Tiểu luận giải tích phức một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (262.16 KB, 23 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
ĐẮK LẮK, NĂM 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN
BANACH
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG
ĐẮK LẮK, NĂM 2015
DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN
1q
2q
3q
4q
5q
6q
7q
8q
9q
Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng)
Dương Thế Dũng (Nhóm Phó)
Phan Hữu Thế
Nguyễn Hữu Hải
Cù Thị Kim Dung
Lê Đình Sơn
Nguyễn Đình Toản
Nguyễn Thị Thu Thuỷ
Nguyễn Thị Phượng
i
MỤC LỤC
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
iv
Mở đầu
1
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm .
1.1.1 Định lí Hanh-Banach . . . . . . . .
1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở . . . . . . . .
1.1.3 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . .
1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . .
1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức
1.2.1 Nguyên lí Maximum . . . . . . . .
1.2.2 Công thức tích phân Cauchy . . . .
1.2.3 Định lí Liouville . . . . . . . . . . .
1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach
1.3.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
6
7
7
8
9
10
10
2 Ánh xạ chỉnh hình
2.1 Ánh xạ chỉnh hình
2.1.1 Định nghĩa
2.1.2 Nhận xét .
2.1.3 Ví dụ . . .
2.1.4 Ví dụ . . .
2.1.5 Ví dụ . . .
2.1.6 Mệnh đề . .
2.1.7 Mệnh đề . .
2.1.8 Mệnh đề . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
cổ điển
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2
2.3
2.4
2.1.9 Định lí . . . . . . . . . .
Ánh xạ G- chỉnh hình . . . . .
2.2.1 Định nghĩa: . . . . . . .
2.2.2 Định lý : . . . . . . . . .
Hàm chỉnh hình theo từng biến
2.3.1 Bổ đề: . . . . . . . . . .
2.3.2 Mệnh đề: . . . . . . . .
Chỉnh hình yếu . . . . . . . . .
2.4.1 Định nghĩa: . . . . . . .
2.4.2 Định lý: . . . . . . . . .
2.4.3 Bổ đề: . . . . . . . . . .
Kết luận
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
11
11
11
13
13
14
14
14
14
14
16
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
N
N0
E✝
E✶
✶
Eco
B a, r
B a, r
l1
c0
c
0
intU
U
XK
P E, F
Hb E, F
♣ q
♣ q
♣ q
♣ q
♣ q
♣ q
H U
H U, F
N♣Nq
tr.
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
✏t
✏ ❨t ✉
✉
Tập hợp các số tự nhiên N
1, 2, . . .
Tập hợp các số N0 N
0
Đối ngẫu đại số của E
Đối ngẫu topo của E
Không gian E ✶ với topo compact mở
Hình cầu mở tâm a bán kính r
Hình cầu đóng tâm a bán kính r
Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối
Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không
Tập các dãy số thực dương hội tụ về không
Phần trong của U
Bao đóng của U
Không gian Banach sinh bởi K X
Không gian các đa thức từ E vào F
Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập
bị chặn của E giá trị trong F
Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng
Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F
Tập các đa chỉ số
Trang
⑨
iv
Mở đầu
Vào thế kỉ 16 G. Cardano (1501-1576) đã nói đến các số "ảo" như là căn
của các số âm. Đến giữa thế kỉ 18 các số phức rải rác xuất hiện trong các công
trình toán học của I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut... Song người được coi
là sáng lập môn hàm phức chính là L. Euler (1707-1783). Ông đã nghiên cứu
các hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) và phép tính tích
phân năm (1777). Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học
và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng. Lý thuyết hàm phức ra đời mang
ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhờ lý thuyết hàm phức C.F. Gauss (1777-1855) đã
chứng minh được định lí cơ bản của đại số (1799): một đa thức bậc n trong
trường số phức có đúng n nghiệm nếu kể số nghiệm bằng bội của nó. Đầu thế
kỉ 19 lý thuyết hàm phức đã phát triển thành một trong số nghành quan trọng
nhất của giải tích toán học. Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857),
người đã phát triển phép tính tích phân, K. Weierstrass (1815-1897), người
đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B. Riemann (1826-1866), người đã xây
dựng cơ sở hình học của lý thuyết hàm phức. Ngày nay lý thuyết hàm phức là
một trong những lí thuyết đóng vai trò quan trọng nhất của toán học, có ứng
dụng vô cùng to lớn trong các nghành vật lý và kĩ thuật rất khác nhau như:
thủy động học, khí động học, các lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nước
ngầm, nổ định hướng,đàn hồi...
Trong nội dung của tiểu luận này chúng tôi nhắc lại một số kết quả của
giải tích phức cổ điển sau đó trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích
phức trong không gian Banach. Tiểu luận chắc chắn không thể tránh khỏi các
sai sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc và
quý thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi tóm tắt lại một số định lí cơ bản trong giải
tích hàm như định lí Hanh-Banach, nguyên lí ánh xạ mở, định lí đồ thị đóng
và nguyên lí bị chặn đều. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả cơ
bản trong giải tích phức cổ điển như nguyên lí Maximum, công thức tích phân
Cauchy, định lí Liouville. Cuối cùng chúng tôi trình bày các định nghĩa về đa
thức và chuỗi trong không gian Banach như là công cụ để định nghĩa ánh xạ
chỉnh hình trong không gian Banach.
1.1
1.1.1
Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm
Định lí Hanh-Banach
Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con của E và A là một
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại một phiếm hàm A˜ trên
˜F
E tuyến tính liên tục sao cho A|
A và A
A˜ .
✏
1.1.2
⑥ ⑥✏⑥ ⑥
Nguyên lí ánh xạ mở
Cho E , F là hai không gian Banach và A là một toàn ánh tuyến tính từ
E vào F . Khi đó A là ánh xạ mở, tức là với mỗi tâp U mở trong E ta có tập
A U mở trong F
♣ q
1.1.3
Định lí đồ thị đóng
Cho E, F là hai không gian định chuẩn, nếu A là một ánh xạ tuyến tính
liên tục thì A là ánh xạ đóng. Tức là tập x; A x đóng trong không gian
♣
2
topo tích E.F
1.1.4
Nguyên lí bị chặn đều
t ✉
Giả sử E là một không gian Banach,F là không gian định chuẩn và Aα , α
Γ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Khi đó, nếu với mọi
x E ta có sup Aα x
1.2
1.2.1
αΓ
⑥
⑥ ➔ ✽
Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển
Nguyên lí Maximum
♣q
♣q
Giả sử f z chỉnh hình trên miền D và liên tục trên miền D. Nếu f z
không là hằng số thì |f z | đạt cực đại trên biên của D.
1.2.2
♣q
Công thức tích phân Cauchy
♣q
Định lí. Giả sử f z chỉnh hình trong miền hữu hạn đơn liên D và z0 D
, là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D. Khi
đó ta có công thức tích phân Cauchy
♣ q✏
f z0
1
2πi
➺ f ♣ζ q
.
ζ ✁ z0
γ
♣q
Hơn nữa, nếu f z liên tục trên biên của D thì với mọi z
♣ q✏
f z
1
2πi
➺ f ♣ζ q
.
ζ ✁z
D; ta có
γ
1.2.3
Định lí Liouville
♣q
♣q
Nếu hàm f z chỉnh hình và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì f z là
hàm hằng.
3
1.3
Đa thức và chuỗi trong không gian Banach
1.3.1
Đa thức
1.3.1.1
Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa: Giả sử E, F là các không gian Banach còn m N. Ánh xạ
A : Em
F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là
với mọi a
a1 , a2 , ..., am
E m và mọi 1 j m, các ánh xạ
Ñ
✏♣
q
↕ ↕
Ej ◗ xj Ñ A♣a1 , ..., aj ✁1 , xj , aj 1 , ..., am q
là tuyến tính.
Kí hiệu: La m E, F và L m E, F lần lượt là các không gian vectơ các ánh
xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với
A La m E, F , xác định
♣
♣
q
♣
q
q
⑥A⑥ ✏ sup ⑥A♣x1, ..., xmq⑥ : xj E, ⑥xj ⑥ ↕ 1, 1 ↕ j ↕ m
và gọi là chuẩn (suy rộng) của A.
Khi m 1, ta viết La 1 E, F
La E, F và L 1 E, F
L E, F . Khi F
K
viết La m E, K
La m E và L m E, K
L m E . Cuối cùng khi m 1, sẽ
viết như thông thường La E
E #, L E
E ✝.
✏
♣
1.3.1.2
♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣
q✏ ♣ q ♣
q✏ ♣ q
♣ q✏
♣ q✏
q
✏
✏
Đa thức
Ñ
♣
q
P ♣xq ✏ Axm ❅x E
Định nghĩa: Ánh xạ P : E
F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất
bậc m)nếu tồn tại A La m E, F sao cho
.
♣
q
Ta kí hiệu Pa m E, F không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E
tới F và P m E, F là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục
của Pa m E, F . Đối với mỗi P Pa m E, F , đặt
♣
♣
q
q
♣
q
⑥P ⑥ ✏ sup ⑥P ♣xq⑥ : x E, ⑥x⑥ ↕ 1
và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P .
Khi F
K ta viết Pa m E, K
Pa
✏
♣
q ✏ ♣mE q và P ♣mE, Kq ✏ P ♣mE q.
4
1.3.2
Chuỗi lũy thừa
1.3.2.1
Định nghĩa:
Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a
✽
E là chuỗi có dạng ➦ Pm♣x ✁ aq,
m✏ 0
Pa♣mE, F q với mọi
m N0 .
✽
➦ P ♣x ✁ aq có thể viết như ➦✽ A ♣x ✁ aqm, ở
Chú ý rằng chuỗi lũy thừa
m
m
m✏ 0
m✏ 0
♣m ✏ Pm.
đây Am Lsa ♣m E, F q, A
ở đây Pm
5
Chương 2
Ánh xạ chỉnh hình
2.1
Ánh xạ chỉnh hình
Trong chương này ta đưa ra khái niệm ánh xạ chỉnh hình dưới thuật ngữ
của chuỗi lũy thừa và sau đó là một số tính chất của chúng tương tự như hàm
chỉnh hình một biến phức.
Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banach
phức và được kí hiệu bởi E, F ,...
2.1.1
Định nghĩa
Ñ
♣ q⑨
Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U
F gọi là chỉnh hình hay giải
tích nếu với mọi a U tồn tại trong hình cầu B a, r
U và một dãy các đa
thức Pm P m E, F sao cho
q
♣
♣ q✏
f x
♣ q
✽
➳
m✏ 0
♣ ✁ aq
Pm x
hội tụ đều với x B a, r .
Kí hiệu H U, F là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi
F
C ta viết H U, C
H U .
✏
2.1.2
♣
q
♣
q✏ ♣ q
Nhận xét
♣ q
➦✽ P mf ♣aq♣x ✁ aq như thông thường
Pm ✏ P m f ♣aq với mọi m N0 . Chuỗi
m✏0
gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu Am f ♣aq là phần tử duy nhất thuộc
m f ♣aq ✏ P m f ♣aq.
Ls ♣m E, F q thỏa mãn A④
dãy Pm trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu
6
2.1.3
Ví dụ
♣
q⑨ ♣
q
P E, F
H E, F .
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh P H E, F với mọi P P m E, F . Giả
♣ Cho a, x E. Do Nhị Thức Newton ta có
sử A Ls m E, F sao cho P
A.
♣ q
♣
q
✏
m ✂ ✡
➳
m
m
Aam✁j ♣x ✁ aqj .
P ♣xq ✏ Ax ✏
j
♣
q
j ✏0
Như vậy P chỉnh hình trên E và
j
♣ q✏
✂ ✡
P P a
♣ q✏
♣
và P j P a
0 nếu j
trị trong Ls j E, F .
2.1.4
q
m
Aam✁j nếuj
j
↕m
→ m. Ngoài ra P j P ♣aq là đa thức trên E bậc j với giá
Ví dụ
Giả sử
➦✽ P ♣xq là chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ bằng ✽,
m
j ✏0
và mọi Pm là liên tục. Nếu ta xác định
♣ q✏
f x
♣
q
✽
➳
j ✏0
♣ q E
Pm x , x
thì f H E, F .
♣m với Am Ls mE, F và M
Chứng minh. Giả sử Pm A
tỏ
✽ ➳
✽ ✂ ✡
➳
m
m✁ j j
Am a
r
j
j ✏0 m✏j
✏
♣
⑥ ⑥⑥ ⑥
q
N0. Ta sẽ chứng
➔✽
→
với mọi a E và r 0.
Thật vậy, bằng cách thay đổi thứ tự lấy tổng ta có
✽ ➳
✽ ✂ ✡
➳
m
j ✏ 0 m✏ j
j
⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj ✏
✏
✽ ➳
✽ ✂ ✡
➳
m
m✏0 j ✏0
✽
➳
m✏0
j
⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj
⑥Am⑥♣⑥a⑥ rqm
. Chuỗi cuối cùng hội tụ vì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa bằng
7
✽. Đặc
✽ ✂ ✡
➳
m
biệt
Vậy chuỗi
➦✽
m✏ j
♣mjqAmam✁j xác định phần tử Qi P ♣j E, F q với j N0. Mặt
khác ta có
♣ q✏
f x
✏
đều theo x
2.1.5
j
m✏j
⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj ➔ ✽.
✽
➳
✽ ➳
✽ ✂ ✡
➳
m
♣
✁
aqj
j
✽
➳
m✁ j
j
Am a
♣x ✁ aq ✏ Qj ♣x ✁ aq
♣ q✏
m✏0
m✏0 j ✏0
✡
✂
✽ ➳
✽
➳
Pm x
m
j
j ✏0 m✏j
Am am✁j x
B♣a, rq. Như vậy f H♣E, F q.
j ✏0
Ví dụ
♣ q
Giả sử ϕm là dãy trong E ✶ hội tụ điểm tới không. Nếu xác định
♣ q✏
f x
♣ q
✽
➳
♣ϕm♣xqqm, x E
m✏0
thì f H E .
Chứng minh. Do nguyên lí bị chặn đều tồn tại C
mọi m N0 . Ta sẽ chứng tỏ
✽ ✂ ✡
✽ ➳
➳
m
j ✏ 0 m✏ j
j
→ 0 sao cho ⑥ϕm⑥ ➔ C với
⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j rj ➔ ✽
E và mọi 0 ↕ r ↕ 1e .
✽ ➳
✽ ✂ ✡
✽ ➳
m ✂ ✡
➳
➳
m
m
⑤
ϕm ♣aq⑤m✁j ⑥ϕm ⑥j rj ✏
⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j rj
j
j
m✏0 j ✏0
j ✏ 0 m✏ j
✽
➳
.
✏ ♣⑤ϕm♣aq⑤ ⑥ϕm⑥rqm
m✏0
✽
➳
↕ ♣⑤ϕm♣aq⑤ Crqm
với mọi a
Thật vậy,
m✏0
➔ 1 và ϕm♣aq Ñ 0 khi m Ñ 0. Do đó ta có
⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j ➔ ✽.
Chuỗi cuối cùng này hội tụ vì Cr
✽ ✂ ✡
➳
m✏j
m
j
8
Vậy chuỗi
➦✽
m✏j
♣mjq♣ϕm♣aqqm✁j ϕjm các định một phần tử Qj P ♣j E q với j N0.
Mặt khác ta cũng có
✽
➳
♣ q✏
f x
r⑤ϕm♣aq⑤ ϕm♣x ✁ aqsj
m✏0
✽ ➳
m ✂ ✡
➳
m
✏
♣ϕm♣aqqm✁j ♣ϕm♣x ✁ aqqj
j
m✏0 j ✏0
✽ ➳
✽ ✂ ✡
➳
m
✏
ϕ♣aqm✁j ♣ϕm ♣x ✁ aqqj
j
j ✏ 0 m✏ j
✽
➳
✏ Qj ♣x ✁ aq
j ✏0
đều theo x
2.1.6
B♣a, rq. Như vậy f H♣E q.
Mệnh đề
♣
q
Giả sử U là tập mở liên thông của E và giả sử f H U, E . Nếu f đồng
nhất bằng không trên một tập con mở khác rỗng V của U thì f đồng nhất
bằng không trên U .
Chứng minh a Trước tiên, ta coi U là lồi. Giả sử a V, x U . Đặt
♣q
✏ tλ C : a λ♣x ✁ aq U ✉.
Do U là lồi , A là lồi, đặc biệt liên thông. Với mọi ψ F ✶ , hàm
g ♣λq ✏ ψ ✆ f ♣a λ♣x ✁ aqq, λ A
là chỉnh hình trên A và đồng nhất bằng không trên đĩa mở ∆♣a, εq với ε → 0
A
nào đó. Khi đó g đồng nhất bằng không trên A do định lí duy nhất đối với
hàm chỉnh hình vô hướng. Đặc biệt ψ f x
g 1
0. ĐỊnh lí Hahn-Banach
cho ta f x
0.
b Trong trường hợp tổng quát. Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a U sao
cho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a. Rõ ràng A là mở. DO
f
0 trên V nên A
. Còn chứng minh A là đóng trong U . Khi đó do
tính liên thông của U suy ra f 0 trên U . Giả sử an là dãy trong A hột tụ
tới b U . Chọn r 0 sao cho B b, r
U và chọn n để an B b, r . Từ a
suy ra f 0 trên B b, r . Vậy b A và đó là điều cần chứng minh.
Tiếp theo ta mở rộng Nguyên lí ánh xạ mở.
✆ ♣ q✏ ♣ q✏
♣ q✏
♣q
✑
✘❍
✑
→
♣ q
✑
♣ q⑨
9
♣ q
♣ q
♣q
2.1.7
Mệnh đề
♣ q
Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f H U . Nếu f khác
hằng số trên U thì f V là mở với mọi tập con mở V của U .
Chứng minh. CHỉ cần chứng minh f V là mở trong C với mọi tập lồi mở
V
U . Giả sử V là tập con lồi mở của U và x V . Do nguyên lí đồng nhất
hàm f khác hằng số trên V . Vậy tồn tại y V sao cho f x
f y . Vì V là
lồi, tập
A
λ C:x λ y x
V
♣ q
♣ q
⑨
✏t
♣ q✘ ♣ q
♣ ✁ q ✉
là lôi. Hàm
♣ q ✏ f rx λ♣y ✁ xqs
xác định và chỉnh hình trên A với g ♣0q ✏ f ♣xq ✘ f ♣y q ✏ g ♣1q. Nguyên lí ánh
xạ mở đối với hàm chỉnh hình một biến phức cho ta g ♣Aq mở trong C. Bởi vì
f ♣xq ✏ g ♣0q g ♣Aq ⑨ f ♣V q,
suy ra f ♣V q là mở trong C.
g λ
2.1.8
Mệnh đề
♣ q
Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f H U . Nếu tồn tại
a U sao cho f x
f a với mọi x U thì f là hằng số trên U .
Chứng minh. Giả sử f là hằng số trên U . Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập f U
là mở trong C. Vậy nó chứa đĩa ∆ f a , r
λ C: f a
λ
r . Nhưng
điều này không thể xảy ra vì f x
f a với mọi x U .
Để kết thúc mục này, ta đưa ra Định lí Liouville.
⑤ ♣ q⑤ ↕ ⑤ ♣ q⑤
♣ ♣ q q✏t
⑤ ♣ q⑤ ↕ ⑤ ♣ q⑤
2.1.9
⑤ ♣ q✁ ⑤ ➔ ✉
♣ q
Định lí
♣
q
Nếu ánh xạ f H E, F bị chặn trên E thì f là ánh xạ hằng.
Giả sử. Giả sử x E và ψ F ✶ . Khi đó hàm g λ
ψ f λ là chỉnh hình
và bị chặn trên C. Do định lí Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt
ψ f x
ψ f 0 . Định lí Hahn-Banach cho ta f x
f 0 . Vậy f là hàm
hằng.
♣ q✏ ✆ ♣ q
✆ ♣ q✏ ✆ ♣ q
♣ q✏ ♣ q
10
2.2
Ánh xạ G- chỉnh hình
Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liên
tục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình. Đó là đặc
trung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó
2.2.1
Định nghĩa:
Ñ
Ñ ♣ q
✁
Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U
F gọi là G chỉnh hình nếu
đối với mọi a U và b E, ánh xạ λ
f a λb là chỉnh hình trên tập mở
λ C : a λb U
Ký hiệu: HF U, F là KGVT các ánh xạ G chỉnh hình từ U vào F . Nếu
F
C, ta viết HG U, C
HG U
Ví dụ: Chứng minh P a λb là đa thức theo λ với mọi a, b E
Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại các chứng minh đối với ánh xạ chỉnh
hình ta nhận thấy các kết quả tương ứng sau còn đúng với ánh xạ G bchỉnh
hình là nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum và
định lý Liouville,...
t
✏
✉
♣ q
♣ q✏ ♣ q
♣ q
✁
✁
2.2.2
Định lý :
Ñ
Giả sử U là tập mở trong E. Khi đó, đối với ánh xạ f : U
F F thì các
phát biểu sau tương đương:
(a) f là chỉnh hình
(b) f là liên tục và G-chỉnh hình
(c) f là liên tục và f U ❳M là chỉnh hình với mọi không gian con hữu hạn
chiều M của E.
Chứng minh
a
b là hiển nhiên
b
c Giả sử f : U
F là G chỉnh hình và liên tục. Giả sử M là
không gian con hữu hạn chiều của E với a U M và giả sử e1 , e2 , ..., en là
một cơ sở của M. Ta có khai triển chuỗi:
⑤
♣ qñ♣ q
♣qñ♣q
Ñ
✁
❳
♣ λ1e1 ... λnenq ✏
f a
➳
α
11
cα λα1 1 ...λαnn
♣ q
Ở đây chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó ∆n 0, r . Nếu với
m N0 xác định
P
m
➳
♣λ1e1 ... λnenq ✏
thì ta có khai triển chuỗi luỹ thừa
♣ λ1e1 ... λnenq ✏
f a
⑤α⑤✏m
➳
m✏0
cα λα1 1 ...λαnn
♣
P m λ1 e1
... λnenq
và (c) được chứng minh
c
a Giả sử B a, r
U . Nếu M là không gian con hữu hạn chiều của
E chứa a thì do giả thiết f U ❳M là chỉnh hình thì ta có tồn tại chuỗi luỹ thừa
♣ qñ♣ q
♣ q⑨
⑤
➦✽ P M ♣x ✁ aq từ M vào F sao cho
m✏ 0
m
♣ q✏
f x
❳
✽
➳
m✏0
♣ ✁ aq
PmM x
với x B♣a,rq M
Nếu M và N là 2 không gian con hữu hạn chiểu của E chứa a thì do tính
duy nhất của khai triển Taylor, ta có: PmM t
PmN t với mọi t M N thì
mọi m N0 . Như vậy có thể xác định Pm : E
F bởi Pm t
PmM t nếu
M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t. Dễ thấy Pm P m E, F .
Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a. Chọn
④
③
AM
L m M, F và = Anm Lsa m N, F sao cho PmM
AM
AN
m
m
m . Do
N
M
tính chất đối xứng của AM
AN
N m . Vậy họ
m và Am , ta có Am
m trên M
♣m Pm. Như
AM
Lsa m E, F sao cho A
m với M xác định như trên cho ta Am
vậy Pm Pa m E, F và
♣q✏ ♣q
Ñ
♣
q
q
♣
♣
q
♣ q✏
f x
✽
➳
m✏ 0
✏
♣
❳
♣q✏ ♣q
♣
q
✏ ♣ qq ✏ ♣ q
♣ ❳ q
q
✏
♣ ✁ aq, ❅x B♣a,rq
Pm x
⑨
→
Do f liên tục ta có thể tìm được hình cầu B♣a,sq
B♣a,rq và c
0 sao cho
f x
c với x B♣a,sq . Cho t E với t
1. Giả sử M là không gian con
hữu hạn chiều của E chứa a và t. Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có
⑥ ♣ q⑥ ↕
♣ q ✏ PmM ♣tq ✏
Pm t
⑥⑥↕
1
2πi
12
➺2 f ♣a ζtq
dζ
⑤ζ ⑤✏s
ζ m 1
✽
⑥ ⑥ ↕ cs✁m. Vậy Pm là liên tục và chuỗi luỹ thừa ➦ Pm♣x ✁ aq
m✏0
có bán kính hội tụ ➙ s. Vậy ♣aq được chứng minh.
Từ đó suy ra, Pm
2.3
Hàm chỉnh hình theo từng biến
Ñ
Giả sử U là mở trong Cn và giả sử f : u
F là chỉnh hình tách. Khi đó,
f liên tục khi và chỉ khi f bị chặn địa phương
Chứng minh: Giả sử f : U
F là chỉnh hình tách và bị chặn địa phương.
Cho a U và chọn r 0, c 0 để f ζ
c, với mọi ζ ∆n a, r
U . Khi
đó , với mọi ζ ∆n a, r ta có thể viết
→
→
Ñ
⑥ ♣ q⑥ ↕
♣ q❳
♣ q
n
➳
f ♣ζ q ✁ f ♣aq ✏
rf ♣a1, ..., aj✁1, ζ1, ..., ζnq ✁ f ♣a1, ..., aj , ζj 1, ..., ζnqs
j ✏1
Từ giả thiết ta suy ra hiệu
♣ q ✏ f ♣a1, ..., aj✁1, ζ1, ..., ζnq ✁ f ♣a1, ..., aj , ζj 1, ..., ζnq
chỉnh hình theo ζj khi các biến khác không đổi. Hơn nữa, ⑥g ♣ζj q⑥ ↕ 2c với
⑤ζj ✁ aj ⑤ ↕ r. Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj , ta nhận được:
n
➳
⑥f ♣ζ q ✁ f ♣aq⑥ ↕ 2c ⑤ζj ✁ aj ⑤ ; ❅ζ ∆n♣a, rq
gj ζj
r
j ✏1
Bất đẳng thức này chngs tỏ f là liên tục. Điều kiện đủ được chứng minh. Điều
kiện cần là hiển nhiên.
2.3.1
Bổ đề:
Giả sử U là tập mở trong Cn . Khi đó, ánh xạ f : U
và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục.
Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ
Giả sử a U . Ta có khai triển chuỗi
♣ λq ✏
f a
➳
Ñ F là chỉnh hình nếu
cα λα1 1 ...λαnn
α
và chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó.
Do đó, f là chỉnh hình
Bổ đề này được mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý.
13
2.3.2
Mệnh đề:
✂
Giả sử E1 , ..., En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1
... En . Khi đó, ánh xạ f : U
F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình
tách và liên tục.
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử f : U
F là
chỉnh hình tách và liên tục. Giả sử a
a1 , ..., an
U và b
b1 , ..., bn
E1 ... En . Khi đó ánh xạ:
✂
Ñ
✏♣
q
✏♣
Ñ
q
✂ ✂
g : ♣λ1 , ..., λn q Ñ f ♣a1 λ1 b1 , ..., an λn bn q; λ ✏ ♣λ1 , ..., λn q Cn
là chỉnh hình tách. Như vậy, g là G✁ chỉnh hình. Đặc biệt, λ Ñ f ♣a1
rb, ..., an rbq là chỉnh hình. Vậy f là G✁ chỉnh hình và liên tục.
Suy ra, f chỉnh hình
Với khái niệm G chỉnh hình ta đã chuyển sự nghiên cứu ánh xạ chỉnh
hình tới trường hợp không gian xác định là 1 chiều. Tiếp theo, ta đưa vào khái
niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach
về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng.
✁
2.4
2.4.1
Chỉnh hình yếu
Định nghĩa:
Ñ
Giả sử U là tập mở trong E và f : U
F . Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếu
hay giải tích yếu nếu φ f : u
C là chỉnh hình với mọi φ F ✶ . Tương tự f
gọi là G chỉnh hình yếu nếu φ f là G chỉnh hình với mọi φ F ✶
✆
✁
2.4.2
Ñ
✆
✁
Định lý:
Ñ
Giả sử U là tập mở trong E và f : U
F . Khi đó,
(a) f là G chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là G chỉnh hình yếu
(b) là chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là chỉnh hình yếu
Trước khi chứng minh bổ đề này ta thiết lập bổ đề sau:
✁
2.4.3
✁
Bổ đề:
Giả sử U là tập mở trong C. Khi đó, ánh xạ f : U
và chỉ nếu nó là chỉnh hình yếu.
14
Ñ F là chỉnh hình nếu
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ
Đầu tiên, ta chứng minh f là liên tục. Cho λ0
U và chon r
0 để
∆ λ0 ; 2r
U . Giả sử φ F ✶ và λ ∆ λ0 , r , λ λ0 . Áp dụng công thức tích
phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình 1 biến, ta có:
♣
q❳
♣
q ✘
→
➺ ✂ φ ✆ f ♣ζ q φ ✆ f ♣ζ q ✡
f ♣λq ✁ φ ✆ f ♣λ0 q ✏
✁ ζ ✁ λ q dζ
ζ ✁λ
0
⑤ζ ⑤✏2r
➺
λ ✁ λ0
φ ✆ f ♣ζ q
✏ 2πi
♣ζ ✁ λq♣ζ ✁ λ0 dζ
1
2πi
⑤ζ ⑤✏2r
✞✞ ✂
✡✞✞
f
♣
λ
q
✁
f
♣
λ
q
0
✞✞φ
✞✞ ↕ 1 M .4πr ✏ M
λ ✁ λ0
2π r.2r
r
ở đây M ✏ supt⑤φ ✆ f ♣ζ q⑤ : ⑤ζ ✁ λ0 ⑤ ✏ 2r✉.
Do nguyên lý bị chặn đều, tồn tại c → 0 sao cho:
✎✎
✎✎
f
♣
λ
q
✁
f
♣
λ
q
0 ✎
✎✎
✎ ↕ c; ❅λ ∆♣λ0, rq, λ ✘ λ0
λ ✁ λ0
Suy ra
Bất đẳng thức trên chứng tỏ rằng f là liên tục tại λ0 . Bây giờ cách chứng
minh f là chỉnh hình tương tự như ở các định lý trên đã trình bày.
Thật vậy, nếu ∆ λ0 , r
U thì đầu tiên ta có,
♣
q❳
♣ q✏
f λ
đới với ζ
1
2πi
➺
⑤ζ ✁λ0 ⑤✏r
♣q
✁
f ζ
dζ
ζ λ
∆♣λ0, rq. Từ đó, ta nhận được khai triển chuỗi
➺ f ♣ζ
✽
➳
1
f ♣λq ✏
♣λ ✁ λ0qm 2πi
dζ
ζ
✁
λ
0
m✏0
⑤ζ ✁λ0 ⑤✏r
♣
q ↕s➔r
và chuỗi hội tụ đều trên mọi đĩa ∆ λ0 , s ; 0
Do đó, f là chỉnh hình
15
Kết luận
Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích
phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ
bản của giải tích phức một biến .
Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc
chắn không thể tránh được sai sót. Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của
quý thầy cô và bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn.
Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy
PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy đã tận tình giảng dạy cho chúng em
trong thời gian vừa qua.
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland
Math. Studies, 120.
17
