Ứng dụng toán học và vật lý của tích phân_Giáo án thi Giáo viên giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (230.6 KB, 31 trang )
ứng dụng hình học và vật lý của tích
phân
I- Tính diện tích của hình phẳng:
y
A y = f (x)
B
1- Bài toán 1:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi:
- Đồ thị h/s y = f (x) liên tục / [a, b]
- Trục hoành.
- 2 đường thẳng x = a; x = b.
* Nếu f(x) > 0 trên [a, b]
b
S = SaABb = f ( x )dx
Đã biết:
0
a
x
b
a
b
= f ( x ) dx
(1)
a
* Nếu f(x) < 0 trên [a, b]:
y
y = -f (x)
b
0
a
b
b
S = SaABb = -f( x) dx = f ( x ) dx
a
x
a
(2) quan
ta có đến
kết luận
II. Một số Từ
bài (1)
toánvàliên
khảocủa
sát bài
hàmtoán
số 1 là:
y = f (x)
b
S =| f ( x ) | dx
a
( 2)
b
S =∫| f ( x ) | dx
a
*C¸ch gi¶i
+ T×m nghiÖm ph¬ng tr×nh f(x)=0
vd cã nghiÖm lµ: a ≤ x=α < x'=β ≤ b
+ Suy ra
b
α
β
b
α
β
b
α
β
a
a
β
∫ f (x ) dx h= ∫ f (x ) dxh+ ∫ f (x ) dx h+ ∫ f (x ) dxh= ∫ f (x)dx h+ ∫ f (x)dx h+ ∫ f (x)dx
a
a
* Chó ý:
b
∫
a
b
| g(x ) | dx = ∫ g (x )dx
⇔
g(x) gi÷ nguyªn 1 dÊu trªn [a, b].
a
II. Mét sè bµi
to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè
hg®fgfg®fg
Ví dụ 1:
Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi:
- Đồ thị y=sinx
- Trục hoành
- Đường thẳng x=0, x=2
2
Giải: Diện tích cần tìm: S =| Sinx|dx
+ Sin x = 0
0
x = k (k Z)
Tính S ? Giới hạn bởi:
- Đồ thị h/s y = sin x trên [0; 2 ]
- Trục hoành.
x = 0; x = ; x = 2 [0; 2]
2
Suy ra S = sinx dx + sinx dx
0
2
= sin xdx + sinxdx = cosx + cosx2
0
0
= 4 đvdt
y
0
2
x
II. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
2- Bài toán 2:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi:
+ Đồ thị 2 h/s liên tục trên [a, b] là y1 = f1 (x) và y2 = f2 (x)
+ Đường thẳng x = a; x = b.
Tương tự bài toán 1: Diện tích cần tìm là
b
S = f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
y
a
+ y1 =f1(x) liên tục
+ y2 =f2(x) liên tục
Giải:
B
A
* Đặc biệt: Tính diện hình phẳng S giới hạn
bởi đồ thị 2 hàm số
y2 = f2 (x)
C
y1 = f1 (x)
o
a
b
c
f1(x)-f2(x)=0, ví dụ có nghiệm:
x1=a
* Tìm cận: Giải pt
c
b
c
S = f1 ( x ) f 2 ( x ) dx = f1 ( x ) f 2 ( x ) dx + f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a
a
b
II.
đgfgdfg
x
VÝ dô 2: T×m diÖn tÝch h×nh ph¼ng S n»m gi÷a c¸c ®êng
+ y = x3
+y=0
+ x = -1; x = 2.
Gi¶i:
2
DiÖn tÝch cÇn t×m lµ:
S = ∫ | x 3 | dx
−1
x3 = 0 ⇔ x = 0 ∈ [-1; 2]
2
S = ∫ | x | dx
−1
3
0
2
= ∫ | x | dx + ∫ | x | dx
3
−1
3
0
x
=
4
4
0
−1
x
+
4
4
2
=4
0
®gfg®fgfg®fgfg®fgfd
®fgfgdfg
1
4
®vdt
VÝ dô 3:
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng S n»m gi÷a hai ®êng
+ f1(x) = x3 - 3x
+ f2(x) = x
Gi¶i ph¬ng tr×nh
⇔ x3 - 4x = 0 ⇔ x1=-2
⇒ DiÖn tÝch cÇn t×m:
2
⇔ x3 - 3x - x = 0
f1(x) - f2(x) = 0
S = ∫ x − 4 x dx
0
2
= ∫ x − 4x dx
3
−2
+∫ x − 4x dx
3
−2
3
0
= ∫ (x − 4x )dx + ∫ (x − 4x )dx
0
2
3
−2
3
0
= x − 4x
4
2
4
2
0
−2
+ x − 4x
4
2
4
2
2
= 8 ®vdt
0
fghdfghfghf
.
VÝ dô 4:
Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R
cã ph¬ng tr×nh x2 + y2 = R2
y
2
2
y= R - x
CMR 1/ DiÖn tÝch h×nh trßn t©m O(0,0)
b¸n kÝnh R lµ S = 4 ∫ R − x dx
2/ S = ΠR2
R
2
o
2
0
2
2
y=- R - x
Gi¶i:
1/ BiÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R
x +y =R
2
2
2
⇔y =+ R −x
2
y =− R −x
2
DiÖn tÝch h×nh trßn (O) lµ:
R
2
2
S = 4 ∫ R − x dx
2
0
.
y=
2
(®pcm)
R
x
2/ CM: S = ΠR2 2
Ta cosTa ®· cã:
R
S = 4 ∫ R − x dx
2
=√R2-R2sin2t
xx
xt
2
0
+ §Æt x=Rsint, t∈[ 0; π]
+√R2-x2
2
=> dx=Rcostdt
=√R2(1-sin2t) = R|cost| =Rcost
0sss0
0
R
π22
Suy ra:
ππ
π2
S=4∫R2cos2tdt
0
ππ
π2
2
= 4R ∫(1+cos2t)dt = 2R2(t+sin2t)
0
2
2
=2R2[(ππ
π2 +0)-(0+0)] =πR
2
(®pcm)
®fgfgd
.
ππ
π2
0
Bài tập :
Có bài toán: Tính tích phân:
sin2xdx
0
1-Hãy ra đề một bài toán tính diện tích hình phẳng tương đương với bài toán trên.
2 - Diện tích trên là giá trị nào trong các giá trị:
Bài giải
;;
4
;; ;; 222
2
1 .Ra đề:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin 2x,
trục hoành và các đường thẳng x=0,x=
2Hoặc: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y=sin2x (0 x ) và trục hoành
2. Diện tích trên là:
4
2
222
..
Ghi nhí
+ f(x) liªn tôc trªn[a,b]
S?
b
⇒ S = ∫ f ( x ) dx
+Trôc hoµnh
a
+ x=a ; x=b
S?
+ f1(x), f2(x) liªn tôc trªn[a,b]
+ x=a ; x=b
.
⇒
b
S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx
a
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
Y
o
X
