Bài tiểu luận quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

————oOo————

TIỂU LUẬN
QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ
THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG
Học viên: Trương Văn Đại
Lớp: Toán Giải Tích K09
Khóa học: 2014 - 2016

ĐẮK LẮK, tháng 4 năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

————oOo————

TIỂU LUẬN
QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ
THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG
Học viên: Trương Văn Đại
Lớp: Toán Giải Tích K09
Khóa học: 2014 - 2016

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
T.S Ngô Đình Quốc

ĐẮK LẮK, tháng 4 năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày bài tiểu luận này, em xin phép được gửi lời cảm ơn đến
thầy TS. Ngô Đình Quốc, thầy đã giảng dạy tận tình, đưa ra được nhiều vấn đề
trong Toán học phổ thông cho học viên tìm hiểu, giúp em có được cách tiếp cận
rõ ràng hơn về toán học phổ thông và một số kĩ năng về thực hiện một bài tiểu
luận.
Tuy đã cố gắng hoàn thành bài tiểu luận này nhưng không thể tránh khỏi
những thiếu xót, em mong nhận được sự chỉ dạy và phản hồi của thầy để bài tiểu
luận của em hoàn chỉnh hơn.
Đắk Lắk, tháng 4, năm 2015
Học viên

Trương Văn Đại

i


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

i

MỤC LỤC

ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

v

MỞ ĐẦU

1

1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1

1.2

1.3

3

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Quan hệ bao hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Các phép toán trên các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

ii


1.3.3
1.4

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.1

Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.2

Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.3

Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ
TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG
2.1

2.2

2.3

2.4

9

Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình toán
Lớp 6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán Lớp 6: 10
2.2.1

Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2

Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.3

Định nghĩa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.4

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp
7(nâng cao): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.1

Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.2

Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

≤ trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: . . . .

13

2.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Quan hệ

3 VÍ DỤ ÁP DỤNG

15
iii


3.1

Ví dụ 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2

Ví dụ 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3

Ví dụ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4

Ví dụ 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Tài liệu tham khảo

18

iv


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

N : Tập các số tự nhiên.
Z

: Tập các số nguyên.

Q : Tập các số Hữu tỉ.

v


MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Trong học kỳ I của năm học 2014-2015 chúng tôi được học và tiếp xúc với
giáo trình “ Những vấn đề hiện đại trong toán học phổ thông” do TS Ngô
Đình Quốc giảng dạy và biên soạn. Được sự hướng dẫn, giúp đỡ và giới thiệu của
Thầy tôi được tìm hiểu về nhiều vấn đề trong toán học phổ thông một lĩnh vực
toán mà bản thân tôi đang trực tiếp giảng dạy.
Nhằm mục đích tìm hiểu, trang bị thêm kiến thức và dùng làm tài liệu để
tham khảo cho công tác giảng dạy sau này, tôi lựu chọn một vấn đề trong giáo
trình mà Thầy Ngô Đình Quốc đã giới thiệu trong giáo trình để làm tiểu luận.
Đó là lí do tôi chọn làm tiểu luận về "Các quan hệ hai ngôi trong toán phổ
thông và tính chất của chúng".

2. Mục đích
Chỉ ra các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông, nghiên cứu về
những tính chất của chúng và đưa ra một số ví dụ ứng dụng của các
quan hệ hai ngôi.

1


3. Ý nghĩa
Giúp trang bị thêm kiến thức và làm tài liệu tham khảo cho công
tác giảng dạy sau này.

4. Nội dung
Tiểu luận gồm ba chương
Chương 1 : Kiến thức bổ trợ
Chương 2 : Các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính
chất của chúng
Chương 3 : Ví dụ áp dụng

2


Chương 1

KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1

Tập hợp

1.1.1

Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy không được định nghĩa, có
thể hiểu bằng trực giác rằng tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có
cùng thuộc tính nào đó, và gọi chúng là các phần tử của tập hợp đó.
Ta thường gọi tắt tập hợp là “tập”.
Để chỉ phần tử a thuộc tập A ta viết a ∈ A; trái lại để chỉ phần tử a
không thuộc tập A ta viết a ∈
/ A. Tập không có phần tử nào gọi là tập
rỗng, kí hiệu là ∅.
1.1.2

Định nghĩa

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu là A = B , nếu
mỗi phần tử của A đều là một phần tử của B và ngược lại.

3


1.2

Quan hệ bao hàm

1.2.1

Định nghĩa

Tập A được gọi là một tập con (hay một bộ phận) của tập B, ký hiệu

A ⊆ B , nếu mỗi phần tử của A đều là một phần tử của tập.Nếu A ⊆ B

và A = B thì ta gọi A là một tập con thực sự của B, ký hiệu A ⊆ B , ta
quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập. Tập tất cả các tập con của
một tập A được ký hiệu là P(A), nghĩa là:
P (A) = { X | X ∈ A }
1.2.2

Mệnh đề

Với A, B và C là ba tập bất kỳ, ta có các tính chất sau:
(i) Phản xạ: A ⊆ A.
(ii) Phản đối xứng: nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì A = B .
(iii) Bắc cầu: nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C .

1.3

Các phép toán trên các tập hợp

1.3.1

Định nghĩa

Cho A và B là hai tập hợp
(i) Hợp của A và B, ký hiệu là A ∪ B, là tập:
A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B }
(ii) Giao của A và B, ký hiệu là A ∩ B , là tập:
A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B }

Nếu A ∩ B = ∅ thì ta gọi A và B là hai tập rời nhau.

(iii) Hiệu của A và B, ký hiệu A\B , là tập:
4


A\B = {x|x ∈ A và x ∈
/ B}

Đặc biệt, nếu B ⊆ A thì ta gọi A\B là phần bù của B đối với A và
được ký hiệu CA (B)
1.3.2

Mệnh đề

Với A, B và C là ba tập bất kỳ, ta có các tính chất sau:
(i) Lũy đẳng: A ∩ A = A ; A ∪ A = A.
(ii) Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A.
(iii) Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C .

(iv) Phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C).

(v) Luật De Morgan: A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

Chứng minh
Ta chứng minh tính chất phân phối của phép toán giao đối với phép
toán hợp Các tính chất còn lại chứng minh tương tự.
Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C . Vì x ∈ B ∪ C nên
x ∈ B hoặc x ∈ C .

Nếu x ∈ C thì x ∈ A ∩ C (vì x ∈ A). Như vậy trong cả hai trường hợp
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Đảo lại, giả sử x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Khi đó x ∈ (A ∩ B) hoặc x ∈ (A ∩ C).
Nếu x ∈ (A ∩ B) thì x ∈ A và x ∈ B ; nên x ∈ A và x ∈ B ∪ C . Do đó
x ∈ A ∩ (B ∪ C).

Tương tự, nếu x ∈ A ∩ C thì ta cũng suy ra được x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Vậy trong cả hai trường hợp x ∈ A ∩ (B ∪ C).
5


Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau ta có điều phải chứng minh.

1.3.3

Định nghĩa

Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu A x B, là tập:
A × B = {(a, b)|a ∈ A và b ∈ B }
Hai cặp (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và
b1 = b2 .

1.4

Quan hệ hai ngôi

1.4.1

Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi R là một quan hệ từ A
đến B nếu R ⊆ A × B . Ta cũng gọi tập R là đồ thị của quan hệ R. Nếu
¯ b. Đặc
(a, b) ∈ R thì ta viết aRb; ngược lại, nếu (a, b) ∈
/ R thì ta viết a R

biệt, khi A = B, ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên tập A.
1.4.2

Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1: Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập A. Ta nói rằng
R là một quan hệ tương đương nếu R có các tính chất sau:
(i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa.
(ii) Đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb thì bRa.
(iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc.
Định nghĩa 2: Cho R là quan hệ tương đương trên một tập A. Với mỗi
a ∈ A, lớp tương đương của phần tử a theo quan hệ R, ký hiệu [a]R (hoặc
a
¯), được định nghĩa là tập:
6


[a]R = {x ∈ A|xRa}

Mỗi phần tử x ∈ [a]R được gọi là một phần tử đại diện của lớp tương
đương [a]R .
Tập thương của A theo quan hệ R, ký hiệu A/R, được định nghĩa

là tập tất cả các lớp tương đương của các phần tử thuộc A, nghĩa là:
A/R = {[a]R |a ∈ R}
1.4.3

Quan hệ thứ tự

Định nghĩa 1: Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập A. Ta nói rằng R là
một quan hệ thứ tự nếu R có các tính chất sau:
(i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa
(ii) Phản đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb và bRa thì a = b.
(iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc.
Ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi dấu ≤ . Nếu trên tập A có
một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói (A, ≤) là một tập được sắp thứ tự (hay
được sắp). Nếu (A, ≤) là tập được sắp và thỏa mãn điều kiện:
Với mọi a, b ∈ A, a ≤ b và b ≤ a
Nghĩa là, hai phần tử bất kỳ của A là so sánh được đối với quan hệ
thứ tự ≤, thì ta gọi (A, ≤) là một tập được sắp toàn phần (hay được sắp
tuyến tính).
Định nghĩa 2: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A.
(i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn trên của B nếu x ≤ a với mọi
x ∈ B . Ta nói tập B bị chặn trên nếu B có một chặn trên.

(ii) Ta nói phần tử b là một phần tử lớn nhất của B nếu b ∈ B và b
là một chặn trên của B.
7


(iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực đại của B nếu b ∈ B và với
mọi x ∈ B nếu b ≤ x thì x = b.
Định nghĩa 3: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A

(i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn dưới của B nếu a ≤ x với mọi
x ∈ B . Ta nói tập B bị chặn dưới nếu B có một chặn dưới.

(ii) Ta nói phần tử b là một phần tử bé nhất của B nếu b ∈ B và b
là một chặn dưới của B.
(iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực tiểu của B nếu b ∈ B và
với mọi x ∈ B nếu x ≤ b thì x = b.
Định nghĩa 4: Một tập sắp thứ tự toàn phần (A, ≤) được gọi là sắp thứ
tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của A đều có phần tử bé nhất.
Bổ đề(Bổ đề Zorn). Cho (A, ≤) là một tập sắp thứ tự,A = ∅. Nếu mọi
tập con được sắp toàn phần của A đều có một chặn trên thì trong A
tồn tại một phần tử cực đại.

8


Chương 2

CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI
TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ
TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG
2.1

Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình
toán Lớp 6:

2.1.1

Định nghĩa

Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ bằng nhau với b, ký hiệu a = b và được
định nghĩa là a = b ⇔ a − b = 0.
2.1.2

Tính chất

(i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ.
(ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng.
(iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu.
Chứng minh
(i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ:
Ta có a − a = 0 ⇒ a = a, điều này chứng tỏ a có quan hệ bằng nhau với
a

(ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng:
9


Giả sử a, b ∈ N Nếu a = b ⇔ b = a ⇔ b − a = 0, điều này chứng tỏ b có
quan hệ bằng nhau với a
(iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu:
=0
Giả sử a, b ∈ N và ta có { ab == cb khi đó { ab == cb ⇒ { ab −− cb =0

(1)
(2)

lấy (1) cộng (2) ta được: a − c = 0 ⇒ a = c, điều này chứng tỏ a có
quan hệ bằng nhau với c
Nhận xét:Quan hệ bằng nhau trên N là một quan hệ tương đương

2.2

Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán
Lớp 6:

2.2.1

Định nghĩa 1

Cho hai tập A và B. Tập A được gọi là chứa trong tập B nếu mọi phần
tử của tập A đều là phần tử của tập B, được ký hiệu là A ⊂ B .
2.2.2

Định nghĩa 2

Cho hai tập A và B. Ta nói tập A bằng tập B, ký hiệu là A = B được
định nghĩa là A chứa trong B và B chứa trong A. tức là:

⊂B
A = B ⇔ {A
B⊂A

2.2.3

Định nghĩa 3

Cho hai tập hợp A và B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu
A ⊆ B hoặc B ⊆ A

10


2.2.4

Tính chất

(i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ.
(ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng.
(iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu.
Chứng minh
(i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ:
Ta có A ⊆ A , điều này chứng tỏ A có quan hệ bao hàm với A
(ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng:
⊆B
Cho A, B là hai tập hợp và { A
B⊆A

(1)
(2)

Từ (1) ta thấy mỗi phần tử của A đều là phần tử của B. Mặt khác,
từ (2) ta lại thấy mỗi phần tử của B đều là phần tử của A, điều này
chứng tỏ mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại. Vậy
A = B

(iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu:
⊆B
Cho A, B, C là ba tập hợp và { A
B⊆ C

(1)
(2)

Từ (1) ta suy ra mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Mặt khác,
từ (2) ta cũng suy ra mọi phần tử của B đều là phần tử của C, do mọi
phần tử của A đều là phần tử của B nên mọi phần tử của A cũng đều
là phần tử của C. Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C
Nhận xét:Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là một quan hệ thứ tự

11


2.3

Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình
toán Lớp 7(nâng cao):

2.3.1

Định nghĩa 1

Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b = 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = athì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2.3.2

Định nghĩa 2

Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b = 0, ta luôn tìm được 2 số tự nhiên
q và r duy nhất sao cho a = bq + r trong đó 0 ≤ r ≤ b.

Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết.
Nếu r = 0 thì ta có phép chia có dư.
Tới đây, một vấn đề được đặt ra là cho trước một số m = 0. Xét 2
số tự nhiên a, b sao cho 2 số tự nhiên a, b chia cho m có cùng số dư tức là:

a = m.h + r
b = m.d + r

Khi đó ta nói a, b có quan hệ đồng dư theo số chia m, được ký hiệu
a ≡ b(mod m)

2.3.3

Tính chất

(i) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ.
(ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng.
(iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu.
Chứng minh
12


(i) Quan hệ đồng dư giữa các số tự nhiên có tính phản xạ:
Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên.
(ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng:
Giả sử a ≡ b(mod m) khi đó a = m.h + r và b = m.d + r điều này chứng tỏ
b ≡ a(mod m)

(iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu:
mod m)

Cho 3 số a, b, c ∈ N . Giả sử { a≡b(
b≡c( mod m)

khi đó a = m.h+r, b = m.d+r và c = m.k+r điều này chứng tỏ a ≡ c(mod m)
Nhận xét:Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên là một quan hệ tương
đương.

2.4

Quan hệ

2.4.1

≤ trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7:

Định nghĩa

Cho a, b ∈ Q ta nói a và b có quan hệ

≤ với nhau nếu:

a ≤ b hoặc b ≤ a
2.4.2

Tính chất

(i) Quan hệ
(ii) Quan hệ
(iii) Quan hệ

≤ có tính phản xạ.
≤ có tính phản đối xứng.
≤ có tính bắc cầu.

Chứng minh
(i) Quan hệ

≤ có tính phản xạ:

Thật vậy, ta luôn có a ≤ a, ∀a ∈ Q, điều này chứng tỏ a có quan hệ ≤ với
13


a.

≤ có tính phản đối xứng:

(ii) Quan hệ

Cho a, b ∈ Q và { ab ≤≤ab

(1)
(2)

Để không mất tính tổng quát ta viết như sau:

a=

n1
m

, b=

n2
m

với n1 , n2 , m ∈ Z; m > 0

Từ (1) ta suy ra n1 ≤ n2

(3)

Từ (2) ta suy ra n2 ≤ n1

(4)

Từ (3) và (4) ta suy ra n1 = n2 , điều này chứng tỏ a = b
≤ có tính bắc cầu:

(iii) Quan hệ

Giả sử a, b, c ∈ Q và { ba ≤≤cb

(1)
(2)

Để không mất tính tổng quát ta viết như sau:

a=

n1
m

, b=

n2
m,

c=

n3
m

với n1 , n2 , n3 , m ∈ Z; m > 0

Vì a ≤ b nên n1 ≤ n2 và b ≤ c nên n2 ≤ n3 nên ta suy ra n1 ≤ n3 , điều này
chứng tỏ a ≤ c
Nhận xét:Quan hệ

≤ trên Q là một quan hệ thứ tự

14


Chương 3

VÍ DỤ ÁP DỤNG
3.1

Ví dụ 1:

Tìm số dư của 1425 chia cho 17
Giải
14 ≡ −3(mod 17)
1425 ≡ (−3)25 (mod 17)
8

Vì (−3)25 = (−3)24 (−3) = (33 ) 3
8

Nên 1425 ≡ (33 ) (−3)(mod 17)
Mà 33 ≡ 10 (mod 17)
2

(33 ) ≡ 102 (mod 17) ≡ −2 (mod 17)
4

(33 ) ≡ 104 (mod 17) ≡ 4 (mod 17)
8

(33 ) ≡ 108 (mod 17) ≡ −1 (mod 17)
8

(33 ) (−3) ≡ 3 (mod 17)

Suy ra 1425 ≡ 3(mod 17)
Vậy số dư là 3

15

3.2

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các số nguyên dương n để cho số 2n − 1 chia hết cho 7
Giải
Vì 2n − 1 chia hết cho 7 có nghĩa là 2n ≡ 1(mod 7)
Nên bài toán trên thay đổi thành: tìm n sao cho 2n ≡ 1(mod 7)
Rõ ràng với n = 3k thỏa mãn điều kiện đó vì rằng 23 ≡ 1(mod 7) , do
đó 2n ≡ 1k (mod 7) ≡ 1(mod 7)
Ta xét n trong hai trường hợp còn lại:
*T.h 1: Với n = 3k + 1 ta có: 2n = 23k+1 = 2.8k = 2(7 + 1)k
Khi đó 2n ≡ 2(mod 7) vì rằng trong khai triển của lũy thừa trên chỉ
có số hạng cuối cùng nhưng không chia hết cho 7
*T.h 2: Với n = 3k + 2 ta cũng chứng minh được 2n ≡ 4(mod 7)
Vậy chỉ có các số nguyên dương có dạng n = 3k thì 2n − 1 chia hết
cho 7.

3.3

Ví dụ 3:
So sánh các số hữu tỉ sau:

37
38

và

1391
1389

Giải
Ta có 1 =

38
38

>

Ta lại có 1 =

37
38

1389
1389

(1)
<

1391
1389

(2)

Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu của quan hệ
suy ra:
37
38

<
16

1391
1389

≤

trong Q ta


3.4

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng một phân số có
mẫu bằng 20, mà số đó lớn hơn

1
4

và nhỏ hơn

3
5

Giải
Ta cần tìm x ∈ Q mà x =
Ta có

1
4

=

5
20

;

3
5

=

12
20

a
20

và

1
4

<

a
20

<

3
5

nên ta cần tìm x ∈ Q sao cho

5
20

<

a
20

<

Muốn vậy a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11 }
Vậy có 6 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện là:

17

7
8
9 10 11
6
20 , 20 , 20 , 20 , 20 , 20

12

20


Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 6, tập
1, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập
1, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[3] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2011), Sách giáo khoa Toán 7, tập
2, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[4] Phạm Thành Luân (Tổng chủ biên) (2003), Sách Đại số lớp 7 Nâng
cao, Nhà Xuất bản Đà Nẵng.
[5] TS. Chu Trọng Thanh, Trần Tung (2010), Cơ sở toán học hiện đại của
kiến thức môn Toán phổ thông, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[6] TS.Ngô Đình Quốc, Những vấn đề hiện đại trong toán học phổ thông,
Trường Đại học Tây Nguyên.

18