Lý thuyết cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ LOAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên nghành: Toán ứng dụng

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. TRẦN TRỌNG NGUYÊN

Hà Nội – 2015


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
trong khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

TRẦN THỊ LOAN

MỤC LỤC
CHƢƠNG 1....................................................................................................... 3
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................. 3
1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất .................................... 3
1.1.1 Biến ngẫu nhiên ................................................................................. 3
1.1.2 Các đặc trƣng của biến ngẫu nhiên ................................................... 3
1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất ................................................... 4
1.2 Một số khái niệm tài chính ...................................................................... 5
1.2.1 Tài sản ............................................................................................... 5
1.2.2 Danh mục .......................................................................................... 6
1.2.3 Lợi suất .............................................................................................. 6
1.3 Rủi ro tài chính ........................................................................................ 8
1.3.1 Khái niệm rủi ro ................................................................................ 8
1.3.2 Phân loại rủi ro .................................................................................. 9
1.4 Mô hình VaR ......................................................................................... 10
1.4.1 Khái niệm ........................................................................................ 10
1.4.2 Đặc điểm của VaR........................................................................... 11
1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết .................................................................... 12
1.4.4 Mô hình VaR thực hành ................................................................. 14
1.4.5 Phƣơng pháp hậu kiểm mô hình VaR ............................................. 17
CHƢƠNG 2..................................................................................................... 18
LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG .................................................... 18
2.1 Lý thuyết cực trị ..................................................................................... 18
2.2 Phƣơng pháp cực đại khối ..................................................................... 18
2.1.1 Định lý Fisher-Tippet và phân phối cực trị tổng quát ..................... 18
2.1.2 Ƣớc lƣợng mô hình cực trị tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại ..... 21
2.1.3 Mức lợi suất ..................................................................................... 22
2.2 Phƣơng pháp POT.................................................................................. 23
2.2.1 Giá trị vƣợt ngƣỡng và phân phối Pareto tổng quát ........................ 23

2.2.2. Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại . 25
2.2.3 Ƣớc lƣợng đuôi của phân phối tổn thất ........................................... 26
2.2.4 Sử dụng đồ thị Hill ƣớc lƣợng phi tham số cho chỉ số đuôi ........... 26
2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lƣờng VaR, ES ............................. 28
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, thị trƣờng tài chính thế giới đã chứng kiến
nhiều sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng
hoảng thị trƣờng chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trƣờng
trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là
cuộc khủng hoảng thị trƣờng vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng
hoảng tài chính và sụt giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tƣởng nhƣ hiếm
khi xảy ra nhƣng gần đây lại xảy ra thƣờng xuyên và có những ảnh hƣởng tiêu
cực cho thị trƣờng tài chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên
nhân chủ yếu là nghiệp vụ quản lý rủi ro chƣa đƣợc tốt. Do đó, việc nhận diện,
đo lƣờng và phòng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động
an toàn cho các tổ chức tài chính là một việc rất quan trọng.
Hiện nay, một số phƣơng pháp tham số thông thƣờng đo lƣờng rủi ro
nhƣ mô hình VaR. Các mô hình này áp dụng với chuỗi lợi suất có phân phối
chuẩn hoặc phân phối t– Student, tuy nhiên trong thực tế các chuỗi lợi suất
thƣờng không tuân theo hai phân phối này. Điều này khiến cho các tính toán
từ các mô hình tham số thông thƣờng không cho kết quả chính xác và hiệu
quả. Lý thuyết giá trị cực trị đánh giá mức độ tổn thất bằng cách xét các giá trị
tổn thất đạt cực trị trong chuỗi. Thay vì xét tính phân phối chuẩn của cả chuỗi
lợi suất ta chỉ cần xem xét các mức lợi suất đạt cực trị để chỉ ra rằng chuỗi
phân phối giá trị cực trị này gần với một phân phối Pareto. Lý thuyết giá trị

cực trị giúp ta khắc phục giả thiết khắt khe về phân phối của chuỗi thời gian
trong các phƣơng pháp đo lƣờng rủi ro thông thƣờng. Lý thuyết cực trị
(Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô tả đƣợc các biến cố
hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, ... những biến cố này xảy ra
thƣờng gây nên những hậu quả nghiêm trọng . Với mong muốn tìm hiểu về

1


vấn đề trên, em chọn đề tài “Lý thuyết cực trị và ứng dụng” làm đề tài tốt
nghiệp cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lƣờng rủi ro tài
chính
- Giới thiệu một vài mô hình đo lƣờng rủi ro.
- Xây dựng mô hình đo lƣờng rủi ro với những chuỗi lợi suất có phân
phối
- Sử dụng phần mềm S- Plus ƣớc lƣợng mô hình với bộ số liệu tỷ
giá cụ thể.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phần mềm sử dụng: Eview, S- Plus
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Là công cụ phân tích và đo lƣờng rủi ro tỷ giá đáng tin cậy và sát với
thực tế, giúp cho các nhà đầu tƣ có thể dễ dàng hơn trong việc quản trị rủi ro
và từ đó có thể đƣa ra quyết định đầu tƣ của mình
5. Nội dung đề tài
Đề tài gồm 2 chƣơng:
- Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị
- Chƣơng II: Lý thuyết cực trị và ứng dụng

2


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Cho (, F, P) là một không gian xác suất. Nếu X là
một ánh xạ đo đƣợc từ  vào

thì X đƣợc gọi là một biến ngẫu nhiên (hoặc

một đại lƣợng ngẫu nhiên).
Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên  sao cho
với mỗi x 

thì   : X    x F.

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X đƣợc
ký hiệu và xác định nhƣ sau: FX ( x)  P : X ()  x, x 

.

Nhƣ vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên
lớp các khoảng  , x  của đƣờng thẳng thực

. Để cho gọn ta sẽ ký hiệu

F ( x)  P( X  x), x 

1.1.2 Các đặc trƣng của biến ngẫu nhiên
1.1.2.1 Kỳ vọng
Kỳ vọng toán (hay giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên X là một số
thực, ký hiệu E(X) đƣợc xác định bởi:
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất:




i 1

i 1

P( X  xk )  pk thì E ( X )   xi P( X xi )   xi pi
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất thì


E( X ) 

 xf



3

x

( x)dx

1.1.2.2 Phƣơng sai
Định nghĩa1.3: Phƣơng sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực
không âm, ký hiệu D(X) đƣợc xác định bởi:
DX = E(X - E(X))2
Phƣơng sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trƣng cho mức độ phân
tán các giá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó
1.1.3.3 Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.4: Độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn là một đại
lƣợng thống kê mô tả dùng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu đã
đƣợc lập thành bảng tần số.
Có thể tính ra độ lệch chuẩn bằng cách lấy căn bậc hai của phƣơng sai.
  D( X )

Khi hai tập dữ liệu có cùng giá trị trung bình cộng, tập nào có độ lệch
chuẩn lớn hơn là tập có dữ liệu biến thiên nhiều hơn. Trong trƣờng hợp hai
tập dữ liệu có giá trị trung bình cộng không bằng nhau, thì việc so sánh độ
lệch chuẩn của chúng không có ý nghĩa.
1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất
1.1.3.1 Phân phối chuẩn N(µ, σ2)
1

( x   )2
1
2 2
e
Hàm mật độ chuẩn tổng quát p( x) 
với - < x < +
 2

Đƣờng cong mật độ này đối xứng qua đƣờng x = µ, nhận trục Ox làm tiệm
cận ngang và có giá trị cực đại tại x = µ với tung độ cực đại là
Trƣờng hợp đặc biệt: ξ

N(0, 1). Khi đó hàm mật độ đƣợc ký hiệu là

 ( x) :
1 2x
 ( x) 
e
2

1
 2

2

với - < x < +

4


là hàm đối xứng qua trục tung, đồ thị có dạng hình chuông. Hàm phân phối

1
N(0, 1) đƣợc kí hiệu  ( x) 
2

x

e

t 2
2



1.1.3.2 Phân phối student hay phân phối t
Hàm mật độ của t xác định bởi:
 n 1 
n 1

  x 2  2
 2  1
p ( x) 


n
n(n / 2) 

Hàm mật độ của phân phối t cũng là hàm đối xứng qua trục tung, dạng đồ thị
của nó cũng có dạng hình chuông rất giống hàm mật độ chuẩn .
Số nguyên n gọi là số bậc tự do của phân phối t.
Ta có kết quả sau: Nếu
X
1 n 2
 XI
n i 1

X 1 ,..... X n

độc lập, cùng phân phối N(0, 1) thì

có phân phối Student.

1.2 Một số khái niệm tài chính
1.2.1 Tài sản
Ta biết rằng khi định giá hàng hóa ngƣời ta thƣờng thực hiện phân tích
cung cầu về hàng hóa này. Phân tích cung tập trung vào phân tích chi phí,
doanh thu biên.... Phân tích cầu đề cập tới lợi ích... Tuy nhiên đối với tài sản
tài chính không thể phân tích và định giá theo cách thức trên mặc dù chúng
cũng là hàng hóa trên thị trƣờng. Lý do cơ bản là tài sản tài chính có các đặc
điểm riêng mà nhiều hàng hóa khác không có đó là:
- Tài sản có tính thanh khoản
- Tài sản có khả năng sinh lợi
- Việc nắm giữ tài sản luôn ẩn chứa rủi ro

5


Theo kinh tế tài sản là tất cả những gì có giá trị kinh tế mà con ngƣời
tích lũy đạt đƣợc từ quá trình phát triển của mình cùng với những tài nguyên
thiên nhiên hữu ích có giá trị kinh tế
1.2.2 Danh mục
Nhà đầu tƣ thƣờng tiến hành đầu tƣ theo danh mục nhằm đa dạng hóa
và giảm thiểu rủi ro. Một danh mục lại bao gồm nhiều tài sản do vậy thông tin
cần thiết ban đầu làm căn cứ để thiết lập danh mục bao gồm:
- Giá (lợi suất) của tài sản
- Mối liên hệ giữa giá của các tài sản có trong danh mục

1.2.3 Lợi suất
1.2.3.1 Lợi suất của tài sản
Trong phân tích, định giá tài sản ta quan tâm tới lợi suất tài sản vì :
- Lợi suất dễ phân tích và xử lý hơn so với giá
- Bản thân lợi suất cũng thể hiện đầy đủ thông tin về đặc điểm tài sản,
cơ hội đầu tƣ và hơn nữa lợi suất không phụ thuộc vào quy mô đầu tƣ.
Ta xét một tài sản trong một chu kì nắm giữ và gọi (t-1), t là thời điểm
đầu và cuối chu kì. Kí hiệu St 1 , St là giá của tài sản tại thời điểm tƣơng ứng.
Tùy thuộc vào tình huống ứng dụng cụ thể, chu kì tính toán có thể là ngày
(phiên giao dịch), tuần, tháng, quý, năm.... do trong năm các thị trƣờng sẽ
nghỉ vào các ngày cuối tuần, ngày lễ nên khi tính toán ngƣời ta thƣờng quy
ƣớc 1 năm tƣơng ứng với 255 (hoặc 250) ngày hoạt động (phiên giao dịch) và
50 tuần.
Lợi suất trong 1 chu kì [t-1, t] của tài sản kí hiệu là rt đƣợc định nghĩa
rt 

St  St 1
St 1

Lợi suất trong k chu kì kí hiệu là rt k  đƣợc định nghĩa:

6


rt  k  

St  St k
St k

Từ các định nghĩa trên ta suy ra

St  (1  rt ) St 1

(1.1)

St  (1  rt k )St k

(1.2)

Với công thức (1.1), (1.2) có thể thấy nếu biết các giá trị tại thời điểm trƣớc
(t-1 hoặc t-k) và lợi suất tài sản có thể tính giá tài sản tại thời điểm t
( thƣờng là thời điểm trong tƣơng lai). Cách này tƣơng tự nhƣ cách tính lãi
đối với khoản vay và lợi suất của tài sản có thể xem nhƣ lãi suất trong việc
nắm giữ tài sản.
Lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài sản
Nếu (t-1), t thời điểm hiện tại, tƣơng lai khi đó ta đã biết giá St 1 , nhƣng
không biết giá St nên St đƣợc xem nhƣ là biến ngẫu nhiên vì vậy lợi suất của
tài sản cũng là biến ngẫu nhiên.
Lợi suất kỳ vọng của tài sản trong 1 chu kỳ nắm giữ ký hiệu rt
do đó :

rt  E(rt )

nếu  2 là phƣơng sai của biến ngẫu nhiên rt khi đó độ lệch chuẩn  gọi là
độ dao động trong một chu kỳ của tài sản. Độ dao động càng cao thì mức độ
biến động của tài sản càng lớn do đó việc nắm giữ tài sản càng rủi ro vì vậy
có thể sử dụng độ dao động  của tài sản phản ánh mức độ rủi ro của tài sản
1.2.3.2 Lợi suất của danh mục P
Cho P : (w1 , w 2 ,...w n ) là danh mục lập từ N tài sản rủi ro và P đƣợc gọi là
danh mục khả thi ( danh mục có thể trao đổi trên thị trƣờng)

Xét danh mục khả thi P : (w1 , w 2 ,...w n ) ta có
Lợi suất của danh mục P:

7


N

rp   w i ri  (W ', r )
i 1

Trong đó : W’ là vectơ tỉ trọng của danh mục
Lợi suất kì vọng của danh mục P:
N

r p   w i r i  (W ', r )
i 1

Phƣơng sai của danh mục:
 p2  W'VW

Do V xác định dƣơng và W khác 0 nên phƣơng sai của danh mục luôn xác
định dƣơng do đó danh mục P thực sự có rủi ro
Độ dao động
Độ dao động của danh mục P:
 p  W'VW

1.3 Rủi ro tài chính
1.3.1 Khái niệm rủi ro
Trong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị nhƣ các vụ phá sản lớn,

các cuộc khủng hoảng trong kinh tế, tài chính và những cú sốc thị trƣờng ...
đƣợc nhiều ngƣời quan tâm, đặc biệt là các nhà đầu tƣ. Đây là lĩnh vực liên
quan đến quản lý rủi ro.
Nhƣ vậy với quy mô phát triển và xu hƣớng toàn cầu hóa, trong quá
trình vận hành, thị trƣờng tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định,
rủi ro. Để hỗ trợ công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phƣơng pháp tiếp
cận, công cụ phân tích định lƣợng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành.
Rủi ro có thể hiểu đơn giản là gắn với khả năng xảy ra một biến cố
không lƣờng trƣớc, biến cố mà ta hoàn toàn không biết chắc. Khi nói đến rủi
ro ngƣời ta thƣờng coi:
- Rủi ro là sự không chắc chắn hoặc các mối nguy hiểm

8


- Các kết quả thực tế chênh lệch so với dự báo
- Rủi ro là “mất mát, thƣơng tổn, sự bất lơi, sự hủy diệt, sự phá hoại”
Trong thực tế có hai quan niệm về rủi ro nhƣ sau:
Rủi ro chỉ liên quan đến thiệt hại - rủi ro không đối xứng: theo quan
điểm này thì rủi ro là những thiệt hại, mất mát, nguy hiểm hoặc các yếu tố
liên quan đến nguy hiểm, khó khăn hoặc điều không chắc chắn có thể xảy ra
cho con ngƣời.
Rủi ro liên quan đến cả thiệt hại và may mắn- rủi ro đối xứng: theo
quan điểm này rủi ro là khả năng sai lệch xảy ra giữa giá trị thực tế và kỳ
vọng kết quả; sai lệch càng lớn, rủi ro càng nhiều.
Trong lĩnh vực tài chính, rủi ro đƣợc quan niệm là hậu quả của sự thay
đổi, biến động không lƣờng trƣớc đƣợc của giá trị tài sản hoặc giá trị các
khoản nợ đối với các tổ chức tài chính và nhà đầu tƣ trong quá trình hoạt
động của thị trƣờng tài chính.
1.3.2 Phân loại rủi ro

Trong tài chính, rủi ro có thể xảy ra do nhiều nguyên nhân, tùy thuộc
vào nguyên nhân xảy ra rủi ro có thể phân loại các hình thức rủi ro tài chính
nhƣ sau:
- Rủi ro thị trƣờng: Rủi ro liên quan đến những thay đổi của những
nhân tố nhƣ lãi suất, giá cổ phiếu, giá hàng hóa và tỷ giá.
- Rủi ro hệ thống (Systematic Risk): Rủi ro liên quan đến toàn bộ thị
trƣờng hay toàn bộ nền kinh tế.
- Rủi ro kế toán: Rủi ro liên quan đến nghiệp vụ kế toán không phù hợp
với một giao dịch, có thể xảy ra khi quy trình và quy định về kế toán thay đổi
hay chƣa đƣợc xây dựng.
- Rủi ro kinh doanh: Rủi ro liên quan đến hoạt động đặc trƣng của
doanh nghiệp.

9


- Rủi ro mô hình: Rủi ro liên quan đến việc sử dụng mô hình không
đúng hoặc không phù hợp, hoặc trong một mô hình tồn tại các sai số hoặc các
giá trị đầu vào không đúng.
- Rủi ro pháp lý (Regulatory Risk): Rủi ro xảy ra do các các giao dịch
không đúng pháp luật.
- Rủi ro quy mô: Rủi ro của một chiến lƣợc phòng ngừa rủi ro trong đó
nhà phòng ngừa rủi ro không biết đƣợc mình sẽ sở hữu hoặc bán bao nhiêu
đơn vị tài sản giao ngay.
- Rủi ro thanh toán: Rủi ro thƣờng gặp trong các giao dịch thanh toán
quốc tế, trong đó một công ty có giao dịch hai chiều đối với một đối tác khác
và gặp rủi ro là khoản thanh toán của mình đã đƣợc chuyển đi trong khi chƣa
nhận đƣợc khoản thanh toán của bên kia, điều này có thể do nguyên nhân phá
sản không thể thanh toán hay lừa đảo
- Rủi ro tín dụng: Rủi ro xảy ra do đối tác trong hoạt động tín dụng

không có khả năng thanh toán.
- Rủi ro hoạt động: Rủi ro phát sinh do con ngƣời hoặc do kỹ thuật gây
ra các sự cố.
Khi đề cập đến rủi ro tài chính ngƣời ta thƣờng quan tâm đến rủi ro thị
trƣờng, rủi ro thanh khoản và rủi ro tín dụng. Trong khuôn khổ đề tài này, ta
sẽ xét tới rủi ro thị trƣờng
1.4 Mô hình VaR
1.4.1 Khái niệm
VaR của danh mục hay tài sản thể hiện mức độ tổn thất có thể xảy ra
trong một khoảng thời gian nhất định với mức độ tin cậy nhất định
Xác định VaR sẽ giúp các nhà hoạch định chính sách quản lý tốt hơn
hoạt động thị trƣờng, còn các nhà đầu tƣ, tổ chức tài chính ƣớc tính đƣợc
nguy cơ tổn thất tài chính của họ

10


Ví dụ 1.1: Một nhà đầu tƣ quyết đinh đầu tƣ một khoản tiền lớn vào
danh mục cổ phiếu châu Âu và tháng vừa rồi giá trị dang mục này đã giảm
xuống 50000USD. Sau khi khảo sát nguyên nhân dẫn tới sụt giảm lợi nhuận,
anh ta muốn biết mức độ tổn thất tối đa vào cuối tháng này. Câu trả lời ngay
lập tức là anh ta có thể mất hết khoản tiền đầu tƣ, nhƣng câu trả lời này không
phù hợp với thực tế vì ai cũng biết trƣờng hợp thiệt hại lớn này hiếm khi xảy
ra. Câu trả lời thích hợp là “ nếu không tồn tại trƣờng hợp đặc biệt, thì tổn thất
tối đa trong 5% các trƣờng hợp sẽ không vƣợt quá 4000USD vào cuối tháng
này”. Đó là khái niệm của VaR.
Trong quản trị rủi ro tài chính, VaR là một giá trị sử dụng rộng rãi đo
độ rủi ro mức độ tổn thất trên một danh mục tài sản tài chính nhất định. Cho
một danh mục, xác suất và khoảng thời gian không đổi, VaR đƣợc định nghĩa
nhƣ một giá trị ngƣỡng sao cho xác suất để tổn thất danh mục trong khoảng

thời gian nhất định không vƣợt quá giá trị này là một số  cho trƣớc
1.4.2 Đặc điểm của VaR
Đối với nhà đầu tƣ thì VaR của một danh mục tài sản tài chính phụ
thuộc vào thông số quan trọng sau đây:
- Độ tin cậy
- Khoảng thời gian đo lƣờng VaR
- Sự phân bố lời/lỗ trong khoảng thời gian đo lƣờng VaR
Đƣờng phân bố khoản lời lỗ của danh mục đầu tƣ thể hiện qua thông số
quan trọng nhất và khó xác định nhất. Vì mức tín nhiệm phụ thuộc vào khả
năng chịu đựng rủi ro của nhà đầu tƣ, nếu mức tín nhiệm này càng quan trọng
thì VaR càng cao. Nói cụ thể, nếu nhà đầu tƣ sợ rủi ro thì họ sẽ hoạch định
một chiến lƣợc nhằm giảm xác suất xảy ra các trƣờng hợp xấu nhất.

11


1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết
1.4.3.1 Dẫn suất mô hình
Giả sử rằng một nhà đầu tƣ quyết định đầu tƣ một danh mục tài sản P.
Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tƣ là Vt. Sau một khoảng thời gian
t, tức là tại thời điểm k = t + t thì giá trị của danh mục đầu tƣ là Vk
k
Vt

Vk

t

t+k

Hình 1:Biểu diễn thay đổi giá trị tài sản sau khoảng thời gian
Khi đó, giá trị V(k) = Vk – Vt cho biết sự thay đổi giá trị của danh
mục P trong khoảng thời gian t. V(k) gọi là hàm lỗ - lãi (Profit&Loss –
P&L(k)) k chu kỳ của danh mục. Ta nhận thấy:
- Nhà đầu tƣ ở vị trí “trƣờng” đối với P sau chu kỳ k nếu V(k) < 0
(P&L(k) < 0) sẽ bị tổn thất.
-Nhà đầu tƣ ở vị trí “đoản” đối với P sau chu kỳ k nếu V(k) > 0
(P&L(k) > 0) sẽ bị tổn thất.
Ta thấy Vk là biến ngẫu nhiên nên P&L(k) cũng là biến ngẫu nhiên. Gọi
Fk(x) là hàm phân bố xác suất của P&L(k) và cho 0 < α < 1. Khi đó ta có
P(P&L(k) ≤ xα) = α và giá trị xα gọi là “Phân vị mức α” của hàm phân bố Fk.
Với α khá nhỏ thì xα < 0 do đó P&L(k) < 0 tức là nhà đầu tƣ trƣờng vị sẽ bị
tổn thất. Xét Pr(P&L(k) xα), ta có
Pr(P&L(k) xα) = 1 - Pr(P&L(k) ≤ xα) = 1 - α do đó với α khá nhỏ thì
P&L(k) > 0 tức là nhà đầu tƣ đoản vị sẽ bị tổn thất.

12


y
y=f(x)

x


x
Hình 2: Biểu diễn mức phân vị

Xem xét nhà đầu tƣ ở vị thế trƣờng vị, khi tức là nhà đầu tƣ sẽ chịu tổn
thất. P( ≤ xα) = α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tƣ chịu tổn thất dƣới mức x α

(xα <0) là α.
Ngƣợc lại, nhà đầu tƣ ở vị thế đoản vị, tức là nhà đầu tƣ sẽ chịu tổn
thất. P( xα) = 1 - P( ≤ xα) = 1 - α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tƣ chịu mức
tổn thất trên mức xα (xα >0) là 1- α.
Đứng trên cả hai vị thế cho nhà đầu tƣ, khi nhà đầu tƣ chịu tổn thất tức
là giá trị danh mục sụt giảm (giá trị âm). Trong cả hai trƣờng hợp trên, α đƣợc
cho nhƣ xác suất để mức tổn thất không vƣợt quá giá trị âm này. Ngƣỡng giá
trị âm này chính là VaR. Nhƣ vậy VaR của một danh mục với chu kỳ k và độ
tin cậy (1-α) là mức phân vị α của hàm phân bố Fk(x). Đại lƣợng này đƣợc ký
hiệu là VaR(k, α) và mang giá trị âm.
Nhƣ vậy ta có P( ≤ VaR(k, α)) = α. Điều này cho thấy rằng, một nhà
đầu tƣ nắm giữ danh mục P thì sau một chu kỳ k, với độ tin cậy (1- α)100%,
nhà đầu tƣ có khả năng tổn thất một khoản sẽ bằng trong điều kiện hoạt động
bình thƣờng.
1.4.3.2 Mô hình Var
VaR của một danh mục ( hoặc của một lƣợng tài sản ) với chu kỳ k(
đơn vị thời gian ) và độ tin cậy ( 1- α)100% là phân vị mức α của hàm

13

(x).


Ta ký hiệu đại lƣợng này là VaR( k, α) và dấu âm của VaR biểu thị tổn thất
hay thua lỗ.
Ta có: Pr( P

(k) VaR( k, α) = α

Ý nghĩa của VaR( k, α): Nhà đầu tƣ nắm giữ danh mục P sau chu kỳ k,

với độ tin cậy ( 1- α)100% khả năng tổn thất 1 khoảng bằng | VaR( k, α) |
trong điều kiện thị trƣờng hoạt động bình thƣờng.
Độ chính xác của ƣớc lƣợng VaR phụ thuộc vào các yếu tố:
- Giá trị hiện tại của danh mục
- Mức độ tin cậy định trƣớc (α)
- Chu kỳ tính (k)
- Số liệu và phƣơng pháp sử dụng để tính
Ví dụ 1.2: Ngân hàng JP Morgan trong báo cáo tài chính năm 1994 có
công bố: VaR(1 ngày, 5%) là 15 triệu USD. Nhƣ vậy với xác suất 5%, trong
một ngày toàn hệ thống của JP Morgan có khả năng thua lỗ là 15 triệu USD.
Chú ý: Trong thực tế, theo tiêu chuẩn quốc tế:
- Nếu chu kỳ tính k = 1 ngày thì α = 1% hoặc 5%.
- Nếu chu kỳ tính k = 10 ngày thì α = 1%
Ta có lợi suất danh mục trong chu kỳ k:
rt 

P & L(k )
suy ra P&L(k) = rtVt.
Vt

Do Vt đã biết nên để tính VaR của danh mục ta cần tính VaR của lợi
suất rt.
1.4.4 Mô hình VaR thực hành
1.4.4.1 Mô hình VaR tham số
Mô hình VaR sử dụng phổ biến với lợi suất thƣờng giả định lợi suất
danh mục (hoặc tài sản ) có phân phối chuẩn do đó chỉ cần sử dụng hai tham
số : kỳ vọng

và độ lệch chuẩn VaR tham số

14


a, Mô hình VaR đối với lợi suất tài sản
Giả thiết: chuỗi lợi suất (theo ngày) của tài sản: r t là chuỗi dừng và có
phân bố chuẩn.
Nhƣ vậy rt

N (  ,  2 ) suy ra

rt  



N (0,1) . Ta có công thức VaR:

VaR(1 ngày, (1 - )) =  + N-1()
Chú ý:
Với : 1%, 2,5%, 5% ta có N-1(0,01) = -2,33 ; N-1(0,025) = -1,96 ;
N-1(0,05) = -1,65.
Ví dụ 1.3: Nhà đầu tƣ nắm giữ một khối liệu cổ phiếu A có giá trị hiện
tại Vt = 100 triệu đồng, lợi suất (1 ngày) có phân bố chuẩn rt ~ N(, 2)
với  = 3% . Với mức ý nghĩa  = 5%. Hãy tính VaR của lƣợng cổ phiếu A
và giải thích ý nghĩa.
Giải :
Lợi suất trong một ngày thƣờng khá nhỏ nên ta sẽ giả định  = 0.
Ta có VaR của lợi suất: VaR (1 ngày, 5%) = -1,65*0,03 = -0,0495
Suy ra VaR của danh mục :
VaR (1 ngày, Vt, 5%) = VaRLợi suất (1 ngày, 5%)*Vt = (-0,0495)*100 = -4,95
(triệu đồng)

Vậy sau 1 ngày với xác suất 5% khả năng nhà đầu tƣ có thể lỗ là 4,95
triệu đồng.
b, Mô hình VaR đối với danh mục
Cho danh mục P : (w1, w2, …, wN) với lợi suất các tài sản trong danh
N

mục ri ~ N(,  ) với i = 1  N. Ta đã biết : rp   w i .ri ; rp 
2

i 1

 p2  W1.V .W vì vậy lợi suất của danh mục rp

 w .r
i 1

i i

;

N (rp ,  p2 ) . Từ đây tƣơng

tự nhƣ cách tính đối với tài sản ta tính đƣợc VaR của danh mục:

15

N


VaRrp (1 ngày, (1 - )) =  p  N 1 ( ) p .

Chú ý :
Nếu xét danh mục P dƣới dạng giá trị : P : x = (x1, x2, ..., xN) với xi là
tài sản khoản tiền đầu tƣ vào tài sản i, khi đó P&L(k) sẽ là :
N

P & L(k )   ri .xi
i 1

Với giả thiết lợi suất các tài sản trong danh mục
ri

N (  ,  i2 ) ; i = 1 N

suy ra :

P & L(k )

N (  P & L ,  P2 & L )

N

Trong đó

P& L   xi .ri ;  P2& L  x 'Vx
i 1

Ta có công thức VaR :
1
1/2
VaR (1 ngày, (1 - )) = P&L  N 1 ( )* p =  P & L  N ( ) *( x 'Vx)

Với chu kỳ 1 ngày, đại lƣợng P&L khá nhỏ nên trong thực tế ta có thể bỏ
qua. Khi này công thức VaR sẽ là :
VaR (1 ngày, (1 - )) = N-1()*(x ’Vx)1/2
Vì có liên quan tới ma trận hiệp phƣơng sai V nên công thức trên còn
gọi là mô hình Covariance VaR. Đối với danh mục ngoài các tham số , 
còn phải ƣớc lƣợng ma trận hiệp phƣơng sai V. Các phƣơng pháp ƣớc lƣợng
khác nhau tạo ra mô hình VaR khác nhau về tên gọi.
1.4.4.2 Mô hình VaR phi tham số
Trong trƣờng hợp không biết đƣợc phân bố xác suất của chuỗi lợi suất
rt , sử dụng số liệu quan sát của rt và các phƣơng pháp nhƣ: mô phỏng, mô
hình kinh tế lƣợng, mô hình giá trị cực trị để:

16


- Ƣớc lƣợng phân bố xác suất
- Ƣớc lƣợng phân vị
Các mô hình ƣớc lƣợng VaR theo cách này gọi là mô hình VaR phi
tham số
1.4.5 Phƣơng pháp hậu kiểm mô hình VaR
Theo hiệp định Basle 2, năm 1996 của BIS khuyến cáo các tổ chức tài
chính có thể xây dựng cá mô hình VaR riêng của mình để ƣớc lƣợng P&L
dùng trong quản trị rủi ro nhƣng phải thƣờng xuyên hậu kiểm tính chuẩn xác
của mô hình . BIS khuyến cáo quy định sử dụng số liệu trong thực tế ít nhất
250 ngày gần nhất với mức ý nghĩa là 1%.
Các bƣớc thực hiện hậu kiểm:
Bƣớc 1: sử dụng công thức VaR(P&L) tính (P&L) từng ngày của tài
sản (P&L theo lý thuyết của VaR). Chú ý tính VaR(P&L) ta phải sử dụng giá
trị thực tế của tài sản trong ngày trƣớc đó

Bƣớc 2: tính (P&L) thực tế từng ngày.
Bƣớc 3: so sánh P&L lý thuyết và thực tế của từng ngày để tìm số P&L
thực tế vƣợt qua P&L lý thuyết.

17


CHƢƠNG 2
LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Lý thuyết cực trị
Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) hay còn gọi là lý thuyết các biến cố hiếm
những biến cố ít xảy ra nhƣng khi xảy ra lại gây hậu thiệt hại rất lớn. Những
biến cố này thƣờng tập trung ở phần đuôi của phân phối và không đƣợc thể
hiện rõ ràng trên đồ thị.
Lý thuyết giá trị cực trị ra đời tập trung vào việc mô hình hóa phần đuôi
của phân phối thua lỗ bằng việc chỉ sử dụng những giá trị cực trị thay vì sử
dụng toàn bộ dữ liệu. Ngoài ra EVT còn cung cấp một ƣớc lƣợng tham số của
phân phối đuôi, điều này cho phép đƣa ra suy luận ngoài tập dữ liệu
EVT tập trung vào phân phối giới hạn tỉ suất sinh lợi cực trị đƣợc quan
sát trong một thời kì dài, và chỉ phụ thuộc vào sự phân bố của chính tỉ suất
sinh lợi đó. Hai mô hình chính của EVT là :
+ Mô hình cực đại khối -Block maxima model
+Mô hình đỉnh vƣợt ngƣỡng- Peak over threshold (phƣơng pháp POT)
Mô hình POT đƣợc cho là hữu ích trong ứng dụng thục tiễn vì nó sử
dụng dữ liệu tại các giá trị cực trị hiệu quả hơn.
Mô hình POT đƣợc dựa trên phân phối Pareto tổng quát(GPD)
2.2 Phƣơng pháp cực đại khối
2.1.1 Định lý Fisher-Tippet và phân phối cực trị tổng quát
Cho X1 , X2 … là các biến ngẫu nhiên đại diện cho rủi ro hoặc tổn thất
chƣa biết dạng hàm phân phối tích lũy F(x), ta có F (x) = Pr{Xi ≤ x}.

Ví dụ về Xi có thể là khoản lỗ hay lợi nhuận âm trong tài sản tài chính
hoặc danh mục đầu tƣ, tổn thất hoạt động, tiền bảo hiểm rủi ro và tổn thất tín

18


dụng. Ở đây, một tổn thất đƣợc coi là một số dƣơng và các tổn thất tiêu cực
có giá trị ở phần đuôi bên phải của phân phối tổn thất F.
Đặt Mn = Max (X1,X2 ..., Xn) là tổn thất lớn nhất trong một mẫu có tổn
thất. Một phần quan trọng của lý thuyết giá trị cực tập trung trên sự phân bố
của Mn . Từ giả thiết về biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, hàm phân
phối tích lũy của Mnlà: Pr M n  x  Pr  X1  x,.... X n  x  i1 F ( x)  F n ( x)
n

Fn(x) đƣợc giả định là chƣa biết và hàm phân phối thực nghiệm thƣờng
cho ƣớc lƣợng chệch của Fn(x). Một tiệm cận gần đúng của Fn(x) dựa trên
định lý Fisher-Tippet (Fisher and Tippett, 1928) đƣợc sử dụng để đƣa ra kết
luận cho Mn. Hơn nữa, nếu

Fn(x) → 0 hoặc 1 khi n → ∞ và x cố định, tiệm

cận gần đúng tạo ra bằng cách chuẩn hóa giá trị tối đa

Zn 

M n  n

n

Trong đó: σn > 0 và μn là chuỗi các số thực, σn đƣợc giải thích nhƣ một

thƣớc đo quy mô và μn đƣợc hiểu nhƣ là thƣớc đo vị trí. Định lý Fisher-Tippet
nói rằng nếu Zn hội tụ tới 1 hàm phân phối không suy biến, nó là phân phối
cực trị tổng quát của mẫu:

exp  1   z
H ( z)  
exp  exp( z )

1
z

 = 0, - < z <+

Nếu Zn hội tụ đến H  (z) thì hàm phân phối tích lũy của cơ sở dữ liệu
nằm trong miền của H  . Định lý Fisher-Tippet tƣơng tự nhƣ định lý giới hạn
trung tâm cho các giá trị cực trị. Trong khi định lý giá trị trung tâm áp dụng
cho các phép toán bình thƣờng của biến ngâu nhiên thì định lý Fisher- Tippet
áp dụng với các cực đại đã chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên. Các tham số  là
tham số hình dạng xác định đuôi của H  . Tham số α = 1/ đƣợc gọi là chỉ số
đuôi nếu  > 0.

19


Các hành vi đuôi của phân phối F của các dữ liệu cơ sở xác định hình
dạng tham số của phân phối cực trị tổng quát:
+ nếu đuôi của F giảm theo cấp số nhân,

thuộc loại Gumbel và

 = 0. các phân phối thuộc loại Gumbel là phân phối đuôi mỏng bình thƣờng.
Đối với phân phối này, tất cả moment thƣờng tồn tại.
+ Nếu đuôi của phân phối F giảm nhƣ hàm lũy thừa :


1


1- F(x) = x L(x) đối với một số hàm biến thiên chậm L(x). H  thuộc kiểu
Fr’echet và  >0. Các phân phối thuộc loại Fr'echet bao gồm phân phối đuôi
dày nhƣ Pareto, Cauchy, t- student , phân phối α ổn định với số mũ đặc trƣng
trong khoảng (0,2). Không phải tất cả các moment của phân phối thuộc loại
khi k > α = 1/  .

này đều hữu hạn. Trong thực tế E[Xk] =

+ Cuối cùng, nếu đuôi của F là hữu hạn thì H  thuộc loại Weibull,
phân phối thuộc loại Weibull bao gồm phân phối có giới hạn đƣợc hỗ trợ nhƣ
phân phối đều và phân phối beta. Tất cả các phân phối này đêu tồn tại
moment.
Định lý Fisher-Tippet áp dụng với các biến ngẫu nhiên cùng phân phối.
Tuy nhiên phân phối giá trị cực trị có thể cho phân phối giới hạn đúng cho
việc tính toán các giá trị cực đại từ chuỗi thời gian tĩnh bao gồm quá trình
GARCH tĩnh.
Phân bố giá trị cực trị H  (z) đặc trƣng cho phân phối giới hạn của cực
đại chuẩn hóa Zn. Nó chỉ ra rằng phân phối giá trị cực trị là không thể chuyển
đổi vị trí và quy mô sao cho μ và σ > 0.

H ( z)  H (

x

n

20

)  H  , , ( x)


Định lý Fisher-Tippet sau đó có thể đƣợc giải thích nhƣ sau:
Với n đủ lớn thì:
 M  n 
Pr Z n  z  Pr  n
  H ( z )
z
n



Đặt xn   n z  n thì:

Pr M n  z  H  , , (

x  n

n

)  H  , , ( x)

Kết quả này đƣợc sử dụng trong thực tế để làm kết luận về tổn thất tối đa Mn.

2.1.2 Ƣớc lƣợng mô hình cực trị tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại
Phân bố cực trị tổng quát phụ thuộc vào ba thông số: hình dạng tham số
ɛ và các hằng số chuẩn hóa và . Các tham số này có thể đƣợc ƣớc tính bằng
cách sử dụng ƣớc lƣợng hợp lý cực đại (MLE). Cho X1…XT có cùng phân
phối tổn thất đƣợc lấy từ mẫu có kích thƣớc T với hàm phân phối tích lũy
chƣa biết và MT biểu thị kích thƣớc mẫu tối đa.
Để tính đƣợc MT ta phải tính đƣợc các thông số ɛ . Vì chỉ có duy nhất
một MT đƣợc tạo ra từ mẫu nên nó không thể là một hàm của ɛ

.. Tuy

nhiên nếu lợi suất vƣơt quá mức tối đa của X trên một mẫu lớn hữu hạn hoặc
n< T, Mn thì một phƣơng pháp lấy mẫu phụ có thể đƣợc sử dụng để tạo thành
hàm cho các thông số ,

 , σn và μn của phân phối GeV đối với Mn. Để làm đƣợc

điều này, mẫu đƣợc chia thành phần bằng nhau có kích thƣớc n = T / m
[X1, . . . , Xn|Xn+1, . . . , X2n| . . . |X(m-1)n1, . . . , Xmn]
M n( j ) là giá trị lớn nhất của Xj với j = 1, 2….m.

Cho X1…XT có cùng phân phối tổn thất đƣợc lấy từ mẫu có kích
là giá trị lớn nhất của Xj với j = 1, 2….m..
Hàm xác suất cho các tham số ɛ σn và μn của phân phối GeV đƣợc xây

21


dựng từ mẫu gồm dãy M n(1) ....M n( m) . Giả thiết dãy có kích thƣớc n đủ lớn thì
định lý Fisher-Tippet đƣợc thỏa mãn.

Hàm log hợp lý giả định các quan sát là biến ngẫu nhiên độc lập của
phân phối GeV với ɛ  0 là:
1/ 

M n( j )    m   M n( j )    
l ( ,  ,  )  m ln( )  (1  1/  ) ln 1   (
)    1  
 

i 1

 i 1   
 
m

Hàm log hợp lý cho trƣờng hợp ɛ = 0 ( loại Gumbel) là
m

l (  ,  )  m ln    (

M n( j )  



i 1

m

)   exp(

M n( j )  

i 1



)

Vơi ɛ > -0.5 các ƣớc lƣợng hợp lý cực đại cho μ,ϭ và ɛ đồng nhất và
tiệm cận với phân phối chuẩn với phƣơng sai tiệm cận đƣợc cho bởi nghịch
đảo của ma trận quan sát. Giới hạn mẫu của MLE phụ thuộc vào dãy m và
kích thƣớc n. Sai lệch của các MLE đƣợc giảm bằng cách tăng kích thƣớc n,
và phƣơng sai của các MLE đƣợc giảm bằng cách tăng m.
2.1.3 Mức lợi suất
Cho α

( 0, 1) thì 100. α% quantile của một phân phối liên tục với hàm

phân phối F là giá trị q sao cho:

q  F 1 ( )
Thƣớc đo rủi ro liên quan tới các quantile cao này đƣợc gọi là mức lợi
suất. Rn,k đƣợc định nghĩa là mức vƣợt ngƣỡng thứ k có kích thƣớc n. R n,k
thỏa mãn:
Pr{ Mn > Rn,k } = 1/k
Rn,k đƣợc tính đơn giản là 1 – 1/k quantile của phân phối:
Rn,k


 H    (1  1/ k )   


1

, ,


 
1  
1    log(1  )  
k  
 

Bằng thuộc tính bất biến của các ƣớc lƣợng hợp lý cực đại, với các tham số

22