Nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN

TRẦN THỊ LOAN

NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC
TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2014


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm cơ bản về thang thời gian . . . . . . .
1.2 Nhị phân mũ của phương trình vi phân và sai phân
1.3 Nhị phân mũ trên thang thời gian . . . . . . . . . .
1.4 Bổ đề Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Nhị
2.1
2.2

Kết

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

ii
iii
1
1
9
9
17

phân mũ trên thang thời gian
20
Nhị phân mũ trên thang thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . 20
Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Tài liệu tham khảo

36

i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong
thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,
thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi
người.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy
đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những
người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao
học.
Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện
các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng
hộ tôi vô điều kiện.

ii


Lời nói đầu
Nhị phân mũ của phương trình tuyến tính không ôtônôm là khái niệm suy
rộng của tính hyperbolic của phương trình tuyến tính ôtônôm. Nhị phân mũ
đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán của lý thuyết các hệ động lực
không ôtônôm, chẳng hạn bài toán nhiễu.
Nhị phân mũ của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong sách [3,5]. Nhị
phân mũ của phương trình sai phân có trong chẳng hạn [4] và [6, mục 7.6]. Cả
hai khái niệm trên đều được thống nhất trong Phép tính trên thang thời gian

(xem trong [7,12,13]). Phép toán này cho phép đồng thời nghiên cứu phương
trình vi phân, phương trình sai phân như các trường hợp riêng của phương trình
động lực trên thang thời gian (xem [2]).
Xét hệ tuyến tính
x∆ = A(t, q )x,

(1)

x∆ = B (t)x

(2)

và hệ tuyến tính

trong đó, t ∈ T, A(., q ) ∈ Crd (T, L(X )). Với giả thiết hệ (1) có nhị phân mũ phụ
thuộc tham số q , ta đưa thêm một vài điều kiện để hệ (2) có nhị phân mũ.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ ra một kết quả nhiễu cho phương trình động
lực tuyến tính phụ thuộc tham số trên thang thời gian trong không gian Banach
tùy ý. Ứng dụng chính của kết quả trên là tính vững của nhị phân mũ của hệ
với hệ số toán tử biến đổi chậm: nghĩa là nếu giả sử rằng phương trình tuyến
.

tính phụ thuộc tham số x = A(t, q )x có nhị phân mũ đều với tham số q , sau đó
ta thay thế giá trị q bởi hàm q∗ (t) biến đổi chậm theo thời gian. Khi đó phương
.
trình x = A(t, q∗ (t))x cũng có nhị phân mũ. Đây chính là điều kiện đủ đặt lên
hệ số toán tử để phương trình động lực có nhị phân mũ.
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các kỹ thuật cơ bản của phương
trình động lực trên thang thời gian, tính bị chặn của hệ số toán tử, và xây dựng
hệ tuyến tính phụ thuộc tham số trên thang thời gian có nhị phân mũ. Nội dung

chính của luận văn dựa trên bài báo [C. Poetzsche, Exponential Dichotomies
of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying Coefficients, J. Math. Anal. Appl., 289 (2004), 317–335.]
Luận văn được chia thành hai chương
Chương 1: trình bày các khái niệm cơ bản trên thang thời gian, nhị phân mũ
iii


trên không gian hữu hạn chiều, nhị phân mũ trên thang thời gian và bất đẳng
thức Gronwall.
Chương 2: chứng minh hệ tuyến tính nhiễu có nhị phân mũ với giả thiết hệ
tuyến tính ban đầu phụ thuộc tham số có nhị phân mũ. Đây chính là mục đích
chính của luận văn.
Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót.
Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng
nghiệp.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Trần Thị Loan

iv


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản trên thang
thời gian, nhị phân mũ trong không gian hữu hạn chiều, bổ đề Gronwall. Qua
đó đưa ra khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian.

1.1

Các khái niệm cơ bản về thang thời gian

Gọi X là không gian Banach thực hoặc phức với chuẩn . ; L(X ) là không
gian tuyến tính các tự đồng cấu liên tục trên X với chuẩn xác định bởi
T := sup

x =1

Tx .

Kí hiệu GL(X ) là tập các đẳng cấu tuyến tính trên X và IX là ánh xạ đồng nhất
trên X .
Định nghĩa 1.1. Thang thời gian T là tập con đóng, khác rỗng tùy ý của tập
số thực R.
Tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N và tập số nguyên dương
N0 , ... là các thang thời gian. Tập các số hữu tỷ, các số vô tỷ, khoảng mở (0,1)...
không là thang thời gian.
Ta sẽ định nghĩa đạo hàm f ∆ của một hàm f xác định trên T sao cho
(i) f ∆ = f là đạo hàm thông thường nếu T = R.
(ii) f ∆ = ∆f nếu T = Z.
Các toán tử nhảy tiến và toán tử nhảy lùi trên thang thời gian mô phỏng
cách thời gian biến thiên trên thang thời gian.

1


Định nghĩa 1.2. Giả sử T là một thang thời gian. Với t ∈ T toán tử nhảy tiến
σ : T → T xác định bởi
σ (t) := inf {s ∈ T : s > t},

và toán tử nhảy lùi ρ(t) : T → T xác định bởi
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.

Nếu σ (t) > t ta nói t là điểm rời rạc phải và ρ(t) < t ta nói t là điểm rời rạc trái.
Những điểm vừa rời rạc trái vừa rời rạc phải gọi là điểm cô lập.
Nếu σ (t) = t ta nói t là điểm trù mật phải và ρ(t) = t ta nói t là điểm trù mật
trái.
Những điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi là trù mật.
Định nghĩa 1.3. Giả sử T có một điểm cô lập trái lớn nhất m, khi đó tập
Tκ = T − {m}. Do đó
Tκ =

T \ (ρ (supT) , supT)
T

nếu supT < ∞
nếu supT = ∞.

Định nghĩa 1.4. Ánh xạ µ : T → R+ xác định bởi µ(t) = σ (t) − t gọi là hàm hạt
graininess.
Ví dụ 1.1. (i) Nếu T = R thì với mọi t ∈ R
σ (t) = inf {s ∈ R : s > t} = inf (t, ∞) = t.

Tương tự ρ(t) = t.
Hàm graininess µ(t) = σ (t) − t = 0.
(ii)Nếu T = Z thì với mọi t ∈ Z
σ (t) = inf {s ∈ Z : s > t} = inf (t + 1, t + 2, t + 3...) = t + 1.

Tương tự ρ(t) = t − 1.
Hàm graininess µ(t) = σ (t) − t = 1.

Định nghĩa 1.5. (T, µ) là thang thời gian rời rạc nếu T = {tk }k∈Z , ∃ h0 , h > 0
sao cho
h0 ≤ µ(tk+1 , tk ) ≤ h,

2

k ∈ Z.

(1.1)


Với các số thực h0 , h > 0 và thang thời gian T thì Shh0 (T) là tập hợp tất cả
các thang thời gian rời rạc (T, µ) với T ⊆ T thỏa mãn (1.1). Ngoài ra ta nói
đó là một (h0 , h) - thang thời gian (T, ≤, µ) nếu với mỗi điểm t0 ∈ T thì tồn
tại tk , t−k ∈ T, k ∈ N thỏa mãn {tk }k∈Z ∈ Shh0 (T). Với bất kì thang thời gian mà
không bị chặn trên và dưới, hàm hạt graininess µ xác định, gọi là một (h0 , h) thang thời gian với h0 > 0 và h ≥ h0 + supt∈T µ(t).
Ví dụ 1.2. (i) R là một (h0 , h) - thang thời gian với 0 < h0 ≤ h.
(ii) Thang thời gian rời rạc hZ, h > 0 có σ (t) = t + h, µ(t) = h trên hZ và hZ là
một (h0 , h) - thang thời gian với h ≤ h0 ≤ h.
Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm f : T → R khả vi tại t ∈ Tκ . Khi đó với mọi ε > 0,
tồn tại một lân cận U của t sao cho
|[f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|,

s ∈ U.

(1.2)

Khi đó f ∆ (t) là đạo hàm của hàm f tại t. Kí hiệu là f ∆ (t).
df (t)
.

• Cho T = R thì f ∆ (t) =
dt
• Cho T = Z thì f ∆ (t) = f (t + 1) − f (t).

Ví dụ 1.3. (i) Giả sử f : T → R xác định bởi f (t) = α, t ∈ T, trong đó α ∈ R
là hằng số, khi đó f ∆ = 0. Bởi vì với mọi ε > 0,
|[f (σ (t)) − f (s)] − 0.[σ (t) − s] = |α − α|

= 0 ≤ ε|σ (t) − s|,

s ∈ T.

(ii) Giả sử f : T → R xác định bởi f (t) = t, t ∈ T, thì f ∆ = 1. Bởi vì với ∀ε > 0,
|[f (σ (t)) − f (s)] − 1.[σ (t) − s]| = |σ (t) − s − (σ (t) − s)|

= 0 ≤ ε|σ (t) − s|,

s ∈ T.

Định nghĩa 1.7. Ánh xạ φ : T −→ X được gọi là khả vi (tại t0 ∈ T), nếu tồn
tại duy nhất đạo hàm φ∆ (t0 ) ∈ X , sao cho với mọi ε > 0, khi đó
φ(σ (t0 )) − φ(t) − µ(σ (t0 ), t)φ∆ (t0 ) ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|,

với U là lân cận của t0 .
.
• Giả sử T = R thì φ∆ (t) = φ(t).
• Giả sử T = hZ, h > 0 do đó φ∆ (t) =

3

(φ(t + h) − φ(t)
h

.

∀t ∈ U


Định lý 1.1. Giả sử f : T → R là một hàm và t ∈ Tκ . Khi đó,
(i) Nếu f khả vi tại t, thì f liên tục tại t.
(ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải, thì f khả vi tại t với
f ∆ (t) =

f (σ (t)) − f (t)
.
µ(t)

(1.3)

(iii) Nếu t là điểm trù mật phải, khi đó hàm f khả vi tại t nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn
f (t) − f (s)
lim
.
(1.4)
s→t

t−s

Trong trường hợp này đạo hàm

f (t) − f (s)
.
s→t
t−s

f ∆ (t) = lim

(iv) Nếu f khả vi tại t, thì f (σ (t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t).
Định lý 1.2. Giả sử f, g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈ Tκ . Khi đó
(i) Tổng các hàm f + g : T → R cũng là hàm khả vi tại t với
(f + g )∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t).
(ii) Với bất kì hằng số α, αf : T → R khả vi tại t với
(αf )∆ (t) = αf ∆ (t).
(iii) Tích của các hàm f g : T → R cũng là hàm khả vi tại t với
(f g )∆ (t) = f ∆ (t)g (t) + f (σ (t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g (σ (t)).
(iv) Giả sử f (t)f (σ (t)) = 0, thì
1
f

(v) Giả sử g (t)g (σ (t)) = 0, thì
f
g

∆

1
f

khả vi tại t với
∆

=−

f ∆ (t)
.
f (t)f (σ (t))

f
cũng là hàm khả vi tại t với
g
f ∆ (t)g (t) − f (t)g ∆ (t)
=
.
f (t)f (σ (t))

4


Định nghĩa 1.8. Hàm f : T → R gọi là rd - liên tục nếu thỏa mãn
(i) Hàm f liên tục tại điểm trù mật phải t ∈ T.
(ii) Tồn tại hữu hạn lims→t− f (s) tại điểm trù mật phải t ∈ T.
Tập hợp các hàm rd - liên tục kí hiệu là Crd .
Chú ý 1.1. (i) Giả sử f : T → R. Khi đó
• Nếu hàm f liên tục, thì hàm f là rd - liên tục.
• Toán tử nhảy tiến σ là rd - liên tục.

(ii) Trên thang thời gian T = R, rd - liên tục nghĩa là liên tục, trên T = hZ, h > 0
do vậy mọi hàm là rd - liên tục.
Định nghĩa 1.9. Hàm p : T → R gọi là regressive nếu 1 + µ(t)p(t) = 0 với
∀t ∈ Tk và

R = {p : T → R, p ∈ Crd (T) : 1 + µ(t)p(t) = 0,
R+ = {p ∈ R : 1 + µ(t)p(t) > 0,

∀t ∈ Tκ },

∀t ∈ Tκ }.

Tập hợp các hàm quay ngược và rd - liên tục kí hiệu là R = R(T) = R(T, R).
Định lý 1.3. Giả sử hàm f ∈ Crd , và a, b ∈ T.
(i) Nếu T = R thì
b

b

f (t)∆t =
a

f (t)dt.
a

(ii) Giả sử T = Z thì
b

f (t)∆t =
a








t∈[a,b) µ(t)f (t)

0
−

t∈[b,a) µ(t)f (t)

nếu a < b
nếu a = b
nếu a > b.

(iii) Giả sử [a, b] chỉ gồm những điểm cô lập khi đó
 b−1

nếu a < b
 t=a f (t)
b
f (t)∆t = 0
nếu a = b

a

b−1
nếu a > b.
− t=a f (t)
Định nghĩa 1.10. Giả sử p ∈ R khi đó, ta định nghĩa hàm số mũ trên thang
thời gian như sau
t

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

ep (t, s) = exp

,

s

Ta có ea⊕b (t, s) = ea (t, s)eb (t, s),

t, s ∈ T (xem [7]).

5

t, s ∈ T.

(1.5)


Định lý 1.4. Hàm ep (t, s) có các tính chất sau
(i) Giả sử hàm p ∈ R khi đó ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), ∀τ, s, t ∈ T.
(ii) ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s).
(iii) Giả sử hàm p ∈ R+ thì ep (t, t0 ) > 0, với mọi t ∈ T.
(iv) Giả sử 1 + µ(t)p(t) < 0, t ∈ Tk thì ep (t, t0 )ep (σ (t), t0 ) < 0.
t
(v) Nếu T = R thì ep (t, s) = e s (p(τ ))dτ . Hơn nữa giả sử p là hằng số, dẫn đến
ep (t, s) = ep(t−s) .

(vi) Nếu T = Z thì ep (t, s) = Πτt−1

=s (1 + p(τ )). Hơn nữa giả sử T = hZ, h > 0 và p
là hằng số nên
(t−s)/h
ep (t, s) = (1 + hp)
.
Định lý 1.5. Giả sử các hàm p, q ∈ R. Khi đó ta có các công thức
(i) e0 (t, s) = 0 và ep (t, t) = 1.
1
= e p (t, s).
(ii)
ep (t, s)
1
(iii) ep (t, s) =
= e p (s, t).
ep (s, t)
(iv) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s).
ep (t, s)
(v)
= ep q (t, s).
eq (t, s)
Ngoài ra ta có một số kí hiệu sau.
N (T) := T−1 (0) là không gian nhân.
R(T) := TX là khoảng biến thiên của T.
Crd (T, X ) là tập các ánh xạ rd-liên tục từ T vào X .
Crd R(T, L(X )) := {A ∈ Crd (T, L(X )) : IX + µ(t)A(t) ∈ GL(X ), t ∈ T}

là tập hợp các ánh xạ quay ngược.
Crd R+ (T, R) := {a ∈ Crd (T, R) : 1 + µ(t)a(t) > 0, t ∈ T}

là tập hợp các nhóm quay ngược dương với phép toán

(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ( t)a(t)b(t),
(a(t) − b(t))
, t ∈ T.
(a b)(t) :=
(1 + µ(t)b(t))
Ta kí hiệu a := inft∈T a(t), a := supt∈T a(t).
6


Định nghĩa 1.11. Giả sử a, b : T → R, a

b khi và chỉ khi 0 < b − a .

Khi đó a ∈ Crd R+ (T, R) gọi là rời rạc bị chặn dưới nếu Γ(a) := 1 + µa > 0.
Trong phép cộng a gọi là rời rạc bị chặn trên nếu Γ(a) := 1 + µa < ∞.
Với a ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta có bất đẳng thức Becnuli
t

ea (t, τ ) ≥ 1 +

a

t, τ ∈ T.

τ

Với hằng số a(t) ≡ α ∈ Rµ(t) , t ∈ Tκ khi đó
ea (t, τ ) ≥ 1 + αµ(t, τ ),

t, τ ∈ T.

Với h > 0, ta định nghĩa số phức Hilger, trục số thực Hilger như sau
−1
}.
h
−1
Rh = {z ∈ R : z >
}.
h

Ch = {z ∈ C : z =

Ta định nghĩa phép biến đổi trụ.
Định nghĩa 1.12. ξh : Ch → Zh xác định bởi ξh (z ) =
phép biến đổi trụ.
Khi h = 0, ξ0 (z ) = z,

log (1 + zh)
, h > 0 gọi là
h

∀z ∈ C.

Nghịch đảo của phép biến đổi trụ ξ −1 : Zh → Ch xác định bởi ξh−1 =
−Π
Π
Trong đó Zh = {z ∈ C :
< Argz < }.
h

ezh − 1
.
h

h

Những công thức hàm số mũ khác trên thang thời gian có thể tìm trong [2].
Chúng ta kết thúc nội dung này với hai kết quả trên hàm mũ thực. Thứ nhất
ta xét hàm mũ trên tập con đóng bị chặn của T, thứ hai ta xét hàm mũ trên
thang thời gian khác.
Bổ đề 1.1. Giả sử số thực 0 < h0 ≤ h và các hàm a, b ∈ Crd R+ (T, R). Khi đó,
các hằng số
Ea− (h0 , h) :=

inf

h0 ≤µ(t,s)≤h

Eb+ (h0 , h) :=

ea (t, s),

7

sup
h0 ≤µ(t,s)≤h

eb (t, s)

thỏa mãn
(i) Giả sử 0 a, khi đó với C ∈ R tồn tại các số thực 0 < h0 ≤ h, µ ≤ h thỏa
mãn C ≤ Ea− (h0 , h).
(ii) Với b bị chặn trên thì Eb+ (h0 , h) < ∞.
Chứng minh. Xem [13, trang 115].
Bổ đề 1.2. Giả sử T = {tk }k∈T là thang thời gian rời rạc với T ⊆ T và c, d ∈
Crd R+ (T, R). Khi đó, c0 , d0 : T → R,
c0 (t) := ϑµ(t)

sup

ln(1 + µ(tk+1 , tk )c(tk ))
µ(tk+1 , tk )

d0 (t) := ϑµ(t)

inf

ln(1 + µ(tk+1 , tk )d(tk ))
µ(tk+1 , tk )

là quay ngược dương và thỏa mãn
ed (tk , tl ) ≤ ed0 (tk , tl )

ec (tk , tl ) ≤ ec0 (tk , tl ),

trong đó ec là hàm mũ thực trên T.
Chứng minh. Ta có
1 + µ(tn+1 , tn )c(tn ) = exp

ln(1 + µ(tn+1 , tn )c(tn )
µ(tn+1 , tn )
µ(tn+1 , tn )
tn+1

= exp
tn
tn+1

ln(1 + µ(tn+1 , tn )c(tn )
∆s
µ(tn+1 , tn )

sup

≤ exp

k∈Z
tn
tn+1

= exp

ln(1 + µ(tk+1 , tk )c(tk )
∆s
µ(tk+1 , tk )

ξµ(s) (c0 (s))∆s
tn

= ec0 (tn+1 , tn ),

n ∈ Z.

Do đó
k−1

ec (tk , tl ) =

(1 + µ(tn+1 , tn )c(tn ))
n=l
k−1

ec0 (tn+1 , tn ) = ec0 (tk , tl ),

≤
n=l

Bổ đề được chứng minh.
8

l ≤ k.

(1.6)


1.2

Nhị phân mũ của phương trình vi phân và
sai phân

Xét phương trình
x˙ = A(t)x

(1.7)

trong đó x ∈ Rd , A ∈ C (R, Rd ), t ∈ R và X (t, s) là nghiệm của (1.7).
Định nghĩa 1.13. Hệ (1.7) gọi là có nhị phân mũ α, K trên R nếu tồn tại phép
chiếu P (t), t ∈ R thỏa mãn
P (t)X (t, s) = X (t, s)P (s),

t, s ∈ R

|X (t, s)P (s)| ≤ Ke−α(t−s) ,

t≥s

|X (t, s)Q(s)| ≤ Keα(t−s) ,

t ≤ s, Q(t) = I − P (t),

trong đó α, K là các hằng số, α > 0, K ≥ 1.
Xét phương trình
x ∈ Rn , n ∈ Z.

xn+1 = An xn ,

(1.8)

Định nghĩa 1.14. Phương trình (1.8) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại

N ≥ 1, λ ≥ 0, họ phép chiếu Pn thỏa mãn

sup Pn < +∞,
n

Rn = ImPn ⊕ Im(IX − Pn )

sao cho
Φn,m Pm x ≤ N λn x ,
Φn,m

n ≥ m,

khả nghịch trên Im(IX − Pn ),

−n
Φ−1
x ,
n,m Pm x ≤ N λ

n ≤ m,

trong đó, xn = Φn,m xm là nghiệm của (1.8).

1.3

Nhị phân mũ trên thang thời gian

Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm nhị phân mũ trên thang
thời gian, tính bị chặn của toán tử dịch chuyển. Với phương trình động lực trên

9


thang thời gian chúng ta giả sử hệ số toán tử A không regressive (xem [2], [7]).
Xét phương trình động lực tuyến tính
x∆ = A(t)x,

(1.9)

với A ∈ Crd Tk , L(X ) và toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) ∈ L(X ) nghĩa là nghiệm
của phép toán tương ứng bài toán giá trị ban đầu.
X ∆ = A(t)X,

X (τ ) = IX ,

∀τ, t ∈ T, τ ≤ t.

Toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) trong trường hợp tổng quát không khả ngược và
chỉ tồn tại với τ ≤ t.
Phương trình (1.9) có
(i) c+ - tăng bị chặn (với hằng số C), nếu tồn tại một số thực C ≥ 1 và c ∈
Crd R+ (T, R) bị chặn trên thỏa mãn
ΦA (t, τ ) ≤ Cec (t, τ ), τ ≤ t.
(ii) (c, d) - tăng bị chặn (với hằng số C), nếu phương trình (1.9) có c+ - tăng bị
chặn, A ∈ Crd R+ (T, L(X )) và giả sử tại đó tồn tại d ∈ Crd R+ (T, R) bị chặn trên
thỏa mãn
ΦA (t, τ ) ≤ Ced (t, τ ), τ ≤ t.
Dễ thấy ΦA có các tính chất sau
ΦA (σ (t), t) = IX + µ(t)A(t),
ΦA (t, τ ) = ΦA (t, s)ΦA (s, τ ),

t ∈ T.

(1.10)

τ ≤ s ≤ t.

(1.11)

Chú ý 1.2. (i) Với điều kiện c bị chặn trên thì ta có thể chỉ ra rằng mọi hệ
(1.9) có c+ - tăng bị chặn ( xem [1]).
(ii) Trên thang thời gian rời rạc thì hệ (1.9) có c+ - tăng bị chặn với một số c
nào đó nếu và chỉ nếu A bị chặn.
Định nghĩa 1.15. Ánh xạ P : T → L(X ) gọi là phép chiếu bất biến của phương
trình (1.9) nếu thỏa mãn
P 2 (t) = P (t),

P (t)ΦA (t, τ ) = ΦA (t, τ )P (t),

10

τ ≤ t; t, τ ∈ T.


Ánh xạ P thỏa mãn điều kiện chính quy nếu ánh xạ
[IX + µ(t)A(t)]|N (P (t)) : N (P (t)) → N (P (σ (t)))
là song ánh. Khi đó, ánh xạ
ΦA (t, τ ) := ΦA (t, τ )|N (P (τ )) : N (P (τ )) → (N (P (t)))
là một đẳng cấu.
Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển mở rộng (xem [12]) như sau.

Định nghĩa 1.16. Ánh xạ ΦA (t, s) : KerP (s) −→ KerP (t) được xác định bởi
ΦA (t, s) :=

ΦA (s, t)|KerP (t)
ΦA (t, s)|KerP (s) ,

−1

,

t≤s
s≤t

với (t, s) ∈ T × T. Khi đó, ΦA (t, s) gọi là toán tử dịch chuyển mở rộng.
Định nghĩa 1.17. Hệ tuyến tính (1.9) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 nếu có
một phép chiếu chính quy P : T → L(X ) thỏa mãn điều kiện
ΦA (t, s)P (s)
ΦA (t, s)[IX − P (s)]
với K1 , K2

K1 ea (t, s),

s ≤ t, s, t ∈ T

K2 eb (t, s),

t ≤ s, s, t ∈ T,

1 là các số thực và a, b ∈ Crd R+ (T, R), a

b.

Ví dụ 1.4. Giả sử α, β, h ≥ 0 là những số thực với α < β . Trên thang thời gian
thuần nhất với µ(t) ≡ h và A(t) ≡ t trên T ta có
(i) Trong trường hợp h = 0, phương trình (1.9) có nhị phân mũ với α, β , nếu
phổ σ (A) ⊆ C được tách rời khỏi dải dọc
{λ ∈ C : α ≤ Rλ ≤ β}

trong mặt phẳng phức.
(2) Tương tự, trong trường hợp h > 0 phương trình (1.9) có nhị phân mũ với
α, β nếu phổ σ (IX + hA) không giao với hình khuyên
{λ ∈ C : α ≤ |λ| ≤ β},

và phép chiếu bất biến được đưa ra bởi phổ {λ ∈ C : |λ| ≤ α}.
11


Chú ý 1.3. Trong định nghĩa nhị phân mũ các hàm tăng trưởng a, b không được
giả sử là các hằng số. Với các phương trình vi phân thường điều này đã được
nghiên cứu trong [10]. Một điểm nữa cần chú ý trong nhị phân mũ là chúng ta
không đòi hỏi điều kiện hyperbolic như là a 0 b. Do vậy thực chất khái niệm
nhị phân mũ đang xét ở đây là khái niệm nhị phân mũ giả hyperbolic ( xem [6,
trang 229, định nghĩa 7.6.4], [9]).
Bổ đề 1.3. Giả sử có hệ tuyến tính (1.9) và
x

= B (t)x

(1.12)

với B ∈ Crd (T, L(X )). Giả sử c ∈ Crd R+ (T, R) rời rạc bị chặn trên. Giả sử tồn
tại một số thực C ≥ 1 và một hàm bị chặn ∈ Crd (T, R) thỏa mãn
ΦA (t, τ ) ≤ Cec (t, τ ),

A(t) − B (t)

τ ≤t

(1.13)

(t).

(1.14)

Khi đó,
C2
µ(t, τ )ec+C (t, τ ),
Γ− (c + C )

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ )

τ

t.

Chứng minh. Từ giả thiết ta có toán tử dịch chuyển ΦB (t, τ ) của hệ tuyến tính
(1.12) thỏa mãn
ΦB (t, τ ) ≤ Cec+Cε (t, τ ),

τ ≤ t.

(1.15)

Ta có
t

ΦB (t, τ ) = ΦA (t, τ ) +

ΦA (t, σ (s))[B (s) − A(s)]ΦB (s, τ )∆s,

τ ≤ t.

ΦA (t, σ (s))[B (s) − A(s)]ΦB (s, τ )∆s,

τ ≤ t.

τ

Suy ra
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ ) =
τ

12


Do vậy
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ ) ≤

ΦA (t, σ (s)) [B (s) − A(s)] ΦB (s, τ ) ∆s,

τ ≤t

τ
t

ec (t, σ (s))ε(s) ΦB (s, τ ) ∆s,

≤C

τ ≤ t.

(do (1.13), (1.14))

τ
t

≤C

2

ε(s)ec (t, σ (s))ec+Cε (s, τ )∆s,

τ ≤ t.

(do (1.15))

τ
t

= Cec (t, τ )

∆1 e(c+Cε) c (s, τ )∆s,

τ ≤t

τ

= Cec+Cε (t, τ )[1 − eb2 (t, τ )],
trong đó b2 (t) =

Cε(t)
.
1 + µ(t)(c(t) + Cε(t))

Do đó
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ ) ≤ Cec+Cε (t, τ )
τ

Cε(s)
∆s
1 + µ(s)(c(s) + Cε(s))

C2
≤

µ(t, τ )ec+C (t, τ ),
Γ− (c + C )

τ

t.

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.4. Giả sử C1 , C2
1 là những số thực và c ∈ Crd R+ (T, R). Nếu hệ
tuyến tính (1.9)và (1.12) có các toán tử dịch chuyển tương ứng thỏa mãn
ΦA (t, τ ) ≤ C1 ec (t, τ ), τ ≤ t,
ΦB (t, τ ) ≤ C2 ec (t, τ ), τ ≤ t.
Khi đó
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ )

C1 C2 ec (t, τ )
τ

B (s) − A(s)
∆s,
1 + µ(s)c(s)

τ

t.

Chứng minh. Ta có

t

ΦB (t, τ ) = ΦA (t, τ ) +

ΦA (t, σ (s))[B (s) − A(s)]ΦB (s, τ )∆s,

τ ≤ t.

ΦA (t, σ (s))[B (s) − A(s)]ΦB (s, τ )∆s,

τ ≤ t.

τ

Hay
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ ) =
τ

13


Suy ra
t

ΦB (t, τ ) − ΦA (t, τ ) ≤

ΦA (t, σ (s)) B (s) − A(s) ΦB (s, τ ) ∆s,

τ ≤t

τ
t

ec (t, σ (s)) B (s) − A(s) ec (s, τ )∆s,

≤ C1 C2

τ ≤t

τ
t

= C1 C2 ec (t, τ )
τ

B (s) − A(s)
∆s.
1 + µ(s)c(s)

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.5. Giả sử K1 , K2 , L1 , L2 ≥ 1, ≥ 0 là những số thực và a, b, c, d ∈
Crd R+ (T, R) thỏa mãn a c d b. Giả sử
(i) Phương trình tuyến tính(1.9) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 và phép chiếu
bất biến P .
(ii) Phương trình tuyến tính (1.12) có nhị phân mũ với c, d, L1 , L2 và phép chiếu
bất biến Q.
(iii) A(t) − B (t) ≤ , t ∈ T.
Khi đó phép chiếu bất biến P, Q thỏa mãn

P (t) − Q(t) ≤ max{L1 , L2 }Ca,b (c, d),

trong đó Ca,b (c, d) :=

K2
K1
+
+ max
d−a
c−a

t ∈ T,

K2
K1
,
c−a
b−d

.

Chứng minh. Với phương trình tuyến tính(1.9) và phép chiếu P, hàm Green
được xác định như sau
GA (t, s) :=

ΦA (t, s)P (s) với s ≤ t
−ΦA (t, s)[IX − P (s)] với t < s.

Do đó
∆1 GA (t, s) = A(t)GA (t, s) s, t ∈ J ⊆ Tk .

Cố định s ∈ T, x0 ∈ X xét phương trình tuyến tính không thuần nhất
x∆ = A(t)x + rs,x0 (t)

trong đó rs,x0 : T → X xác định bởi
rs,x0 = [B (t) − A(t)]GB (t, s)x0 .

14

(1.16)


vs,x0 : T → X xác định bởi
vs,x0 = [GB (t, s) − GA (t, s)]x0 .

Theo định nghĩa hàm Green thì (c, d) tựa bị chặn. Khi đó
rs,x0 (t) =

[B (t) − A(t)]GB (t, s)x0

≤ B (t) − A(t) GB (t, s)x0
≤ ε GB (t, s)x0
≤ x0

L1 ec (t, s)

với s ≤ t
L2 ed (t, s) với t ≤ s.

±
Nên rs,x0 ∈ Xc,d

với

rs,x0

±
s,c,d

≤ εmax{L1 , L2 } x0 .

Từ (1.16) ta có
[Q(s) − P (s)]x0 = [GB (s, s) − GA (s, s)]x0
= vs,x0 (s) leq vs,x0 (s)
≤ Ca,b (c, d) vs,x0 (s)

±
s,c,d

±
s,c,d

≤ εmax{L1 , L2 }Ca,b (c, d) x0

s ∈ T.

Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.6. Giả sử (T, ≤, µ) là một thang thời gian rời rạc và ánh xạ
A : T → L(X ).

Phương trình tuyến tính
x∆ = A(t)x

có nhị phân mũ a, b, K1 , K2 trên T và một phép chiếu bất biến P , trong đó b bị
chặn trên.
Hơn nữa, giả sử c, d ∈ Crd R+ (T, R) với a c d b và giả sử ánh xạ B : T → L(X )
thỏa mãn
B (t) − A(t) ≤

15


với số thực ≥ 0 sao cho Ca,b (c, d) < 1.
Khi đó phương trình
x∆ = B (t)x

(1.17)

cũng có nhị phân mũ c, d, L1 , L2 trong đó
L1 =

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

2

, L2 =

1+

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

,

và phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) thỏa mãn
˜ (t) − P˜ (t)
Q

1+

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)2 Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

,

t ∈ T.

Chứng minh. Vì b bị chặn trên và a
c
d b nên c, d cũng bị chặn trên,
Γ+ (c) ≤ Γ+ (d).
Cố định s ∈ T và x0 ∈ X . Xét phương trình động lực tuyến tính không thuần
nhất
x∆ = B (t)x + [A − B ]x + δ (t, ρ− (s))x0

với hàm δ : T × T → T xác định như sau
δ (t, s) :=

1 với t = s
0 với t = s.

c, d tựa bị chặn với
δ (t, ρ− (s))x0 e c (t, s) ≤ Γ+ (c) x0 ,

ρ− (s) ≤ t,

δ (t, ρ− (s))x0 e

t ≤ ρ − (s ).

d

(t, s) ≤ Γ+ (d) x0 ,

Do đó

δ (· , ρ− (s))x0

±
s,c,d

≤ Γ+ (d).

Vì
B (t) − A(t) ≤ , Ca,b (c, d) < 1

nên phương trình (1.18) có đúng một nghiệm λ∗s,x0 ∈ B± (X ), khi đó
c,d

λ∗s,x0 ≤

Ca,b (c, d)Γ+ (d)

1 − εCa,b (c, d)

x0

16

ec (t, s)

với s ≤ t
ed (t, s) với t ≤ s.

(1.18)

Phép chiếu bất biến Q : T → L(X ) thỏa mãn
Q(t) ≤

Do c, d ∈ Crd R+ (T, R) và c

Ca,b (c, d)Γ+ (d)

1 − εCa,b (c, d)

t ∈ T.

,

d nên theo hệ quả của nhị phân mũ thì phương

trình (1.17) có nhị phân mũ c, d, L1 , L2 trong đó
L1 =

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

2

, L2 =

1+

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

.

Khi đó
ΦB (t, s)Q(s)x ≤
ΦB (t, s)[I − Q(s)]x ≥

Ca,b (c, d)Γ+ (d)

1 − εCa,b (c, d)
1 − εCa,b (c, d)
Ca,b (c, d)Γ+ (d)

ec (t, s) Q(s)x

s ≤ t, x ∈ X ,

ed (t, s) [I − Q(s)]x

N (Q(ρ+ (t))) ⊆ R(IX + µ(t)B (t))

s ≤ t, x ∈ X ,

t ∈ T.

Mặt khác theo bổ đề (1.5) thì
Q(t) − P (t) ≤ max{L1 , L2 }Ca,b (c, d),

1+

≤

t ∈ T.

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)Γ+ (d˜)

Ca˜,˜b (˜
c, d˜)2 Γ+ (d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

1 − Ca˜,˜b (˜c, d˜)

,

t ∈ T.

Định lí được chứng minh.

1.4

Bổ đề Gronwall

Định lý 1.7. Cho u, v và w là các hàm liên tục xác định trên [p, q ], w(t) ≥ 0 với
t ∈ [p, q ]. Giả sử trên [p, q ] ta có bất đẳng thức
t

u(t) ≤ v (t) +

w(τ )u(τ ) dτ.

(1.19)

p

Khi đó

t

u(t) ≤ v (t) +

t

w(τ )v (τ ) exp
p

w(r) dr dτ
p

với mọi t ∈ [p, q ].

17

(1.20)


t
w(r)u(r) dr,
p

Chứng minh. Xét hàm y (t) :=

t ∈ [p, q ]. Khi đó y (p) = 0 và
q

y (t) = w(t)u(t) ≤ w(t)v (t) + w(t)

w(r)u(r) dr
p

= w(t)v (t) + w(t)y (t),
t
w(r) dr
p

Bằng phép nhân với exp −
d
dt

t ∈ (p, q ).

> 0, ta được

t

y (t) exp −

t

w(r) dr

≤ v (t)w(t) exp −

w (r )

p

dr.

p

Lấy tích phân trên đoạn [p, t],
t

y (t) exp −

t

w(r) dr

τ

v (τ )w(τ ) exp −

≤

p

p

w (r )

dτ.

p

Suy ra
t

y (t) ≤

t

v (τ )w(τ ) exp −
p

w (r )

dτ, t ∈ [a, b].

τ

Vì u(t) ≤ v (t) + y (t), định lý được chứng minh.
Từ Định lý 1.7, ta có hệ quả quan trọng sau, hệ quả này chính là Bổ đề
Gronwall.
Hệ quả 1.1. Nếu v khả vi, thì từ (1.19) ta có
t

u(t) ≤ v (p) exp

t

w(τ ) dτ

+

t

exp

p

w(r) dr v (τ ) dτ

p

(1.21)

τ

với mọi t ∈ [p, q ].

Chứng minh. Ta có
t

−
p

d
v (τ )
dt

t

exp

w(r) dr

dτ

τ
t

= −v (τ ) exp

t

q

w(r) dr

+

p

τ

t

exp
p

t

= −v (t) + v (p) exp

w(r) dr v (τ ) dτ
τ

t

w(r) dr
p

+

exp
p

18

t

w(r) dr v (τ ) dτ
τ


với mọi t ∈ [p, q ]. Do đó,
t

v (t)+

t

v (τ )w(τ ) exp

w(r) dr

p

dτ

τ
t

t

= v (p) exp

w(τ ) dτ
p

+

t

exp
p

Hệ quả được chứng minh.

19

w(r) dr v (τ ) dτ,
τ

t ∈ [a, b].


Chương 2

Nhị phân mũ trên thang
thời gian
Trong chương này, ta sẽ giới thiệu tính nhị phân mũ của hệ tuyến tính
trên các thang thời gian khác nhau, đó là thang thời gian Z, thang rời rạc và
thang tổng quát. Cuối cùng là chứng minh tính nhị phân mũ của hệ tuyến tính
x = B (t)x với điều kiện hệ đó đủ gần phương trình x = A(t, q )x với tham số
q biến thiên chậm.

2.1

Nhị phân mũ trên thang thời gian rời rạc

Bổ đề 2.1. Giả sử K1 , K2 , M1 , M2 ≥ 1, (T, ≤, µ) là một thang thời gian rời rạc
với T = {tk }k∈Z , các hàm a, b ∈ Crd R+ (T, R), a b, một dãy A : Z → L(X ) và
ΨA (l, k ) :=

với l = k
A(k − 1)...A(l) với l < k.
IX

(2.1)

Nếu P : Z → L(X ) là một dãy phép chiếu thỏa mãn
ΨA (k, l)P (l)x ≤ K1 ea (tk , tl ) P (l)x với l ≤ k,
ΨA (k, l)[IX − P (l)]x ≥ K2−1 eb (tk , tl ) [IX − P (l)]x

với l ≤ k

(2.2)
(2.3)

và với ∀x ∈ X giả sử
P (k + 1)A(k ) = A(k )P (k ),
P (k ) ≤ M1 ,

N (P (k + 1)) ⊆ R(A(k )),
IX − P (k ) ≤ M2 .

20

(2.4)
(2.5)