a a ...a

 a  a2  ...  an 
  1

n




a1  a2 ... an

.

Lời giải
Xét hàm số f  x   x ln x , với x  0. Ta có
f '  x   ln x +1  f ''  x  

1
> 0 khi x  0.
x

Do vậy f  x  là hàm lồi khi x  0.
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
Nguyễn Thị Luyến

23

K32 CN - Toán


1
 a  a2  ...  an 
 f  a1   f  a2   ...  f  an  
f 1
 
n
n



a  a2  ...  an a1  a2  ...  an
1
 1
ln
  a1 ln a1  a2 ln a2  ...  an ln an 
n
n
n
a  a2 ... an

1
 a1  a2  ...  an 


n





 ln a1a1 a2a2 ...anan



(1)

Dựa vào tính đồng biến của hàm số y  ln x khi x  0 , ta thấy
(1)  a a ...a

a1
1

a2
2

an
n

a  a2 ... an

 a  a2  ...  an  1
  1

n



.

Ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

a

a
a b  c

b

b
a b  c

c

c
a b  c

1
 a  b  c .
3



Lời giải
Xét hàm số f  x   x ln x , với x  0 .

f  x  là hàm lồi x  0. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
1
abc
f
   f  a   f b   f  c 
3
3


abc abc
a ln a  b ln b  c ln c

ln


3
3
3
a
b
c
abc

ln a 
ln b 
ln c  ln
abc
abc
abc
3
 a abc a bbc a cbc 
abc
 ln  a
b
c
  ln 
.
3





(1)

Do tính đồng diến của y  ln x khi x > 0 , thì
(1)  a

a
a b  c

b

b
a b  c

c

c
a b  c



1
 a  b  c .
3

Ta có điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng

Nguyễn Thị Luyến

24

K32 CN - Toán


 a  b b  c   c  a 
c

a

b

2

   a  b  c 
3


a b  c

.

Lời giải
Do y  ln x là hàm đồng biến với x  0 , nên bất đẳng thức cần chứng
minh tương đương với bất đẳng thức sau
a ln(b  c)  b ln(c  a)  c ln(a  b)
2

 ln  (a  b  c)  .
abc
3


(1)

Xét hàm số f  x    ln  a  b  c  x  với 0  x  a  b  c.
Ta có
f ' x  

1
1
 f ''  x  
 0 , x   0; a  b  c  .
2
abc x
a  b  c  x

Vậy f  x  là hàm lồi. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có
a
b
c
af (a)  bf (b)  cf (c)


f
a
b
c 
abc
abc 
a bc
abc


a 2  b2  c 2 
a ln(b  c)  b ln(c  a)  c ln(a  b)
  ln  a  b  c 
. (2)

abc 
abc

Do a, b, c  0 nên ta có
2
2ab  2bc  2ca
(a  b  c) 
3
abc

2ab  2bc  2ca
2

 ln  (a  b  c)   ln
.
abc
3


(3)

Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng và đó là điều phải chứng minh.
Bài 5. Chứng minh với mọi số tự nhiên n , ta có

1
1
1

 ... 
 1.
n 1 n  2
3n  1

Lời giải
Xét hàm số f  x  

1
với x  0 .
x

Ta có

Nguyễn Thị Luyến

25

K32 CN - Toán