De HSG Le Quy Don co DA

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2009 2010

Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình
Trường THPT Lê Quý Đôn
*********

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (6 điểm)
1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số: y x 2 3 x

m
3 có 3
x

điểm cực trị.
Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đường cong có
phương trình: y 3( x 1)2 .

2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x 4 x 2 2 x 1
Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ
thị (C)
Bài 2: (3 điểm)
Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin 2 A sin 2 B 2005 sin C
Biết góc A, B nhọn. Tính góc C.
Bài 3: (4 điểm)
Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0.
1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B.
2/ Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ở câu 1/. Gọi d1, d2, d3 lần lượt là

khoảng cách từ M tới AB, AC và BC. Chứng minh rằng: d1 .d 2 d32
Bài 4: (5 điểm)
1/ Giải phương trình: 2004 x 2006 x 2.2005x
2/ Với giá trị nào của m bất phương trình:

log 2 x 2 2x m 4 log 4 (x 2 2x m) 5

nghiệm đúng với mọi x 0;2
Bài 5: (2 điểm)
Xét các số thực x, y thoả mãn:

x 3 x 1 3 y 2 y
Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P x y
--------------------


Đáp án và biểu điểm
Bài

Nội dung

Bài 1:

1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số:

y x 2 3x

điểm

3đ

m
3 có 3 điểm cực trị.
x

Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên
đường cong có phương trình: y 3( x 1)2 .
1/ + TXĐ: D R \ 0

m 2x 3 3x 2 m
+ Tính y ' 2x 3 2
xác định x D
2
x
x
+ Hàm số có ba cực trị y ' 0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x 2 , x 3 và
đổi dấu qua các nghiệm đó.
phương trình f(x) 2x 3 3x 2 m 0 có ba nghiệm phân biệt
x1 , x 2 , x3 cùng khác 0.

f(0) 0

f(x)có có CĐ, CT mà fCĐ .fCT 0
Xét f(x) m 0 m 0
Xét f(x) 2x 3 3x 2 m
x 0
Có f '(x) 6x 2 6x f '(x) 0
x 1
x -
0

0
f(x)
+
0
0
Hàm số đạt cực đại tại x 0 fCĐ f(0) m
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 fCT f)(1) 1 m

1
2

1
2

+
+

fCĐ .fCT 0 m(m 1) 0 1 m 0
Do đó hàm số có 3 cực trị 1 0
* Gọi 3 điểm cực trị là A(x1 ;y1 ), B(x 2 ;y 2 );C(x 3 ;y 3 ) với x1 , x 2 , x 3 là

1
2

1
2

ba nghiệm của f(x) 2x 3 3x 2 m 0
+ Chứng minh:
Với

hàm

số

y (x)

u(x)
, x 0 TXĐ, y'(x0 ) 0, v '(x0 ) 0
v(x)

u '(x 0 )
v '(x 0 )
Từ đó y1 y (x1 ) 3x12 6x1 3
y (x0 )

y 2 y (x2 ) 3x 22 6x 2 3

y 3 y (x3 ) 3x32 6x3 3

thì:

1
2


Chứng tỏ toạ độ 3 điểm cực trị thoả mãn phương trình:

y 3x 6x 3 y 3(x 1)
2

1
2

2

2/ Cho đồ thị (C) có phương trình: y x 4 x 2 2 x 1
Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ được ít nhất một
tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Vì 4x 2 2x 1 (x 1)2 3x 2 0x R
+ TXĐ: R

4x 1

+ Tính y ' 1

3đ

1
4
1
4

4x 2 2x 1

+ Lấy điểm M(x 0 ;y 0 ) (C) y 0 x 0 4x 20 2x 0 1
Tiếp tuyến (d) của (C) tại M có phương trình dạng:

y y 0 y '(x0 ) .(x x 0 )

4x 0 1

(x x 0 ) x 0 4x 20 2x 0 1
y 1

4x 20 2x 0 1

+ Gọi A d 0y A(0;a)


4x 0 1
( x 0 ) x 0 4x 20 2x 0 1
a 1
2

4x 0 2x 0 1

x0 1

4x 20 2x 0 1
x0 1
+ Xét hàm số: a f(x0 )
TXĐ: R.
2
4x 0 2x 0 1
3x 0
Có f '(x0 )
f '(x0 ) 0 x 0 0

2
2
(4x 0 2x 0 1) 4x 0 2x 0 1
1
1
lim f(x0 ) ; lim f(x0 )
x
2 x
2
x0

-
+

f '(x0 )

0
0

1
2

1
2

1
2

+
-

1

f(x0 )


1
2

1
2

1
2


Bi 2

1
Với x 0 TXĐ thì - a 1
2
1
Kết luận: Điểm A(0;a) với - a 1
2
Cho

các

sin A sin B
2

2

góc

2005

của

tam

giác

ABC

thoả

mãn:

1
2

3đ

sin C

Biết góc A, B nhọn. Tính góc C.
+ Do C l góc của tam giác nên 0 sin C 1 2005 sin C sin C

(1) sin 2 A sin 2 B sin 2 C

4R 2 sin 2 A 4R 2 sin 2 B 4R 2 sin 2 C

1
2

a 2 b 2 c2
a 2 b 2 a 2 b 2 2.a.b.cosC
cosC 0 (2)
+ Chứng minh: sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2.cos A.cos B.cosC
sin C sin 2 C 2 2.cos A.cos B.cosC (*)
Có: 2005 sin C sin 2 C 2 2 2.cos A.cos B.cosC 2
cos A.cos B.cosC 0
cosC 0 (3) (vì A, B nhọn cosA>0, cosB>0)
Từ (2) và (3) cos C 0 C 90 0
Do đó:

Bài 3:

1

1
2

2005

Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với
a>0, b>0.
1/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B.
Giả sử đường tròn (C): (x )2 (y )2 R 2 thoả mãn đầu bài
+ Có AB, AC đối xứng nhau qua 0y I( ; ) 0y nên =0

b2
IB.AB 0

a
+ (C) tiếp xúc với AB tại B

R AB
R b 2 2


b2

a


4
R b 2 b

a2

1
2
1
2

2đ

1
2

1



b2
Vậy đường tròn (C) có phương trình: x y
a

2


b4
2
b 2
a


2- Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn ở câu 1/. Gọi d1 , d 2 , d3
lần lượt là khoảng cách từ M đến AB, AC và BC

x y
1 ax by ab 0
b a
x y
Phương trình đường thẳng AC:
1 ax by ab 0
b a

1
2

2đ

+ Phương trình đường thẳng AB:

Phương trình BC: y=0

1
2

2


b2
b4
2
+ Gọi M(x 0 ;y 0 ) (C) x y 0
b 2
a
a


b2
x 20 y 20 2. .y 0 b 2 0
a
a 2 .x 20 a 2 y 20 2a.b 2 .y 0 a 2 .b 2 0 (1)
| ax 0 by 0 ab |

| ax 0 by 0 ab |
d1
;d 2
;d3 | y 0 |
2
2
2
2
a b
a b
2
0

1
2

Khi đó:
2 2
2 2
2
2
| a 2 x 20 (by 0 ab)2 | | a x 0 b y 0 2a.b 2 .y 0 a .b |
d1 .d 2

(2)
a2 b2
a2 b2
Từ (1) a 2 x 20 a 2 y 20 2.a.b 2 .y 0 a 2 b 2 0

a 2 x 20 2.a.b 2 .y 0 a 2 b 2 a 2 y 20

Bài 4

(3)

| a 2 y 20 b 2 y 20 |
Thay (3) vo (2) ta có: d1 .d 2
| y 0 |2 d32
2
2
a b
x
1- Giải phương trình: 2004 2006 x 2.2005x

2đ

Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình

2004 x0 2006 x0 2.2005x0

2006 2005 2005 2004
Đặt: f(t) (t 1)x0 t x0 f(t) liên tục trên R
Nên f(t) liên tục trên 2004;2005 và có f(2005) f(2004)
x0

x0

x0

x0

Và: f '(t) x 0 (t 1)x0 1 x 0 t x0 1 x 0 (t 1) x0 1 t x 0 1
Nên 2004;2005 để f'( )=0

1
2

1
2

x 0 ( 1)x0 1 x0 1 0
x0 0
x0 0
x0 0





x 0 1
x0 1
x0 1 0
x0 1
( 1)

1
2


Thử lại x 0 0, x 0 1 thoả mãn.

Kết luận: Nghiệm phương trình: x=0, x=1
2- Với giá trị nào của m bất phương trình:

1
2

3đ

log 2 x 2 2x m 4 log 4 (x 2 2x m) 5

nghiệm đúng với x 0;2

2
x 2x m 0
Điều kiện:
x 2 2x m 1
2
log 4 (x 2x m) 0

1
4

Bpt log 4 (x 2 2x m) 4 log 4 (x 2 2x m) 5 (1)
Đặt t log 4 (x 2 2x m) đk: t 0

t 2 4t 5 0
Bpt (1)
0 t 1
t

0

log 4 (x 2 2x m) 0
2
0 log 4 (x 2x m) 1
2
log 4 (x 2x m) 1
x 2 2x m 1
2
x 2x m 4
Do đó để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x 0;2

1
2

1
2

x 2 2x m 1
nghiệm đúng x 0;2
2
x 2x m 4
x 2 2x 1 m
nghiệm đúng x 0;2
2
x 2x 4 m
M in f(x) 1 m
x0;2

(với f(x)=x 2 2x)

f(x) 4 m
Max
x 0;2
Xét f(x) x 2 2x với 0 x 2
Có: f '(x) 2x 2 f(x) 0 x 1
Bảng biến thiên:
x
-
f(x)
f(x)

0
-

1
0

0

1
4

2
+
0

-1

+

1
2


M in f(x) 0
x 0;2

f(x) 1
Max
x 0;2
1 1 m
m 2
Do đó (*)

2m4
0 4 m
m 4
Kết luận: 2 m 4
Bài 5:

Xét các số thực x, y thoả mãn:

1
2

2đ

x 3 x 1 3 y 2 y
Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P x y
Giả thiết (1): x y 3

x 1 y 2



x y P
(I)
3(
x

1

y

2)

P


Xét hệ:

u x 1 0

1
2

Đặt:

v y 2 0

P

u

v


3
3(u v) P

Hệ (I): 2
(II)


2
2


1
P
u

v

P

3

u.v P 3

2 9

Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm u,v: u 0, v 0

P
1 P2
2
t t P 3 0
3
2 9

18t 6Pt P 9P 27 0 có 2 nghiệm không âm

' 0

9 3 21
c
0
P 9 3 15
a
2

b
a 0
9 3 21
Kết luận:
Min P
, MaxP 9 3 15

2
2

2

1
2

1
2

1
2