Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Đề tài: Một kết quả về bất đẳng thức xoay vòng
————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–
Cán bộ hướng dẫn: TS. Nguyễn Vũ Lương
Cán bộ phản biện: TS. Nguyễn Thành Văn

Sư phạm Toán 48 - Khoa Sư Phạm - ĐH Quốc Gia Hà Nội

Ngày 20 tháng 05 năm 2007
————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung

Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Tổng quan chung
Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận
Kết luận
————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Lý do chọn đề tài

Yêu thích bất đẳng thức.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Lý do chọn đề tài

Yêu thích bất đẳng thức.
Bất đẳng thức xoay vòng là một trong những nội dung hay và
khó đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Lý do chọn đề tài

Yêu thích bất đẳng thức.
Bất đẳng thức xoay vòng là một trong những nội dung hay và
khó đòi hỏi sự tìm tòi sáng tạo.
Việc xây dựng, chứng minh một bài toán bất đẳng thức phân
thức đòi hỏi nhiều kỹ năng của người làm toán.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay

Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Mục đích đề tài

Xây dựng và tổng quát một dạng bài bất đẳng thức xoay
vòng phân thức.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay

Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Mục đích đề tài

Xây dựng và tổng quát một dạng bài bất đẳng thức xoay
vòng phân thức.
Đưa ra được một phương pháp phân tích ⇒ xây dựng các bài
toán bất đẳng thức phân thức khác.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng

Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Mục đích đề tài

Xây dựng và tổng quát một dạng bài bất đẳng thức xoay
vòng phân thức.
Đưa ra được một phương pháp phân tích ⇒ xây dựng các bài
toán bất đẳng thức phân thức khác.
Dùng để xây dựng các bài toán cho học sinh khá, giỏi ... dùng
cho các đề thi học sinh giỏi.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:

kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Bất đẳng thức Schurs.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả

TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Bất đẳng thức Schurs.
Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả

TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Bất đẳng thức Schurs.
Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất
đẳng thức xoay vòng.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng

Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Lý do chọn đề tài
Mục đích đề tài
Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Tổng quan bất đẳng thức xoay vòng

Bất đẳng thức Schurs.
Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất
đẳng thức xoay vòng.
Bất đẳng thức xoay vòng phân thức.

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Cho n số không âm ai (i = 1, n) (n ≥ 3); số thực α > 2 và
rij (i , j = 1, n) thỏa mãn rij + rji = α thì
a1

P=

n−1

a1 + αa2 +

a2

+

a2 + αa3 +

r1i ai
an

≥

n−2

an + αa1 +

r2i ai
i =4

i =3

+

+ ···+

n

rn ai

2n
2 + (n − 1)α

i =2

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1

Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Biểu thức tương đương của P
P=

a12
n−1

a12 + αa1 a2 +

a22

+
r1i a1 ai

+ ···+

n

a22 + αa2 a3 +

r2i a2 ai
i =4

i =3

an2

+

n−2

an2 + αan a1 +

rn an ai
i =2

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát

Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Biểu thức tương đương của P
P=

a12
n−1

a12 + αa1 a2 +

a22

+
r1i a1 ai

+ ···+

n

a22 + αa2 a3 +

r2i a2 ai
i =4

i =3

an2

+

n−2

an2 + αan a1 +

rn an ai
i =2

Từ biểu thức P ta lập ma trận n(n − 2) sau:

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay

Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Biểu thức tương đương của P
P=

a12
n−1

a12 + αa1 a2 +

a22

+

+ ···+

n

a22 + αa2 a3 +

r1i a1 ai

r2i a2 ai
i =4

i =3

an2

+

n−2

an2 + αan a1 +

rn an ai
i =2

Từ biểu thức P ta lập ma trận n(n − 2) sau:


a1 a2
 a2 a3

 ..
 .

an a1

a1 a3
a2 a4
..
.
an a2

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

···
···
..
.
···


a1 an−1
a2 an 

.. 
. 
an an−2

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về

Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m a1

a1 a3

a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···


a1 a2m−1
a2 a2m 

··· 
a2m a2m−2

CánĐề
bộtài:

hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3


 ···
a2m a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

Nhận thấy rằng các phần tử:

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···


a1 a2m−1
a2 a2m 


··· 
a2m a2m−2

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···

Nhận thấy rằng các phần tử:

Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–


a1 a2m−1
a2 a2m 

··· 
a2m a2m−2

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···


a1 a2m−1
a2 a2m 

··· 
a2m a2m−2

Nhận thấy rằng các phần tử:
Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1
Cột 2 thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột 2 và một lần
trong cột 2m − 2 hay là cột 2 và cột 2m − 2 là giống nhau.
···

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương

thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···


a1 a2m−1
a2 a2m 

··· 
a2m a2m−2

Nhận thấy rằng các phần tử:
Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1
Cột 2 thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột 2 và một lần
trong cột 2m − 2 hay là cột 2 và cột 2m − 2 là giống nhau.
···
Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lần
trong cột 2m − i hay là cột i và cột 2m − i là giống nhau.

···

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Xét trường hợp chẵn n = 2m


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+2
···
a2m am

···
···
···
···



a1 a2m−1
a2 a2m 

··· 
a2m a2m−2

Nhận thấy rằng các phần tử:
Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1
Cột 2 thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột 2 và một lần
trong cột 2m − 2 hay là cột 2 và cột 2m − 2 là giống nhau.
···
Cột i thì các phần tử xuất hiện 2 lần: một lần trong cột i và một lần
trong cột 2m − i hay là cột i và cột 2m − i là giống nhau.
···
Duy nhất cột thứ m là các phần tử trong cột xuất hiện 2 lần trong chính
cột m.
————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS

Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m+1 a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m+1 a2

···
···

···
···

a1 am+1
a2 am+1
···
a2m+1 am+1

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

a1 am+2
a2 am+2
···
a2m+1 am+2

···
···
···
···


a1 a2m
a2 a2m+1 


···
a2m+1 a2m−1

CánĐề
bộtài:

hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1


a1 a2
 a2 a3


 ···
a2m+1 a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m+1 a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+1
···
a2m+1 am+1

a1 am+2
a2 am+2
···
a2m+1 am+2

···
···
···
···


a1 a2m

a2 a2m+1 


···
a2m+1 a2m−1

Nhận thấy rằng các phần tử:

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn
bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS


Bài toán tổng quát
Biểu thức tương đương của P
Xét trường hợp chẵn n = 2m
Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1
Cách xây dựng một bài toán cụ thể
Ứng dụng của đề tài khóa luận

Mục lục
Tổng quan chung
Một dạng bất đẳng thức xoay vòng phân thức
Kết luận

Xét trường hợp lẻ n = 2m + 1


a1 a2
 a2 a3

 ···
a2m+1 a1

a1 a3
a2 a4
···
a2m+1 a2

···
···
···
···

a1 am+1
a2 am+1
···
a2m+1 am+1

a1 am+2
a2 am+2
···
a2m+1 am+2

···
···
···
···


a1 a2m
a2 a2m+1 


···
a2m+1 a2m−1

Nhận thấy rằng các phần tử:
Cột 1 xuất hiện duy nhất 1 lần trong chính cột 1

————– Người thực hiện: Nguyễn Văn Cương ————–

CánĐề
bộtài:
hướng
Mộtdẫn:
kết quả
TS. về
Nguyễn

bất đẳng
Vũ Lương
thức xoay
Cánvòng
bộ phản biện: TS