Tìm hiểu về một số nhóm điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
—————————————

HOÀNG THỊ NGA

TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ NHÓM ĐIỂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
——————————-

HOÀNG THỊ NGA

TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ NHÓM ĐIỂM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN HUY THẢO

Hà Nội - 2015

1

LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2
dưới sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn
Huy Thảo.
Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng
dẫn, giảng dạy em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại
trường ĐHSP Hà Nội 2.
Xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Huy Thảo đã
tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình tìm hiểu và hoàn thành khóa
luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất
song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn
chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất
định.
Em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để khóa luận
được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Thị Nga


2

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân,

được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo.
Những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này trung thực.
Đề tài này không trùng với bất kỳ đề tài nào khác.

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Hoàng Thị Nga


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mở đầu

5

1 Giới thiệu về lý thuyết nhóm
1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa về nhóm . . . . . .
1.1.2 Định nghĩa nhóm con . . . . .
1.1.3 Một số ví dụ về nhóm . . . . .

1.2 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm . . . .
1.2.1 Định nghĩa về biểu diễn nhóm
1.2.2 Đặc biểu . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
6
7
8
8
8

.
.
.
.

11
11
11
12

13

.
.
.
.
.
.
.

14
14
16
24
26
29
31
33

2 Các
2.1
2.2
2.3
2.4

phần tử của các nhóm điểm
Định nghĩa nhóm điểm . . . . . .
Các phần tử của các nhóm điểm
Phân lớp các nhóm điểm . . . . .
Phần tử đối xứng . . . . . . . . .

3 Tìm hiểu về một số nhóm điểm
3.1 Nhóm Cn . . . . . . . . . . . . .
3.2 Nhóm Cnv . . . . . . . . . . . .
3.3 Nhóm Cnh . . . . . . . . . . . .
3.4 Nhóm Dn . . . . . . . . . . . . .
3.5 Nhóm Dnh . . . . . . . . . . . .
3.6 Các nhóm T, Td , Th . . . . . . . .
3.7 Các nhóm O, Oh . . . . . . . . .
Kết luận

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

35


4

Tài liệu tham khảo

36


5

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khi học bộ môn cơ học lượng tử đã có phương pháp giải một số bài toán vật
lý đơn giản: bài toán hàng rào thế, chuyển động với hố thế năng, chuyển động
của dao động tử điều hòa.

Phạm vi giải các phương pháp khác nhau của cơ học lượng tử một cách
chính xác rất hẹp. Vì vậy vị trí của các phương pháp khác nhau của cơ học
lượng tử rất quan trọng.
Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán cơ học lượng tử trong
đó có phương pháp lý thuyết nhóm.
Khi nghiên cứu phương pháp lý thuyết nhóm chúng ta có cơ hội tìm
hiểu về một số nhóm điểm, qua đó có thêm kiến thức để giải một số bài tập cơ
học lượng tử hoặc có thể giải thích tính chất, cấu trúc của các hạt cơ bản.
Chính vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: "Tìm hiểu về một số nhóm
điểm"

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về một số nhóm điểm.

3. Đối tượng nghiên cứu
Họ các nhóm điểm.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Giới thiệu về lý thuyết nhóm.
Giới thiệu về một số nhóm điểm.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán.


6

Chương 1

Giới thiệu về lý thuyết nhóm

1.1

Cơ sở lý thuyết nhóm

1.1.1

Định nghĩa về nhóm

Tập hợp G gồm các phần tử a, b, c.... được gọi là một nhóm nếu có các tính chất
sau đây:
(i) Trên tập hợp G tồn tại một phép tính "*" gọi là phép nhân của nhóm. Phép
tính này đặt tương ứng với mỗi cặp 2 phần tử a và b bất kỳ của tập hợp G
một phần tử c cũng thuộc tập hợp này, gọi là tích của a và b kí hiệu là a ∗ b:
c = a ∗ b ∈ G, ∀a, b ∈ G

(ii) Phép nhân của nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi phần tử a, b, c
của tập con G ta luôn có: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
(iii) Trên tập hợp G tồn tại một phần tử e gọi là phần tử đơn vị, mà với mọi
phần tử a ∈ G ta luôn có:
e∗a=a∗e=a

(iv) Với mọi phần tử a ∈ G bao giờ cũng có phần tử a−1 ∈ G, gọi là nghịch đảo
của a, sao cho: a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e Do tính chất kết hợp của phép nhân ta
có thể xác định đơn giá lũy thừa n của một phần tử a bất kỳ, kí hiệu là an
a.a.a......a = an .

Để đơn giản ta có thể bỏ dấu "*" trong biểu thức.
1.1.2

Định nghĩa nhóm con

Một tập hợp con G1 của nhóm G được gọi là nhóm con của G nếu đối với phép
nhân của nhóm G, tập hợp G1 này cũng tạo thành một nhóm, nghĩa là G1 thỏa
mãn những điều kiện sau đây:


7

(i) Nếu {a}, {b} là hai phần tử của G1 thì tích ab cũng là phần tử của G1
a ∗ b ∈ G1 ∀a, b ∈ G1

(ii) Tập hợp con G1 chứa phần tử đơn vị e của nhóm G: e ∈ G1 .
(iii) Nếu a là một phần tử của G1 thì a−1 cũng là phần tử của G1 .
a ∈ G1 → a−1 ∈ G1

Nhận xét: Từ điều kiện 1 và 3 ta có thể suy ra điều kiện 2.
Thật vậy, lấy một phần tử a tùy ý của tập con G1 .
Theo điều kiện 3: a ∈ G1 → a−1 ∈ G1 .
Theo điều kiện 1: a ∈ G1 , a−1 ∈ G1 → a.a−1 = e ∈ G1 .
1.1.3

Một số ví dụ về nhóm

Ví dụ 1.1.1. Nhóm Ci .
Tập hợp: Ci = {e, I}.
Với I là phép nghịch đảo không gian, phép nhân nhóm là phép thực hiện
liên tiếp các phép biến đổi của nhóm.
Nhóm này là một nhóm tuần hoàn, hữu hạn cấp 2 nên ta có:
I 2 = e, I −1 = 1.

Ví dụ 1.1.2. Nhóm Cn
Tập hợp:Cn = e, Cn , Cn2 , ....., Cnn−1 .
Với Cn phép quay trong mặt phẳng vớí góc ϕ =

2π
, làm thành một nhóm.
n

Phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng.
Phần tử nghịch đảo (Cnk )−1 = Cnn−1 do Cnn = e.
Nhóm này là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n.
Ví dụ 1.1.3. Nhóm SO(2).
Ta xét tập hợp tất cả các phép quay g(ϕ) trong mặt phẳng. Các phần tử
được xác định bằng góc quay ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π ).
Phép nhân xác định như sau: g(ψ).g(ϕ) = g(ψ + ϕ).
Đơn vị: e = g(0).
Phần tử nghịch đảo: g −1 (ϕ) = g(−ϕ).
Rõ ràng tập hợp trên làm thành một nhóm liên tục, giao hoán kí hiệu là
SO(2). Nhóm Cn là nhóm con của nhóm SO(2).


8

1.2
1.2.1

Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm
Định nghĩa về biểu diễn nhóm

Cho một không gian tuyến tính n chiều M và một nhóm D các phép biến đổi

nào đó trong không gian đó. Lại cho một nhóm G nào đó.
Ta gọi nhóm T các phép biến đổi trong không gian M là một biểu diễn
của nhóm G nếu có một phép đồng cấu của nhóm G lên nhóm D
G→D

Nghĩa là ứng với mỗi phần tử g, h.... của nhóm G có phép biến đổi T (g), T (h)......
Ta nói có một biểu diễn của nhóm G trong không gian M và không gian
M thực hiện biểu diễn D của nhóm G.
1.2.2

Đặc biểu

Nếu thay đổi cơ sở trong không gian M thì các ma trận D(g) thực hiện biểu diễn
D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng: D (g) = S.D(g).S −1 .
S : Ma trận thực hiện biến đổi của cơ sở
D (g): Một biểu diễn của nhóm G, gọi là biểu diễn tương đương với D.
Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương, nên các biểu diễn
tương đương làm thành một lớp và tất cả các phần tử thuộc lớp đều xem như
nhau.
Có hai vấn đề tự nhiên đề ra ở đây:
Vì các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu
lên các đặc trưng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên
quan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các phép biến đổi cơ sở của không
gian biểu diễn.
Trong một lớp biểu diễn xác định, chọn biểu diễn nào thuận lợi nhất.
Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết
n

SpD(g) =

Dii (g)
i=1

Vì giá trị của vết không thay đổi khi hoán vị vòng quanh các nhân tử có mặt
trong biểu thức của vết, ta có
SpD (g) = Sp SD(g)S −1 = Sp S −1 SD(g) = SpD(g)

Vết của biểu diễn gọi là đặc biểu của biểu diễn, kí hiệu X(g)
X(g) = SpD(g)


9

Cho hai phần tử h, g của nhóm, liên hợp với nhau, h = x−1 gx, h, g, x ∈ G. Ta có:
SpD(h) = SpD(x−1 .gx)
= Sp D(x−1 )D(g)D(x)
= Sp D(x−1 )D(g)D(x)
= Sp D(x)D(x)−1 D(g) = SpD(g)
→ X(x−1 .gx) = X(g)

Tức là các phần tử thuộc cùng một lớp của nhóm G cho cùng một giá trị của
đặc biểu. Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp.
Suy ra nếu nhóm có s lớp K1 , K2 , ......., Ks thì đặc biểu là một tập hợp của s
lượng: Xi = X(Ki ) (i = 1, 2, 3, 4..........).
Ví dụ 1.2.1. Đặc biểu nhóm D3
Nhóm D3 chia thành 3 lớp (s = 3)
K1 = e, K2 = d, f , K3 = a, b, c

Đặc biểu của biểu diễn nhóm là những véctơ ba chiều
Đặc biểu của biểu diễn nhóm một chiều là véctơ

(2)

(2)

(2)

X1 = 1, X2 = 1, X3 = −1.

Đặc biểu của biểu diễn hai chiều là véctơ
(3)

(3)

(3)

X1 = 2, X2 = −1, X3 = 0

Với biểu diễn đơn vị:
(0)

(0)

(0)

X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1.

Lập bảng đặc biểu
D3
a1
A2

ξ

e
1
1
2

2C3
1
1
-1

3C2
1
-1
0

A1 , A2 chỉ biểu diễn một chiều thường dùng.

Ví dụ 1.2.2. Tìm bảng đặc biểu cho nhóm T .
Giải: Nhóm T có bốn lớp e, 3C2 , 4C3 , 4C32
Bảng đặc biểu
T
A
ξ
τ

τ chỉ biểu diễn ba chiều.

e

1
1
1
3

3C2
1
1
1
1

4C3
1

4C32
1
2

2

0

0


10

Ví dụ 1.2.3. Tìm bảng đặc biểu của nhóm C3 .
Giải:
Nhóm C3 có ba lớp e, C3 , C32 , biểu diễn đơn vị X1(0) = 1, X2(0) = 1, X3(0) = 1,

đặc biểu của biểu diễn một chiều X1(2) = 1, X2(2) = , X3(2) = 2 , đặc biểu của biểu
diễn hai chiều X1(3) = 1, X2(3) = 2 , X3(3) = .
Bảng đặc biểu
C3
A
ξ

e
1
1
1

C3
1

C32
1
2

2


11

Chương 2

Các phần tử của các nhóm điểm
2.1

Định nghĩa nhóm điểm

Trong một phép tịnh tiến của không gian, tất cả các điểm đều dịch chuyển
không có điểm nào là bất động cả.
Trái lại, trong mỗi phép quay, mỗi phép phản xạ gương và mỗi phép
nghịch đảo đều có ít nhất một điểm bất động: điểm bất kỳ trên trục quay, điểm
bất kỳ trên mặt phẳng gương và tâm của phép nghịch đảo.
Xét các phép biến đổi tạo thành một nhóm đối xứng của phân tử hoặc
tinh thể. Nếu tất cả các phép đối xứng của nhóm đó đều giữ cố định cùng một
điểm, thì nhóm này được gọi là nhóm điểm.
Định nghĩa khác: Các nhóm con hữu hạn của nhóm trực giao O(3) gọi là
các nhóm điểm.

2.2

Các phần tử của các nhóm điểm

a) Các phần tử quay
Do tính chất hữu hạn của các nhóm điểm, rõ ràng ta chỉ có những phép quay với
2π
những góc , kí hiệu là Cn (n là số nguyên) và các lũy thừa Cnk (k=0,1,.......,n-1).
n

Trục quay kí hiệu: Cn .
Các phép quay có định thức bằng đơn vị.
b) Các phần tử có chứa phép nghịch đảo không gian
Ta xét một phần tử đặc biệt sau: Phần tử
σ = Ig(π) = g(π)I

(2.1)

gọi là phép phản chiếu qua mặt phẳng σ .
Phần tử:
S(ϕ) = σ.g(ϕ) = g(ϕ).σ

(2.2)


12

Tích của một phép quay quanh một trục thẳng góc với một mặt phẳng σ nào
đó và một phép phản chiếu σ qua mặt phẳng đó gọi là phép quay gương, trục
quay gọi là trục quay gương.
Cho hai trục đối xứng qua k và l của nhóm G. Nếu có một phần tử g ∈ G
sao cho k = gl, thì hai trục đối xứng k và l tương đương với nhau.
Các mặt phẳng phản chiếu tương đương với nhau cũng được định nghĩa
tương tự như thế.
Từ (2.1); (2.2) → S(ϕ) = g(ϕ + π)I = Ig(ϕ + π)

2.3

Phân lớp các nhóm điểm

Ta xét phần tử sau của nhóm điểm G:
Cl .(ϕ) = g.Ck .(ϕ).g −1 , g ∈ G ∈ SO(3)

liên hợp với Ck (ϕ) do g , các kí hiệu l, k chỉ các trục quay theo cơ sở đó: Ck (ϕ).ei =
aji .ej . Nếu ej = g.ej , ej = g −1 .ej thì
Cl .(ψ).ej = g.Ck .(ϕ).g −1 .ej = g.Ck .(ϕ).ej = g.aij .ei = aij .ej .

Như thế trong cơ sở ei phần tử liên hợp Cl có ma trận giống ma trận phần tử Ck

trong cơ sở ei . Nhưng vì ma trận của phép quay hoàn toàn xác định góc quay
và vị trí của véc tơ quay so với véctơ cơ sở nên kết quả vừa rồi chứng tỏ rằng
ψ = ϕ.
Vị trí của véctơ quay l so với cơ sở ej , là giống như vị trí của véctơ k so
với cơ sở ej , nghĩa là l = gk .
Tóm lại ta có:
g.Ck (ϕ).g −1 = Cgk (ϕ)

(2.3)

với h = Ig, g ∈ SO(3) ta có:
h.Ck (ϕ).h−1 = Ig.Ck .(ϕ).g −1 .I = I.Cgk (ϕ).I = Cgk (ϕ) = Chkl (ϕ)

Tức là
hCk (ϕ).h−1 = C−hk (ϕ)

(2.4)

Do Ik = −k . Từ các kết quả trên ta có kết luận:
Các phép quay cùng một góc quanh những trục tương đương với nhau là
thuộc cùng một lớp.
Tương tự ta có thể chứng minh:
gSk (ϕ).g −1 = Sgk (ϕ)

(2.5)

h.Sk (ϕ).h−1 = S−hk (ϕ)

(2.6)

13

Như vậy các phép quay gương cùng một góc quanh những trục tương đương với
nhau là thuộc cùng một lớp.
Ta có nhận xét:
Nếu g = C2 mà trục C2 thẳng góc với k thì theo (2.3) ta được:
C2 .Ck (ϕ).C2−l = Ck (ϕ) = Ck (−ϕ) = Ck−l (ϕ)

Tức là Ck (ϕ) liên hợp với Ck−l .(ϕ).
Nếu có tồn tại 1 mặt phẳng phản chiếu σ nào đó đi qua trục k thì theo (2.5) với
h = σ , ta có:
σ.Ck (ϕ).σ = C−σ.k (ϕ) = C−k (ϕ) = Ck (−ϕ) = Ck−l (−ϕ).

Các trục k có tính chất trên gọi là trục hai phía.
Kết luận: Nếu tồn tại các trục hai phía thì các phần tử quay quanh các
trục đó và các phần tử nghịch đảo với nó cũng thuộc cùng một lớp.

2.4

Phần tử đối xứng

Các trục quay và các mặt phẳng phản chiếu của một nhóm gọi là các trục đối
xứng và mặt đối xứng của nhóm. Ngoài ra nhóm có thể có tâm đối xứng. Trục
đối xứng Cn cấp cao nhất (tức là có n lớn nhất thường vẽ thẳng đứng).
Mặt σ đi qua trục cấp cao nhất kí hiệu là: σv , mặt σ thẳng góc với trục
đó kí hiệu là σh .


14

Chương 3

Tìm hiểu về một số nhóm điểm
3.1

Nhóm Cn

• Định nghĩa

Định nghĩa 3.1.1. Nhóm Cn là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình
tháp đều có n cạnh trùng với chính nó.
Ví dụ 3.1.1. Phân tử C2 H3 Cl3

Hình 3.1:

• Phần tử đối xứng

Chỉ gồm trục quay bậc n
• Lớp

Nhóm này là một nhóm Abel nên các lớp trùng với các phần tử của nhóm.
• Biểu diễn

Các biểu diễn bất khả quy của nhóm tuần hoàn giao hoán Cn đều một chiều.
• Các giá trị của n
n nhận các giá trị: 1, 2, 3, 4, 6. Nhóm Cn các phép quay quanh một trục cố


15

định với các góc quay bằng một số nguyên lần góc

2π
trong đó n là một số
n

nguyên dương.
Trường hợp n = 1 là một trường hợp đặc biệt. Nhóm C1 chỉ gồm các góc
quay bằng một số nguyên lần góc 2π . Nghĩa là chỉ gồm một phần tử là biến
đổi đồng nhất E .
Mọi nhóm Cn với các số nguyên dương n > 1 đều có thể là nhóm đối xứng
của một hình hữu hạn nào đó (ví dụ như hình trụ thẳng đứng, đáy là hình
đa giác n giác đều) hoặc một phần tử nào đó.
(i) Nhóm C1
Chỉ gồm một phần tử đơn vị E
Không có phần tử đối xứng nào.
Phần tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng.
(ii) Nhóm C2
Là nhóm giao hoán gồm hai phần tử: đơn vị E và phép quay C2 một
góc π quanh một trục nào đó.
Ta có: C2−1 = C2 ; C22 = E
Có một phần tử đối xứng là trục quay C2 .
(iii) Nhóm C3
Nhóm giao hoán C3 là nhóm vòng sinh ra bởi phép quay C3 một góc

2π
3

quanh một trục nào đó

4π
quanh trục này, nó trùng với phép quay
Phần tử C32 là phép quay

3
2π
góc −
quanh trục đã cho.
3
Ta có: C32 = C3−1 , C33 = E
C3−1

Chỉ có một phần tử đối xứng là trục quay C3
(iv) Nhóm C4
Nhóm giao hoán C4 là nhóm vòng sinh bởi phép quay C4 một góc bằng
π
quanh một trục nào đó.
2

Nhóm này gồm bốn phần tử khác nhau là: C4 , C42 = C2 , C43 = C4−1 , C44 =
E.
Chỉ có một phần tử đối xứng là trục quay C4 .


16

Hình 3.2:

(v) Nhóm C6
Nhóm giao hoán C6 là nhóm vòng sinh bởi phép quay C6 một góc bằng

π
quanh một trục nào đó và gồm sáu phần tử: E, C6 , C62 = C3 , C63 =
3
C2 , C64 = C3−1 , C65 = C6−1 .

Chỉ có một phần tử đối xứng là trục quay C6 .

3.2

Nhóm Cnv

• Định nghĩa

Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình tháp đều có n
cạnh trùng với chính nó.

Ví dụ 3.2.1. Phần tử CH3 Cl

Hình 3.3:


17

Phần tử C2 H2 Cl2

Hình 3.4:

• Phần tử đối xứng

Có một trục quay bậc n và n mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay.

Nhóm Cnv là không giao hoán. Thực vậy, ta có thể chứng minh:
Cnk .σv = σv .Cn−k
• Lớp

Vì trục Cn là một trục hai phía.
Nếu n = 2p + 1 thì các mặt đối xứng là tương đương với nhau.
Nếu n = 2p thì các mặt đối xứng chia làm hai loại.
Loại đánh số lẻ tương đương với nhau.
Loại đánh số chẵn tương đương với nhau.
Kết quả:
−k
k
Nhóm C2p+1 v có p + 2 lớp: e, {σ} {C2p+1
, C2p+1
}, k = 1, 2...p.
p
p
p
Nhóm C2p v có p + 3 lớp: e, σv , , σv , C2p , C2p
, C2p
, k = 1, 2...p − 1.
Trong đó σv , σv đại diện cho lớp các σv chẵn(lẻ).

• Biểu diễn

Gọi ψm là cơ sở của các biểu diễn một chiều của nhóm giao hoán Cn .
Cnk ψm =

exp2π.kim
.ψm , (m = 1, 2........, n − 1)

n

Mặt khác chọn các vecto ψ−m có tính chất:
Cnk ψ−m = exp

−2π.kim
ψ−m
n

(3.1)


18

Theo (3.1) → σv .ψm = ψ−m . Như thế, các cặp vecto {ψm , ψ−m } làm thành
những không gian thực hiện những biểu diễn bất khả quy hai chiều của
nhóm.
Ta hãy tính số biểu diễn bất khả quy hai chiều này.
Khi n = 2p các vec tơ ψm và ψ−m là độc lập với nhau, nếu m = 0 và m = p
thành thử trong trường hợp này chúng ta có thể lập 2p − 2 biểu diễn hai
chiều có dạng:
D(C) =

1 0
0 1

, D(Cnk ) =

D(σv ) =

exp 2πkim
n
0
exp
0 1
1 0

.

0
−2πkim
n

(3.2)

Nhưng vì các phần tử Cnk và Cn−k thuộc cùng một lớp, tập hợp các ma trận
chỉ cho p − 1 biểu diễn bất khả quy hai chiều không tương đương với nhau.
Vì số lớp bằng p + 3 nên còn lại bốn biểu diễn bất khả quy một chiều mà
ta có thể tìm bằng phương pháp khác.
Khi n = 2p + 1 các ma trận (3.2) cho phép lập 2p biểu diễn hai chiều, trong
đó tất cả là phép biểu diễn bất khả quy không tương đương với nhau.
Vì trong trường hợp này số lớp bằng p + 2 nên cần tìm hai biểu diễn một
chiều còn lại bằng phương pháp khác.
• Các giá trị của n
n nhận các giá trị: 2, 3, 4, 6

(i) Nhóm C2v
Nhóm C2v gồm các phần tử E, C2 của nhóm quay C2 , phép phản xạ gương
σv qua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng kí hiệu là σv và các tổ
hợp của chúng. Nếu trục quay là Oz

C2 : (x, y, z) → (−x, −y, −z)

Mặt phẳng gương σv là mặt phẳng xOz
σv : (x, y, z) → (−x, −y, −z)

Thì mặt phẳng gương σv là mặt phẳng yOz σv : (x, y, z) → (−x, −y, −z). Dễ
thử lại rằng:
C2 σv = σv C2 = σv
C2 σv = σv = σv


19

σv σv = σv σv = C2

Vậy nhóm C2 v là nhóm giao hoán gồm bốn phần tử: E, C2 , σv , σv với bảng
nhân nhóm sau đây:
Bảng nhân nhóm C2v
E
C2
σv
σv

E
E
C2
σv
σv

C2

C2
E
σv
σv

σv
σv
σv
E
C2

σv
σv
σv
C2
E

Có ba phần tử đối xứng trục quay C2 và hai mặt phẳng gương chứa trục
quay σv , σv trực giao với nhau. Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2v .
(ii) Nhóm C3v
Nhóm C3v gồm ba phần tử E, C3 , C3−1 của nhóm con C3 và ba phép phản
xạ gương σv , σv , σv qua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng kí hiệu là
σv , σv , σv

Mặt phẳng σv thu được từ mặt phẳng σv sau khi thực hiện phép quay
C32 = C3−1 , tức là thu được từ mặt phẳng σv sau khi thực hiện phép quay
C3 .
Các phần tử đối xứng trục quay C3 và ba mặt phẳng gương chứa trục quay
σv , σv , σv chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm con C3 . Chọn
trục quay C3 làm trục Oz và mặt phẳng gương σv làm mặt phẳng tọa độ

xOz .

Hình 3.5:

Trên Hình 3.5 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox , Ox của mặt phẳng tọa độ xOy
với ba mặt phẳng trực gương σv , σv , σv . Các trục Ox , Ox tạo với trục Ox
các góc bằng

2π
4π
và
.
3
3


20

Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vec tơ R của nó tạo với
trục Ox một góc ϕ.

Hình 3.6:

Trong phép phản xạ gương qua mặt phẳng σ , bán kính vecto R chuyển
thành bán kính véc tơ Rσ tạo với trục Ox góc −ϕ Hình 3.6. Ta viết:
σv : ϕ → ϕ

(3.3)

Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σv . Bán kính vecto R tạo

2π
. Trong phép phản xạ gương σv nó chuyển bán kính
3
2π
vecto Rσ tạo với trục Ox góc −(ϕ − ) Hình 3.7.
3

với trục Ox góc ϕ −

Hình 3.7:

Do đó ta có: σv : ϕ −

2π
2π
2π
→ −(ϕ −
) = −ϕ +
3
3
3

Nghĩa là:
σv : ϕ → −ϕ +

4π
2π
∼ −(ϕ +
)

3
3

(3.4)


21

Nhận xét: Ta có thể thêm hoặc bớt từ góc ϕ một đại lượng là bội số của
4π
2π
2π , do đó −ϕ +
và −ϕ −
là cùng một góc.
3

3

Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σv (Hình 3.8) ta có kết quả
sau đây: Bán kính vector R tạo với trục Ox góc ϕ −
có: σv : ϕ +

2π
2π
2π
→ −(ϕ +
) = −ϕ −
3
3
3

4π
2π
tức là ϕ + . Ta
3
3

Nghĩa là:
σv : ϕ → −(ϕ +

4π
2π
)=ϕ+
3
3

(3.5)

Còn trong các phép quay C3 và C32 = C3−1 góc ϕ thay đổi như sau:
C3 : ϕ → ϕ +

C32 = C3−1 : ϕ → ϕ +

2π
3

2π
4π
∼ϕ−
3

3

(3.6)

(3.7)

Hình 3.8:

Phép phản xạ gương và phép quay C3 có tính chất:
σv2 = σv2 = σv 2

Từ (3.1) đến (3.8) suy ra các hệ thức sau đây:
σv = C3−1 .σv = σv C3
σv = C3−1 .σv = σv C3−1

Do đó ta có:
C3 σv = σv C3−1 . = σv

(3.8)


22

C3−1 σv = σv C3 = σv

Từ các hệ thức này ta thu được các hệ thức mới:
σv σv = σv σv = σv σv = C3

σv σv = σv σv = σv σv = C31 .

Ta có bảng nhân nhóm C3v
E
C3
C3−1
σv
σv
σv

E
E
C2
C3−1
σv
σv
σv

C3
C3
C3−1
E
σv
σv
σv

C3−1
C3−1
E
C3
σv
σv

σv

σv
σv
σv
σv
E
C3−1
C3

σv
σv
σv
σv
C3
E
C3−1

σv
σv
σv
σv
C3−1
C3
E

Nếu a là một phần tử nào đó của nhóm G thì tất cả các phần tử gag −1 với
mọi phần tử g của nhóm G tạo thành lớp các phần tử liên hợp với phần tử
a.
Nếu a là phần tử đơn vị E thì tất cả các phần tử gag −1 đều trùng với E .

Vậy chính phần tử đơn vị E là một lớp.
Ta hãy lấy a là C3 . Các phần tử liên hợp với nó
σv C3 σv = σv σv = C3−1
σv C3 σv = σv σv = C3−1
σv C3 σv = σv σv = C3−1

Vậy hai phần tử C3 và C3−1 tạo thành một lớp phần tử liên hợp.
Còn nếu ta lấy a và σv thì các phần tử liên hợp với nó là:
C3 σv C3−1 = σv C3−1 = σv
C3−1 σv (C3−1 )−1 = σv C3 = σv
σv σv σv = σv
σv σv σv = C3−1 σv = σv
σv σv σv C3 σv = σv


23

Vậy ba phép phản xạ gương σv , σv , σv tạo thành một lớp các phần tử liên
hợp.
Tóm lại nhóm C3v chia thành ba lớp các phần tử liên hợp sau:
C1 = {E} , C2 = C3 , C3−1 , C3 = σv , σv , σv

(iii) Nhóm C4v .
Nhóm C4v gồm các phần tử E, C4 , C2 , C4−1 của nhóm con C4 và các phép
phản xạ gương σv , σv , σv , σv qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục
quay cũng kí hiệu là σv , σv , σv , σv trong đó σv trực giao với σv và thu được
từ σv sau khi thực hiện phép quay C4 , σv , σv là hai mặt phẳng phân giác của
hai góc vuông giữa các mặt phẳng σv , σv .
Nhóm C4v là một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứng
đáy vuông.

Với những lý luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C3v ta có thể thiết
lập được bảng nhân nhóm sau đây.
Bảng nhân nhóm C4v
E
C4
C2
C4−1
σv
σv
σv
σv

E
E
C4
C2
C4−1
σv
σv
σv
σv

C4
C4
C2
C4−1
E
σv
σv
σv

σv

C2
C2
C4−1
E
C4
σv
σv
σv
σv

C4−1
C4−1
E
C4
C2
σv
σv
σv
σv

σv
σv
σv
σv
σv
E
C2
C4−1

C4

σv
σv
σv”
σv
σv
C2
E
C4
C4−1

σv
σv
σv
σv
σv
C4
C4−1
E
C2

σv
σv
σv
σv
σv
C4−1
C4
C2

E

Các phần tử đối xứng là trục quay C4 và bốn mặt phẳng gương chứa trục
quay σv , σv , σv , σv .
Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta
có thể nghiệm lại rằng nhóm C4v chia thành năm lớp các phần tử liên hợp.
C1 = {E}, C2 = {C4 , C4−1 }, C3 = {C2 }
C4 = {σv , σv }, C5 = {σv , σv }.

(iv) Nhóm C6v
Nhóm C6v là nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng mà đáy là lục giác
đều, gồm 6 phần tử của nhóm con C6 và sáu phép phản xạ gương qua 6
mặt phẳng gương chứa trục quay.