Đề Thi Thử ĐH môn Toán năm 2011 có đáp án

wWw.VipLam.Info
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Năm học: 2010-2011
Môn: TOÁN- khối A,B
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y =

3x + 2
có đồ thị (C)
x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại
A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II. (2,0 điểm)
x
x 2
x
2 π
1. Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos ( − )
2
2
4 2
 x 2 + y 2 + 4 xy = 6
2. Giải hệ phương trình:  2
2 x + 8 = 3 y + 7 x
e
dx
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫

2
1 x 4 − ln x
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có diện tích ba mặt bên SAB, SBC, SCA bằng nhau và
SA=SB=SC=a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
3
Câu V. (1,0 điểm) Với a, b, c là các số dương và a + b + c ≤ , chứng minh rằng:
2
1
1
1 3 17
a 2 + 2 + b2 + 2 + c 2 + 2 ≥
b
c
a
2
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn (C) tâm I(1;2) cắt trục hoành
tại A, B, cắt đường thẳng y=3 tại C và D sao cho AB+CD=6 .
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 và đường
x = 1 + t

thẳng d có phương trình  y = −2 + t . Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa độ điểm B trên trục Oz sao
 z = −t


cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Câu VIIa. (1,0 điểm)

2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biễn số phức 2z+3-i biết rằng 3 z + i ≤ z.z + 9
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(4;0),
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x+y-2=0 và x+2y-3=0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz
góc 300.


wWw.VipLam.Info
Câu VIIb. (1,0 điểm) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn:

z + 1 − 5i
=1
z +3−i

---------------Hết--------------SỞ GD VÀ ĐT HẢI PHÒNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
TRƯỜNG THPT KIẾN AN

NĂM 2010-2011
Môn: TOÁN-khối A-B

Phần
chung
Câu I

Điểm

Đáp án
1.(1 điểm)
*Tập xác định: R\{-2}
*Sự biến thiên
-Chiều biến thiên: y ' =

4
> 0 ∀x≠-2
( x + 2) 2

0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
-Giới hạn và tiệm cận:

lim y = lim y = 3 ⇒ y=3 là tiệm cận ngang của đồ thị

x →−∞

x →+∞

0,25

lim y = +∞; lim+ y = −∞ ⇒ x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị

x → −2 −

x → −2

Bảng biến thiên
x
y’
y

-2

-∞

+

+∞

+

+∞

0,25
3

-∞

3

*Đồ thị:
x=0⇒y=1
y=0⇒x=-

2
3
y

f(x)=(3x+2)/(x+2)

8

x=-2

7

y=3

6
5

0,25

4
3
2
1
-7

-6

-5

-4

-3

-2

x

O

-1

1

2

3

4

-1
-2
-3

2. (1 điểm)
Gọi M (a;

3a + 2
) ∈ (C ), a ≠ −2
a+2

0,25


wWw.VipLam.Info
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
4
3a + 2
( x − a) +
(∆)
2
(a + 2)
a+2
Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị
y=

0,25
3a − 2
) , ∆∩d2=B(2a+2;3)
a+2
Tam giác IAB vuông tại I ⇒AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam
∆∩d1=A(-2;

(2 điểm)

AB 2 π 
64 
π
= 4(a + 2) 2 +
≥ 8π
giác IAB ⇒diện tích hình tròn S=

4
4
(a + 2) 2 
a = 0
16
2
⇔
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi (a + 2) =
2
(a + 2)
a = −4

Câu II
(2 điểm)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
1.(1 điểm)
π
1 + cos( − x)
x
x
Phương trình
2
⇔ 1 + sin .sin x − cos .sin 2 x = 2
2
2
2
x
x
⇔ 1 + sin .sin x − cos .sin 2 x = 1 + sin x

2
2
x
x
⇔ sin x.(sin − cos .sin x − 1) = 0
2
2
sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z
⇔ x
sin − cos x .sin x − 1 = 0
(*)
 2
2
x
x
x
x
x
x
(*) ⇔ sin − 2 sin . cos 2 − 1 = 0 ⇔ sin − 2 sin .(1 − sin 2 ) − 1 = 0
2
2
2
2
2
2
x
x
⇔ 2 sin 3 − sin − 1 = 0
2

2
x
Đặt sin = t ,−1 ≤ t ≤ 1
2
x
Ta có phương trình: 2t2-t-1=0⇔t=1 ⇒ sin = 1 ⇔ x = π + k 4π , k ∈ Z
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=kπ,k∈Z
2.(1 điểm)
2
2
 x + y + 4 xy = 6
hệ pt tương đương với  2
4 x + 16 = 6 y + 14 x
Cộng từng vế của hai phương trình ta được
5x2+y2+4xy-6y-14x+10=0 ⇔(x-1)2+(2x+y-3)2=0
x = 1
x = 1
⇔
⇔
2 x + y = 3
y = 1

Câu III

Kiểm tra thấy x=y=1 thỏa mãn hệ đã cho ⇒hệ có nghiệm duy nhất x=y=1
(1 điểm)

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0.25
0,25


wWw.VipLam.Info
Đặt lnx=t⇒

dx
= dt
x

Đổi cận: x=1 ⇒t=0

0,25

x=e ⇒t=1
1

dt

I =∫

4 − t2

0

Đặt t=2sinu (u∈[ −

π π
; ]) ⇒dt=2cosudu
2 2

Đổi cận: t=0 ⇒u=0

π
6

0,25

cos udu
= ∫ du
cos u
0
0

0,25

t=1 ⇒u=

π
6

I=∫
0

2 cos udu
2 1 − sin 2 u

π
6

π
6

I =∫

π

I = u 06 =
Câu IV
(1 điểm)

π
6

0,25

(1 điểm)
Có (SAB)⊥(ABC), (SAB)∩(ABC)=AB

hạ SH⊥AB tại H ⇒SH⊥(ABC) tại H
∆SAH=∆SBH=∆SCH ⇒HA=HB=HC
⇒tam giác ABC vuông tại C
S
A

C

0.25

H
B

S∆SAB=S∆SBC=S∆SAC⇒ sin ASˆB = sinBSˆC = sinCSˆA ⇒ BSˆC = CSˆA = 1800 − ASˆB
⇒∆SBC=∆SCA⇒CB=CA⇒ tam giác ABC cân tại C
Đặt BC=x ⇒ AB = x 2
có cos ASˆB = −cosBSˆC áp dụng định lí hàm số cosin vào hai tam giác SAB và
2a
SBC ta được x =
3
2
2
Xét tam giác SAH: SH = SA − AH =

VS . ABC

a
3

1

1
2a 3
= SH . BA.BC =
3
2
9 3

0,25

0,25

0,25

Câu V

+) Với a,b,c,d là các số thực dương bất kỳ, ta có

0.25


wWw.VipLam.Info
a 2 + c 2 + b 2 + d 2 ≥ (a + b) 2 + (c + d ) 2 (*)

(thật vậy: bình phương hai vế ta được
(*) ⇔ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) ≥ ab + cd
(1 điểm)

⇔ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) ≥ ( ab + cd ) 2 ⇔ (ad − bc) 2 ≥ 0

Từ đó suy ra Với a1,a2,a3,b1,b2,b3 là các số thực dương bất kỳ ta có

a12 + b12 + a22 + b22 + a32 + b33 ≥ (a1 + a2 + a3 ) 2 + (b1 + b2 + b3 ) 2

dấu bằng xảy ra ⇔

a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

Áp dụng bất dẳng thức trên ta có
1 1 1
9
P ≥ (a + b + c) 2 + ( + + ) 2 ≥ 93 (abc) 2 +
3
a b c
(abc) 2

0,25

2

a+b+c 1
 ≤
3
4


9
1
Xét hàm số f (t ) = 9t + trên (0; ]

t
4
9
f ' (t ) = 9 − 2
t

đặt t = 3 (abc) 2 , 0 < t = 3 (abc) 2 ≤ 

f’(t)=0⇒t=1;t=-1

t
f’(t)

1
4

0

0,25

-

f(t)
1
 1
⇒ f (t ) ≥ f ( ), ∀t ∈  0;  ⇒ P ≥ 153 = 3 17
4
 4
4
2

1
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
2

0,25

Phần
riêng
1. (1 điểm)
Gọi bán kính đường tròn (C) là R.
d(I,Ox)=2, d(I,CD)=1 ⇒R>2
AB = 2 R 2 − 4 , CD = 2 R 2 − 1

AB+CD=6 ⇔ R 2 − 4 + R 2 − 1 = 3

0.25
0,25

⇔ ( R 2 − 1)( R 2 − 4) = 7 − R 2
 R 2 ≤ 7
⇔ 2
( R − 1)( R 2 − 4) = (7 − R 2 ) 2
⇔R2=5
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x-1)2+(y-2)2=5
2.(1 điểm)

0,25

0,25

wWw.VipLam.Info
Câu VIa
(2 điểm)
A(1+t;-2+t;-t)∈d, B(0;0;b)∈Oz
AB( −1 − t ;2 − t ; b + t ) , n( P ) (2;0;1)
AB.n( P ) = 0 ⇔ b = 2 + t

0,25

B∉(P) ⇒b≠0
AB2=6t2+6t+9
AB đạt giá trị nhỏ nhất khi t = −

Câu VIIa
(1 điểm)

1
3
⇒b=
2
2

1 5 1
3
Vậy A( ;− ; ), B (0;0; )
2 2 2
2
Gọi z=a+bi (với a,b∈R) có điểm biểu diễn là M(a;b)
và z’=2z+3-i=x+yi (với x,y∈R) có điểm biểu diễn là N(x;y)

1
1
Ta suy ra a = ( x − 3); b = ( y + 1)
2
2
2

0,25
0,25

0.25

Vì 3 z + i ≤ z z + 9 ⇔(3a)2+(3b+1)2≤a2+b2+9

0,25

7 2 73
2
Thay a và b theo x, y vào ta được ( x − 3) + ( y + ) ≤
4
16

0,25

7
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z’ là hình tròn tâm I (3;− ) , bán kính
4

Câu VIb

0.25

73
R=
4
1. (1 điểm)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
x + y − 2 = 0
⇔ x = y = 1 ⇒A(1;1)

x + 2 y − 3 = 0
d1: x+y-2=0; d2: x+2y-2=0
Gọi M là trung điểm của BC ⇒IM⊥BC và IM//d1.
Phương trình đường thẳng IM: x+y-4=0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
x + 2 y − 3 = 0
x = 5
⇔
⇒ M (5;−1)

x + y − 4 = 0
 y = −1
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với d1 nên có phương trình:x-y-6=0
Gọi B(5+t;-1+t)
t = 2
2
2
2
Có IA=IB ⇔ (t + 1) + (t − 1) = (1 − 4) + 1 ⇔ 
t = −2

⇒B(7;1) hoặc B(3;-3)
Với B(7;1), C(3;-3) : phương trình đường thẳng AB là: y=1
Phương trình đường thẳng AC là: 2x+y-3=0
Với B(3;-3), C(7;1): phương trình đường thẳng AC là: y=1
Phương trình đường thẳng AB là: 2x+y-3=0
2. (1 điểm)

0,25

0.25

0,25

0,25

0,25


wWw.VipLam.Info
(2 điểm)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: ud (1;−2;−3)
gọi n(a; b; c ) (với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của (α)

0.25

d//(α) ⇒ n.ud = 0 ⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c
Sin((α),Oz)=sin300= cos(n, ud ) ⇔

c
a2 + b2 + c2

=

1
2

⇔3c =a +b ⇔ 3c =(2b+3c) +b

−6− 6
c
b =
5
2
2
⇔5b +12bc+6c =0 ⇔ 

−6+ 6
c
b =
5

2

2

2

2

2

0,25

2

0,25

−6− 6
3−2 6
c⇒a=
c
5
5
chọn a = 3 − 2 6 ; b = −6 − 6 ; c = 5
với b =

⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3 − 2 6 ) x − (6 + 6 ) y + 5 z + 12 − 3 6 = 0
−6+ 6
3+ 2 6
với b =
c⇒a=
c
5
5
chọn a = 3 + 2 6 ; b = −6 + 6 ; c = 5
⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3 + 2 6 ) x + (−6 + 6 ) y + 5c + 12 + 3 6 = 0
Giả sử z=x+yi, (x,y∈R)
Câu VIIb

giả thiết có x + 1 + ( y − 5)i = x + 3 − ( y + 1)i

(1 điểm)

⇔(x+1)2+(y-5)2=(x+3)2+(y+1)2 ⇔x+3y=4
2

2

Có 16=(x+3y)2≤10(x2+y2)=10 z ⇒ z ≥

2 6
+ i
5 5

0.25
0,25

8
5

2

y
x=


x
=



5
⇔
3
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 x + 3 y = 4
y = 6

5
Vậy số phức cần tìm là z =

0,25

0,5