THI TOÁN L5 2011(SPHN) Có giải chi tiết

===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V NĂM 2011
Môn thi: TOÁN

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
==========================================

2x + 1
Câu 1. ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 1 .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm k để trên đồ thị (C) có hai điểm phân biệt M(xM; yM), N(xN; yN) thỏa mãn:
 xM + y M = k

 xN + y N = k

Chứng minh rằng hai điểm M, N cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C).
Câu 2. ( 2,0 điểm )
π
π
11π
π
3 sin(3 x − ) + 2 sin(8 x − ) = 2 sin( 2 x +
) + 3 cos(3 x − ).
5

3
15
5
1. Giải phương trình:
2. Giải phương trình: x3 + x – 7 =
Câu 3. ( 1,0 điểm )

x2 + 5 .

π
2

sin 4 x
dx
4
∫ 4
π sin x + cos x
Tính tích phân: 4
.
Câu 4. ( 1,0 điểm )
Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích xung quanh của hình lăng
trụ, biết BAˆ A' = 450.
Câu 5. ( 1,0 điểm )
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
x + y 2 + z 4 = 0

2
4
y + z + x = 0

z + x 2 + y 4 = 0

Câu 6. ( 2,0 điểm)
x2 y2
+
=1
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 16 9
và đường thẳng d: 3x + 4y – 12 = 0.
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm điểm C thuộc (E) sao
cho diện tích tam giác ABC bằng 6 (đvdt).
2. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 2; -1), B(1; 4; -1), C(2;4;3), D(2;4; -1).Viết phương
trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và song song với mp(BCD).
Câu 7. ( 1,0 điểm )
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z2 + | z | = 0.
===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 1 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================
……………………………..Hết…………………………………..
Dự kiến kì thi thử Đại học lần thứ 6 sẽ được tổ chức vào ngày 21,22/5/2011

HD GIẢI L5-2011 (SPHN)

Câu 1.
2/ Theo bài ra M,N là 2 điểm thuộc đường thẳng x + y = k hay y = - x + k.
2x + 1
x − 1 ≠ 0
⇔
x −1
2 x + 1 = ( x − 1)(− x + k )
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
=-x+k

⇔ x2 – (k – 1)x + k + 1 = 0 (*) ( Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình với mọi k).
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ (k – 1)2 – 4(k + 1) > 0 ⇔ k2 – 6k – 3 > 0 ⇔
k > 3 + 2 3

k < 3 − 2 3
Đặt t = x – 1 ⇔ x = t + 1. Khi đó phương trình (*) trở thành: t2 – (k – 3)t + 3 = 0. Với điều kiện trên thì
phương trình này có hai nghiệm cùng dấu ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm cùng phía so với 1
⇔ Hai điểm M,N cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C).
Lưu ý: Không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai để chứng minh!
Câu 2.
π
π
11π
π
3 sin(3 x − ) + 2 sin(8 x − ) = 2 sin( 2 x +
) + 3 cos(3 x − ).
5
3
15

5 (2.1)
1/ Giải phương trình:
⇔
π
11π
1
π
3
π
2 3[ sin(3 x − ) −
cos(3 x − )
2
5
2
5 ] + 2[ sin (8x – 3 ) – sin(2x + 15 )] = 0
Phương trình (2.1)
⇔
⇔

3 sin(3 x −

8π
π
8π
) + 2 cos(5 x + ) sin(3 x − ) = 0
15
5
15

8π

π

x=
+ k.

8π

45
3

sin(3 x − 15 ) = 0
19π
2π

⇔ x =
= k.

150
5
π
3


cos(5 x + 5 ) = − 2
 x = − 31π + k . 2π

150
5

2/ Giải phương trình: x3 + x – 7 =

⇔
Cách 1: phương trình (2.2)
⇔
(x – 2)[ (x2 +2x + 5) -

x 2 + 5 . (2.2).

x3 + x – 10 =
⇔
x−2
x2 + 5 + 3 ] = 0

(k

∈

Z).

⇔

x2 + 5
-3
x–2=0

⇔

x2 − 4
(x – 2)(x2 + 2x + 5) =

x2 + 5 + 3

x = 2.

===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 2 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================
x−2

x +5 +3

4 x 2 + 5 − x + 14

2

Vì: x2 + 2x + 5 -

x2 + 5 + 3

= (x+1)2 +

> 0 với mọi x.

x

x +5
2

Cách 2: Xét f(x) =

x3

3x2

là hàm số xác định trên R có f ‘ (x) =
+1–
x
x2 + 5
>0
2
( Vì
> | x| với mọi x nên 1 – x + 5
). Như vậy f(x) là hàm số đồng biến trên R.
Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
x=2
π
4
2
sin x
∫π sin 4 x + cos4 x dx
Câu 3. Tính tích phân: I = 4
.
π

π
2
cos 4 x
4
∫π sin 4 x + cos4 xdx
Xét thêm: J = 4
. Ta có: I + J =
(1). Ngoài ra:
π
2

+x–7–

x2 + 5

π
2

cos x − sin x
cos 2 x
dx = ∫
dx
4
4
1 2
x + cos x
π
π 1−
sin 2 x
4

2
J–I= 4
=

∫ sin
0

4

dt

∫ 2−t
1

4

2

−

J–I=
=
Từ (1) & (2) suy ra:

1
2 2

ln

t− 2

t+ 2

0

=
1

1
2 2

ln

π
2

>0
.

2 cos 2 x
dx
2
2x

∫ 2 − sin

π
4

1− 2
1+ 2

. Đặt t = sin2x ta có: dt = 2cos2x.dx. Khi đó:
=

1
2 2

ln(3 − 2 2
) (2).

π
1
−
ln(3 − 2 2 )
I= 8 4 2
.

Câu 4.

===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 3 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================

Gọi O là tâm của đáy ABC. Ta có:
A’O ⊥ mp(ABC), mà AB ⊥ CO nên AB ⊥
mp(A’CO). Gọi H = AB * CO thì A’H ⊥ AB
⇒
BAˆ A'
2 a 2
= 450
AA’ = AH
= 2 ;
2
a
a
AH = A’H = 2 . Do đó: SAA’B’B = 2 .
Vì AO ⊥ BC nên AA’ ⊥ BC ⇒ BB’ ⊥ BC
⇒ BB’C’C cũng là hình chữ nhật
⇒
a2 2

A’

Suy ra:

C’

B’
450
A

C
H

O

B
SBB’C’C = BB’.BC = 2 .
Vậy:
a 2 (2 + 2 )
Câu 5.
Sxq =
.
2
Ta thấy (x;y;z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ. Nếu một trong 3 ẩn x, y, z bằng 0 thì thì cả 3 đều bằng 0.
Xét trường hợp: xyz ≠ 0. Từ hệ suy ra cả 3 ẩn x, y, z đều âm.
Do x, y, z bình đẳng theo hoán vị vòng quanh , nên xét hai trường hợp:
2
2
2 ⇒
⇒
≤ ≤
≤
 x ≥ y ≥ z
 4
x ≥ y 4 ≥ z 4
TH1: x y z < 0. Khi đó: 
0 = x + y2 + z4 z + x2 + y4 = 0
x = y = z.
TH2: y ≤ x ≤ z , xét tương tự vẫn suy ra x = y = z.
Thế vào một phương trình của hệ được: f(x) = x3 + x + 1 = 0 với x<0. Ta có: f ‘ (x) = 3x2 + 1 > 0 với mọi

x nên hàm số luôn đồng biến, mà f(-1) = -1<0; f(0)= 1>0 suy ra phương trình có duy nhất một nghiệm âm.
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
Câu 6.
===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 4 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================

3 x + 4 y − 12 = 0 ⇔  x = 0; y = 3
 2
 x = 4; y = 0
x
y2

=1
 +
1/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm của d và (E): 16 9
.
Vậy d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Giả sử A( 4;0) và B(0;3).
2 S ABc 12
=
5 . Từ đó có hệ phương trình tọa độ điểm C:

Ta có AB = 5, SABC = 6 nên d(C,AB) = AB
| 3 x + 4 y − 12 | 12
=
 x = ±2 2

| 3 x + 4 y − 12 |= 12
5


32 + 42
⇔ 2
⇔
 2
3 2
2
2
9 x + 16 y = 144
x + y =1
y = *
2

16 9
. Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài:

3 2 
3 2
 2 2 ;−
; C  − 2 2 ;



 

2
2
C
 

2/

===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 5 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================

*
*
*
D
A
D
B
D

C
Ta có
= (0; -2; 0),
= ( - 1; 0; 0),
(0; 0; 4)
* *
* *
* *
⇒ DA.DB = DB.DC = DC.DA = 0.
Suy ra DA, DB, DC từng đôi một vuông góc.
Gọi M là trung điểm của AC, Mx là trục của tam giác ABC thì tâm
I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là giao giữa Mx và mặt
* 1 *
MI = DB
2
phẳng trung trực của BD. Từ đó suy ra:
.
3
21
Xác định được I( 2 ; 3; 1) và R = ID = 2 .
3
21
Phương trình mặt cầu (S): (x – 2 )2 + (y – 3)2 + (z – 1)2 = 4 .
*
α
A
D
Mặt phẳng ( ) // mp(BCD) nên có véc tơ pháp tuyến là
*
=(0;2;0) hay n (0;1;0). Phương trình mp( α ): y + d = 0.

α
α
⇔
⇔
21
Mp( ) tiếp xúc với (S)
d(I, ( )) = R
|3+d| = 2 .
⇔
21
21
±
±
2 .
d = -3
y– 3
2 =
Có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
0

B
x

K
I
C
D

===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

M
A

Page 6 of 7


===================================
TUYỂN CHỌN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 & 2011

===================================
∈

z2

Câu 7. Đặt z = x + yi; (x,y R). Khi đó ta có: +
⇔
x = y = 0
 xy = 0
⇔  x = 0; y = 1
 2
2
2
2
 x − y + x + y = 0
 x = 0; y = −1
.

z

⇔

=0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z gồm 3 điểm:

x2 – y2 +

x 2 + y 2 + 2xyi = 0

{(0;0), (0,1); (0;-1)}

===========================================================
SƯU TẦM VÀ CHỈNH LÝ: VŨ PHẤN ( YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN)

/>====================================================

Page 7 of 7