Chuyên đề phép biến hình

Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M′ của mặt phẳng , điểm M′ gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M′ là ảnh của M qua phé p f thì ta viết : M′= f(M) hay
f
f(M) = M′ hay f : M I
→ M′ hay M I
→ M ′ . Điểm M gọi là tạo ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất ⇔ f(M) = M , ∀ M ∈ H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f1 ,f2 là các phép biến hình thì f2 o f1 là phép biến hình .
ª Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M′= f(M), với M ∈ H, tạo thành một hình H′ được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H′= f(H) .

2 Phép dời hình .
ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với
hai điểm bất kì M,N và ảnh M′, N′ củ a chúng , ta luôn có M′N′= MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) .
3 Tính chất : ( của phép dời hình ) .
gĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng
thành ba điểm không thẳng hàng .
gHQ : Phép dời hình biến :
1. Đường thẳng thành đường thẳng .

2. Tia thành tia .
3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
4. Tam giác thành tam giác bằng nó . ( Trực tâm I→ trực tâm , trọng tâm I→ trọng tâm )
5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I→ I′ , R′ = R )
6. Góc thành góc bằng nó .
B . BÀI TẬP
x′ = 2x − 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
.
y′ = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( − 1;2) c) C(2; − 4)
Giải :
a) A′ = f(A) = (1;5)
b) B′ = f(B) = ( − 7;6)
c) C′ = f(C) = (3; − 1)
x′ = 2x − y + 1
2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
.
y′ = x − 2y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( − 1;3) c) C( − 2;4)
Giải :
a) A′ = f(A) = (4;3)
b) B′ = f(B) = ( − 4; − 4)
c) C′ = f(C) = ( − 7; − 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (3x; y) . Đây có phả i là phép dời
hình hay không ?

- 1 -


phÐp

Ch¬ng 1
biÕn h×nh
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x1; y1),N(x2 ; y2 )
Khi đó f : M(x1; y1 ) I
→ M′ = f(M) = (3x1; y1) .
f : N(x 2 ; y 2 ) I
→ N′ = f(N) = (3x 2 ; y 2 )
Ta có : MN = (x 2 − x1)2 + (y 2 − y1)2 , M′N ′ = 9(x 2 − x1)2 + (y2 − y1 )2
Nếu x1 ≠ x 2 thì M′N′ ≠ MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = ( y{ ; x{
−2)
x′

y′

b) g : M(x;y) I
→ M′ = g(M) = ( 2x
{ ; y+1)
{ .
x′

y′

Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?
HD :
a) f là phép dời hình
b) g không phải là phép dời hình ( vì x1 ≠ x 2 thì M′N′ ≠ MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (y + 1 ; − x)
b) g : M(x;y) I
→ M′ = g(M) = ( x ; 3y ) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?
Giải :
a) f là phép dời hình
b) g không phải là phép dời hình ( vì y1 ≠ y 2 thì M′N′ ≠ MN )
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (−2x ; y + 1) . Tìm ảnh củ a đường
thẳng (∆) : x − 3y − 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

− x′
x′ = − 2x
x =
Ta có f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
⇔
2
 y′ = y + 1  y = y′ − 1

− x′

Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (
) − 3(y′ − 1) − 2 = 0 ⇔ x′ + 6y′ − 2 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 6y − 2 = 0
2
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ∈ (∆) : M ≠ N .
gM ∈ (∆) : M(2;0) I
→ M′ = f(M) = (−4;1)
gN ∈ (∆) : N( − 1; − 1) I
→ N′ = f(N) = (2; 0)
gQua M′(−4;1)
x+ 4 y − 1
uuuuur
(∆′) ≡ (M′N′) : 
→ PTCtắc (∆′) :
=
→ PTTQ (∆′) : x + 6y − 2 = 0
6
−1
gVTCP : M′N′ = (6; −1)
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x + 3 ; y + 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 .

I
→ (C′) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4

- 2 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x − 3 ; y + 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ∆) : x + 2y − 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2 .

x2
y2
+
=1.
3
2
Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x1; y1), N(x2 ; y 2 )
d ) Tìm ảnh của elip (E) :

Khi đó f : M(x1; y1) I
→ M ′ = f(M) = (x1 − 3; y1 + 1) .
f : N(x 2 ; y 2 ) I
→ N′ = f(N) = (x 2 − 3; y 2 + 1)
Ta có : M′N′ = (x 2 − x1)2 + (y 2 − y1)2 = MN
Vậy : f là phép dời hình .
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
 x′ = x − 3  x = x ′ + 3
Ta có f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
⇔

 y′ = y + 1
 y = y′ − 1
Vì M(x;y) ∈ (∆) ⇔ (x′ + 3) + 2(y′ − 1) − 5 = 0 ⇔ x′ + 2y′ − 4 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 2y − 4 = 0
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ∈ (∆) : M ≠ N .
gM ∈ (∆) : M(5 ;0) I
→ M′ = f(M) = (2;1)
gN ∈ (∆) : N(3 ; 1) I
→ N′ = f(N) = (0;2)
gQua M′(2;1)
x − 2 y −1
uuuuur
(∆ ′) ≡ (M′N′) : 
→ PTCtắc (∆′) :
=
→ PTTQ (∆′) : x + 2y − 4 = 0
−2
1
gVTCP : M′N′ = (−2;1)
Cách 3 : Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng (∆) thành đường thẳng (∆′) // (∆ ) .
gLấy M ∈ (∆ ) : M(5 ;0) I
→ M′ = f(M) = (2;1)
′
′
gVì (∆ ) // (∆ ) ⇒ (∆ ) : x + 2y + m = 0 (m ≠ −5) . Do : (∆′) ∋ M′(2;1) ⇒ m = − 4 ⇒ (∆ ′) : x + 2y − 4 = 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
 x′ = x − 3  x = x′ + 3
Ta có f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
⇔
 y′ = y + 1

 y = y′ − 1
Vì M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2 ⇔ (x′ + 4)2 + (y′ − 3)2 = 2 ⇔

⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = 2
+ Tâm I( − 1;2) f
+ Tâm I′= f [ I( − 1;2)] = ( −4;3)
Cách 2 : (C) 

→ (C′) 
 + BK : R = 2
 + BK : R′= R = 2

→ (C′) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = 2

d) Dùng biểu thức toạ độ

 x′ = x − 3  x = x ′ + 3
Ta có f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = 
⇔
 y′ = y + 1
 y = y′ − 1

x2
y2
(x′+ 3)2
(y′ − 1)2
(x + 3)2
(y − 1)2
′

′
′
′
Vì M(x;y) ∈ (E) :
+
=1 ⇔
+
= 1 ⇔ M (x ;y ) ∈ (E ) :
+
=1
3
2
3
2
3
2

- 3 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng (∆) : x − 2y + 3 = 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 2 .

d) Tìm ảnh của parabol (P) : y 2 = 4x .
ĐS : b) x − 2y − 2 = 0

c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2

d) (y + 2)2 = 4(x − 1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (−x ; y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình
B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành
D. f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung → C sai .
12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
f1 : M(x;y) I
→ M′ = f1(M) = (x + 2 ; y − 4) ; f2 : M(x;y) I
→ M′ = f2 (M) = ( − x ; − y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; − 1) qua f1 rồi f2 , nghóa là tìm f2 [f1(A)] .
f

f

1 → A′(6; − 5) I
2 → A′′( − 6 ; 5 ) .
ĐS : A(4; − 1) I

x
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I

→ M′ = f(M) = ( ; −3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến)
B. Ảnh của A ∈ Ox thì ảnh A′= f(A) ∈ Ox .
C. Ảnh của B ∈ Oy thì ảnh B′= f(B) ∈ Oy .
D. M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; − 9)
ĐS : Chọn D . Vì M′= f [ M(2 ; − 3)] = (1; 9)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN

uuuuur r
r
1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M′ sao cho MM′ = u.
uuuuur r
Kí hiệu : T hay Tur .Khi đó : Tur(M) = M ′ ⇔ MM′ = u
gPhép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
gNếu Tor(M) = M , ∀M thì Tor là phép đồng nhất .
r
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến Tur
 x′= x + a
M(x;y) I
→ M′=Tur (M) = (x′; y′ ) thì 
 y′= y + b

3 Tính chất :
gĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
gHQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
7. Biến tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm I
→ trực tâm , trọng tâm I
→ trọng tâm )
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : I I→ I′ , R ′ = R )
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
- 4 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
 x′= x + a
M(x;y) I
→ M′=Tur (M) = (x′; y′ ) thì 
 y′= y + b

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi )
1. Lấy M ∈ (H) I
→ M′ ∈ (H′)
2. g(H) ≡ đường thẳng 
→ (H′) ≡ đường thẳng cùng phương
+ Tâm I
+ Tâm I′

g(H) ≡ (C) 
I
→ (H′) ≡ (C′) 
(cần tìm I′) .
+ bk : R
+ bk : R′= R
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .
Tìm x theo x′ , tìm y theo y′ rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3 : Lấy hai điểm phân biệt : M, N ∈ (H) I
→ M′, N′ ∈ (H′)
B, BÀI TẬP

r
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M′ của điểm M(3; − 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
uuuuur r
 x′ − 3 = 2
 x′ = 5
Theo đònh nghóa ta có : M′ = Tur(M) ⇔ MM′ = u ⇔ (x′ − 3; y′ + 2) = (2;1) ⇔ 
⇔
 y′ + 2 = 1
 y ′ = −1
⇒ M′(5; −1)
r
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
r
a) A( − 1;1) , u = (3;1)
⇒ A′(2;3)
r
b) B(2;1) , u = ( − 3;2)

⇒ B′( − 1;3)
r
c) C(3; − 2) , u = ( − 1;3)
⇒ C′(2;1)
r
3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ′,B′ lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) .
uuur uuuur
Tính độ dài AB , A ′B′ .
Giải
uuur
uuuur
Ta có : A′= Tur (A) = (5;4) , B′= Tur(B) = (4;2) , AB = |AB | = 5 , A ′B′ = |A ′B′ | = 5 .
r r
r
4 Cho 2 vectơ u1; u2 . Gỉa sử M1 = Tur (M),M 2 = Tur (M1). Tìm v để M2 = Tvr (M) .
1
2
Giải
uuuuur r
uuuuuuur r
Theo đề : M1 = Tur (M) ⇔ MM1 = u1 , M 2 = Tur (M1) ⇔ M1M 2 = u2 .
1 uuuuuur
2
r r uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r
r r r
r
Nếu : M2 = Tv (M) ⇔ MM 2 = v ⇒ v = MM 2 = MM1 + M1M 2 = u1+ u2 .Vậy : v = u1+ u2
5 Đường thẳng ∆ cắt Ox tại A( − 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ là ảnh
r
của ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; − 1) .

- 5 -


Ch¬ng 1
biÕn h×nh
Giải Vì : A′ = Tur (A) = (1; −1) , B′ = Tur(B) = (2;1) .
gqua A′(1;uuuuu
− 1)r
Mặt khác : ∆′ = Tur (∆) ⇒ ∆′ đi qua A′,B′ . Do đó : ∆′ 
gVTCP : A′B′= (1;2)

phÐp

x = 1 + t
⇒ ptts ∆′ : 
y = −1 + 2t

6 Đường thẳng ∆ cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng ∆′ là ảnh
r
của ∆ qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 1; − 2) .
Giải
r (A) = (0; −2) , B′ = Tr (B) = ( −1;1) .
Vì : A′ = Tu
u
gqua A′(0; − 2)
x = −t
r (∆) ⇒ ∆′ đi qua A ′,B′ . Do đó : ∆′ 
uuuuur
Mặt khác : ∆′ = Tu

⇒ ptts ∆′ : 

y = −2 + 3t
gVTCP : A′B′= ( − 1;3)
r
7 Tương tự : a) ∆ : x − 2y − 4 = 0 , u = (0 ; 3)
⇒ ∆′ : x − 2y + 2 = 0
r
b) ∆ : 3x + y − 3 = 0 , u = ( − 1 ; − 2)
⇒ ∆′ : 3x + y + 2 = 0
r
8 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; − 3) .
Giải
x = x′ − 1
x′= x + 1
r là : 
Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến Tu
⇔
 ′
y = y − 3
y = y′+ 3
Vì : M(x;y) ∈ (C) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 ⇔ x′2 + (y′ + 1)2 = 4 ⇔ M′(x ′;y ′) ∈ (C′) : x 2 + (y + 1)2 = 4
Vậy : Ảnh của (C) là (C′) : x 2 + (y + 1)2 = 4

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (x + 1; y − 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng (∆) : x − 2y + 3 = 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y 2 = 4x .

ĐS : b) x − 2y − 2 = 0

c) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2

d) (y + 2)2 = 4(x − 1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I
→ M′ = f(M) = (−x ; y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình
B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành
D. f [ M(2;3)] ∈ đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứn g nhau qua trục tung → C sai .
r
9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( − 2;4) .
x′= x − 2
x = x′+ 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến Tur là : 
⇔
y′= y + 4
 y = y′ − 4

Vì : M(x;y) ∈(C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 1 ⇔ (x ′ −1)2 + (y ′ − 2)2 = 1 ⇔ M ′(x ′;y′) ∈ (C′) : (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = 1
Vậy : Ảnh của (C) là (C′) : (x −1)2 + (y − 2)2 = 1

- 6 -


Ch¬ng 1

biÕn h×nh
r
BT Tương tự : a) (C) : (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1, u = (3;1)
r
b) (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, u = ( − 2;3)

phÐp

⇒ (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1
(C′) : x2 + y2 + 2x − 2y − 7 = 0

10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( − 2;0), đỉnh B( − 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .
Giải
uur
uur
uur
gGọi C(x;y) .Ta có : IC = (x − 1; y − 2),AI = (3;2),BI = (2; −1)
gVì I là trung điểm của AC nên :
uur uur x − 1 = 3
x = 4
C = Tuur(I) ⇔ IC = AI ⇔ 
⇔
⇒ C(4;4)
AI
y − 2 = 2
y = 4
gVì I là trung điểm của AC nên :
uur uur x − 1 = 2
 x = 3

D = Tuur(I) ⇔ ID = BI ⇔  D
⇔ D
⇒ D(3;4)
BI
y D − 2 = 2
 y D = 4
Bài tập tương tự : A( − 1;0),B(0;4),I(1;1)

⇒ C(3;2),D(2; − 2) .

11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d′ . Hãy chỉ ra một phép tònh tiến
biến d thành d′ . Hỏi có bao nhiê u phép tònh tiến như thế ?
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A ∈ d , A ′ ∈ d ′
uuuuur uuur
Lấy điểm tuỳ ý M ∈ d . Gỉa sử : M ′ = Tuuur(M) ⇔ MM′ = AB
AB
uuuur uuuur
⇒ MA = M′B ⇒ M′B / /MA ⇒ M′ ∈ d′ ⇒ d ′ = Tuuur(d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d ′ .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I′,R′) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) thành (I′,R′) .
uuuuur uur
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M′ = Tuur(M) ⇔ MM′ = II′
II′
uuur uuuur
⇒ IM = I′M′ ⇒ I′M′ = IM = R ⇒ M′ ∈ (I′,R′) ⇒ (I′,R′) = Tuur[(I,R)]
II′
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải

uuur uur
Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó dễ thấy J cố đònh và IM = JB .
Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến Tuur. Suy ra : Quỹ tích của M là
JB
uur
ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB
r
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax 2 . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n)

và (P′) là ảnh của (P) qua phé p tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của (P′) .
Giải :
uuuuur r
uuuuur
Tur
gM(x;y) I
→ M′(x′;y′) , ta có : MM ′= u , với MM′= (x′ − x ; y′ − y)
uuuuur r x′ − x = m
x = x′ − m
Vì MM′= u ⇔ 
⇔
 y′ − y = n
y = y′ − n
Mà : M(x; y) ∈ (P) : y = ax 2 ⇔ y′ − n = a(x ′ − m)2 ⇔ y ′ = a(x′ − m)2 + n ⇔ M′(x′;y′) ∈ (P ′) : y = a(x − m)2 + n
Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến Tur là (P′) : y = a(x − m)2 + n ⇔ y = ax 2 − 2amx + am 2 + n .
r r
15 Cho đt ∆ : 6x + 2y − 1= 0 . Tìm vectơ u ≠ 0 để ∆ = Tur (∆) .
r
r
r
r

Giải : VTCP của ∆ là a = (2; − 6) . Để : ∆ = Tur (∆ ) ⇔ u cùng phương a . Khi đó : a = (2; − 6) = 2(1; −3)
r
⇒ chọn u = (1; − 3) .
r
r
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( − 5;2) , C( − 1;0) . Biết : B = Tur (A) , C = Tvr(B) . Tìm u và v
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?
Giải
- 7 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
uuur r uuur r uuur uuur uuur r r
Tur
Tvr
Ta
có
:
AB
= u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (4; −2)
.
A( − 5;2) I
→ B I
→ C(−1; 0)
Tur + vr
r

r
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; − 1),N(2; −3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( − 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến Tur rồi Tvr.
uuur r uuur r uuur uuur uuur r r
Tur
Tvr
HD : Gỉa sử : A(x;y) I
→ B I
→ C(x′; y′) . Ta có : AB = u, BC = v ⇒ AC = AB + BC = u + v = (1;5)
uuuur
 x′ − 1 = 1
 x′ = 2
Do đó : K′=Tur+ vr(K) ⇔ KK ′ = (1;5) ⇔ 
⇔
⇒ K ′(2;7) .
 y′ − 2 = 5  y ′ = 7
Tương tự : M′(4;4) , N′(3;2) .
18 Trong hệ trục toạ độ rOxy , cho ∆ABC : A(3;0) , B( − 2;4) , C( − 4;5) . G là trọng tâm ∆ABC và phép
r
tònh tiến theo vectơ u ≠ 0 biến A thàn h G . Tìm G′ = Tur (G) .
Giải
Tur
Tur
A(3;0) I
→ G(−1;3) I
→ G′(x′; y′)
uuur
uuuur r x′ + 1 = −4
r
x′ = −5

Vì AG = (−4;3) = u . Theo đề : GG′ = u ⇔ 
⇔
⇒ G′(−5;6).
 y′ − 3 = 3
 y′ = 6
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 2,(C′) : x 2 + y 2 − 10x + 4y + 25 = 0.
r
Có hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C′) .
HD : (C) có tâm I(1; − 3), bán kính R = 2 ; (C′) có tâm I′(5; − 2), bán kính R ′= 2 .
r
Ta thấy : R = R′= 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C′) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( − 2;1) và B ∈ ∆ :2x − y − 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
uuur uuur
r
gVì OABC là hình bình hành nên : BC = AO = (2; −1) ⇒ C = Tur (B) với u = (2; −1)
uuur r x′ − x = 2
Tur
 x = x′ − 2
gB(x;y) I
→ C(x′; y′) . Do : BC = u ⇔ 
⇔
 y ′ − y = −1  y = y ′ + 1
gB(x;y) ∈ ∆ ⇔ 2x − y − 5 = 0 ⇔ 2x′ − y′ − 10 = 0 ⇔ C(x′; y′) ∈ ∆′ : 2x − y − 10 = 0
21 Cho ∆ABC . Gọi A1,B1,C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O1,O2 ,O3 và I1,I2 ,I3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB1C1,
BC1A1, và CA1B1 . Chứng minh rằng : ∆O1O2O3 = ∆I1I 2I3 .
HD :
w Xét phép tònh tiến : T1 uuur biến A I

→ C,C1 I
→ B, B1 I
→ A1 .
AB
2
T1 uuur
T1 uuur
T1 uuur
AB

AB

AB

2
2
2
⇒ ∆AB1C1 I
→ ∆C1BA1;O1 I
→ O2 ;I1 I
→ I2 .
uuuuuur uuuur
⇒ O1O2 = I1I2 ⇒ O1O2 = I1I2 .
w Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T1 uuur,T1 uuur suy ra :
BC
CA
2
2
uuuuuur uuuur
uuuuuur uuuur

O2O3 = I2I3 và O3O1 = I3I1 ⇒ O2O3 = I2I3 ,O3O1 = I3I1 ⇒ ∆O1O2O3 = ∆I1I2I3 (c.c.c).

- 8 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
µ = 60o ,B
µ = 150o và D
µ = 90o.
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD = 12cm , A
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
uuuur uuur
Tuuur
·
µ = 150o )
BC → M ⇔ AM = BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM
w Xét : A I
= 30o (vì B
·
·
Lại có : BCD
= 360o − (90o + 60o + 150o ) = 60o ⇒ MCD
= 30o.
Đònh lý hàm cos trong ∆MCD :
3

MD2 = MC2 + DC2 − 2MC.DC.cos30o = (6 3)2 + (12)2 − 2.6 3.12.
= 36
2
⇒ MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3 ⇒ ∆MDC là tam giác đều
2
·
·
⇒ ∆MCD là nửa tam giác đều ⇒ DMC
= 90o và MDA
= 30o.
·
·
·
Vậy : MDA
= MAD
= MAB
= 30o ⇒ ∆AMD là tam giác câ n tại M .
6 3
Dựng MK ⊥ AD ⇒ K là trung điểm của AD ⇒ KD=MDcos30o =
cm ⇒ AD = 6 3cm
2
Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm
Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A , KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN1:Điểm M′ gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM′.
Phép đối xứng qua đường thẳ ng còn gọi là phép đối xứng trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ đối xứng
với M qua đường thẳ

ngra . uuuuuur
uuuuuu
Kí hiệu : Đa (M) = M′ ⇔ M oM′ = − M oM , với M o là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đó :
gNếu M ∈ a thì Đa (M) = M : xem M là đối xứ ng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )

gM ∉ a thì Đa (M) = M′ ⇔ a là đường trung trực củ a MM′
gĐa (M) = M′ thì Đa (M′) = M
gĐa (H) = H′ thì Đa (H′) = H , H′ là ảnh của hình H .

gĐN : d là trục đối xứng của hình H ⇔ Đd (H) = H .
gPhép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) I
→ M′ = Đd (M) = (x′; y ′ )
 x′= x
 x′= − x
ª d ≡ Ox : 
ª d ≡ Oy : 
 y′ = − y
 y′ = y

- 9 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh

3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình .

gHQ :
1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàn g và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm I
→ trực tâm , trọng tâm I
→ trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I
→ I ′ , R′ = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
• PP : Tìm ảnh M′ = Đa (M)
1. (d) ∋ M , d ⊥ a
2. H = d ∩ a
3. H là trung điểm của MM′ → M′ ?
ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : ∆′= Đa ( ∆)
w TH1: (∆) // (a)
1. Lấy A,B ∈ (∆) : A ≠ B
2. Tìm ảnh A′= Đa (A)
3. ∆′ ∋ A′,∆′// (a) → ∆′
w TH2 : ∆ // a
1. Tìm K = ∆ ∩ a
2. Lấy P ∈ ∆ : P ≠ K .Tìm Q = Đa (P)
3. ∆′ ≡ (KQ)
ª PP : Tìm M ∈ (∆) : (MA + MB)min .

Tìm M ∈ (∆ ) : (MA+ MB)min
w Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối vớ i (∆ ) :
1) gọi A′ là đối xứng của A qua ( ∆ )
2) ∀M ∈ (∆ ), thì MA + MB = MA ′+ MB ≥ A ′B
Do đó: (MA+MB)min= A ′B ⇔ M = (A ′B) ∩ (∆)
w Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với (∆ ) :
∀M ∈ (∆ ), thì MA + MB ≥ AB
Ta có: (MA+MB)min = AB ⇔ M = (AB) ∩ (∆)
B . BÀI TẬP

- 10 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
Đ

Đ

Oy
Ox → M′(2; − 1) I
HD : M(2;1) I
→ M′′(−2; −1)

2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứng qua Ox .
Đ

Đ

Oy
Ox → M′′(−a; − b)
HD : M(a;b) I
→ M′( − a;b) I

Đ

Đ

b → M′′.
3 Cho 2 đường thẳng (a) : x − 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( − 1;2) . Tìm : M Ia
→ M′ I
Đ

Đ

b → M′′(5; −4) [ vẽ hình ] .
HD : M( − 1;2) Ia
→ M′(5;2) I

4 Cho 2 đường thẳng (a) : x − m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Đ

Đ

b → M′′(x′′; y′′).
Tìm M′′: M(x;y) a

→ M′(x′; y′) 
Đa
Đb
 x′ = 2m − x
 x′′ = 2m − x
HD : M(x;y) I
→ M′ 
I
→ M′′ 
tđ(m;y)
tđ(2m −x;− n)
 y′ = y
 y′′ = −2n − y

5 Cho điểm M( − 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .
HD : (d) : 2x − y + 4 = 0 , H = d ∩ a → H( − 2;0) , H là trung điểm của MM′ → M′( − 3; − 2)
6 Cho điểm M( − 4;1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 .
⇒ M′= Đa (M) = (−1; 4)
7 Cho 2 đường thẳng (∆) : 4x − y + 9 = 0 , (a) : x − y + 3 = 0 . Tìm ảnh ∆′= Đa (∆) .
HD :
4 −1
gVì ≠
⇒ ∆ cắt a → K = ∆ ∩ a → K(−2;1)
1 −1
gM( − 1;5) ∈ ∆ → d ∋ M, ⊥ a → d : x + y − 4 = 0 → H(1/ 2; 7 / 2) : tđiểm của MM′ → M′ = Đa (M) = (2;2)
g∆′ ≡ KM′: x − 4y + 6 = 0
8 Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : ga ∩ Ox = K( − 3;0) .
3 9
gM ≡ O(0;0) ∈ Ox : M′= Đa (M) = ( − ; − ) .

5 5
gb ≡ KM′: 3x + 4y + 9 = 0 .
9 Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y − 3 = 0 .
HD : ga ∩ Ox = K(3;0) .
gP ≡ O(0;0) ∈ Ox .
+ Qua O(0;0)
g∆ 
→ ∆ : 3x − y = 0
+ ⊥ a
3 9
3 9
gE = a ∩ ∆ → E( ; ) là trung điểm OQ → Q( ; ) .
10 10
5 5
gb ≡ KQ : 3x + 4y − 9 = 0 .
10 Tìm b = ĐOx (a) với đường thẳng (a) : x + 3y − 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : gK= a ∩ Ox → K(3;0)
gP(0;1) ∈ a ⇒ Q = ĐOx (P) = (0; − 1)
gb ≡ KQ : x − 3y − 3 = 0 .
11 Cho 2 đường thẳng (∆) : x − 2y + 2 = 0 , (a) : x − 2y − 3 = 0 . Tìm ảnh ∆′= Đa (∆) .
PP : ∆ / /a
Cách 1 : Tìm A,B ∈ ∆ → A′,B′ ∈ ∆′ ⇒ ∆′ ≡ A ′B′
Cách 2 : Tìm A ∈ ∆ → A′ ∈ ∆′ ⇒ ∆′ / / ∆, ∆′ ∋ A′

- 11 -


Ch¬ng 1

Giải : gA(0;1) ∈ ∆ → A ′ = Đa (A) = (2; −3)
g∆′ ∋ A′,∆′ / / ∆ ⇒ ∆′ : x − 2y − 8 = 0

phÐp

biÕn h×nh

12 Cho đường tròn (C) : (x+3)2 + (y − 2)2 = 1 , đường thẳng (a) : 3x − y + 1= 0 . Tìm (C′) = Đa [(C)]
HD : (C′) : (x − 3)2 + y2 = 1 .

13 Trong mpOxy cho ∆ABC : A( − 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
A. ∆ABC cân ở B
B. ∆ABC có 1 trục đối xứng
C. ∆ABC = ĐOx (∆ABC)
D. Trọng tâm : G = ĐOy (G)
HD : Chọn D

14 Trong mpOxy cho điểm M( − 3;2), đường thẳng (∆ ) : x + 3y − 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3)2 + (y + 2)2 = 4.
Tìm ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x − 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M′, (∆ ′) và (C′) là ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
g Qua M( − 3;2)
a) Tìm ảnh M′ : Gọi đường thẳng (d) : 
g ⊥ a
+ (d) ⊥ (a) → (d) : 2x + y + m = 0 . Vì (d) ∋ M( − 3;2) ⇒ m = 4 ⇒ (d) : 2x + y + 4 = 0

1
x H = 2 (x M + x M′ )
+ H = (d) ∩(a) ⇒H( −2;0) ⇒H là trung điểm của M,M′ ⇔H 
y = 1 (y + y ′ )
M

 H 2 M

1
−2 = 2 (−3 + x M′)
x
= −1
⇔
⇔ M′
⇒M′( −1; −2)
1
y
=
−
2
′

M
0 = (2 + y ′ )
M

2
b) Tìm ảnh (∆′) :
1
3
gVì ≠
⇒(∆) cắt (a) ⇒K= (∆) ∩(a)
1 −2
x + 3y −8 = 0
⇒Toạ độ của K là nghiệm của hệ : 
⇔K(2; 2)

x −2y + 2 = 0
gLấy P ≠ K ⇒ Q = Đa [P( − 1;3)] = (1; −1) . ( Làm tương tự như câu a) )
g Qua P( − 1;3)
Gọi đường thẳng (b) : 
g ⊥ a
+ (b) ⊥ (a) → (b) : 2x + y + m = 0 . Vì (b) ∋ P( − 1;3) ⇒ m = − 1 ⇒ (b) : 2x + y − 1 = 0
+ E = (b) ∩ (a) ⇒ E(0;1) ⇒ E là trung điểm của P,Q ⇔


1
1
x = (x + xQ )
0 = (−1 + x Q )
 xQ = 1
 E 2 P

2
⇔ E
⇔
⇔
⇒ Q(1; −1)
 yQ = −1
 y = 1 (y + y )
1 = 1 (3 + y )
Q
Q
 E 2 P
 2
gQua K(2;2)
x−2 y−2

uuur
+ (∆′) ≡ (KQ) : 
⇒ (∆′) :
=
⇔ 3x − y − 4 = 0
1
3
gVTCP : KQ = (−1; −3) = −(1;3)

- 12 -


Ch¬ng 1
c) + Tìm ảnh của tâm I( − 3;2) như câu a) .

phÐp

biÕn h×nh

{

{

Đa
Đa
′
+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): gTâm I I
→(C′) : gTâm I
.Tìm I I
→ I′

′
gR = 2
gR = R = 2

Đa
+ Tâm I′= Đa [ I( − 3; −2)] = (− 2 ; 2 )
+
Tâ
m
I(
−
3;2)
′
Vậy : (C)
I
→ (C ) 
5 5
+ BK : R = 2
 + BK : R′= R = 2
2
2
→ (C′) : (x + )2 + (y − )2 = 4
5
5

{

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; − 5), đường thẳng (∆ ) : 3x + 2y − 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1)2+ (y − 2)2 = 9.
Tìm ảnh của M, (∆ ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x − y + 1 = 0 .
HD :

Đa
33 1
9 13
a) M(3; − 5) I
→ M′(− ; − ),(d) : x + 2y + 7 = 0,tđiểm H( − ; − )
5 5
5 5
4 15
b) + K=∆ ∩ (a) → K( ; )
7 7
+ P ∈ (∆ ) : P(2;0) ≠ K , Q = Đa[P(2;0)] = ( − 2;2)
⇒ (∆ ′) ≡ (KQ) : x − 18y + 38 = 0
Đa
9 8
9
8
c) + I(1; − 2) I
→ I′( − ; ) , R′= R = 3
⇒ (C′) : (x + )2 + (y − )2 = 9
5 5
5
5
16 Cho điểm M(2; − 3), đường thẳng (∆) : 2x + y − 4 = 0, đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0.
Tìm ảnh của M, (∆) và (C) qua phé p đối xứng qua Ox .
ĐOx
 x = x′
 x′ = x
HD : Ta có : M(x;y) →
M′ 
(1) ⇒ 

(2)
 y = − y′
 y′ = − y
Đ

Ox → M′(2;3)
gThay vào (2) : M(2; − 3) 
gM(x;y) ∈ (∆) ⇔ 2x′ − y′ − 4 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : 2x − y − 4 = 0 .

gM(x;y) ∈ (C) : x 2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0 ⇔ x′2 + y′2 − 2x′ − 4y′ + 2 = 0

⇔ (x′ − 1)2 + (y′ − 2)2 = 3 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (C′) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 3

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x − y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua ĐOx .
ĐOx
 x′ = x
 x = x′
Giải : Ta có : M(x;y) I
→ M′ 
⇒
 y′ = − y  y = − y ′
Vì M(x;y) ∈ (a) : 2x − y+3 = 0 ⇔ 2(x′) − ( −y′)+3 = 0 ⇔ 2x′ + y′+3 = 0 ⇔ M′(x′; y′) ∈ (a′) : 2x + y + 3 = 0
Đ

Oy
Vậy : (a) I→ (a′) : 2x + y + 3 = 0

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x 2 + y2 − 4y − 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua ĐOy .

ĐOy

 x′ = − x  x = − x ′
Giải : Ta có : M(x;y) I→ M′ 
⇒
 y′ = y
 y = y′
2
2
Vì M(x;y) ∈ (C) : x + y − 4y − 5 = 0 ⇔ ( − x′)2 + y′2 − 4(y′) − 5 = 0 ⇔ x′2 + y′2 − 4y − 5 = 0
Đ

⇔ M′(x′; y′) ∈ (C′) : x 2 + y 2 − 4y − 5 = 0

Oy
Vậy : (C) I→ (C′) : x2 + y 2 − 4y − 5 = 0

- 13 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x − y − 3 = 0 , (∆) : x − 3y + 11 = 0 , (C) : x 2 + y 2 − 10x − 4y + 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đa .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; − 1) qua Đa.
c) Tìm ảnh : (∆′) = Đa (∆),(C′) = Đa (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A 2 + B2 ≠ 0
uuuuur

uuuuur r
Đa
r
Gọi M(x;y) I
→ M′(x′;y′) , ta có : MM′ = (x ′ − x; y ′ − y) cùng phương VTPT n = (A;B) ⇒ MM′ = tn
x + x′ y + y ′
x′ − x = At x′ = x + At
⇒
⇒
(∀t ∈ ¡ ) . Gọi I là trung điểm của MM′ nê n I(
;
) ∈ (a)
2
2
y′ − y = Bt
y′ = y + Bt
x + x′
y + y′
x + x + At
y + y + Bt
⇔ A(
) + B(
) + C = 0 ⇔ A(
) + B(
)+C = 0
2
2
2
2
−2(Ax + By + C)

⇔ (A 2 + B2 )t = −2(Ax + By + C) ⇔ t =
A 2 + B2

2A(Ax + By + C)
2B(Ax + By + C)

⇒  x′ = x −
; y′ = y −


A2 + B2
A 2 + B2


4(2x − y − 3)
3
4
12
x′ = x −
x′ = − x + y +




5
5
5
5
Áp dụng kết quả trên ta có : 
⇔

2(2x
−
y
−
3)
4
3
6
y′ = y +
 y′ = y + y −


5
5
5
5


Đa
4 7
b) M(4; − 1) I
→ M′(− ; )
5 5
Đ

a → ∆′ : 3x + y − 17 = 0
c) ∆ I
Đ

a → (C′) : (x − 1)2 + (y − 4)2 = 2

d) (C) I

20 Trong mpOxy cho đường thẳng (∆) : x − 5y + 7 = 0 và (∆′) : 5x − y − 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến (∆) thành (∆′) .
Giải
1 −5
Vì ≠
⇒ (∆) và (∆′) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến (∆) thành (∆′) chính
5 −1
là đường phân giác của góc tạo bởi (∆) và (∆′) .
 x + y − 5 = 0 (a1)
⇔
1 + 25
25 + 1
 x − y − 1 = 0 (a2 )
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục (∆1) : x + y − 5 = 0 , (∆ 2 ) : x − y − 1 = 0
Từ đó suy ra (a) :

| x − 5y + 7 |

=

| 5x − y − 13|

21 Qua phép đối xứng trục Đa :
1. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
2. Những đường tròn nào biến thành chính nó ?
HD :
1. Tam giác có 1 đỉnh ∈ trục a , hai đỉnh còn lại đối xứng qua trục a .
2. Đường tròn có tâm ∈ a .

22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 qua phép đối xứng trục Oy.

PP : Dùng biểu thức toạ độ → ĐS : (C′) : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4
23 Hai ∆ABC và ∆A′B′C′ cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( − 1;5),B(−4;6),C′(3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A′, B′ và C .
ĐS : A′(1;5), B′(4;6) và C( − 3;1)
- 14 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
ĐS :
gHình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
gNgũ giác đều có 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
gLục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ∆ABC , B′ là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đd . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B′ ở trên cạnh AC .
B. B′ là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B′ ≡ C .
D. Nếu B′ là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B′= Đd (B) thì B′ ∈ AC .

gA đúng . Vì AB < AC mà AB′= AB nên AB′< AC ⇒ B′ ở trên cạnh AC .
1
gB sai . Vì giả thiết bài toán khô ng đủ khẳng đònh AB = AC.
2
′
′
′
gC đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC ⇒ B ≡ C .
gD đúng . Vì Nếu B′ là trung điểm cạ nh AC thì AC=2AB′ mà AB′=AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đa và Đ b :
Đ

Đ

a → B I
b → C . Khẳng đònh nào sau đây không sai ?
A I
A. A,B,C ∈ đường tròn (O, R = OC) .
B. Tứ giác OABC nội tiếp .
C. ∆ABC cân ở B
D. ∆ABC vuông ở B
HD : gA. Không sai . Vì d1 là trung trực của AB ⇒ OA = OB , d 2 là trung trực
của BC ⇒ OB = OC ⇒ OA = OB = OC ⇒ A,B,C ∈ đường tròn (O, R = OC) .
gCác câu B,C,D có thể sai .

27 Cho ∆ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ∆ABC là ∆ vuông
B. ∆ABC là ∆ vuông cân
C. ∆ABC là ∆ đều
HD : Gỉa sử ∆ABC có 2trục đối xứng là AC và BC

 AB = AC
⇒
⇒ AB = AB = BC ⇒ ∆ABC đều .
 BC = BA
µ = 110o. Tính B
µ và C
µ để ∆ABC
28 Cho ∆ABC có A
có trục đối xứng .
µ = 50o và C
µ = 20 o
µ = 45o và C
µ = 25o
A. B
B. B

D. ∆ABC là ∆ cân .

µ = 40o và C
µ = 30o
C. B
HD : Chọn D . Vì : ∆ABC có trục đối xứng khi ∆ABC cân hoặc đều
µ = 110o > 90o ⇒ ∆ABC cân tại A , khi đó :
Vì A

o µ
o
o
µB = C
µ = 180 − A = 180 − 110 = 35o

2
2
29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật
B. Hình vuông
C. Hình thoi
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .

µ =C
µ = 35o
D. B

D. Hình thang cân .

- 15 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật
B. Hình vuông
C. Hình thoi
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?
A. Hình thoi
B. Hình vuông

ĐS : Chọn C. Vì : ∆ đều có 3 trục đối xứng .

C. ∆ đều

32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?
A. Hình vuông
B. Hình thoi
C. Hình tròn
ĐS : Chọn C. Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng .

D. Hình thang cân .

D. ∆ vuông cân .

D. Hình thang cân .

33 Trong các hình sau , hình nào khôn g có trục đối xứng ?
A. Hình bình hành
B. ∆ đều
C. ∆ cân
D. Hình thoi .
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành không có trục đối xứng .
34 Cho hai hình vuông ABCD và AB′C′D′ có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .
Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuôn g ABCD thànhø AB′C′D′ .
HD : Gỉa sử : BC ∩ B′C′ = E .
µ =B
µ ′ = 90o,AE chung .
Ta có : AB = AB′ , B
ĐAE
EB = EB′

⇒ ∆ABE = ∆AB′F ⇒ 
⇒ B I→
B′
 biết AB = AB′
ĐAE
EC = EC′
Mặt khác : 
⇒ C I→
C′
AC = AC′= a 2
·
′
BAB
· ′AE = DAE
·
Ngoài ra : AD′ = AD và D
= 90o −
2
ĐA
ĐAE
⇒ D I
→ D′ ⇒ ABCD I→ AB′C′D′

35 Gọi H là trực tâm ∆ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .
HD :
¶ =C
¶ (cùng chắn cung BK
» )
Ta có : A

1

2

¶ =C
¶ (góc có cạnh tương ứng ⊥ ) ⇒ C
¶ =C
¶
A
1
1
1
2
⇒ ∆CHK cân ⇒ K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .
Đ

Đ

Đ

BC H ; B I→
BC B ; C I→
BC C
Ta có : K I→
Đ

BC Đường tròn ngoại tiếp ∆HBC
Vậy : Đường tròn ngoại tiếp ∆KBC I→

36 Cho ∆ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng không đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ∆ABC qua phép đối xứng Đa .
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC , Xác đònh G′ là ảnh của G qua phép đối xứ ng Đa .
Giải
a) Vì a là trục của phép đối xứng Đa nên :
gA ∈ a ⇒ A = Đa (A) .
gB,C ∉ a nên Đa : B I
→ B′,C I
→ C′ sao cho a là trung trực của BB′,CC′
b) Vì G ∉ a nên Đa : G I
→ G′ sao cho a là trung trực của GG′ .

- 16 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất .
Giải : Xét phép đối xứng Đa : A I
→ A′ .
∀M ∈ a thì MA = MA′ . Ta có : MA + MB = MA′+ MB ≥ A′B
Để MA + MB ngắn nhất thì chọn M,A,B thẳng hàng
Vậy : M là giao điểm của a và A ′B .
38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là một điểm bên trong góc đó . Hãy
tìm điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho ∆MBA có chu vi nhỏ nhất .
Giải

Gọi N = ĐOx (M) và P = ĐOx (M) . Khi đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP ≥ NP
( đường gấp khúc ≥ đường thẳng )
MinCVi = NP Khi A,B lần lượt là giao điểm của NP với Ox,Oy .
39 Cho ∆ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố đònh . Tìm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :
a) B di động trên đường thẳng ∆ .
b) B di động trên đường tròn tâm I, bán kính R .
Giải
a) Vì : C = ĐAH (B) , mà B ∈ ∆ nên C ∈ ∆′ với ∆′ = ĐAH (∆)
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng ∆′
b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua ĐAH .
Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A , KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thàn h điểm M′ đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm .
Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng .
uuur
uuur
Kí hiệu : ĐI (M) = M′ ⇔ IM′ = −IM .
gNếu M ≡ I thì M′ ≡ I
gNếu M ≠ I thì M′ = ĐI (M) ⇔ I là trung trực của MM′.
gĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H ⇔ ĐI (H) = H.
Chú ý : Một hình có thể không có tâm đối xứng .
ĐI
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x o ; y o ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y) I
→ M′ = ĐI (M) = (x ′; y′ ) thì
x′= 2xo − x

 ′
y = 2yo − y
3 Tính chất :
1. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
4. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
6. Biến một góc thành góc có số đo bằng nó .
7. Biến tam giác thành tam giác bằng nó . ( Trực tâm → trực tâm , trọng tâm → trọng tâm )
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I
→ I′ , R′ = R )
- 17 -


Ch¬ng 1
B . BÀI TẬP

phÐp

biÕn h×nh

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :
1) A( − 2;3) , I(1;2)
⇒ A′(4;1)
2) B(3;1) , I( − 1;2)
⇒ B′(−5;3)
3) C(2;4) , I(3;1)
⇒ C′(4; −2)
Giải :

uur
uur
 x′ − 1 = 3
 x′ = 4
a) Gỉa sử : A′ = ĐI (A) ⇔ IA = −IA ⇔ (x′ − 1; y′ − 2) = −(−3;1) ⇔ 
⇔
⇒ A ′(4;1)
 y ′ − 2 = −1  y ′ = 1
Cách ≠ : Dùng biểu thức toạ độ
2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :
1) (∆) : x + 2y + 5 = 0,I(2; −1)
⇒ (∆′) : x + 2y − 5 = 0
2) (∆) : x − 2y − 3 = 0,I(1; 0)
⇒ (∆′) : x − 2y + 1 = 0
3) (∆) : 3x + 2y − 1 = 0,I(2; −3)
⇒ (∆′) : 3x + 2y + 1 = 0
Giải
PP : Có 3 cách
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
Cách 2 : Xác đònh dạng ∆′ // ∆ , rồi dùng công thức tính khoảng cách d(∆;∆′) → ∆′.
Cách 3 : Lấy bất kỳ A,B ∈ ∆ , rồi tìm ảnh A′,B′ ∈ ∆′ ⇒ ∆′ ≡ A′B′
ĐI
 x′ = 4 − x
 x = 4 − x′
1) Cách 1: Ta có : M(x;y) I
→ M′ 
⇒
y′ = −2 − y y = −2 − y′
Vì M(x;y) ∈ ∆ ⇔ x + 2y + 5 = 0 ⇔ (4 − x′) + 2(−2 − y′) + 5 = 0 ⇔ x′ + 2y′ − 5 = 0
⇔ M′(x′;y′) ∈ ∆′ : x + 2y − 5 = 0

ĐI
Vậy : (∆) I
→ (∆′) : x + 2y − 5 = 0
Cách 2 : Gọi ∆′ = ĐI (∆) ⇒ ∆′ song song ∆ ⇒ ∆′: x + 2y + m = 0 (m ≠ 5) .
|5|
|m|
 m = 5 (loại)
Theo đề : d(I;∆) = d(I;∆′) ⇔
=
⇔ 5 = | −m | ⇔ 
 m = −5
12 + 22
12 + 22
→ (∆′) : x + 2y − 5 = 0
Cách 3 : Lấy : A( − 5;0),B( − 1; − 2) ∈ ∆ ⇒ A′(9; −2),B′(5; 0) ⇒ ∆′ ≡ A′B′ : x + 2y − 5 = 0
3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I :
1) (C) : x2 + (y − 2)2 = 1,E(2;1)
2) (C) : x2 + y2 + 4x + 2y = 0,F(1; 0)
3) (P) : y = 2x2 − x + 3 , tâm O(0;0) .

⇒ (C′) : (x − 4)2 + y2 = 1
⇒ (C′) : x2 + y2 − 8x − 2y + 12 = 0
đ / nghiã hay biểu thức toạ độ
→(P′) : y = − 2x 2 − x − 3

HD : a) Có 2 cách giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
ĐE
Cách 2 : Tìm tâm I I
→ I′,R ′ = R = (đã cho) .

b) Tương tự .

4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thành M′ sao cho AMBM′ là một hình bình hành .

- 18 -


Ch¬ng 1
HD :

phÐp

biÕn h×nh

uuuur uuuur
 MA = BM′
Nếu AMBM′ là hình bình hành ⇔  uuur uuuur
MB = AM′
uuuuur uuuur uuuur uuuur uuur 
Vì : MM′ = MA + AM′ = MA + MB (1)
uur
uur
Gọi I là trung
điể
m
củ
a
AB
.
Ta

có
:
IA
=
−
IB
uuuuur uuur uur uuur uur uuuuur uuur
′ = MI + IA + MI + IB ⇒ MM′ = 2MI
Từ (1) ⇒uuu
MM
r uuu
r
⇔ MI = IM′ ⇔ M′ = ĐI (M) .
5 Cho ba đường tròn bằng nhau (I1; R),(I2 ; R),(I3;R) từng đôi tiếp
xúc nhau tại A,B,C . Gỉa sử M là một điểm trên (I1; R) , ngoài ra :
ĐI
ĐC
ĐA
ĐB
1 →Q .
M I
→ N ; N I
→ P ; P I
→ Q . CMR : M I
HD :
• Do (I1; R) tiếp xúc với (I2 ; R) tại A , nên :
uuuur
uuuur
ĐA
ĐA

ĐA
M I
→ N ; I1 I
→ I2 ⇒ MI1 I
→ NI2 ⇔ MI1 = −NI2 (1)
• Do (I2 ; R) tiếp xúc với (I3; R) tại B , nên :
uuuur
uuur
ĐB
ĐB
ĐB
N I
→ P ; I2 I
→ I3 ⇒ NI2 I
→ PI3 ⇔ NI 2 = −PI3 (2)
• Do (I3; R) tiếp xúc với (I1; R) tại C , nên :
uuur
uuur
ĐC
ĐC
ĐC
P I
→ Q ; I3 I
→ I1 ⇒ PI3 I
→ QI1 ⇔ PI3 = −QI1 (3)
uuuur
uuur
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI1 = −QI1 ⇔ M = ĐI (Q) .
1

5 Cho ∆ABC là tam giác vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Vẽ phía
ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG .
a) Chứng minh tập hợp 6 điểm { B,C,F,G,E,D} có một trục đối xứng .

b) Gọi K là trung điểm của EG . Chứng minh K ở trên đường thẳng AH .
c) Gọi P = DE ∩ FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .
d) Chứng minh : CD ⊥ BP, BF ⊥ CP .
e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui .

- 19 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh

HD :

·
·
a) Do : BAD
= 45o và CAF
= 45o nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .
ĐDF
ĐDF
ĐDF
ĐDF
• Ta có : A l→

A ; D l→
D ; F l→
F ; C l→
G;
ĐDF
B l→
E (Tính chất hình vuông ).
Vậy : Tập hợp 6 điểm { B,C,F,G,E,D} có trục đố i xứng chính là đường thẳng DAF .
·
·
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ∆ABC = ∆AEG nên BAC
= AEG.

·
·
Nhưng : BCA
= AGE
( 2 ∆ đối xứng = )
·AGE = A
¶ (do ∆KAG cân tại K) . Suy ra : A
¶ =A
¶ ⇒ K,A,H thẳng hàng ⇒ K ở trên AH .
2
1
2
c) Tứ giác AFPG là một hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng . (Hơn nữ a K là trung điểm của AP )
Vậy : P ở trên PH .
d) • Do ∆EDC = ∆DBP nên DC = BP .
 DC = BP


·
·
• Ta có : DB = AB ⇒ ∆BDC = ∆ABP ⇒ CD = BP ⇒ BCD
= APB
nhưng hai góc này có cặp
 BC = AP

cạnh : BC ⊥ AP ⇒ cặp cạnh còn lại : DC ⊥ BP.
Lý luận tương tự , ta có : BF ⊥ CP.
e) Ta có : ∆BCP . Các đường thẳng AH, CD và BF chính là ba đường cao của ∆BCP nên đồng qui .
6 Cho hai điểm A và B và gọi ĐA và ĐB lần lượt là hai phép đối xứng tâ m A và B .
a) CMR : ĐB o ĐA = T uuur .
2AB

b) Xác đònh ĐA o ĐB.
HD : a) w Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :
uuuur uuuur
ĐA
M I
→ M′ : MA = AM′
uuur uuuuur
ĐB
M′I
→ M′′ : MB = BM′′. Nghóa là : M′′ = ĐB o ĐA (M), ∀M (1)
Đ B A
w Ta chứng minh : M I
→ M′′ :
uuuuur uuuuur uuuuuur
′
′M′′

Biết : uuuuu
MMr′′ = MM
uuuur + Muuuuuu
r uuuur
′M′′ = 2M′B
Mà : uuuuur
MM′ = 2MA
và
M
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
Vậy : MM′′ = 2MA + 2M′B = 2MA + 2M′A + 2AB
uuuur uuuur
uuuur uuuur r
uuuuur uuur
Vì : MA = AM′ nên MA + M′A = 0 . Suy ra : MM′′ = 2AB ⇔ M′′ = T uuur (M), ∀M (2)
2AB

Từ (1) và (2) , suy ra : ĐB o ĐA = T uuur .
2AB

b) Chứng minh tương tự : ĐA o ĐB = T uuur .
2 BA

- 20 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .
HD : Dùng hình thoi
Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứ ng vuông góc với nhau .
Lấy điểm M bất kỳ thuộc (H) và M1 = Đa (M) , M2 = Đb (M1) . Khi đó , theo
đònh nghóa M1,M 2 ∈ (H) .
·
·
Gọi O = a ∩ b , ta có : OM = OM1 và MOM
1 = 2AOM1
· OM = 2M
· OB
OM1 = OM2 và M
1
2
1
·
·
·
· OB)
Suy ra : OM = OM2 và MOM1 + M1OM 2 = 2(AOM1 +M
1
·
o
o
hay MOM
1 = 2 × 90 = 180
Vậy : O là trung điểm của M và M2 .
Do đó : M2 = ĐO (M), ∀M ∈ (H), M 2 ∈ (H) ⇔ O là tâm đối xứng của (H) .

·
·
8 Cho ∆ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM
= BCN
= 30o thì ∆ABC đều .
HD :
·
·
·
·
Tứ giác ACMN có NAM
= NCM
= 30o nên nội tiếp đtròn tâm O, bkính R=AC và MON
= 2NAM
= 60o.

ĐN
ĐN
Xét : A I
→ B ⇒ (O) I
→ (O1) thì B ∈ (O1) vì A ∈ (O) .
ĐM
ĐM
C I
→ B ⇒ (O) I
→ (O2 ) thì B ∈ (O2 ) vì C ∈ (O) .
OO = OO2 = 2R
Khi đó , ta có :  1
⇒ ∆OO1O2 là tam giác đề u .
·

o
 MON = 60
Vì O1B + O2B = R + R = 2R = O1O2 nên B là trung điể m O1O2 .
Suy ra :∆ABC ; ∆OO1O2 (Vì cùng đồng dạng vớ i ∆BMN) .
Vì ∆OO1O2 là tam giác đều nên ∆ABC là tam giác đều .

Vấn đề 5 : PHÉP QUAY

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố đònh và góc lượng giác ϕ. Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M′ sao cho OM = OM′ và (OM;OM′) = ϕ được gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ.
gPhép quay hoàn toàn xác đònh khi biết tâm và góc quay
gKí hiệu : Qϕ
O .

Chú ý : Chiều dương của phép quay ≡ chiều dương của đường tròn lựơng giác .
gQ2kπ ≡ phép đồng nhất ,∀ k ∈ ¢
gQ(2k+1)π ≡ phép đối xứng tâm I ,∀k ∈ ¢

2 Tính chất :
gĐL : Phép quay là một phép dời hình .
gHQ :
1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương
ứng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

- 21 -

Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
Q
Q
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm I
→ trực tâm , trọng tâm I
→ trọng tâm )
Q(O ; ϕ )
6. Đường tròn thành đường tròn bằn g nó . ( Tâm biến thành tâm : I I
→ I ′ , R′ = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
B. BÀI TẬP
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M / = Q(O ; ϕ) (M) .
HD :
 x = rcosα
Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = α thì M 
 y = rsinα
Q(O ; ϕ)
Vì : M I
→ M / . Gọi M / (x ′;y ′) thì độ dài OM / = r và (Ox;OM / ) = α + ϕ .
Ta có :
x ′ = rcos(α + ϕ) = rcos α.cosϕ − r sin α.sin ϕ = x cos ϕ − y sin ϕ .
y ′ = rsin(α + ϕ) = rsinα.cosϕ + r cos α.sin ϕ = x sin ϕ + y cos ϕ .
 x ′= x cos ϕ − y sin ϕ
Vậy : M / 
 y ′= x sin ϕ + y cos ϕ

Đặc biệt :
Q(O ; −ϕ)
 x ′′ = x cos ϕ + y sin ϕ
w M I→ M / / 
 y ′′ = − x sin ϕ + y cos ϕ
Q(I ; ϕ)
 x ′ − xo = (x − xo ) cos ϕ − (y − y o )sin ϕ
w M I
→ M/ 
I(xo ;yo )
 y ′ − yo = (x − xo )sin ϕ + (y − yo ) cos ϕ
Q(I ; −ϕ)
x ′′ − xo = (x − xo ) cos ϕ − (y − y o )sin ϕ
w M I 
→ M/ / 
I(xo ;yo )
y ′′ − yo = − (x − xo )sin ϕ + (y − yo ) cos ϕ
2 Trong mpOxy cho phép quay Q
a) Điểm M(2;2)

(O;45o )

. Tìm ản h của :

b) Đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2 = 4

Q
(O ; 45o )
Giải . Gọi : M(x;y) I→ M / (x / ;y / ) . Ta có : OM = 2 2, (Ox; OM) = α
 x′ = rcos(α+45o ) = r cos α.cos 45o − r sin α.sin 45o = x.cos 45o − y.sin 45o

Thì M / 
 y′ = rsin(α+45o ) = r sin α.cos 45o + r cos α.sin 45o = y.cos 45o + x.sin 45o

2
2
x−
y
 x′=
2
2
⇒ M/ 
 y′= 2 x + 2 y

2
2
Q
(O ; 45o )
a) A(2;2) I→ A / (0 ;2 2)
Q

/
gTâm I(1;0)
(O ; 45o )
b) Vì (C) : 
→ (C′) : gTâm I ?
gBk : R = 2
gBk : R′ = R = 2
Q
2
2

2 2
2 2
(O ; 45o )
I(1;0) I→ I / (
;
) . Vậy : (C′) : (x −
) + (y −
) =4
2
2
2
2

- 22 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh

1
3
y
 x′= x −
2
2 . Hỏi f là phép gì ?
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : 
 y′= 3 x + 1 y


2
2
Giải

π
π
 x′= x cos 3 − y sin 3
Ta có f : M (x; y) I
→ M′(x′;y′) với 
⇒ f là phé p quay Q π
(O; )
 y′= x sin π + y cos π
3

3
3
4 Trong mpOxy cho đường thẳng (∆) : 2x − y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; − 2).
b) Phép quay Q
.
(O;90o )
Giải
 x′ = 2 − x
 x = 2 − x′
a) Ta có : M′(x′;y′) = ĐI (M) thì biểu thức tọa độ M′ 
⇔
 y′ = −4 − y
 y = − 4 − y′
′

′
Vì M(x;y) ∈ (∆) : 2x − y+1= 0 ⇔ 2(2 − x ) − (−4 − y ) + 1 = 0 ⇔ −2x′ + y′ + 9 = 0
⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : 2x − y − 9 = 0
ĐI
Vậy : (∆) I
→ (∆′) : 2x − y − 9 = 0
Q
(O;90o )
b) Cách 1 : Gọi M(x;y) I
→ M′(x′;y′) . Đặt (Ox ; OM) = α , OM = r ,
Ta có (Ox ; OM′) = α + 90o ,OM′ = r .

Q
 x′ = r cos(α + 90o ) = − r sin α = −y x = y′
 x = rcosα
(O;90o )
Khi đó : M 
I
→ M′ 
⇒
 y = rsinα
 y = − x′
 y′ = r sin(α + 90o ) = rco s α = x
Vì M(x;y) ∈ (∆) : 2(y′) − ( − x′) + 1 = 0 ⇔ x′ + 2y′ + 1 = 0 ⇔ M′(x′;y′) ∈ (∆′) : x + 2y + 1 = 0
Q
(O;90o )
Vậy : (∆) I
→ (∆′) : x + 2y + 1 = 0

Q

(O;90o )
Cách 2 : Lấy : • M(0;1) ∈ (∆) I
→ M′(−1; 0) ∈ (∆′)
Q
1
−1
(O;90o )
• N( − ;0) ∈ (∆) I
→ N′(0; ) ∈ (∆′)
2
2
Q
(O;90o )
• (∆) I
→ (∆′) ≡ M′N′ : x + 2y + 1 = 0
Q
1
(O;90o )
Cách 3 : • Vì (∆) I
→(∆′) ⇒ (∆) ⊥ (∆′) mà hệ số góc : k ∆ = 2 ⇒ k ∆′ = −
2
Q
(O;90o )
• M(0;1) ∈ (∆) I
→ M′(1;0) ∈ (∆′)
gQua M′(1; 0)

• (∆′) : 
1 ⇒ (∆′) : x + 2y + 1 = 0
ghsg ; k = − 2

5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A′ là ảnh
của A qua phép quay tâm O góc 90o .

HD :
Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,Oy . Phép
quay tâm O góc 90o biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC′A′B′.
Khi đó : C′(0;3),B′( − 4;0). Suy ra : A′( − 4;3).

- 23 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A( − 1;5)
thành điểm B(5;1) .
uuur
uuur
OA = OB = 26
HD : Ta có : OA = (−1;5) và OB = (5;1) ⇒  uuur uuur
OA.OB = 0 ⇒ OA ⊥ OB
⇒B=Q
(A) .
(O ; 90o )
7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q
HD :

(O ; 90o )

(M) .

uuuur uuur
o ⇒ OM.ON = 0 ⇔ 4x+y = 0 ⇔ y= − 4x (1)
(M)
⇒
(OM;
ON)
=
90
(O ; 90o )
Do : OM = ON ⇒ x2 + y 2 = 16 + 1 = 17 (2) .

Vì N = Q

Giải (1) và (2) , ta có : N(1; − 4) hay N( − 1; 4) .
w Thử lại : Điều kiện (OM;ON) = 90o ta thấy N( − 1; 4) thoả mãn .
8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q

(A) .
(O ;− 45o )
HD : Phép quay Q
biến điểm A ∈ Oy thà nh điểm B ∈ đt : y = x,ta có :
(O ;− 45o )
x B = y B > 0
3
3 3
. Mà OB = x 2B + y 2B = 3 ⇒ x B =
⇒ B( ;

).

2
2 2
OA = OB = 3
4−3 3 3+ 4 3
b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q
(A) 
→B (
;
)
o
(O;60 )
2
2
9 Cho đường tròn (C) : (x − 3)2 + (y − 2)2 = 4 . Tìm (C′) = Q
(C) .
(O ; 90o )
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q
(I) = I′( −2;3) ⇒ (C′) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4 .
(O ; 90o )
10 Cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + (y − 2 3)2 = 5 . Tìm (C′) = Q
(C) .
(O ; 60o )
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q
(I) = I′( −2;2 3) ⇒ (C′) : (x + 2)2 + (y − 2 3)2 = 5 .
o
(O ; 60 )
11 Cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 3 . Tìm (C′) = Q
HD : Tìm ảnh của tâm I : Q

(O ; 45o )

(O ; 45o )

(C) .

(I) = I′(1 − 2;1 + 2) ⇒ (C′) : (x − 1 + 2)2 + (y − 1 − 2)2 = 3 .

12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y − 2 = 0.
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q
.
(O ; 90o )
HD :
w Ta có : A(2;0) ∈ Ox . Gọi B = Q
(A) thì B ∈ Oy và OA = OB .
(O ; 90o )
w Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y − 2 = 0 nên A,B ∈ (d) .
Do B = Q
(A) và tương tự Q
(A) = C( − 2;0)
(O ; 90o )
(O ; 90o )
x
y
x y
nên Q
+
=1 ⇔
+ =1⇔ x −y +2 = 0

o (d) = BC ⇒ (BC) :
(O ; 90 )
xC yC
−2 2

- 24 -


Ch¬ng 1

phÐp

biÕn h×nh
13 Cho (d) : x − 3y − 1 = 0 . Tìm ∆ = Q

(d) .
⇒ (∆ ) : 3x + y − 1 = 0
(O ; 90o )
14 Cho (d) : 2x + y − 2 = 0 . Tìm ∆ = Q
(d) .
(O ; 60o )
1 3
ảnh
HD : d ∩ Ox = A(1;0) , d ∩ Oy = B(0;2) 
→ A ′( ; ),B′( − 3;1)
2 2
⇒ (∆) : ( 3 − 2)x − (2 3 + 1)y + 4 = 0
15 Cho tam giác đều ABC có tâm O và phép quay Q
a) Xác đònh ảnh của các đỉnh A,B,C .
b) Tìm ảnh của ∆ABC qua phép quay Q

(O; 120o )

.

(O;120o )

Giải
·
·
·
a) Vì OA = OB = OC và AOC
= BOC
= COA
= 120o nên Q
b) Q

(O; 120o )

(O;120o )

: A I
→ B,B I
→ C,C I
→A

: ∆ABC 
→ ∆ABC

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay Q
.
(A ; 90o )
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay Q
(O ; 90o )
·
HD : a) Gọi E = Q
(C) thì AE=AC và CAE
= 90o nên ∆AEC
o
(A ; 90 )
vuông cân đỉnh A , có đường cao AD . Do đó : D là trung điểm của EC .
b) Ta có : Q
(B) = C và Q
(C) = D ⇒ Q
(BC) = CD.
(O ; 90o )
(O ; 90o )
(A ; 90o )
17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M là trung điểm của AB , N là trung điểm
của OA . Tìm ảnh của ∆AMN qua phép quay Q
.
(O;90o )
HD : w Q
(A) = D , Q
(M) = M′ là trung điểm của AD .
(O;90o )
(O;90o )
Q
(N) = N′ là trung điểm của OD . Do đó : Q

(∆AMN) = ∆DM′N′
(O;90o )
(O;90o )
18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
∆OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O , góc 60o và phép
uuur .
tònh tiến TOE

HD :
uuur o Q
Gọi F = TOE
wQ

. Xét :
(O;60o )

(O) = O,Q
(A) = B,Q
(B) = C .
(O;60o )
(O;60o )
(O;60o )
uuur (O) = E,Tuuur(B) = O,Tuuur(C) = D
w TOE
OE
OE

w Vậy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D ⇒ F(∆OAB) = ∆EOD

- 25 -