Vài ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh và0 hình học phẳng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
==***==

NGUYỄN THỊ MAI HƢƠNG

VÀI ỨNG DỤNG
CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI
XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƢỜNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận, em đã nhận được sự giúp đỡ quý
báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Phan Hồng Trường - người trực tiếp hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình, giúp đờ em trong suốt thời gian thực hiên khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong tổ Hình
học, khoa Toán, thư viện nhà trường; gia đình; bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành kháo luận tốt nghiệp này.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2015
Ngƣời thực hiện

Nguyễn Thị Mai Hƣơng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những nội dung mà em đã trình bày trong bản khoá
luận này là kết quả quá trình nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi của bản thân dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo Phan Hồng Trường. Những kết quả nghiên cứu
trong khoá luận chưa từng được công bố tại bất cứ công trình nghiên cứu nào.
Nếu sai sót em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Hƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 1
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học, thực tiễn ....................................................................... 2
NỘI DUNG ................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT ............................................................. 3
1.1. Mặt phẳng xạ ảnh .................................................................................... 3
1.2. Nguyên tắc đối ngẫu ............................................................................... 5
1.3. Mô hình xạ ảnh của không gian afin ....................................................... 5
n

1.3.1. Xây dựng mô hình A ......................................................................... 5

1.3.2. Một số thể hiện trong mô hình ............................................................. 6
1.4. Ánh xạ xạ ảnh ......................................................................................... 7
1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................... 7
1.4.2. Tính chất .............................................................................................. 8
1.4.3. Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh .......................................... 9
1.5. Biến đổi xạ ảnh ....................................................................................... 9
1.5.1. Định nghĩa. .......................................................................................... 9
1.5.2. Các định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh ........................................ 9
1.6. Siêu mặt bậc hai ...................................................................................... 9
1.6.1. Định nghĩa và kí hiệu ........................................................................... 9
1.6.2. Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong P 2    và tên gọi của
chúng ........................................................................................................... 10
1.6.3. Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực ............. 11


1.7. Siêu phẳng tiếp xúc, siêu diện lớp hai................................................... 11
1.8. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và chùm đường thẳng trong P 2 . 12
1.8.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng ................................................. 12
1.8.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa các chùm đường thẳng ....................................... 14
1.8.3. Định lí Steiner .................................................................................... 16
1.8.4. Định lí đối ngẫu của định lí Steiner ................................................... 16
1.8.5. Phép cắt, phép nối trong P 2 .............................................................. 16
1.9. Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng ............................................. 17
1.10. Mô hình xạ ảnh của E 2 ....................................................................... 18
1.10.1. Xây dựng mô hình ........................................................................... 18
1.10.2. Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình E 2  P2 \  ........ 18
CHƢƠNG 2: VÀI ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH VÀ BIẾN ĐỔI
XẠ ẢNH VÀO HÌNH HỌC PHẲNG ....................................................... 21
2.1 Giải bài toán hình học phẳng bằng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh trong
hai mô hình A2 = P2 \ σ và E2 = P2 \ σ ........................................................ 21

2.2. Giải bài toán hình học phẳng bằng cách ứng dụng ánh xạ xạ ảnh trong
mô hình E2 = P2 \ σ bằng phương pháp tọa độ ............................................ 49
KẾT LUẬN................................................................................................. 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 59


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học được coi là môn học khó với học sinh, sinh viên vì nó có
tính chất hệ thống rất chặt chẽ, có tính logic và tính trừu tượng hóa cao.
Trong chương trình hình học phổ thông, học sinh đã biết một số
phương pháp giải những bài toán hình học phẳng như phương pháp tổng hợp,
phương pháp tọa độ, phương pháp biến hình, phương pháp vectơ. Khi học đến
toán cao cấp ở bậc Cao đẳng, Đại học, sinh viên được làm quen với môn hình
học xạ ảnh và dựa vào một số khái niệm của hình học xạ ảnh đặc biệt là ánh
xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một,… có thể giải
một số bài toán hình học phẳng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh và mở rộng thêm
cách giải một số bài toán trong hình học phẳng, em đã chọn đề tài: “Vài ứng
dụng của ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh vào hình học phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu
 Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hình học xạ ảnh.
 Tìm hiểu một số ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh vào hình
học phẳng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hình học xạ ảnh.
 Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách
ứng dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Trình bày cơ sở lí thuyết của hình học xạ ảnh được ứng dụng để giải

bài toán hình học phẳng.
 Đề xuất một số bài toán hình học phẳng được giải bằng bằng cách ứng
dụng ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh.
1


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ toán học.
 Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu liên quan.
6. Ý nghĩa khoa học, thực tiễn
 Khoá luận này cho thấy mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học
phẳng. Từ đó, nó góp phần gợi động cơ học tập môn hình học xạ ảnh,
phát triển tư duy cho học sinh, sinh viên.
 Khoá luận có thể sử dụng là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học sinh
đặc biệt là học sinh giỏi.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Mặt phẳng xạ ảnh
Định nghĩa 1.
Cho một tập hợp P , một K - không gian vectơ n  1 chiều V n1 , và một
song ánh p : V n1   P . Khi đó, bộ ba  P, p,V n1  được gọi là không gian
xạ ảnh n chiều trên trường K, liên kết với K - không gian vectơ V n1 bởi
song ánh p . Kí hiệu: P hoặc P n .
Mỗi phần tử của P n được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh P n .




Gọi u là vectơ khác 0 của V n1 và u là không gian vectơ con



một chiều sinh bởi u , thì p u

   U là một điểm nào của P . Khi đó, ta nói
n


vectơ u là đại diện của điểm U .

Định nghĩa 2.
Khi n  2 thì P 2 được gọi là mặt phẳng xạ ảnh.
Ví dụ.
* Mô hình bó
Cho An1 là không gian afin liên kết với K - không gian vectơ

 n  1 -chiều V n1 . Gọi

Β là tập hợp các đường thẳng của An1 cùng đi qua

một điểm O cố định cho trước. Tập hợp Β thường được gọi là bó đường
thẳng có tâm O .
Song ánh p : V n1   B được xác định như sau: nếu W là không gian
vectơ con một chiều của V n1 thì p W  là đường thẳng đi qua O có phương
W . Khi đó, bó đường thẳng Β trở thành K - không gian xạ ảnh n chiều.

3

Trong không gian xạ ảnh Β , mỗi điểm là một đường thẳng của An1 đi
qua O . Mỗi m - phẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái
phẳng m  1 chiều của An1 .
* Mô hình afin

Chú ý: Giả sử P là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ V
bởi song ánh p . Khi đó, nếu có tập hợp P và song ánh : p : P  P thì
P cũng là không gian xạ ảnh liên kết với V bởi song ánh p  p.

Cho An1 là không gian afin liên kết với K - không gian vectơ  n  1 chiều V n1 . Gọi An là siêu phẳng của An1 , có phương là không gian vectơ
con n chiều V n của V n1 . Xét tập hợp P  An  V n  , mà mỗi phần tử của nó
đều gọi là một điểm. Như vậy, mỗi điểm của P là một điểm của An , hoặc là
một không gian vectơ con một chiều của V n .
Chọn một điểm O của An1 không nằm trên An , và gọi Β là bó
đường thẳng trong An1 , có tâm O . Ta đã biết rằng Β là không gian xạ ảnh
n chiều. Xây dựng song ánh p : Β  P như sau:

 Nếu đường thẳng d của bó Β cắt An tại điểm D thì đặt:
p  d   D.


 Nếu d // An , tức là d V n thì đặt p  d   d .

Bằng cách đó tập P  An  V n  trở thành không gian xạ ảnh liên kết
O

với V n1 .

d

D

A
n

4


1.2. Nguyên tắc đối ngẫu
Định nghĩa 1.
Giả sử A là một mệnh đề nói về những cái phẳng của P n và về quan hệ
liên thuộc giữa những cái phẳng đó. Nếu trong A ta thay các từ “m-phẳng”
bằng các từ “(n-m-1)- phẳng” còn tất cả các từ khác giữ nguyên thì khi đó ta
được mệnh đề A* là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề A .
Ví dụ. Cách lập mệnh đề đối ngẫu trong P 2
Trong P 2 , để có mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M ta thay trong M các
từ “điểm” bởi các từ “đường thẳng” và ngược lại, còn các từ khác giữ nguyên.
Định nghĩa 2.
Nguyên tắc đối ngẫu: “Trong không gian xạ ảnh cặp mệnh đề đối ngẫu
với nhau hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai”.
Do đó, trong P n áp dụng nguyên tắc đối ngẫu ta có thể thay việc chứng
minh một định lí bằng cách chứng minh định lí đối ngẫu với định lí đó và có
thể giải một bài toán bằng cách giải bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho.
Ví dụ. Trong P 2 :
Điểm



đường thẳng

Hình ba đỉnh



hình ba cạnh

Hàng điểm



chùm đường thẳng

Hình bốn cạnh toàn phần 

hình bốn đỉnh toàn phần

1.3. Mô hình xạ ảnh của không gian afin
1.3.1. Xây dựng mô hình A

n

Giả sử P n là  - không gian xạ ảnh liên kết với  - không gian vectơ
n  1 chiều V n1 . Gọi W là một siêu phẳng nào đó của P n . Đặt An  Pn \ W .
n

Ta xây dựng A thành không gian afin bằng cách sau đây:

5

Đưa vào P n một mục tiêu xạ ảnh Si ; E với các đỉnh S1, S2 ,..., Sn nằm
trên W . Khi đó, siêu phẳng W sẽ có phương trình x0  0 .
Nếu điểm X  An thì X có toạ độ  x0 : x1 : x2 :...: xn  trong đó x0  0 (vì
X không thuộc W ). Bởi vậy, nếu ta đặt X i 

xi
, với i  1,2,..., n thì ta được
x0

một bộ thứ tự gồm n số  X1, X 2 ,..., X n  , với X i  . Nó được gọi là toạ độ
không thuần nhất của điểm X , và viết X   X1, X 2 ,..., X n  . Rõ ràng có một
song ánh từ tập An tới tập  n bằng cách cho mỗi điểm tương ứng với toạ độ
không thuần nhất của nó.
Nếu có hai điểm của An là X   X1, X 2 ,..., X n  và Y  Y1,Y2 ,...,Yn 

thì ta kí hiệu XY là vectơ Y1  X1,Y2  X 2 ,...,Yn  X n  của  n (xem  n là

không gian vectơ trên trường  ). Bằng cách đó ta có ánh xạ
 : n  n   n , thoả mãn các tiên đề của không gian afin và do đó An trở
thành không gian afin n chiều liên kết với không gian vectơ  n .
1.3.2. Một số thể hiện trong mô hình
* Các phẳng trong mô hình
Nếu m - phẳng xạ ảnh U của P n không nằm trên siêu phẳng W thì tập
U   U \ W là một m - phẳng afin trong không gian afin An .

* Thể hiện sự song song song của các phẳng trong mô hình
Cho r - phẳng xạ ảnh U và s - phẳng xạ ảnh V trong không gian xạ
ảnh P n , không nằm trên siêu phẳng W , với r  s . Khi đó U  W và V  W là

các phẳng xạ ảnh có số chiều lần lượt là r  1 và s  1 .
Khi đó nếu U  W  V  W thì r - phẳng afin U   U \ W song song
với s - phẳng afin V   V \ W .

6


Ví dụ. Nếu gọi a và b là hai đường thẳng trong P n , không nằm trên W , và
cắt nhau tại một điểm M thuộc W thì khi bỏ đi điểm M ta còn lại hai đường
thẳng afin a và b song song. Do đó, điểm M tuy không thuộc đường thẳng
afin a và b , ta vẫn gọi nó là “điểm vô tận” của a và b . Và như vậy, hai
đường thẳng là song song khi chúng có chung điểm vô tận.
* Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn
n
n
Trên mô hình A  P \ W của không gian afin cho bốn điểm thẳng

hàng và phân biệt A, B, C, D .
TH1: Không có điểm nào trong bốn điểm đó thuộc siêu phẳng W , ta có:

 A, B, C, D 

 A, B, C 
 A, B, D 

Như vậy trong không gian afin có thể định nghĩa tỉ số kép của bốn điểm thẳng
hàng A, B, C, D là tỉ số của hai tỉ số đơn  A, B, C  và  A, B, D  .
TH2: Nếu một trong bốn điểm là điểm vô tận, thí dụ D thuộc siêu phẳng W
thì khi đó  A, B, C, D   A, B, C 
Như vậy, tỉ số kép của ba điểm thẳng hàng A, B, C là tỉ số kép của ba điểm đó

và điểm vô tận của đường thẳng đi qua chúng.
Đặc biệt: Nếu  A, B, C   1 tức là khi C là trung điểm của đoạn thẳng AB ,
ta có thể nói: Trung điểm của đoạn AB là điểm cùng với điểm vô tận của
đường thẳng AB chia điều hoà cặp điểm A, B .
1.4. Ánh xạ xạ ảnh
1.4.1. Định nghĩa
Cho  - không gian xạ ảnh

 P, p,V 

và

 P, p,V  .

Một ánh xạ

f : P  P được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính  :V  V  ,


sao cho nếu vectơ x V là đại diện cho điểm X  P thì   x  V  là đại diện

cho điểm f  X   P .

7




(nói cách khác, nếu p  x   X thì p   x   f  X  ).





Khi đó, ta nói ánh xạ tuyến tính là  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f .
1.4.2. Tính chất
Cho ánh xạ xạ ảnh f : P  P , có đại diện là ánh xạ tuyến tính  :V  V  .
Khi đó:
a. Ánh xạ tuyến tính là  là đơn cấu.
b. Ánh xạ xạ ảnh f là đơn ánh.
c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm.
Do đó, ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều của
phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và
chùm bốn siêu phẳng.
d. Mỗi đơn cấu tuyến tính  :V  V  là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh
duy nhất f : P  P . Hai đơn cấu tuyến tính  :V  V  và   :V  V 
cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P  P khi và chỉ khi có số
k  \ 0 sao cho   k  .

Chú ý:
a) f : P n  P' n là ánh xạ xạ ảnh thì


f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.



f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.



f bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì.



f là song ánh.

b) Ngược lại, song ánh f : P n  P' n thoả mãn: f bảo tồn tính thẳng hàng
và bảo tồn tỉ số kép là ánh xạ xạ ảnh.

8


1.4.3. Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh
Định lí. Cho hai  - không gian xạ ảnh P và P có số chiều lần lượt là n và

m

 n  m  . Trong

P cho mục tiêu xạ ảnh S0 , S1,..., Sn ; E và trong P cho

n  2 điểm phụ thuộc S0 , S1,..., Sn ; E , sao cho bất kì n  1 điểm trong số đó

độc lập. Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh f : P  P sao cho
f  Si   Si, i  0,1,2,..., n và f  E   E .

1.5. Biến đổi xạ ảnh
1.5.1. Định nghĩa.
Ánh xạ xạ ảnh f : P  P là một song ánh khi và chỉ khi P và P có

cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và hai không gian
P và P được gọi là đẳng cấu.

Một đẳng cấu xạ ảnh f : P  P của không gian xạ ảnh P lên chính nó
được gọi là phép biến đổi xạ ảnh (hay ngắn gọn là biến đổi xạ ảnh ) của P .
1.5.2. Các định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh
Định lí 1. Nếu f : P n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba
điểm bất kì thì f biến m - phẳng thành m - phẳng.
Định lí 2. Nếu f : P n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm
và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh.
Định lí 3. Cho P n là không gian xạ ảnh trên trường số thực với n  1 . Nếu
f : P n  P n là một song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm bất kì thì nó

là phép biến đổi xạ ảnh.
1.6. Siêu mặt bậc hai
1.6.1. Định nghĩa và kí hiệu
Trong không gian xạ ảnh P n , với mục tiêu xạ ảnh Si ; E , tập hợp

 S  gồm những điểm  có toạ độ  x0 : x1 :...: xn  thoả mãn phương trình
9


n

a xx

i , j 0

ij i

j

1

0

được gọi là một siêu mặt bậc hai, xác định bởi phương trình (1).
Phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai  S 
đối với mục tiêu đã cho.
Ma trận  được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai  S  đối với
mục tiêu đã cho.
Nếu det   0 , tức ma trận  không suy biến, thì siêu mặt bậc hai

S 

được gọi là là không suy biến. Ngược lại, nếu det   0 , siêu mặt bậc hai

 S  được gọi là là suy biến.
Siêu mặt bậc hai trong P 2 được gọi là đường bậc hai. Siêu mặt bậc hai
trong P 3 được gọi là mặt bậc hai.
Định lí. Khái niệm siêu mặt bậc hai là một khái niệm xạ ảnh.
1.6.2. Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong P 2    và tên gọi
của chúng
Trong P 2    có 5 loại đường bậc hai:
1) x02  x12  x22  0 .
Nó được gọi là đường ôvan ảo.
2)  x02  x12  x22  0 .
Nó được gọi là đường ôvan, hay đường cônic.
3) x02  x12  0
Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liện hợp. Nó chỉ gồm 1 điểm thực duy

nhất là  0 : 0 :1 .
4)  x02  x12  0

10


Đây là cặp đường thẳng có phương trình : x0  x1  0 và  x0  x1  0 .
5) x02  0
Đây là cặp đường thẳng trùng nhau.
1.6.3. Đƣờng ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực
Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 , và
A2  P2 \ W là mặt phẳng afin thực. Khi đó,

Nếu  S  là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 thì trong mặt phẳng afin
A2  P2 \ W , tập  S  \ W sẽ là:

- Đường elip, nếu  S  không cắt W .
- Đường hypebol, nếu  S  cắt W tại hai điểm phân biệt.
- Đường parabol, nếu  S  tiếp với W .
1.7. Siêu phẳng tiếp xúc, siêu diện lớp hai
Định nghĩa 1
Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai  S  nhưng không phải điểm kì
dị của  S  thì siêu phẳng đối cực của Y * của Y đối với  S  được gọi là siêu
phẳng tiếp xúc của  S  tại Y , hay còn gọi là siêu tiếp diện của  S  tại Y . Rõ
ràng Y nằm trên siêu phẳng Y * . Điểm Y được gọi là tiếp điểm.
Bất kì m - phẳng nào đi qua Y và nằm trong siêu tiếp diện Y * của  S 
tại Y đều gọi là m - phẳng tiếp xúc của  S  tại Y . Khi m  1 , ta có đường
thẳng tiếp xúc của  S  tại Y , hay còn gọi là tiếp tuyến của  S  tại Y .
Định nghĩa 2
Trong P n với mục tiêu đã chọn, một siêu diện lớp hai được định nghĩa

là tập hợp  S * tất cả các siêu phẳng U   u0 : u1 :...: u2  mà toạ độ của chúng
thoả mãn phương trình:

n

a uu

i , j 0

ij i

j

 0 , trong đó aij  a ji và chúng không đồng

thời bằng 0.
11


Phương trình đó gọi là phương trình của siêu diện lớp hai  S *  đối với
mục tiêu đã chọn.
Kí hiệu A   aij  , i, j  0,1,..., n được gọi là ma trận của  S *  đối với
mục tiêu đã chọn.
Nếu det A  0 , siêu diện lớp hai

 S  gọi
*

là không suy biến, nếu

det A  0 ,  S *  gọi là suy biến. Siêu diện lớp hai trong P 2 còn được gọi là

tuyến lớp hai.
Định lí Mac - Laurin. Tập hợp các siêu phẳng tiếp xúc của một siêu mặt bậc
hai không suy biến là một siêu diện lớp hai không suy biến. Ngược lại, mỗi
siêu diện lớp hai không suy biến gồm những siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt
bậc hai không suy biến.
Hệ quả. Giả sử ta có một mệnh đề M nào đó có liên quan đến khái niệm siêu
mặt bậc hai không suy biến. Trong mệnh đề (M*) đối ngẫu của M, cụm từ
“siêu mặt bậc hai” sẽ được thay bằng cụm từ “siêu diện lớp hai”.
Ví dụ. “Cho hai điểm thuộc một siêu mặt bậc hai” sẽ trở thành “Cho hai siêu
phẳng thuộc một siêu mặt lớp hai”.
Một cách tổng quát, có thể nói rằng: nguyên tắc đối ngẫu vẫn được áp dụng
đối với những mệnh đề liên quan tới siêu mặt bậc hai không suy biến.
1.8. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đƣờng thẳng và chùm đƣờng thẳng trong P 2
1.8.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa các đƣờng thẳng
Định nghĩa 1.
Tập hợp các điểm thuộc một đường thẳng được gọi là một hàng điểm.
Nếu đường thẳng đó là s thì hàng điểm cũng kí hiệu là s hoặc hgs .
Định nghĩa 2.
Cho f : s  s là song ánh thì f là ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi f bảo
tồn tỉ số kép của bốn điểm bất kì trên s . Khi đó, f là ánh xạ xạ ảnh giữa các
hàng điểm.
12


Ánh xạ này xác định duy nhất bởi ba điểm phân biệt A, B, C trên s và
ảnh của chúng   f    ,   f    , C  f  C  trên s . Khi đó, mỗi điểm
M  s sẽ có ảnh M   s sao cho  A, B, C, M    A, B, C, M  .

Định nghĩa 3.
Trong P 2 cho hai đường thẳng phân biệt s, s và một điểm O không
thuộc chúng. Ánh xạ
f : s  s
M  M

sao cho O, M , M  thẳng hàng được gọi là phép chiếu xuyên tâm với tâm O từ
hàng điểm s vào hàng điểm s .
O
M

s

N

I

s‟

N‟

Nhận xét:
Nếu gọi giao điểm của s và s là I thì hiển nhiên f  I   I . Điểm I
được gọi là điểm tự ứng của phép chiếu xuyên tâm f .
Định lí 1. Phép chiếu xuyên tâm là ánh xạ xạ ảnh.
Chứng minh
 Hiển nhiên f là song ánh.
 f bảo tồn tỉ số kép vì:
 M1' , M 2' , M 3' , M 4'   OM1' , OM 2' , OM 3' , OM 4'    M1, M 2 , M 3 , M 4  .

13


Định lí 2. Ánh xạ xạ ảnh f : s  s giữa hai hàng điểm s và s là phép chiếu
xuyên tâm khi và chỉ khi giao điểm của s và s là điểm tự ứng.
Chứng minh
 Hiển nhiên theo nhận xét.
 Gọi Q  s  s . Trên s , lấy hai điểm phân biệt A, B khác Q và gọi

A  f  A , B  f  B  , P  AA  BB .

Giả sử f  : s  s là phép chiếu xuyên tâm với tâm P thì f  Q   f   Q  ,
f  A  f   A , f  B  f   B nên f trùng với f  .

1.8.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa các chùm đƣờng thẳng
Định nghĩa 1.
Tập hợp tất cả các đường thẳng trong P 2 cùng đi qua một điểm S được
gọi là chùm đường thẳng tâm S và kí hiệu S  hoặc chS .
Nhận xét: Chùm đường thẳng là khái niệm đối ngẫu của khái niệm hàng
điểm (trong P 2 ).
Định nghĩa 2.
Cho hai chùm đường thẳng phân biệt S  và S  trong P 2 . Một ánh
xạ f : S  S  (biến một đường thẳng của

S thành

một đường thẳng

của S  ) được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỉ số kép của bốn
đường thẳng bất kì. Khi đó, f được gọi là ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm

đường thẳng.
Rõ ràng, khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng” là
đối ngẫu với khái niệm “ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm”. Do đó ta có:
ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm được xác định khi biết ảnh của ba đường
thẳng phân biệt.

14


Định nghĩa 3.
Trong P 2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt S  và S  và một
đường thẳng  không thuộc chúng (có nghĩa là  không đi qua S và S  ).
Ánh xạ xạ ảnh
f : S   S 
m  m

sao cho , m, m đồng quy được gọi là phép chiếu xuyên trục từ S  vào S  .
 được gọi là trục của phép chiếu f .

Phép chiếu xuyên trục là khái niệm đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm.
Hiển nhiên, phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường
thẳng.
S‟

S

m‟
m


Ánh xạ xạ ảnh giữa các đường thẳng và chùm đường thẳng trong

P 2 còn được gọi là ánh xạ phối cảnh.
Định lí 1. Ánh xạ xạ ảnh f : S  S  giữa hai chùm đường thẳng S  và

S  là phép chiếu xuyên trục khi và chỉ khi đường thẳng

SS  tự ứng.

Định lí 2. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : s  s hoặc g : S  S  trong đó
s  s, S  S  là tích của hai phép chiếu xuyên tâm hoặc tích của hai phép chiếu

xuyên trục, tuỳ theo hai dạng cấp một tương ứng là hàng điểm hay chùm
đường thẳng.
15


1.8.3. Định lí Steiner
Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2   
a. Cho hai điểm cố định S1 , S2 nằm trên một đường ôvan và một điểm
M thay đổi trên ôvan đó. Khi đó ánh xạ f : S1  S2  biến đường thẳng

S1M thành đường thẳng S2 M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu

xuyên trục.
b. Ngược lại: cho ánh xạ xạ ảnh f : S1  S2  giữa hai chùm phân biệt

S1,S2 . Nếu

f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm

của các đường thẳng tương ứng là một đường ôvan.
1.8.4. Định lí đối ngẫu của định lí Steiner
a. Nếu s1 và s2 là hai tiếp tuyến phân biệt của một đường ôvan và m là
một tiếp tiếp tuyến thay đổi của ôvan đó. Khi đó ánh xạ f : s1  s2 biến điểm
s1  m thành điểm s2  m là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên

tâm.
b. Ngược lại, nếu f : s1  s2 là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm s1 và s2 .
Khi đó, nếu f không phải là phép chiếu xuyên tâm thì các đường thẳng nối
hai điểm tương ứng sẽ tiếp với một đường ôvan. Đường ôvan đó tiếp với s1
và s2 lần lượt tại f 1  Q  và f  Q  với Q  s1  s2 .
1.8.5. Phép cắt, phép nối trong P 2
Gọi B là chùm đường thẳng tâm O . d là đường thẳng không đi qua O .
Ánh xạ:
g : B  d, mB  m  d
h : d  B, M  d  OM

Gọi g là phép cắt bó B bởi d và gọi h là phép nối d bởi O .
Ta có g và h là ánh xạ xạ ảnh.
16


1.9. Biến đổi xạ ảnh đối hợp của đƣờng thẳng
Định nghĩa.
Phép biến đổi xạ ảnh f : P n  P n được gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối
hợp (hoặc gọi tắt là phép đối hợp) của P n nếu f 2  Id Pn .
Định lí 1. Cho s là đường thẳng trong P n . Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng
nhất f : s  s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M
và M  sao cho M   f  M  , M  f  M  .

Định lí 2. Cho phép đối hợp f : s  s của đường thẳng s khác phép đồng
nhất. Nếu f có một điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất
động nữa Q khác P , và nếu điểm M của s có ảnh M  khác M thì

 P, Q, M , M   1.
Định lí 3. (Xác định một phép đối hợp) Một phép đối hợp f , khác phép
đồng nhất, của đường thẳng s được xác định nếu cho hai điểm phân biệt

A, B thuộc và ảnh A‟, B‟ của chúng.
Định lí 4. (Định lí Đơdác thứ hai) Trong P 2 cho một chùm đường bậc hai
S  A, B, C, D  và đường thẳng s không đi qua A, B, C, D . Khi đó một đường

bậc hai của chùm sẽ cắt s theo một cặp điểm tương ứng với nhau trong một
phép đối hợp xác định của s .
Định lí 5. (Định lí đối ngẫu của định lí Đơdác thứ hai) Xét tập hợp các
đường bậc hai tiếp xúc với bốn đường thẳng cho trước a, b, c, d trong đó
không có ba đường nào đồng quy. Gọi I là một điểm không nằm trên
a, b, c, d . Khi đó hai tiếp tuyến tử điểm I của mỗi đường bậc hai nói trên sẽ

tương ứng với nhau trong cùng một phép đối hợp xác định của chùm  I  .

17


1.10. Mô hình xạ ảnh của E 2
1.10.1. Xây dựng mô hình
Nếu ta chọn trong không gian xạ ảnh n chiều một siêu phẳng P n1 làm
siêu phẳng vô tận, ta được một không gian afin n chiều An  Pn \ Pn1 .
Bây giờ ta định nghĩa tích vô hướng cho hai vectơ bất kì trong không
gian vectơ liên kết với không gian afin An , ta sẽ làm cho An trở thành không

gian Ơclit n chiều E n . Mô hình đó được gọi là mô hình xạ ảnh của không
gian Ơclit.
1.10.2. Một số kết quả của hình học Ơclit trong mô hình E 2  P2 \ 
Giả sử I , J là hai điểm xyclic của mặt phẳng xạ ảnh.
* Hai đường thẳng a, b có hai phương xác định lần lượt bởi hai điểm vô tận
U , V trên  , biểu thị cho hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu:

U , V , I , J   1.
U

I
a

V



J

b

* Đường tròn là đường ôvan  S  cắt đường vô tận  tại hai điểm xyclic
I, J .



J

I

S 

* Đường hypebol là đường ôvan  S  cắt  tại hai điểm phân biệt M , N sao
cho  M , N , I , J   1 .

18


Các tiếp tuyến của  S  tại M , N là các đường tiệm cận của hypebol. Các
tiếp tuyến này cắt nhau tại O là tâm của hypebol.

O
M



N
I

J

S 
* Đường parabol là đường ôvan  S  tiếp xúc với đường vô tận  tại U . Gọi
T là điểm trên  sao cho U , T , I , J   1.

Gọi UM là đường đối cực của T đối với  S  . Như vậy, UM là trục đối xứng
của parabol và ta có MT  MU vì U , T , I , J   1.
Các đường thẳng qua U biểu thị các đường thẳng song song với trục MU
trong đó M là đỉnh của parabol.
Các tiếp tuyến xuất phát từ I và J cắt nhau tại tiêu điểm F . Đường đối cực

của F là đường thẳng  d  đi qua T biểu thị cho đường chuẩn của parabol.



T

I

U

J

S 

d
d
M
F

19


* Đường ellip là đường ôvan  S  không cắt đường thẳng vô tận  . Từ một
điểm M trên  ta dựng hai tiếp tuyến tiếp xúc với  S  tại A, B ta có AB là
một đường kính của ellip. Tương tự từ điểm N  M ở trên  ta dựng được
một đường kính khác là CD của ellip. Điểm O  AB  CD biểu thị cho tâm
của ellip. Như vậy đường thẳng  là đường đối cực của O đối với  S  .



N

M

C

S 
A

B
O
D

20