De thi + Dap an vao 10 Phu tho

Së GD & §T pHó THä
®Ị Sè 4

céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam
§éc lËp- Tù do- H¹nh phóc
-------------------------------

thi tun sinh vµo líp 10 ptth tØnh PHó THä n¨m häc 1998-1999
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót(kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị)
Ngµy thi: 1- 8-1998
Bµi 1: (2 điểm)
a.
Rót gän A = 4 + 2 3
b.

Rót gän

B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2

Bài 2: (2 điểm)

a
1   1
2 
 : 
−
+

Cho biểu thức K = 


 a −1 a − a   a + 1 a −1
a) Rút gọn K
b) Tính giá trò của K khi a = 3 + 2 2
c) Tìm các giá trò của a sao cho K < 0
Bài 3: ( 2 điểm)

 mx − y = 1
Cho hệ phương trình  x − y = 334
 2 3
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trò của m để hệ phương trình vô nghiệm

Bài 4: (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax và By. Qua 1
điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By tại E và F
a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp
b) AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì?
c) Vẽ MH ⊥ AB. MH cắt EB tại K. So sánh MK và KH
d) Cho AB = 2R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng
minh:
1
r
1
<
<
3
R
2

HÕt
Hä tªn thÝ sinh:.............................................
Sè b¸o danh:................................................

Bài giải:

Bµi 1a.

Rót gän A = 4 + 2 3

Bµi 1b. Rót gän B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bµi lµm:
B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30 2 + 8 + 2 8 + 1
= 13 + 30 2 + ( 8 + 1)2 = 13 + 30 2 + 8 + 1

= 13 + 30 2 + 2 2 + 1

= 13 + 30 ( 2 + 1)2 = 18 + 2 18.5 + 25 = ( 18 + 5)2 = 3 2 + 5
Bài 2:

a
1   1
2 
 : 
−
+

a) K = 

a

−
1
a
−
1
a
−
a
a
+
1





 

a −1

÷:  a + 1 ÷ = a − 1
K=
 a a − 1 ÷  a − 1 ÷
a



b) a = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 ⇒ a = 2 + 1

(

K=

3 + 2 2 −1
2 +1

)

=2

c) Với a > 0 ⇒ a > 0 . Do đó K =
Bài 3:

ĐK: a > 0; a ≠ 1

Vậy K < 0 ⇔ 0 < a < 1
 mx − y = 1
Xét hệ phương trình  x − y = 334
 2 3

a −1
a

<0 ⇔a–1<0 ⇔a<1

 x − y =1
x = 2002
⇔ 
a) Khi m = 1 ta có hệ phương trình: 
3x − 2 y = 2004

 y = 2001


Bài 4:

 mx − y = 1
 mx − y = 1
b)  x − y = 334 ⇔ 
3x − 2 y = 2004
 2 3
m 1
1
3
⇔m=
Hệ phương trình vô nghiệm khi
= ≠
3 2 2004
2
x

y

I

F
M

E
P

A

K

H

Q

O

B

·
·
a) EMO
= EAO
= 1V
⇒ AEMO nội tiếp trong đường tròn đường kính EO
·
b) EM = EA; OM = OA ⇒ OE là đường trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM ⇒ MPO
=
1V
·
Tương tự MQO
= 1V
·
Và AMB
= 1V (nội tiếp nửa đường tròn)
Tứ giác MPOQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

c)
Gọi I là giao điểm của BM và Ax ta có:
·
·
EA = EM suy ra EMA
= EAM
= EMI
·
·
⇒ EIM
⇒ EI = EM = EA
MH // IA nên theo đònh lý Thales ta có:


MK BK KH
=
=
mà EI = EA nên MK = KH
EI
BE EA
d) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta chứng minh được:
“Trong tam giác vuông cạnh huyền là a; cạnh góc vuông là b và c; đường cao là
h, bán kính
đường tròn nội tiếp là r thì a.h = r.(a + b + c) = 2.S”
Trong tam giác vuông EOF có: EF. OM = r.(OE + OF + EF)
EF. R = r.(OE + OF + EF)
r
EF
⇒
=

R OE + OF + EF
r
EF
EF 1
=
=
mà OE + OF > EF ⇒
<
R OE + OF + EF
2EF 2
r
EF
EF 1
=
=
mặt khác: OE + OF + EF < 3EF ⇒
>
R OE + OF + EF
3EF 3
1
r
1
Vậy <
<
3
R
2
Së GD & §T pHó THä
®Ị Sè 5

céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam
§éc lËp- Tù do- H¹nh phóc
-------------------------------

thi tun sinh vµo líp 10 ptth tØnh PHó THä n¨m häc 1998-1999
M«n thi : To¸n
Thêi gian lµm bµi: 150 phót(kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị)
Ngµy thi: 1- 8-1998
Bài 1: (2 điểm)

a.

Rót gän C = 13 − 160 − 53 + 4 90

b.

Rót gän G = 10 + 24 + 40 + 60

Bài 2: (2 điểm)
 3
2
. 6
−
a) Thực hiện phép tính: 

2
3


4x + 3y = 1

b) Giải hệ phương trình: 
 2x - 3y = 5

Bài 3: (2 điểm)


Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài120km. Mỗi giờ
2
ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai10km nên đến B trước ô tô thứ hai là giờ.
5
Tính vận tốc của mỗi xe
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường
tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH
c) Tứ giác BCFE nội tiếp
Bài 5: (1 điểm) Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau: P =
x2 + 1
x2 − x + 1

HÕt

Hä tªn thÝ sinh:.............................................
Sè b¸o danh:...........................................

Bài giải:
Bài 1:

a. Rót gän C
Bµi lµm:

= 13 − 160 − 53 + 4 90

C = 13 − 160 − 53 + 4 90 = 8 − 2 5.8 + 5 − 45 + 2 45.8 + 8
= ( 8 − 5 )2 − ( 45 + 8 )2 = 8 − 5 − 3 5 - 8 = −4 5
b. Rót gän G
Bµi lµm:

= 10 + 24 + 40 + 60

G = 10 + 24 + 40 + 60
= 2 + 3 + 5 + 2. 2 . 3 + 2. 2. 5 + 2. 3. 5
= ( 2 + 3 + 5)2 = 2 + 3 + 5


 3
2
. 6 = 2
−
Bài 2: a) 

2
3


4x + 3y = 1
 6x = 6
⇔

⇔
b) 
 2x - 3y = 5
4x + 3y = 5

 x =1

y = - 1
Bài 3: Gọi x(km/h) là vận tốc ô tô thứ nhất x > 10
x – 10 (km/h) là vận tốc ô tô thứ hai
120
Thời gian ô tô thứ nhất đi đến B là:
giờ
x
120
Thời gian ô tô thứ hai đi đến B là:
giờ
x - 10
120
120
2
Ta có phương trình:
–
=
x - 10
x
5
2
Biến đổi phương trình ta được: x – 10x + 3000 = 0
Giải phương trình ta có hai nghiệm: x1 = 60; x2 = –55 (loại)

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 (km/h)
Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 (km/h)
Bài 4: a) Ta có:
·
·
= HFC
= 1V (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
HEB
·
·
·
⇒ HEA
= HFA
= EAF
= 1V ⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Gọi O và O’lần lượt là trung điểm của HB và HC. Ta có:
O là tâm đường tròn đường kính HB và O’ là tâm đường tròn đường kính
HC
µˆ 2 = H
µˆ 2 ( ∆ OHE cân)
⇒E
µˆ 1 + E
µˆ 2 = H
µˆ 1 + H
µˆ 2 = 900
⇒E
µEˆ 1 = H
µˆ 1 ( ∆ IHE cân)
⇒ OE ⊥ EF
Vậy EF là tiếp tuyến của đường

A
tròn (O)
Chứng minh tương tự ta có EF là
tiếp tuyến của đường tròn (O’)
E
I
1 2
·
·
c) Ta có: EBC
= FAH
F
(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông
góc)
1
2
·
·
= AFE
( ∆ AIF cân)
FAH
C
O'
O
H
B ⇒·
mà
·
EBC = AFE
·

·
+ EFC
= 2V (kề bù)
AFE


·
·
⇒ EBC
+ EFC
= 2V. Vậy tứ giác BCFE nội tiếp

x2 + 1
P= 2
x − x +1

Bài 4:

2

3
 1
Ta có: x – x + 1 =  x -  + > 0 với mọi x
4
 2
2

(

)

2

3x 2 + 3
2 x 2 − x + 1 + x 2 + 2 x + 1 2 + ( x + 1)
2
≥
P=
=
=3
2
2
2
3 x − x +1
3
3 x − x +1
3 x − x +1

(

)

(

)

(

)

2
khi x + 1 = 0 ⇒ x = -1
3
2x 2 -2x+2-x 2 +2x-1 2 x 2 − x + 1 − ( x − 1) 2
( x − 1) 2 ≤
2
−
P=
=
=
2
x 2 -x+1
x2 − x +1
x2 − x +1
Giá trò lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Giá trò nhỏ nhất của P là

(

)