de thi hk2 toan lop 10 bac giang 2011

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
(ĐỀ CHÍNH THỨC)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài : 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 điểm).
Câu I. (3 điểm)
Giải các bất phương trình sau:
x 2 - 3x + 2
2
1. x − 5x + 4 ≤ 0 ;
2.
>0
x+4
Câu II. (1 điểm)
Điều tra tuổi của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau:
Tuổi
20
24
26
30
32
35
Cộng
Tần số
3
5
6
5

6
5
30
Tìm độ tuổi trung bình của 30 công nhân, (chính xác đến hàng phần nghìn).
Câu III. (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(-2; 4) và đường thẳng
x = 2 + t
d:
(t ∈ ¡ ) .
 y = 1 − 2t
1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B.

2. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng d.
3. Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với trục
hoành và đường thẳng ∆ .
Câu IV (1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức

2
2
2
+
+
= 1.
a+2 b+2 c+2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc
B. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 điểm).
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II)
I. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:

Câu Va. (1 điểm)
1
4

π
2

Tìm các giá trị lượng giác của góc α , biết cos α = , α ∈ (− ;0) .
Câu VIa. (1 điểm)
Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm :

2x 2 + 2x + m − 3 = x − 1 .

II. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu Vb. (1 điểm)
Cho góc lượng giác α thoả mãn cosα ≠ 0,sin α ≠ 0 và tan α + cot α = 4 .
Tính giá trị của biểu thức T = tan 4 α + cot 4 α .
Câu VIb. (1 điểm)
Tìm tham số m để bất phương trình x 2 + 2x + m − 3 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc (2; +∞) .
---------------- Hết -----------------Họ tên thí sinh:............................................................Số báo danh:.................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN, LỚP 10.
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm
và cho điểm từng phần tương ứng.
Câu
I (3đ)

Nội dung

Điểm

1)
x2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
Tập nghiệm của BPT là S = [ 1; 4]

1,00
0,5

2)
Xét dấu f(x) =

x 2 - 3x + 2
x+4

Ta có x 2 - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1; x = 2
x + 4 = 0 ⇔ x = −4

Bảng xét dấu:
x
x 2 − 3x + 2
x+4
f(x)

-∞
+
-

-4
|
0
||

0,25

+
+
+

1
0
|
0

Từ bẳng xét dấu ta có tập nghiệm của BPT là :S =
II (1 đ) Độ tuổi trung bình của 30 công nhân là :
20.3 + 24.5 + 26.6 + 30.5 + 32.6 + 35.5
T=
30
≈ 28, 433
III
1)
uuur
(3đ)
AB = ( −4;3)

+

-

2
0
|
0

( −4;1) ∪ ( 2; +∞ )

+∞

0,75

+
+
+
0,5
0,75
0,25
0,25

uuur
Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B nên ∆ có một VTCP AB = ( −4;3) ⇒ ∆ có một
r
0,25
VTPT là n = ( 3; 4 )
r
Vậy đường thẳng ∆ đi qua A(2 ;1) và có một VTPT n = ( 3; 4 ) , có phương trình tổng
0 ,5
quát là : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y − 1) = 0 ⇔ 3 x + 4 y − 10 = 0

r
0,25
2) đường thẳng d có một VTCP là : u = ( 1; −2 )
uuur
0,25
H ∈ d ⇒ H ( 2 + t ;1 − 2t ) ⇒ BH = ( 4 + t ; −3 − 2t )
uuur r
H là hình chiếu của B trên d ⇔ BH .u = 0 ⇔ t = −2 ⇒ H (0;5)
3) Giả sử đường tròn (C) cần tìm có tâm I và bán kính R
Do I ∈ d ⇒ I ( 2 + t ;1 − 2t )

0,5
0,25


đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành và tiếp xúc với ∆ ⇔ d( I ,ox ) = d( I , ∆ )
t = 1
⇔ 1 − 2t = t ⇔  1
t =
 3

0,25

Với t = 1 thì I(3 ;-1) và R =1 . Phương trình đường tròn (C) là : ( x − 3) + ( y + 1) = 1
2

Với

t=

1
3

2

IV
(1 đ)

Phương

đường

tròn

(C)

là :

0,25
0,25

2

4

( a + 2) ( c + 2)

a
(2) ; a + 2 ≥

4

( c + 2) ( b + 2)

(3)

Từ (1) , (2), (3) ta có P = abc ≥ 64 , dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c= 4
Vậy Min P = 64 khi a=b=c=4
 π 
do α ∈  − ;0 ÷ ⇒ sin α < 0
 2 
Ta cã sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α = 1 − cos 2 α =

VIa
(1 đ)

trình

7 
1 1

x− ÷ + y − ÷ =
3 
3 9

2
2
2
2
2

c
+
+
=1⇔
+
=
Ta có:
a+2 b+2 c+2
a+2 b+2 c+2
Do a, b,c là các số dương nên a+2, b+2, c+2 là các số dương
Theo côsi cho hai số dương ta có:
2
2
2
2
c
4
+
≥2
.
⇔
≥
(1)
a+2 b+2
a+2 b+2
c+2
( a + 2) ( b + 2)
b
TT: b + 2 ≥

Va.
(1 đ)

1
7 1
thì I  ; ÷và R = ,
3
 3 3

2

tan α =

sin α
= − 15
cos α

cot α =

− 15
15

15
15
⇒ sin α = −
16
4

 x − 1 ≥ 0
x ≥ 1

2 ⇔  2
2x 2 + 2x + m − 3 = x − 1 (1) ⇔  2
 x + 4 x − 4 = − m (2)
2 x + 2 x + m − 3 = ( x − 1)

PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm thuộc [ 1; +∞ )

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 + 4 x − 4 và
đt có pt : y = -m
0,25


BBT của hàm số y = x 2 + 4 x − 4 trên [ 1; +∞ )
x
1

0,25

+∞

+∞
f(x)

1
Từ BBT ta có thì phương trình có nghiệm ⇔ −m ≥ 1 ⇔ m ≤ −1
Vb
(1 đ)

T = tan 4 α + cot 4 α = ( tan 2 α + cot 2 α ) − 2

VIb
(1 đ)

2
= ( tan α + cot α ) − 2  − 2 = 196 − 2 = 194


2
+Ta có x + 2x + m − 3 ≥ 0 ⇔ x 2 + 2x − 3 ≥ −m
+Xét BBT của hàm số y = x 2 + 2x − 3 trên ( 2; +∞ )
x
2

0,5

2

0,5

2

0,25
+∞
+∞

0,5

f(x)
5

Từ BBT ta có 5 ≥ −m ⇔ m ≥ −5 là giá trị cần tìm

0,25