MỘT số TÍNH CHẤT của hàm KHẢ VI vô hạn THÔNG QUA GIÁ của BIẾN đổi FOURIER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN KIỀU HIÊN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN
THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY

Hà Nội- 2014


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật huy, người đã tận tình giúp
đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều
kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến
khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính
mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.

Hà Nội, năm 2014
Nguyễn Kiều Hiên

2


Mục lục
Mở đầu

5

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG

6

1.1

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) . . . . . . . . . . 11

1.3

Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Giá của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) . . . . . . . . . 15

1.6

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7

Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1

6

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm
S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3

Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với
giá compact E (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG
QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

28

2.1

Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian Lp (R) . . . . . 28

2.2

Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không
gian Lp (π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3

Dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian Lp (Rn ) . . . . . 34

2.4

Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức
tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3


Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

42

4


Mở đầu
Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán
học nói chung và của Giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp
những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất.
Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô
hạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ). Vấn đề này có ý nghĩa rất
lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải
tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý
thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
hai chương:
Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy
rộng. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các hàm cơ
bản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép biến đổi
Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quan
đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo.
Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá
của biến đổi Fourier. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày tính
chất của hàm số qua hình học của phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu
của dãy các đạo hàm, dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn, dãy các P - đạo hàm
hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier, bất
đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến.

5


Chương 1
CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ
BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM
SUY RỘNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản
về lý thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]). Chúng tôi
chỉ rõ những khái niệm và kết quả chính được sử dụng ở chương sau.

Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

1.1

Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), chúng ta
chỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn.
Cho N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, . . . } là tập các số
nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo

√

−1 = i.

Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1 , ..., αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, ..., n},
Rn là không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn với chuẩn Euclid
n

x =(
j=1

x2j )1/2 , tích vô hướng xξ =

n

xj ξj .
j=1

Với mỗi k ∈ Z+ ký hiệu các tập như sau
C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k},
C0k (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu là tập compact},
k
k
∞
∞
C ∞ (R) = ∩∞
k=1 C (R), C0 (R) = ∩k=1 C0 (R),

6


trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) = 0}.
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu
1/p
n

n

Lp (R ) = {u : R → C| u

p

p

|u (x) | dx

=

< +∞}.

Rn

Với p = ∞, ký hiệu
L∞ (Rn ) = {u : Rn → C| u

∞

= ess sup |u (x)| < +∞},
x∈Rn

trong đó ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M } = 0}.
x∈Rn

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) là ảnh Fourier của hàm f, suppf
là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f . Các giới hạn lim am , lim am , lim am
m→∞

tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy hàm

m→∞

m→∞
∞
{am }m=1 .

Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các
ví dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Định nghĩa 1.1. Không gian S (Rn ) là tập hợp
S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ }.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), khi đó
lim xα Dβ ϕ (x) = 0

x →∞

∀α, β ∈ Zn+ .

Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ
hàm có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ Rn . Vì vậy, chúng ta gọi S (Rn ) là không gian
các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1. Không gian C0∞ (Rn ) là không gian con của không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
Khi đó, ta đặt
suppϕ = K, K là tập compact trong Rn .
Với mọi x ∈
/ K , suy ra
Dβ ϕ (x) = 0

7

∀β ∈ Zn+ .


Do đó
sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

x∈K

Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ đây suy ra được C0∞ (Rn ) là không
gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ). Chứng minh được hoàn
thành.
Ví dụ 1.2. Cho hàm số ϕ (x) = e−

x

2

, x ∈ Rn . Khi đó ϕ là hàm số thuộc không

gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có x
e−

x

2

2

= x21 + x22 + ... + x2n nên
2

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn ,

x ∈ Rn .

Mặt khác
2

Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1
2

2

2

Dβ2 e−x2 ... Dβn e−xn

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn Q (x1 , x2 , ..., xn )
= e−

x

2

∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn ,

Q (x1 , x2 , ..., xn )

trong đó Q (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm chứa các lũy thừa của x1 , x2 , ..., xn . Do đó
xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , ..., xn )e−

x

2

∀α, β ∈ Zn+ .

Ta thấy rằng
2

lim ta e−|t| = 0

với mọi a ∈ R.

t→∞

Từ đây, suy ra
lim xα Q (x1 , x2 , ..., xn ) e−

x →∞

x

2

=0

∀α ∈ Zn+ .

Vậy nên, ta có
sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
Chứng minh được hoàn thành.
Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa về sự hội tụ trong không gian S (Rn ))
n
n
Dãy hàm {ϕk }∞
k=1 trong không gian S (R ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R )

nếu
lim sup xα (Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ (x)) = 0

k→∞ x∈Rn

Khi đó, ta viết S _ lim ϕk = ϕ.
k→∞

8

∀α, β ∈ Zn+ .


Chú ý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian con của
không gian Lp (Rn ) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn ). Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ). Nên ta chỉ
cần xét 1 ≤ p < ∞. Theo định nghĩa, ta có
|ϕ (x1 , x2 , ..., xn )|p dx1 ...dxn
Rn

|ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21 ... 1 + x2n

=
Rn

≤ sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21
x∈Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn
... (1 + x2n )

1 + x22 ... 1 + x2n

Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn .
... (1 + x2n )

(1.1)

Mặt khác

Rn

1 + x21

1
dx1 ...dxn
1 + x22 ... (1 + x2n )
+∞

=
−∞

dx1
1 + x21

+∞
−∞

dx2
...
1 + x22

+∞
−∞

dxn
= π n . (1.2)
(1 + x2n )

Kết hợp (1.1) và (1.2), ta suy ra được
p

ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) dx1 ...dxn
Rn

≤ π n sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21
x∈Rn

1 + x22 ... 1 + x2n .

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến
sup |ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p 1 + x21

x∈Rn

1 + x22 ... 1 + x2n < ∞.

Vì thế, ta nhận được
|ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) |p dx1 ...dxn

1/p

< ∞,

Rn

điều này cho ta hàm ϕ ∈ Lp (Rn ). Chứng minh được hoàn thành.
Chú ý 1.2. Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn ) sao cho với mỗi α ∈ Zn+ có một số thực
m = m (α), và một số dương c = c (α) có |Dα a (x)| < c(1 + x )m , khi đó ánh xạ

biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian các
hàm giảm nhanh S (Rn ) vào chính nó.
9


Định lý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) là không gian đầy đủ.
n
Chứng minh. Lấy dãy hàm {ϕm }∞
m=1 là một dãy Cauchy trong không gian S (R ),
∞
∀α, β
m=1
∈ C ∞ (Rn ).

nghĩa là dãy hàm xα Dβ ϕm (x)

pact trong Rn đến một hàm ψ

∈ Zn+ hội tụ đều trên từng tập com-

Thật vậy, cho α = (0, ..., 0) , β = (0, ..., 0) cho nên dãy hàm {ϕm }∞
m=1 hội tụ trong
Rn . Khi đó, tồn tại hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn
lim ϕm (x) = ϕ0 (x) ,

m→∞

và tồn tại hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn
lim Dβ ϕm (x) = ψ (x)

∀β ∈ Zn+ .

m→∞

Với mọi β ∈ Zn+ do đó dãy hàm Dβ ϕm (x)

∞
m=1

liên tục trong Rn , nên hàm ψ (x)

liên tục trong Rn . Như vậy, ta nhận được
ϕm (x) → ϕ0 (x)

trong Rn

Dβ ϕm (x) → ψ (x)

trong Rn

điều này dẫn đến, hàm ϕ0 (x) khả vi cấp β và
Dβ ϕ0 (x) = ψ (x)

∀β ∈ Zn+ .

Nói cách khác là hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) và
lim Dβ ϕm (x) = Dβ ϕ0

m→∞

∀β ∈ Zn+ , trong Rn .

Bây giờ ta cần phải chứng minh hàm ϕ0 ∈ S (Rn ), tức là phải chứng minh
sup xα Dβ ϕ0 (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

Thật vậy,
lim

sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕp (x)) = 0

m,p→∞ x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

(1.3)

ta thấy rằng
lim Dβ ϕp (x) = Dβ ϕ0 (x)

p→∞

∀β ∈ Zn+ .

Từ (1.3) và (1.4), ta nhận thấy
lim sup xα (Dβ ϕm (x) − Dβ ϕ0 (x)) = 0

m→∞ x∈Rn

10

∀α, β ∈ Zn+ .

(1.4)


Khi đó, tồn tại m0 thỏa mãn
sup xα (Dβ ϕm0 (x) − Dβ ϕ0 (x)) < 1
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

(1.5)

Rõ ràng,
∀α, β ∈ Zn+ .

sup xα Dβ ϕm0 (x) ≤ Cαβ m0

x∈Rn

(1.6)

Kết hợp (1.5) và (1.6), ta nhận được
sup xα Dβ ϕ0 (x) ≤ sup xα Dβ ϕm0 (x) + sup xα (Dβ ϕm0 (x) − Dβ ϕ0 (x))
x∈Rn

x∈Rn

≤ Cαβ m0 + 1 < ∞

x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ .

Như vậy, ta đã chỉ ra rằng hàm ϕ0 ∈ S (Rn ) . Vậy không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ) là không gian đầy đủ. Định lý được chứng minh.

1.2

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn)

Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng f là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn ).

Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(Rn ) được viết là f, ϕ .
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là tập hợp tất cả các hàm suy
rộng tăng chậm.
Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) có thể xây dựng một
cấu trúc không gian vectơ trên Rn , nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán
tuyến tính như sau.
• Phép cộng : với các hàm f1 , f2 ∈ S (Rn ) tổng các hàm f1 + f2 được xác

định như sau
(f1 + f2 ) : ϕ → f1 + f2 , ϕ = f1 , ϕ + f2 , ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

• Phép nhân với số thực : với hàm f ∈ S (Rn ) , λ ∈ Rn tích λf được xác định

như sau
λf : ϕ → λf, ϕ = λ f, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm f với
một đa thức P (x) như sau
P (x)f : ϕ → f, P ϕ

Khi đó P (x)f ∈ S (Rn ) .
11

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Ví dụ 1.3. Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gian Lp (Rn ) là không gian con của không gian
các hàm tăng chậm S (Rn ), tức là với mỗi hàm f ∈ Lp (Rn ) thì hàm suy rộng
f : ϕ → f, ϕ =

f (x)ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ S (Rn )

Rn

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rn ).
Ví dụ 1.4. Hàm δa Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau
δ, ϕ = ϕ (−a)

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Khi đó δa là hàm suy rộng tăng chậm.
Chứng minh. Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tại a là một phiếm hàm tuyến tính,
vì với mọi α, β ∈ R thì
δa , αϕ + βψ = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a)
= α δa , ϕ + β δa , ψ

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

n
Xét {ϕk }∞
k=1 là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R ) hội tụ

đến hàm ϕ ∈ S(Rn ). Do đó
lim sup |ϕk (x) − ϕ (x)| = 0

k→∞ x∈Rn

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Nên
lim |ϕk (−a) − ϕ (−a)| = 0

k→∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có
δa , ϕ = ϕ (−a)
δa , ϕk = ϕk (−a)

ϕ ∈ S (Rn ) ,

∀ϕ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, ....

Nên ta nhận được
lim δa , ϕk = δa , ϕ

k→∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Vậy nên δa là hàm suy rộng tăng chậm. Chứng minh được hoàn thành.

12

1.3

Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4. Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rn ) , α = (α1 , ..., αn ) ∈ Zn+ . Đạo
hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f , ký hiệu là Dα f , là ánh xạ
từ không gian S (Rn ) vào không gian C được xác định bởi
Dα f : ϕ → (−1)|α| f, Dα ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Với mỗi hàm suy rộng f ∈ S (Rn ) , α ∈ Zn+ đạo hàm suy rộng cấp α của
hàm suy rộng tăng chậm f cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nói cách khác,
đạo hàm suy rộng Dα f là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (Rn )
vào không gian C. Do đó, đạo hàm Dα f là một hàm suy rộng trong không gian
các hàm tăng chậm S (Rn ).
Ví dụ 1.5. Cho hàm θ (x) được xác định sau
θ (x) =

1

với x > 0

0

với x ≤ 0.

Tìm đạo hàm của hàm suy rộng θ (x).

Chứng minh. Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có
θ , ϕ = − θ, ϕ

∀ϕ ∈ S (R) ,

(1.7)

rõ ràng
+∞

θ, ϕ =

θ (x)ϕ (x) dx
−∞
+∞

=

ϕ (x) dx
0

= −ϕ (0) = − δ0 , ϕ

∀ϕ ∈ S (R) .

(1.8)

Kết hợp (1.7) và (1.8), ta kết luận được rằng θ = δ0 .
Khi đó, đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm Dirac δ0 . Chứng minh
được hoàn thành.

1.4

Giá của hàm suy rộng

Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau
tại một điểm trong Rn . Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trong
không gian các hàm tăng chậm S (Rn ).
13


Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ Rn , các hàm suy rộng f, g ∈ S (Rn ). Ta nói rằng
hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈ Rn của x để
f, ϕ = g, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) , suppϕ ⊂ ω.

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f = g tại x ∈ Rn , nếu với
mọi lân cận mở ω ⊂ Rn của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ ω
sao cho
f, ϕ = g, ϕ .

Định nghĩa 1.6. (Giá của hàm suy rộng)
Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rn ). Giá của hàm suy rộng f được xác định như sau
suppf = {x ∈ Rn : f = 0 tại x} .
Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng suppf
là tập compact.
Ví dụ 1.6. Hàm Dirac δ0 là phiếm hàm xác định như sau
δ0 , ϕ = ϕ (0)

∀ϕ ∈ S (R) .

Khi đó, giá của hàm suy rộng δ0 là suppδ0 = {0}.
Chứng minh. Ta xét σ = 0. Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S(R) thỏa mãn
suppϕ ∈ B(σ,

|σ|
),
2

ta luôn có hàm ϕ(0) = 0. Do đó,
δ0 , ϕ = ϕ(0) = 0

∀ϕ ∈ S (R) .

Điều này dẫn đến σ ∈ suppδ0 . Ta thấy 0 ∈ suppδ0 . Vậy nên ta có
suppδ0 = {0}.
Chứng minh được hoàn thành.

14


Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn)

1.5

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu về đặc điểm của hàm suy rộng với giá
compact E (Rn ). Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không gian
E (Rn ).

Định nghĩa 1.7. Không gian E (Rn ) là không gian tôpô tuyến tính các hàm
ϕ ∈ C ∞ (Rn ) với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕk }∞
k=1 các hàm trong không

gian C ∞ (Rn ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) nếu
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ (x)| = 0

k→∞ x∈K

∀α ∈ Zn+ , K ⊂⊂ Rn .

Khi đó, ta viết E _ lim ϕk = ϕ.
k→∞

Với dãy hàm {ϕk }∞
k=1 được gọi là một dãy Cauchy trong không gian hàm
cơ bản E (Rn ) nếu
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕl (x)| = 0

k,l→∞ x∈K

∀α ∈ Zn+ , K ⊂⊂ Rn .

Khi đó, không gian hàm cơ bản E (Rn ) là không gian đầy đủ và tập C0∞ (Rn ) là
tập trù mật trong không gian hàm cơ bản E (Rn ).

Định nghĩa 1.8. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong không gian
hàm cơ bản E (Rn ) được gọi là một hàm suy rộng xác định trên không gian hàm
cơ bản E (Rn ). Tập hợp tất cả các hàm suy rộng xác định trong không gian hàm
cơ bản E (Rn ), ký hiệu là E (Rn ) .

Định lý 1.2. i) Giả sử f là hàm suy rộng có giá compact. Khi đó, ta có thể
thác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ
bản E (Rn ).
ii) Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian hàm cơ bản E (Rn ).
Khi đó, ta có thể thu hẹp hàm f trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )
thành hàm suy rộng có giá compact.
Ví dụ 1.7. Hàm Dirac δ0 là hàm suy rộng thuộc không gian hàm suy rộng giá
compact E (Rn ). Hơn nữa, không tồn tại hàm g ∈ L1loc (Rn ) thỏa mãn
δ0 , ϕ =

g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0)
Rn

15

∀ϕ ∈ E (Rn ) .


Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại hàm g ∈ L1loc (Rn ) thỏa mãn
δ0 , ϕ =

g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0)

∀ϕ ∈ E (Rn ) .

(1.9)

Rn

Chọn hàm

ϕ (x) = ϕε (x) =





ε2
2

e|x|

−ε2


0

với |x| < ε
với |x|

ε

do đó,
ϕε ∈ C0∞ (Rn ) ,

suppϕε (x) ⊂ B (0, ε) .

Theo giả thiết phản chứng, ta có
δ0 , ϕ = ϕε (0) =

1

e

∀ϕ ∈ E (Rn ) .

(1.10)

Mặt khác
g (x)ϕ (x) dx = lim

lim

ε→0

ε→0

Rn

g (x)ϕ (x) dx = 0

∀ϕ ∈ E (Rn ) .

(1.11)

B(0,ε)

Từ (1.9), (1.10) và (1.11), suy ra mâu thuẫn, do đó không tồn tại hàm g ∈
L1loc (Rn ) thỏa mãn
δ0 , ϕ =

g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0)

∀ϕ ∈ E (Rn ) .

Rn

Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.1. i) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) , ϕ ∈ C0∞ (Rn ) và suppf ∩suppϕ =
∅ khi đó,
f, ϕ = 0.

ii) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) , ϕ ∈ C0∞ (Rn ) khi đó, supp (f ϕ) ⊂ suppϕ∩suppf .
Hơn nữa, các hàm suy rộng f, g ∈ E (Rn ) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪ suppg
và
Dα f ∈ E (Rn ) ,

suppDα f ⊂ suppf.

iii) Cho hàm suy rộng f ∈ E (Rn ) và giá của hàm suy rộng suppf = {0} do đó,
hàm suy rộng f có thể biểu diễn diễn duy nhất dưới dạng
C α D α δ0

f=
|α|≤N

δ0 là hàm suy rộng có giá compact và giá của nó suppδ0 = {0}.
16


1.6

Tích chập

Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên Rn , nhằm
xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng.
Định nghĩa 1.9. Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên Rn . Nếu tích
phân
f (x − y) g (y)dy
Rn

xác định với hầu hết x ∈ Rn (nghĩa là tập các giá trị x ∈ Rn để tích phân trên
không tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên Rn biến x
thành

Rn

f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g , ký hiệu là

f ∗ g . Như vậy
(f ∗ g) (x) =

f (x − y) g (y)dy =
Rn

f (y) g (x − y)dy.
Rn

Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g . Rõ ràng trong trường hợp này
tích chập của hàm f và hàm g , và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau.
Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f .
Định lý 1.3. Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f, g ∈ L1 (Rn ). Khi đó tích chập của

hàm g và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ L1 (Rn ), đồng thời ta có bất
đẳng thức
f ∗g

p

≤ f

p

g 1.

Mệnh đề 1.2. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ ∈ C ∞ (Rn ) , và
Dα (ϕ ∗ ψ) (x) = ((Dα ϕ) ∗ ψ) (x) = (ϕ ∗ (Dα ψ)) (x)

∀x ∈ Rn , α ∈ Zn+ .

Hơn nữa, ta có ánh xạ biến mỗi hàm ϕ ∈ S (Rn ) thành ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ là ánh xạ
tuyến tính liên tục từ không gian S (Rn ) vào chính nó .

1.7

Phép biến đổi Fourier

Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi
Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), không
gian các hàm tăng chậm S (Rn ), không gian hàm suy rộng với giá compact
E (Rn ).
17

1.7.1

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn )

Định nghĩa 1.10. Cho hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là
f (ξ) hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi
F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)−n/2

e−ixξ f (x) dx
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.11. Ảnh Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rn ) là hàm được xác định
bởi
F −1 (f ) (x) = f (x) = (2π)−n/2

eixξ f (ξ) dξ
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Bây giờ ta xét các tính chất ảnh Fuorier, ảnh Fourier ngược của hàm
thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ). Bằng cách đi nghiên cứu kỹ hơn
các mệnh đề sau đây, dựa trên tài liệu (xem [1], [6]).
Mệnh đề 1.3. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn ) và
• Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) ,

Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) ,

• ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) ,

ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) .

Chứng minh. Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
(Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−ixξ ϕ (x) dx.

(1.12)

Rn

Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
Dξα (Fϕ) (ξ) với mọi α ∈ Zn+ và
Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα

(2π)−n/2

e−ixξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2

(−ix)α e−ixξ ϕ (x) dx
Rn

= (−i)|α| (2π)−n/2

e−ixξ xα ϕ (x)dx
Rn

= (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ)
18

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

(1.13)


do tích phân
e−ixξ xα ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ S (Rn )

Rn

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn và mọi α ∈ Zn+ . Vì
e−ixξ xα ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)|

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ), nên dẫn đến
|x|α |ϕ (x)| dx

∀α ∈ Zn+

Rn

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn . Do đó, tồn tại đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ),
dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rn ).
Vì thế mỗi ξ ∈ Rn , β, γ ∈ Zn+ , có
lim ξ β Dxγ e−ixξ ϕ (x) = 0

x →∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.13), ta được
Dξα (Fϕ) (ξ) = ξ −β (2π)−n/2

e−ixξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zn+ , có
ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−ixξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,

(1.14)

Rn

nhận thấy rằng
e−ixξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn

≤ sup Dxβ (−x)α ϕ (x)

dx

(1 + x )n+1

x∈Rn

Rn

(1 + x )n+1

. (1.15)

Kết hợp (1.14) và (1.15), ta nhận được
sup ξ β Dξα Fϕ (ξ) ≤ (2π)−n/2 sup Dxβ (−x)α ϕ (x)

ξ∈Rn

x∈Rn

≤ C sup 1 + x

dx

(1 + x )n+1
Rn

2 n+1+|α|

x∈Rn

|Dγ ϕ (x)|

∀α, β ∈ Zn+ .

γ≤β

Do ϕ ∈ S (Rn ) nên
sup 1 + x
x∈Rn

2 n+1+|α|

|Dγ ϕ (x)| < ∞
γ≤β

19

(1 + x )n+1

∀α, β ∈ Zn+ .


Điều này dẫn đến Fϕ ∈ S (Rn ).
Từ công thức (1.13), cho α = 0, β ∈ Zn+ ta nhận được
ξ β Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

(−iDx )β e−ixξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2

e−ixξ (−iDx )β ϕ (x) dx
Rn
β

= (−i)|β| F D ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Vậy phép biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các
hàm giảm nhanh S (Rn ).
Đối với phép biến đổi Fourier ngược F −1 ta chứng minh tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.4. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó
F −1 Fϕ = FF −1 ϕ = ϕ.

Chứng minh. Với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ) theo định nghĩa, ta có
eixξ

(2π)−n/2

Rn

e−iyξ ϕ (y) dy Fψ (ξ) dξ
Rn

eixξ Fϕ (ξ) Fψ (ξ) dξ

=
Rn

eixξ Fϕ (ξ) (2π)−n/2

=
Rn

e−iyξ ψ (y) dy dξ.
Rn

Nên theo định lý Fubini, có
ϕ (y) (2π)−n/2
Rn

ei x−y,ξ Fψ (ξ) dξ dy
Rn

ψ (y) (2π)−n/2

=
Rn

ei x−y,ξ Fϕ (ξ) dξ dy,
Rn

từ đây, suy ra
ϕ (y) F −1 (Fψ) (x − y) dy =
Rn

ψ (y) F −1 (Fϕ) (x − y) dy.

(1.16)

Rn

Chọn hàm ψ (x) = (2π)−n/2 e−

x

2

/2 ,

ψε (x) = ε−n ψ

x
ε

Fψε (ξ) = F −1 ψε (ξ) = ψε (ξ) .
20

, ε > 0, có

(1.17)


Kết hợp (1.16) và (1.17), ta thu được
ψε (y) F −1 (Fϕ) (x − y) dy.

ϕ (y) ψε (x − y) dy =
Rn

(1.18)

Rn

Áp dụng mệnh đề
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

S _ lim+ ϕ ∗ ψε = ϕ
ε→0

Khi đó
ψ (x) dx =

ψε (x) dx = 1

Rn

Rn

và
lim

ε→0+

√
x ≥R ε

ψε (x) dx = lim

√
x ≥R/ ε

ε→0+

ψ (x) dx =0.

Do đó, cho ε → 0, thì (1.16) trở thành ϕ (x) = F −1 (Fϕ) (x).
Như vậy,
F −1 (Fϕ) = ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Do đó, F là đẳng cấu tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )
với ánh xạ ngược F −1 .
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.5. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ). Khi đó,
ϕ (x) Fψ (x) dx =

ψ (ξ)Fϕ (ξ) dξ
Rn

Rn

và
|Fϕ (ξ)|2 dξ.

|ϕ (x)|2 dx =
Rn

Rn

Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không
gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
Fψ (x) = (2π)−n/2

e−ixξ ψ (ξ) dξ,
Rn

khi đó ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có
ϕ (x) (2π)−n/2

e−ixξ ψ (ξ) dξ dx =
Rn

Rn

ϕ (x) Fψ (x) dx.
Rn

Tương tự, ta nhận được
Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

e−ixξ ϕ (x) dx
Rn

21

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

(1.19)


với ϕ, ψ ∈ S (Rn ), nên
ψ (ξ) (2π)−n/2
Rn

e−ixξ ϕ (x) dx dξ =
Rn

ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ.

(1.20)

Rn

Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ) theo định lý Fubini, có
ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

e−ixξ ψ (ξ) dξ dx
Rn

ψ (ξ) (2π)−n/2

=
Rn

e−ixξ ϕ (x) dx dξ. (1.21)
Rn

Kết hợp (1.19), (1.20) và (1.21), ta đạt được
ϕ (x) Fψ (x) dx =
Rn

ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

(1.22)

Rn

Bằng cách cho hàm
ψ = F −1 ϕ

ta thấy rằng
F −1 ϕ = Fϕ,

ϕ = Fψ

và sử dụng (1.22), ta nhận được
|Fϕ (ξ)|2 dξ

|ϕ (x)|2 dx =
Rn

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Rn

Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp,
đẳng cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) với không gian metric
L2 (Rn ).

Mệnh đề 1.6. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ). Khi đó,
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 Fϕ (ξ) Fψ (ξ) ,

F −1 (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 F −1 ϕ (ξ) F −1 ψ (ξ) .

(2π)n/2 F (ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = Fϕ (ξ) ∗ Fψ (ξ) .
(2π)n/2 F −1 (ϕ (x) ψ (x)) (ξ) = F −1 ϕ (ξ) ∗ F −1 ψ (ξ) .

Chứng minh. Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có
(ϕ ∗ ψ) (x) =

ϕ (y) ψ (x − y) dy.
Rn

22


Sử dụng định lý Fubini với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ), có
(2π)−n/2

e−ixξ
Rn

ϕ (y) ψ (x − y) dy dx
Rn

e−iyξ ϕ (y) (2π)−n/2

=
Rn

(2π)−n/2

eixξ
Rn

e−i x−y,ξ ψ (x − y) dx dy, (1.23)
Rn

ϕ (y) ψ (x − y) dy dx
Rn

eiyξ ϕ (y) (2π)−n/2

=
Rn

ei x−y,ξ ψ (x − y) dx dy. (1.24)
Rn

Từ (1.23), ta có
F (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 Fϕ (ξ) Fψ (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Từ (1.24), ta có
F −1 (ϕ ∗ ψ) (ξ) = (2π)n/2 F −1 ϕ (ξ) F −1 ψ (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Điều này dẫn đến
(Fϕ ∗ Fψ) (ξ) = (2π)n/2 F F −1 (Fϕ) F −1 (Fψ) (ξ)
= (2π)n/2 F (ϕψ) (ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) ,

F −1 ϕ ∗ F −1 ψ (ξ) = (2π)n/2 F −1 F F −1 ϕ F F −1 ψ
= (2π)n/2 F −1 (ϕψ) (ξ)

(ξ)

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

Chứng minh được hoàn thành.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier,
trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Mệnh đề 1.7. Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó
i) Fϕ (ξ − h) = F eihx ϕ (x) (ξ) ,
ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−ihξ Fϕ (ξ) ,
iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−n Fϕ (ξ/t) ,

ξ, h ∈ Rn .
ξ, h ∈ Rn .
t = 0, ξ ∈ Rn .
23

Chứng minh. i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
Fϕ (ξ − h) = (2π)−n/2

ϕ (x)e−i ξ−h x dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ (x)e−iξx eihx dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ (x) eihx e−iξx dx

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

Rn

Do vậy, ta suy ra
Fϕ (ξ − h) = F eihx ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ Rn , ta
thấy rằng
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (x − h)e−iξx dx.

(1.25)

Rn

Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.25), ta được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (t)e−iξ

t+h

dt

Rn

= (2π)−n/2 e−iξh

ϕ (t)e−iξx dt.

(1.26)

Rn

Ta lại có
(2π)−n/2 e−iξh

ϕ (t)e−iξx dt = e−iξh Fϕ (ξ) .

(1.27)

Rn

Kết hợp (1.26) và (1.27), ta thu được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−iξh Fϕ (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (tx), ta có
F (ϕ (tx)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (tx)e−iξx dx
Rn

1
ϕ (y)e−iξ/t dy,
t
Rn

(1.28)

1
ϕ (y)e−iξ/t dy = |t|−n Fϕ (ξ/t) .
t
Rn

(1.29)

= (2π)−n/2

do
(2π)−n/2

Từ (1.28) và (1.29), dẫn đến
F (ϕ (tx)) (ξ) = |t|−n Fϕ (ξ/t)

Chứng minh được hoàn thành.
24

∀ϕ ∈ S (Rn ) , t = 0, ξ ∈ Rn .


1.7.2

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng
chậm S (Rn )

Trong phần này, ta sẽ phát biểu tiêu chí xác định ảnh Fourier, ảnh Fourier
ngược của hàm suy rộng thuộc không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ).
Sau đó, ta dùng định nghĩa được nêu trên, để vận dụng vào giải ví dụ minh họa
kèm theo.
Định nghĩa 1.12. Cho hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier của hàm suy rộng tăng
chậm f , ký hiệu là f (hay Ff ), là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
fˆ, ϕ = f, ϕˆ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Định nghĩa 1.13. Với hàm f ∈ S (Rn ). Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng
tăng chậm f , ký hiệu f hay F −1 (f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định

bởi
∀ϕ ∈ S (Rn ) .

f , ϕ = f, ϕ

Ví dụ 1.8. Cho δ0 là hàm Dirac tại điểm 0. Tìm biến đổi Fourier và biến đổi
Fourier ngược của hàm δ0 .
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng
tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , hơn nữa có
δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2

e−ix0 ϕ(x)dx
Rn

ϕ(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ

= (2π)−n/2

∀ϕ ∈ (Rn ) .

Rn

Vậy suy ra δ0 = (2π)−n/2 1.
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm
trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , mà
δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2

eix0 ϕ(x)dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ)(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Rn

Vậy dẫn đến δ0 = (2π)−n/2 1.
Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàm
hằng (2π)−n/2 . Chứng minh được hoàn thành.
25