ĐỀ THI + ĐÁP ÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
NĂM HỌC: 2006-2007

ĐỀ CHÍNH THỨC

Khóa ngày: 20/6/2006
MÔN : TOÁN (HỆ CHUYÊN)
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CÁCH LÀM BÀI:
- Thí sinh làm bài trên giấy thi do giám thị phát (cả phần trắc nghiệm và tự luận).
- Đối với phần trắc nghiệm: nếu thí sinh chọn ý a, hoặc ý b, hoặc ý c… ở mỗi câu thì
ghi vào bài làm như sau:
Ví dụ : Câu 1: thí sinh chọn ý a thì ghi: 1 + a

Đề thi gồm có hai trang.
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN :
(4 điểm)
3
1. Tam giác ABC vuông tại A có tgB = . Giá trị cosC bằng :
4
3
4
5
a). cos C = ;
b). cos C = ;
c). cos C = ;

5
5
3

d). cos C =

5
4

2. Cho một hình lập phương có diện tích toàn phần S1 ; thể tích V1 và một hình cầu có diện
V1
tích S2 ; thể tích V2. Nếu S1 = S2 thì tỷ số thể tích
bằng :
V2
a).

V1
6
=
;
V2
π

b).

V1
π
=
;
V2

6

c).

V1
4
=
;
V2
3π

3. Đẳng thức x 4 − 8 x 2 + 16 = 4 − x 2 xảy ra khi và chỉ khi :
a). x ≥ 2 ;
b). x ≤ –2 ; c). x ≥ –2 và x ≤ 2 ;

d).

V1
3π
=
V2
4

d). x ≥ 2 hoặc x ≤ –2

4. Cho hai phương trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Để hai phương trình cùng vô
nghiệm thì :
1
1
a). a > 1 ;

b). a < 1 ;
c). a > ;
d). a <
8
8
5. Điều kiện để phương trình x 2 − (m 2 + 3m − 4) x + m = 0 có hai nghiệm đối nhau là :
a). m < 0 ;
b). m = –1 ;
c). m = 1 ;
d). m = – 4
6. Cho phương trình x 2 − x − 4 = 0 có nghiệm x1 , x2. Biểu thức A = x13 + x23 có giá trị :
a). A = 28 ;
b). A = –13 ;
c). A = 13 ;
d). A = 18
 x sin α − y cos α = 0
7. Cho góc α nhọn, hệ phương trình 
có nghiệm :
 x cos α + y sin α = 1
 x = sin α
a). 
;
 y = cos α

 x = cos α
b). 
;
 y = sin α

x = 0

 x = − cos α
c). 
; d). 
y = 0
 y = − sin α

8. Diện tích hình tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a là :

Trang 1


a). π a 2 ;

b).

3π a 2
;
4

c). 3π a 2 ;

d).

π a2
3

Trang 2


PHẦN 2. TỰ LUẬN :

(16 điểm)

Câu 1 :
(4,5 điểm)
1. Cho phương trình x 4 − (m 2 + 4m) x 2 + 7m − 1 = 0 . Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10.
3
+ 5 = 3 x 2 ( x 2 + 1)
2. Giải phương trình:
4
2
x + x +1
Câu 2 :
(3,5 điểm)
1. Cho góc nhọn α. Rút gọn không còn dấu căn biểu thức :
P = cos 2 α − 2 1 − sin 2 α + 1

2. Chứng minh:

( 4+

15

)(

5− 3

)

4 − 15 = 2

Câu 3 :
(2 điểm)
Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
2
a + b + c +1 ≥
ab + bc + ca + a + b + c
3
Khi nào đẳng thức xảy ra ?

(

)

Câu 4 :
(6 điểm)
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt
(O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm
thứ hai E, F.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)). Chứng minh đường
thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

-----HẾT-----

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
Khóa ngày : 20/6/2006

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
MÔN : TOÁN (HỆ CHUYÊN)
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN :
Câu
1
2
3
4
a).
x
x
b).
x
c).
x
d).

(4 điểm)
5

0,5đ × 8
6
7

8

x
x
x

x

PHẦN 2. TỰ LUẬN :
Câu 1 :
(4,5 điểm)
1.
Đặt X = x2 (X ≥ 0)
Phương trình trở thành X 4 − (m 2 + 4m) X 2 + 7 m − 1 = 0 (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
+
2
2
(m + 4m) − 4(7 m − 1) > 0
∆ > 0


⇔  S > 0 ⇔  m 2 + 4m > 0
(I) +
7 m − 1 > 0
P > 0


Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X2.

⇒ phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = ± X 1 ; x3, 4 = ± X 2
⇒ x12 + x22 + x32 + x42 = 2( X 1 + X 2 ) = 2(m 2 + 4m)

+

m = 1
2
2
Vậy ta có 2(m + 4m) = 10 ⇒ m + 4m − 5 = 0 ⇒ 
 m = −5
Với m = 1, (I) được thỏa mãn
Với m = –5, (I) không thỏa mãn.
Vậy m = 1.
2.
Đặt t = x 4 + x 2 + 1 (t ≥ 1)
3
Được phương trình + 5 = 3(t − 1)
t
2
3t – 8t – 3 = 0
1
⇒ t = 3 ; t = − (loại)
3
4
2
Vậy x + x + 1 = 3
⇒ x = ± 1.

+
+

+

+

+
+

Trang 4


Câu 2 :
1.

(3,5 điểm)

P = cos 2 α − 2 1 − sin 2 α + 1 = cos 2 α − 2 cos 2 α + 1

P = cos 2 α − 2cos α + 1 (vì cosα > 0)

+

P = (cos α − 1) 2
P = 1 − cos α
(vì cosα < 1)

+
+

2.

(

4 + 15

)(

5− 3

)

) (
) (4−
= ( 5 − 3 ) 4 + 15
= ( 5 − 3 ) ( 4 + 15 )
= ( 8 − 2 15 ) ( 4 + 15 )

4 − 15 =

(

5− 3

4 + 15

2

=
Câu 3 :

(

2

2

15

)

+

+
+
+

(2 điểm)
a− b

)

2

≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab

a + c ≥ 2 ac
b + c ≥ 2 bc
a +1 ≥ 2 a
b +1 ≥ 2 b
c +1 ≥ 2 c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

+

Tương tự,

+

+
+

Trang 5


Câu 4 :

(6 điểm)
I

E
A

D

+
O

O’
B

C

P

H

F
Q

1.
Ta có :

ABC = 1v
ABF = 1v
⇒ B, C, F thẳng hàng.
+
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. ++
2.
ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O)
Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)
⇒ EBA = AFD hay EBI = EFI
⇒ Tứ giác BEIF nội tiếp.
3.
Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng
HP HA
=
⇒
⇒ HP2 = HA.HB
HB HP

Tương tự, HQ2 = HA.HB
⇒ HP = HQ ⇒ H là trung điểm PQ.

+
+
+
+

+
+
+
+

Lưu ý :
-

Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm.
Các cách giải khác được hưởng điểm tối đa của phần đó.
Điểm từng phần, điểm toàn bài không làm tròn.

Trang 6