Đề thi đ/án chuyên tp HCM 10 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN
NĂM HỌC 2010 - 2011
KHÓA NGÀY 21/06/2010
Môn thi: TOÁN (chun)
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

Câu 1 : (4 điểm)

itr
e.
v

n

 1
 x + 1 + y = 1
1) Giải hệ phương trình : 
 2 + 5y = 3
 x + 1
2) Giải phương trình: (2x 2 − x) 2 + 2x 2 − x −12 = 0
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m – 3 = 0 (x là ẩn số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa x1 = 2 x 2
Câu 3 : (2 điểm)

Thu gọn biểu thức: A =

7+ 5 + 7− 5

− 3− 2 2

7 + 2 11

tu
o

Câu 4 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa của cung
nhỏ AC. Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) ABP = AMB
b) MA. MP = BA. BM
Câu 5 : (3 điểm)
a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số ngun).Giả sử
phương trình có các nghiệm đều là số ngun.
Chứng minh rằng: m2 + n2 là hợp số.
b) Cho hai số dương a, b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 . Tính P = a2010 + b2010
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tam giác OAB vng cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm O bán
kính a. Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 : (2 điểm)
1 2 3
Cho a, b là các số dương thỏa a 2 + 2b 2 ≤ 3c2 . Chứng minh + ≥ .
a b c
HẾT

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………………Số báo danh: ………………………….
Chữ ký giám thò 1 :……………………………………… Chữ ký giám thò 2 :………………………………..


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Câu
1
Câu 1 : (4 điểm)
(4 đ)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 – 2011
KHÓA NGÀY 21/06/2010
Đáp án : TOÁN
Hướng dẫn chấm

Điểm

itr
e.
v

n

 1
 x + 1 + y = 1
1) Giải hệ phương trình : 

 2 + 5y = 3
 x + 1
1

 1
 −2
3y
=
1
x
=
y
1
2y
2
+
=
−
=
−


 x + 1
 x + 1

2
⇔
⇔
⇔ 2


 2 + 5y = 3  2 + 5y = 3
 x + 1 + 5y = 3
y = 1

3
 x + 1
 x + 1
2) Giải phương trình: (2x 2 − x) 2 + 2x 2 − x −12 = 0
Đặt t = 2x2 – x, pt trở thành
t2 + t – 12 = 0 ⇔ t = 3 hay t = – 4
t = 3 ⇔ 2x2 – x = 3 ⇔ x = – 1 hay x = 3/2
t = – 4 ⇔ 2x2 – x = – 4 ( vơ nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = – 1, x = 3/2

2
Câu 2 : (3 điểm)
2
2
(3 đ) Cho phương trình x – 2(2m + 1)x + 4m + 4m – 3 = 0 (x là ẩn số) (*)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) thỏa x1 = 2 x 2
∆ ’ = (2m + 1)2 – (4m2 + 4m – 3) = 4 > 0, với mọi m
Vậy (*) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
x1 = 2m −1, x 2 = 2m + 3

tu
o

x1 = 2 x 2 ⇔ 2m −1 = 2 2m + 3



7
m = −
 2m −1 = 2(2m + 3)

2

⇔
 2m −1 = −2(2m + 3)  m = − 5

6

0,5x4

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5 đ
0,5đ
0,5đ
1,5đ

3
Câu 3 : (2 điểm)
(2 đ)
7+ 5 + 7− 5
Thu gọn biểu thức: A =
− 3− 2 2
7 + 2 11

Xét M =

7+ 5 + 7− 5

7 + 2 11

14 + 2 44
= 2 suy ra M =
7 + 2 11
2 − ( 2 −1) = 1

Ta có M > 0 và M2 =
A=

2

1đ
1đ

1


4 (4ñ) Caâu 4 : (4 ñieåm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp ñường tròn (O). Gọi P là ñiểm chính giữa
cung nhỏ AC. Hai ñường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) ABP = AMB
b) MA. MP = BA. BM
A

P

B

C

M

n

O

2ñ

b) PA = PC ⇒ CAP = ABP = AMB suy ra CM = AC = AB
MA MC
=
⇒ MA.MP = MB.MC = MB.AB
∆ MAC ~ ∆ MBP (g – g) ⇒
MB MP

1ñ

itr
e.
v

1
1
1
a) AMB = (sñAB − sñPC) = (sñAC − sñPC) = sñAP = ABP

2
2
2

1ñ

5
Caâu 5 : (3 ñieåm)
a) Cho phương trình: 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên)
(3 ñ)
Giả sử phương trình có các nghiệm ñều là số nguyên. Chứng minh rằng: m2 + n2
là hợp số.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ⇒ x1, x2 nguyên, x1 + x 2 = −

m
, x1x2 = n + 4
2

0,5ñ

m 2 + n 2 = (2x1 + 2x 2 )2 + (x1x 2 − 4) 2 = 4x12 + 4x 22 + x12 x 22 + 16

0,5ñ
0,5ñ

tu
o

= (x12 + 4)(x 22 + 4)
x12 + 4, x22 + 4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m2 + n2 là hợp số.

b) Cho hai số dương a, b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 . Tính P = a2010 +
b2010
Ta có 0 = a100 + b100 – (a101 + b101) = a101 + b101 – (a102 + b102) .
⇒ a100(1 – a) + b100(1 – b) = a101(1 – a) + b101(1 – b)
⇒ a100(1 – a)2 + b100(1 – b)2 = 0
1ñ
⇒ a=b=1
2010
2010
0,5ñ
+b
=2
⇒ P=a
6 (2ñ) Caâu 6 : (2 ñieåm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là ñường tròn tâm O
bán kính a. Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB ñạt giá trị nhỏ nhất.

2


B

F
M

O

E

A

C

n

D

itr
e.
v

Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D với C là trung ñiểm của OA. Gọi E là trung
ñiểm của OC.
* Trường hợp M không trùng với C và D: Hai tam giác OEM và OMA ñồng dạng
OM 1 OE
( MOE = AOM,
= =
).
OA 2 OM
ME OM 1
⇒
=
= ⇒ MA = 2EM
AM OA 2
* Trường hợp M trùng với C: MA = CA = 2EC = 2EM
* Trường hợp M trùng với D: MA = DA = 2ED = 2EM
Vậy luôn có MA = 2EM
MA + 2MB = 2(EM + MB) ≥ 2EB = hằng số.
Dấu “=” xảy ra khi M là giao ñiểm của ñoạn BE với ñường tròn (O).

Vậy MA + 2MB nhỏ nhất khi M là giao ñiểm của ñoạn BE với ñường tròn (O).

1ñ

0,5 ñ

0,5ñ

7(2ñ) Caâu 7 : (2 ñieåm)

Cho a, b là các số dương thỏa a 2 + 2b 2 ≤ 3c2 . Chứng minh

1 2 3
+ ≥ .
a b c

tu
o

Ta có
1 2
9
+ ≥
(1) ⇔ (a + 2b)(b + 2a) ≥ 9ab
a b a + 2b
⇔ 2a 2 − 4ab + 2b 2 ≥ 0 ⇔ 2(a − b) 2 ≥ 0 (Đúng)

0,5 ñ

a + 2b ≤ 3(a + 2b ) (2) ⇔ (a + 2b) ≤ 3(a + 2b )

2

2

2

2

2

⇔ 2a 2 − 4ab + 2b 2 ≥ 0 ⇔ 2(a − b) 2 ≥ 0 (Đúng)
1 2
9
9
3
Từ (1) và (2) suy ra + ≥
≥
≥ ( do a2 + 2b2 ≤ 3c2)
2
2
a b a + 2b
3(a + 2b ) c

0,5ñ
1ñ

3


Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF

Merger! To remove this page, please
register your program!
Go to Purchase Now>>

AnyBizSoft

PDF Merger
 Merge multiple PDF files into one
 Select page range of PDF to merge

 Select specific page(s) to merge
 Extract page(s) from different PDF
files and merge into one