chuyên đề Tập giá trị của hàm số

I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.
1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
Cho tập X ⊆ R. ánh xạ f : X → R được gọi là một hàm số xác định trên X. Tập
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):x ∈ X} được gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .
2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
Cho X ⊆ R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x ∈ X xác định được
một giá trị tương ứng y ∈ R thì quy tắc f được gọi là một hàm số của x và viết
y=f(x). x được gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập
hợp tất cả các giá trị y với y =f(x); x ∈ X gọi là tập giá trị của hàm số f.
3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
Cho Φ ≠ X ⊆ R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tương ứng mỗi
phần tử x ∈ X xác định duy nhất một phần tử y ∈ R.
x được gọi là biến số hay đối số .
y được gọi là giá trị của hàm số tại x.
X được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số.
Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x ∈ X}.

II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
1.Hàm hằng số :
Y = f(x) = c
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị : T = { c} .
2.Hàm số bậc nhất :
Y = f(x) =ax +b ( a≠0 ).
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R .
3.Hàm số bậc hai :
y = a x2 + b x +c ( a≠0 ).
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị của hàm số :

∆
; + ∞ ).
4a
∆
+ Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (- ∞ ;- ] .
4a
4.Hàm số y = x .

+ Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[ -

Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R*+ .
5. Hàm số y = [x ] .
Tập xác định : D = R .
1


Tập giá trị : T = Z .
6. Các hàm số lượng giác:
+ y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] .
+ y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R .
7. Hàm số mũ:
y = ax ; 0 < a ≠ 1 :
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị của hàm số : T = R*+ .
8. Hàm số Lôgarít :
y = Logax ; 0 < a ≠ 1 :
Tập xác định : D = R*+ .
Tập giá trị
:T=R.

III/ Một số phương pháp tìm tập giá trị của hàm số .
1.Phương pháp 1:Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của
hàm số ngược của nó .
Ta đã biết hai hàm số ngược nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định
của hàm số kia và ngược lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập
xác định của hàm số ngược của nó:
Ví dụ 1:
3x + 5
.
2x − 1
1
Hàm số có tập xác định là D = R \   .
2
3x + 5
Với mọi x ∈ D ta có :
y=
2x − 1
⇔ y(2x -1) = 3x + 5
⇔ ( 2y – 3) x = y + 5
y+5
⇔x=
.
2y − 3

Tìm tập giá trị của hàm số y =

Biểu thức có nghĩa khi : 2y – 3 ≠ 0
⇔ y≠

3
2

Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\ {32 } .
áp dụng phương pháp này ta có thể tìm được tập giá trị của một số hàm số sau
coi như bài tập
1. y =

a
x

2. y =

ax + b
cx + d

3. y = ax 2 + bx + c

2


2.Phương pháp 2:Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của
phương trình : f(x) = y
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình f(x) = y ta đánh giá được
y ∈ [a;b] từ đó ta tìm được tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1:

Tìm tập giá trị của hàm số y =

x2 − x +1

x2 + x +1

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình sau có nghiệm
y=
2

x2 − x +1
x2 + x +1

2

⇔ y x +yx + y =x – x + 1

có nghiệm

2

⇔ ( y – 1 )x +(y + 1 )x + y – 1 = 0 có nghiệm

Nếu y = 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 .
Nếu y ≠ 1 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
∆' = (y + 1) - 4(y – 1) ≥ 0
2
⇔ - 3y +10 y – 3 ≥ 0

⇔

1
≤ y ≤ 3.
3

1
Vậy tập giá trị của hàm số là T =  ;3 .
3 

Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =

Sinx + 2Cosx + 3
2 Sinx + Cosx + 3

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
y là một giá trị của hàm số thì phương trình sau có nghiệm
y=

Sinx + 2Cosx + 3
2 Sinx + Cosx + 3

⇔ 2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3
⇔ ( 2y – 1) Sinx + (y – 2) Cosx = 3 – 3y
⇔ ( 2y – 1)2 +( y+2)2 ≥ (3 – 3y)2
⇔ 2y2 -5y + 2 ≤ 0
⇔ 1≤ y≤2

có nghiệm
có nghiệm

2

Vậy tập giá trị của hàm số là T =  ;2 .
2 
1

* Sau đây là một số bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
3


1.

y=

2x + 1
x−5

2. y = − x 2 + x + 1

3. y =

x 2 − 3x + 4
x2 +1

2 sin x + cos x − 3
3 cos x − 4 sin x + 7
− 2 sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos 2 x − 1
y=

3 sin 2 x − 4 sin x cos x + cos 2 x + 2
y = sin 2 x + 4 sin x cos x

4.

y=

5.
6.
7.

y = cos 3 x cos 3 x − sin 3 x sin 3 x .

Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số y =

x 2 + ax + b
có tập giá trị là [0;2] .
x2 +1

x2 − x + a
có tập giá trị là R.
2x − a
x −1
Bài 4 : Tìm a để hàm số y = 2
có tập giá trị chứa [-1;0] .
x −a

Bài 3 : Tìm a để hàm số y =

Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số

3 x 2 + 10 xy + 20 y 2
f ( x, y ) =
trên miền D = ( x, y ) : x 2 + y 2 f 0
2
2
x + 2 xy + 3 y

{

}

3 /Phương pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất đẳng thức.
Bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh được
m ≤ y ≤ M và chỉ ra được dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận được tập giá trị
của hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số
16

y =x +

x +1

+ 2005

Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+ ∞ )
8

áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương x + 1 ;
x +1+

8
x +1

+

8
x +1

8

≥ 33 ( x + 1).

⇔

x +1

16

x+

x +1

.

8
x +1

x +1

;

= 12 ⇔ x+

8
x +1
16

ta có

x +1

≥ 11

+ 2009 ≥ 2020

Hay Y ≥ 2020
Dấu = xảy ra ⇔ x+1=

8
x +1

⇔ (x+1). x + 1 =8
⇔ x=3

Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+ ∞
x → +∞
Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+ ∞ ).
VD2:
Tìm TGT của hàm số y= x + 1 + 8 − x
4

Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]
Dễ thấy y ≥ 0
2
Ta có :y =9 + 2 ( x + 1).(8 − x) ≥ 9 đẳng thức xảy ra ↔ x=-1 hoặc x=8 → y ≥ 3
Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:
2 ( x + 1)(8 − x) ≤ x+1 +8-x =9 → y 2 ≤ 9 +9 = 18 ↔ y ≤ 3 2
đẳng thức xảy ra → x+ 1= 8 – x ↔ x =

7
mà hàm số liên tục trên D
2

→ TGT của hàm số là [3;3 2 ].

* Nhận xét: Bằng phương pháp này kết luận dược tập giá trị của hàm số đồng thời
cũng kết luận được về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quan
trọng về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau
** Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm TGT của hàm số:
y = x + 1 + 2 x + 5 + 3x − 10 .
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:
f ( x, y ) = 4 − 5 x 2 − 2 y 2 + 2 xy + 8 x + 2 y .
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :
f ( x, y ) =

x+ y
xyz

trên miền D = {( x; y; z ) : x; y; z f 0; x + y + z = 1}

4/Phương pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát hàm số:
Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số .
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số .
x +1

VD1: Tìm TGT của hàm số : y =

x 2 +2

Hàm số có TXĐ: D = R
y' =

2− x
( x 2 +2) x 2 +2

y, = 0 ↔ x= 2; y(2 ) =
Lim

x +1
x 2 +2

x → −∞
lim

x +1

x 2 +2
x → +∞

3
2

1
x = -1
2
1+ 2
x

1+

= lim
x → −∞
=1

do đó ta có bảng biến thiên

5


x
y’

2
0

−∞

+

+∞

-

3
2

y
1
-1
Từ bảng biến thiên → TGT của hàm số là T=[-1;

3
].
2

Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :
f ( x, y ) =

( x + y) 3
trên miền D = {( x, y ) : x f 0, y f 0}
x2 y

Lời giải:
x
( + 1) 3
y
,
f ( x, y ) =

x 2
( )
y

Ta có

x
=t
y

đặt

với

t≥0

(t + 1) 3
t2
t (t + 1) 2 (2t − 1)
1
⇔ g , (t ) =
=0⇔t=
4
2
t

thì

f ( x, y ) = g (t ) =

Ta có bảng biến thiên
t

1
2

0

g ,(t)

-

0

+∞

+∞

+
+∞

g (t)
27
4

Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T= 

27

,+∞  .

4


*Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận được về GTLN,
GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phương trình
và giảI được bất phương trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số
chúng ta sẽ xết ở phần sau
Để xét các bài toán ứng dụng được tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 + 3 ) 2 x +(2 - 3) 2 x -8[(2+ 3 ) x +(2 − 3 ) x ].
6


Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số: f ( x, y ) =

x4 y4
x2 y 2
x y
+
−
(
+ 2 )+ + .
4
4
2
y x
y
x
y
x

Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số
y = sin20x + cos20x .
Bài 4 : Tìm tập giá trị của hàm số : f ( x, y ) = 3 x + 3 y
trên miền D = {( x, y ) : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y = 1}.

IV. Một số bài toán nâng cao về tìm TGT của hàm số.
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán về tìm tập giá trị cũng như các ứng
dụng của nó chúng ta cùng giải một số bài toán nâng cao.
Bài 1: Tìm tập giá trị của hàm số Y =x 4 - 6 x 2 +2.
Lời giải :
Tập xác định của hàm số là D = R.
đặt t= x 2 , thì t ≥ 0 Khi đó ta có y = g(t)= t 2 - 6t + 2 với t ∈ [0;+∞)
y ' =g ' (t)= 2t – 6
g ' (t) = 0 ↔ t = 3
Bảng biến thiên
t
0
3
+∞
'
y
0
+
2
+∞
y

-7
Vậy TGT của hàm số là: T= [− 7;+∞ )
Bài 2: Tìm TGT của hàm số

3

12 x( x − a ) 
y=  2
 x + 36 

4

với a ≠ 0

Lời giải:
đặt z =

12 x( x − a )
x 2 + 36

thì y =

4

z3

với z ≥ 0 và y ≥ 0

z( x2+36) = 12x(x-a)
2
⇔ (12 –z) x – 12ax – 36 z = 0
để 0 ≤ z ∈ Tập giá trị của hàm số thì phương trình trên phải có nghiệm
Ta có

Nếu z = 12 thì phương trình ⇔ ax +36 = 0 ⇔ x =

− 36
a

Nếu z ≠ 12 thì phương trình có nghiệm
⇔ ∆' = 36a 2 + 36 z (12 − x) ≥ 0
2
2
⇔ z -12z- a ≤ 0

7


⇔ 6 − 36 + a 2 ≤ z ≤ 6 + 36 + a 2
 z ≠ 12
Do z ≥ 0 nên 
12 ≤ 6 + 36 + a 2

[

→ z ∈ 0;6 + 36 + a 2

]


3



Vậy tập giá trị của hàm số là T = 0; (6 + 36 + a 2 ) 4  .



x +1
Bài 3 : Tìm a để tập giá trị của hàm số y = 2
chứa [0;1] .
x +a

Lời giải:
x +1
1
=
≠ 0∀x ≠ 1
2
x −1 x −1
→ tập giá trị của hàm số là (− ∞;0) ∪ (0;+∞ ) không chứa [0;1]
x +1
Nếu a ≠ 1 thì
y= 2
x +a
2
↔ y(x +a) = x+1
2
↔ yx – x + ay – 1 = 0
xét
y =0→ x=-1
xét
y ≠ 0 ta có y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương

Nếu a = -1 thì y =

trình

yx2 – x + ay – 1 = 0 có nghiệm
↔ ∆ = 1 − 4 y (ay − 1) ≥ 0
2

↔ 4ay − 4 y − 1 ≤ 0

để tập giá trị của hàm số chứa [0 ; 1] thì g ( y ) ≤ 0 đúng với mọi y ∈ [0;1]
+ nếu a=0 thì g(y) = -4y – 1 ≤ 0 ↔ y ≥ −

1
4

1
→ tập giá trị của hàm số là [− ;+∞) ⊃ [0;1]
4
+ nếu a ≤ 0 thì g ( y ) ≤ 0∀y ∈ [0;1] luôn đúng
4ag (1) ≤ 0
4 a − 5 ≤ 0
5
↔0≤a≤
+ nếu a ≥ 0 thì g ( y ) ≤ 0 ↔ 
↔
4
4ag (0) ≤ 0
− 1 ≤ 0

Kết hợp các khả năng đã xét ta có các giá trị của a thoả mãn bài toán là
−1 ≠ a ≤

5
.
4

Bài 4 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2000x + 2000-x
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R
Với mọi x ∈ R ta có 2000x > 0 và 2000-x > 0
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
y = 2000 x + 2000 − x ≥ 2 2000 x .2000 − x = 2

8


lim y = +∞
x → −∞

Mặt khác ta có:

lim y = +∞
x → +∞

Do đó tập giá trị của hàm số là T= [2;+∞) .
Bài 5 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x +

1
x

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R\ {0}
Với mọi x khác 0 ta có
y = x+

1
1
1
= x + = x + ≥2
x
x
x

 y ≤ −2
↔
y ≥ 2

dấu = xảy ra khi x = ±1
Vậy tập giá trị của hàm số là T = (− ∞;−2] ∪ [2;+∞ ) .
Bài 6 : Tìm tập giá trị của hàm số y =

2x
1+ x2

Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Ta có

y =

2x
1+ x

2

≤

2x
2x

= 1∀x ≠ 0

→ −1 ≤ y ≤ 1 dấu = xảy ra khi x= 1 hoặc x= -1

Mặt khác với x = 0 ta có y = 0
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [ -1 ; 1 ]
Bài 7: Tìm miền giá trị của hàm số y = lg(1- 2cosx).
Lời giải:
Biểu thức xác định hàm số có nghĩa khi
1 – 2cosx > 0 ↔ cosx <
π
3

1
2

5π
+ k 2π (k ∈ Z )
3

1 – 2cosx ∈ (0;3]

+ k 2π < x <

mặt khác :
nên
y ∈ (− ∞; lg 3]
Vậy tập giá trị của hàm số là T = (− ∞; lg 3] .
Bài 8 : Tìm tập giá trị của hàm số y =

1 + Sin 2 x
1 + Cos 2 x

Lời giải:
Để tìm tập giá trị của hàm số ta tìm y để phương trình

9


y=

1 + Sin 2 x
1 + Cos 2 x

có nghiệm

2

2

↔ y + y Cos x = 1 + Sin x
2
2
↔ y + y ( 1 - Sin x) = 1 + Sin x
2
↔ ( y + 1) Sin x = 2y – 1

Với

y = -1 phương trình trở thành : 0 = -1 phương trình vô nghiệm

Với

y ≠ −1 phương trình tương đương Sin 2 x =

2y −1
y +1

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
0≤
↔

2y −1
≤1
y +1

1
≤ y≤2
2

Vậy tập giá trị của hàm số là T =  ;2 .
2 
1

V/ ứng dụng của tập giá trị của hàm số .
Sử dụng các bài toán về tìm tập giá trị của hàm số chúng ta đông thời giải quyết
được một số bài toán quan trọng thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào các
trường ĐH- CĐ.
1.ứng dụng 1: Chứng minh bất đẳng thức.
VD 1: chứng minh rằng : ln(1+x) > x -

x2
2

với mọi x > 0 .

Lời giải:
xét hàm số
có

f ( x) = Ln(1 − x) − x +

x2
2

trên (0;+∞ )

1
x2
f ( x) =

−1+ x =
≥ 0∀x ∈ (0;+∞)
x +1
x +1
'

Bảng biến thiên:
x
f ‘(x)

0

+∞

+
+∞

f (x)

0
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là: (0;+∞ )
Vậy f (x) > 0 với mọi x hay ta có điều phải chứng minh.
10


VD 2: Chứng minh rằng 2 < log 2 3 + log 3 2 <

3 2
2

Lời giải:
đặt x = log 2 3 → log 2 =
3

1
x

và 1 < x < 2

1
với 1 < x < 2
x
1
xét hàm số f ( x) = x +
trên 1; 2
x
x2 −1
'
có
f ( x) =
. > 0∀x ∈ (1; 2 )
x2

→ log 2 3 + log 3 2 = x +

(

bảng biến thiên
x
1

’
f (x)

)

2

+
3 2
2

f (x)

2
Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh.
2/ ứng dụng 2: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số hay một biểu thức
π
VD 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + Cos2x trên 0;  .


4

π
xét hàm số y = x + Cos2x trên 0;  .


4
π
y ‘ = 1 – Sin2x ≥ 0 với ∀x ∈ 0;  .
 4

Có

Bảng biến thiên
x
y

π

0
‘

4

+
π
4

+

2
2

y

1
Từ bảng biến thiên ta có
11

π

Maxy = +
4

2
; Min y =1.
2

VD 2: Cho x,y là 2 số không đồng thời bằng 0
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A=

x2 + y2
x 2 + xy + 4 y 2

Lời giải:
Nếu y = 0 thì x ≠ 0 và A = 1
x2
+1
y2
Nếu y ≠ 0 ta có A = 2
x
x
+ +4
2
y
y

đặt

x
=t
y

ta có A =

t2 +1
t2 +t + 4

Bằng cách khảo sát hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số như sau
t
−∞
− 3 − 10
− 3 + 10
+∞
’
A
+
0
0
+
A
20 + 6 10
20 + 5 10

1

1
20 − 6 10

20 − 5 10

Từ bảng biến thiên ta có kết luận:
Min A =

20 − 6 10
20 − 5 10

; Max A =

20 + 6 10
20 + 5 10

ứng dụng 3: ứng dụng vào việc giải phương trình
VD1: Giải phương trình: 3 x + 13 + 3 x − 13 = 4 .
Xét hàm số f ( x) = 3 x + 13 + 3 x − 13 trên R
f ' ( x) =

1
33 ( x + 13)

2

+

1
33 ( x − 13) 2

> 0∀x ≠ ±13

12


BBT:
x
f ' ( x)
f (x)

-∞
+

-13
//

+

13
//

3

3

+∞
+

26

− 26

Nhận xét thấy tại x= 14 thì f(x) = 4 mà hàm số luôn đồng biến trên R. Vậy pt
có 1 nghiệm duy nhất x = 14
VD2: Tìm b để pt sau có nghiệm: x 4 − 2 x 2 − 2b + 2 = 0
*Nhận xét: Nếu áp dụng điều kiện có nghiệm của pt trùng phương thì bài toán
trở nên rất phức tạp, nhiều trường hợp xảy ra.
ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số như sau:
Phương trình ↔ 2b = x 4 − 2 x 2 + 2
đặt t = x 2 thì t ≥ 0 và 2b = t 2 − 2t + 2
Xét hàm số f(t) = t 2 − 2t + 2
f ' (t ) = 2t − 2 ↔ f ' (t ) = 0 ↔ t = 1
BBT:
t
0
1
+∞
'
0
+
f (t )
2
+∞
f ( t)

1
Từ BBT ta thấy pt có nghiệm ↔ 2b ≥ 1

↔b≥

1
2

VD3: Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của pt
x + 3 = m x2 +1
x+3
Phương trình ↔ m = 2
x +1
x+3

Xét hàm số f(x) =

x2 +1

TXĐ: D = R
13


Bằng cách khảo sát hàm số ta có BBT như sau
X
f ' ( x)
f (x)

-∞
+

1/3
0

∞+

-

10

-1

1

Từ BBT ta có kết quả sau m ≤ −1 pt vô nghiệm
− 1 < m ≤ 1 pt có 1 nghiêm
1 < m < 10 pt có 2 nghiệm
m = 10 pt có 1 nghiệm
m > 10 pt vô nghiệm
ứng dụng 4: ứng dụng vào việc giải BPT
VD1: Giải BPT: x( x 8 + x 2 + 16) > 6(4 − x 2 )
↔ x 9 + x 3 + 6 x 2 + 16 x − 24
trên R
Có f(1) = 0
'
Và f ( x) = 9 x 8 + 3x 2 + 12 x + 16
= 9 x 8 + 3( x 2 + 4 x + 4) + 4
= 9 x 8 + 3( x + 2) 2 + 4 > 0∀x
⇒ Hàm số đồng biến trên R
BBT:
-∞
1
+∞
x
'
+
f ( x)

+∞

0

f (x)
−∞

Từ bảng biến thiên ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:
D = (1;+∞ ) .
VD2: Giải bất phương trình: 5 x + 12 x > 13 x .
Lời giải:
Bất phương trình tương đương
5
13

5
12
( )x + ( )x > 1
13
13

12
13

xét hàm số f ( x) = ( ) x + ( ) x là hàm số nghịch biến trên R
ta có bảng biến thiên

14

x
f (x)

-∞

f (x)

+∞

2
+

+∞

1
0
Từ bảng biến thiên ta có tập nghiệm của bất phương trình là (− ∞;+2 )
* Trên đây chúng ta đã xét một số phương pháp tìm TGT của hàm sốvà một số
ứng dụng của nó. Sau đây chúng ta tự làm một số bài tập để rèn luyện thêm kỹ
năng giải toán. Một bài toán thì có thể có nhiều phương pháp giải chúng ta hãy
giải các bài tập dưới đây bằng nhiều phương pháp và chọn một cách giải phù hợp
nhất.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm TGT của các hàm số sau:
2x + 3
2
3x + 4 x + 5
Cosx
3. y =
2 + Sinx

1. y =

5. y =

2. y =

3 x 2 + 10 x + 20
x 2 + 4x + 5

4. y = 4 Sinx + 4 Cosx

Cosx + 2 Sinx + 3
2Cosx − Sinx + 4

mx 2 + (1 − m) x + 1 + 2m
6
Bài 2: Tìm m để hàm số y =
có TGT là  ;2 .
2
x −x+2
7 

Bài 3: Tìm m và n để TGT của hàm số
x 2 + mx + n
là [− 1;9] .
x2 +1
20 x 2 + 10 x + 3
Bài 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y =
.

3x 2 + 2 x + 1
kSinx + 1
Bài 5: Tìm k để hàm số y =
có GTNN nhỏ hơn -1.
2 + Cosx
m(1 + 2Cosx) + 1
Bài 6: Tìm m để hàm số y =
có GTLN đạt GTNN.
Sinx + Cosx + 2
y=

Bài 7: CMR :
Bài 8: CMR:

Cos3 x + aSin3 x + 1 1 + 1 + 3a 2
≤
2 + Cos3 x
3
3

với ∀x .

1 + x + 3 1 − x ≤ 2 với ∀x .

15


Bài 9: CMR:

π

Sinx + Tanx > 2 x với ∀x ∈ (0; ) .
2

Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2 + Cosx
.
Sinx + Cosx − 2

Bài 11: Cho x, y thoả mãn x 2 + xy + y 2 = 2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
A = x 2 − 2 xy + 3 y 2 .
Bài 12: Cho x, y ∈ R và thoả mãn x 2 − xy + y 2 = 1 .Tìm GTNN của biểu thức:
M
M = xy + y 2 .
Bài 13: Cho x,y ≠ 0 và thoả mãn (x + y )xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm GTLN, GTNN của
biểu thức A =

1
1
+ 3 .
3
x
y

Bài 14: Cho x, y ∈ R thay đổi và thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 .Tìm GTLN,
GTNN của biểu thức: p =

2( x 2 + 6 xy )
.

1 + 2 xy + 2 y 2

Bài 15: Cho x 2 + y 2 − xy = 1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M = x4 + y4 − x2 y2 .
Bài 16: Tìm m để BPT sau có nghiệm Log 2 x 2 + 1 < log 2 (mx + m) .
Bài 17:

log 22 x − log 2 x 2 < 0
Giải hệ phương trình:  x 3
2
 − 3x + 5 x + 9 > 0
3

Bài 18 : Cho 0 < a < b <

π

. CMR : aSina − bSinb > 2(Cosb − Cosa) .
2
Bài 19: Cho pt f ( x) = x 3 + mx 2 − 1 = 0 .
a. CMR với ∀m , pt luôn có 1 nghiệm dương duy nhất

b. Với giá trị nào của m nghiệm dương đó là nghiệm duy nhất của phương
trình.

16