Môđun và tính chất hầu tựa nội xạ

5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THANH HÙNG

MÔĐUN ĐỀU VÀ TÍNH CHẤT
HẦU TỰA NỘI XẠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An 08 - 2013


6

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐỖ THANH HÙNG

MÔĐUN ĐỀU VÀ TÍNH CHẤT
HẦU TỰA NỘI XẠ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An 08 - 2013


7

MỤC LỤC
Trang
Mục lục .................................................................................................. 1
Bảng kí hiệu............................................................................................ 2
Lời mở đầu.............................................................................................. 3
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ........................................................ 5
1.1 Môđun đều................................................................................... 5
1.1.1 Hạng tử trực tiếp, đơn cấu, toàn cấu chẻ ra....................... 5
1.1.2 Mô đun con cốt yếu........................................................... 6
1.1.3 Các điều kiện Ci của môđun, môđun con đóng................. 9
1.1.4 Môđun đều......................................................................... 11
1.2 Môđun hầu tựa nội xạ.................................................................. 16
1.2.1 Môđun tự nội xạ................................................................. 16
1.2.2 CS – môđun........................................................................ 16
1.2.3 Môđun tựa liên tục............................................................. 17
Chương 2. MÔĐUN ĐỀU VÀ TÍNH CHẤT HẦU TỰA NỘI XẠ. 20
2.1 Môđun đều và tính chất nội xạ................................................... 20
2.1.1 Môđun A – nội xạ............................................................ 20
2.1.2 Môđun nội xạ..................................................................

24

2.1.3 Bao nội xạ........................................................................ 27
2.2 Mô đun đều và tính chất hầu tựa nội xạ....................................

28

2.2.1 Môđun tựa nội xạ............................................................

28

2.2.2 Môđun hầu N – nội xạ....................................................

30

Kết luận................................................................................................

33

Tài liệu tham khảo................................................................................


8

BẢNG KÍ HIỆU
MR
⊆
A⊆ M
m

R – môđun phải M
Quan hệ bao hàm.
A là tập con của tập M.

A⊆ M

A là môđun con của môđun M.

A ⊂* M
⊕

A là môđun con cốt yếu của môđun M.

∏ Ai

A ⊂⊕ M
M N
f

X

∩Ai , i = 1, n
M ≅N
E(M)
Imf
Kerf
Hom(M,N)
End(M)

□

LỜI MỞ ĐẦU.

Tổng trực tiếp các môđun.
Tích trực tiếp các môđun Ai ( i ∈ I ).

A là hạng tử trực tiếp của môđun M.
Môđun thương của M trên N.
Thu hẹp của ánh xạ f trên X.
Giao của các Ai môđun (i = 1,....., n.)
Môđun M đẳng cấu với môđun N.
Bao nội xạ của môđun M.
Ảnh của đồng cấu f.
Hạt nhân của đồng cấu f.
Tập hợp các đồng cấu từ môđun M đến môđun N.
Tập hợp các tự đồng cấu của môđun M
Kết thúc một chứng minh.


9

Cùng với sự phát triển của toán học, lý thuyết môđun được quan tâm
nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả. Trong lý thuyết môđun, lớp môđun
nội xạ đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau như môđun tựa nội xạ,
môđun liên tục,......
Trong các hướng mở rộng môđun nội xạ, môđun hầu nội xạ là một trong
những môđun được quan tâm nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây,
chúng ta có thể kể đến các tác giả như A. Alahmadi, Y. Baba,........
Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo [3] của A. Alahmadi và S. K.
Jain (2009), “A note on almost injective modules”, Math. J. Okyama Univ,
51,
101–109 để tìm hiểu, một số tính chất nội xạ và hầu tựa nội xạ của lớp môđun
đều.
Vì vậy đề tài luận văn là : “Môđun đều và tính chất hầu tựa nội xạ”
Ngoài phần mở đầu, kết luận, nội dung của luận văn được trình bày trong hai
chương.

Chương 1. Kiến thức cơ sở.
Trình bày những kiến thức chuẩn bị, các khái niệm của môđun như: môđun
con cốt yếu, môđun con đóng, môđun đều, môđun con bù và một số dạng mở
rộng nội xạ như: M- nội xạ, tựa nội xạ, tự nội xạ, CS-môđun, tựa liên tục...
Chương 2. Môđun đều và tính chất hầu tựa nội xạ.
Trình bày về môđun A- nội xạ, môđun nội xạ, môđun hầu N – nội
xạ,...đối với lớp các môđun đều, gọi chung là các dạng yếu hơn của tính chất
nội xạ và xem xét mối liên hệ giữa chúng. Trong đó quan trọng là mệnh đề
2.2.2.2 và định lí 2.2.2.3 phát biểu tính chất đặc trưng của môđun hầu tựa nội
xạ. Các kết quả này đã được A. Alahmadi và S. K. Jain đưa ra trong các công
trình nghiên cứu của mình.


10

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.
TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin chân thành bày tỏ lời cảm ơn sâu
sắc đến PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, tập thể các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn
Đại số và Lý thuyết số, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng quản lý Sau đại học
trường Đại học Vinh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để
giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên
tôi trong suốt quá trình học tập của mình.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố gắng,
nỗ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn nhiều thiếu
sót. Kính mong sự góp ý chân tình của thầy cô và các bạn để bản luận văn
được hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

11

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm, kết quả đã
biết về môđun đều, môđun tựa nội xạ, CS – môđun, môđun tựa liên tục,… là
các lớp môđun mở rộng lớp môđun nội xạ và xem xét mối liên hệ giữa chúng.
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về môđun con cốt yếu,
môđun con đóng, các điều kiện ( Ci ) của môđun, hạng tử trực tiếp, phần
bù,...Ta quy ước nếu nói môđun M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun
phải M unita, các vành đều được giả thiết là vành có đơn vị, kí hiệu 1.
1.1. MÔĐUN ĐỀU.
1.1.1 Hạng tử trực tiếp, đơn cấu, toàn cấu chẻ ra.
m

1.1.1.1 Định nghĩa. Cho R – môđun M. A ⊆ M , A được gọi là hạng tử trực
m

tiếp của M nếu tồn tại B ⊆ M mà A ⊕ B = M. Kí hiệu A ⊂ ⊕ M .
m

m

1.1.1.2 Hệ quả. Cho A ⊆ M khi đó A ⊂ ⊕ M khi và chỉ khi tồn tại B ⊆ M để
A + B = M và A ∩ B = 0.
m

1.1.1.3 Định lí. Cho R – môđun M. A ⊆ M, khi đó A ⊂ ⊕ M khi và chỉ khi
tồn tại đồng cấu lũy đẳng f : M → M mà Imf = A.

Chứng minh. Đồng cấu f : M → M lũy đẳng nếu f 2 = f .
m

Cho A ⊂ ⊕ M suy ra tồn tại B ⊆ M để M = A ⊕ B.
Xét f : M = A ⊕ B → M = A ⊕ B xác định bởi x = a + b
Khi đó:

+ f là đồng cấu và Imf = A.
+ f 2 = f vì f 2 ( x ) = f ( f ( x )) = f ( a ) = a = f ( x ) .

Ngược lại, giả sử tồn tại f : M → M mà f 2 = f và Imf = A.

a

a


12

Khi đó M = Imf + Kerf vì:
+ Mọi x ∈ M có x = f(x) + ( x – f(x) ) mà f(x) ∈ Imf ; x – f(x) ∈ Kerf
⇒ M = Imf + Kerf .
 f(x)=0
⇒ 0 = f ( x ) = f 2( y ) = f ( y ) = x
+ x ∈ Imf ∩ Kerf ⇒ 
x = f ( y )
Suy ra Imf ∩ Kerf = 0 ⇒ M = Imf ⊕ Kerf mà Imf = A ⇒ A ⊂ ⊕ M .
□
1.1.1.4 Định nghĩa.
Cho f : M → N là đơn cấu môđun. Ta nói f là chẻ ra nếu Imf ⊂⊕ N .

Cho g : A → B là toàn cấu môđun. Ta nói g là chẻ ra nếu Kerg ⊂⊕ A .
1.1.1.5 Mệnh đề.
(1) Đơn cấu f : M → N chẻ ra ⇔ tồn tại đồng cấu k : N → M mà k.f = 1M .
(2) Toàn cấu g : A → B chẻ ra ⇔ tồn tại đồng cấu h : B → A mà g.h = 1B .
1.1.2 Môđun con cốt yếu.
1.1.2.1 Định nghĩa.
Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với
mỗi môđun con khác không B của M ta luôn có A ∩ B ≠ 0 ( hay A ∩ B = 0 khi
B = 0 ). Khi đó M được gọi là mở rộng cốt yếu của A. Kí hiệu A ⊂* M ( Ta
còn gọi A là môđun con lớn của M ).
1.1.2.2 Ví dụ.
(a) Cho M là R – môđun. Ta luôn có M ⊂* M.
(b) Với Z là Z - môđun. Mỗi iđêan khác không của Z đều cốt yếu vì với
a Z; b Z khác không ta đều có 0 ≠ ab ∈ a Z ∩ b Z.
1.1.2.3 Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của R môđun M khi đó A ⊂* M khi
và chỉ khi ∀ m ∈ M , m ≠ 0, ∃ r ∈ R, mr ≠ 0 mà mr∈ A .
Chứng minh.


13

( ⇒ ) Nếu m ≠ 0 thì mR ≠ 0. Vì A ⊂* M nên A ∩ mR ≠ 0. Tồn tại r ∈ R sao
cho 0 ≠ mr ∈ A.
( ⇐ ) Giả sử B là môđun con khác không của M. Lấy 0 ≠ m ∈ B suy ra tồn tại r
∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A. Vì mr ∈ B nên mr ∈ A∩ B suy ra A ∩ B ≠ 0.
Vậy A ⊂* M

□

1.1.2.4 Mệnh đề.

n

1) Ai ⊂* M , ∀i = 1,..., n ⇒ I Ai ⊂* M .
1

2) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ⊆ B ⊆ C thì A ⊂* M kéo
theo
B ⊂* C .
3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và B ⊂* N thì ϕ −1( B ) ⊂* M .
Chứng minh.
n

1) Ta chứng minh

*
I Ai ⊂ M bằng quy nạp theo n.

i =1

Với n = 1 mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đúng với n – 1 tức là A=
n−1

*
I Ai ⊂ M . Ta giả sử E ≠ 0 là một môđun con của M, vì An ⊂* M nên An ∩

i =1

n−1

*
E ≠ 0 và A = I Ai ⊂ M nên
i =1

( I A ) I E ≠ 0. Do đó A I
n −1
i =1

i

( An I E ) ≠ 0. Suy ra

A ∩ An ⊂* M . Vậy Ai ⊂* M , i = 1, n .
2) Giả sử E là môđun con khác không của C. Khi đó E cũng là môđun con
của M. Vì A ⊂* M nên A ∩ E ≠ 0 suy ra B ∩ E ≠ 0 ( do A ⊂ B ). Điều này
chứng tỏ B ⊂* C .
3) Giả sử E là môđun con của M và E ∩ ϕ −1( B ) = 0. Khi đó B ∩ ϕ ( E ) = 0.
Vì vậy ϕ ( E ) = 0 do B ⊂* N . Suy ra E ⊆ kerϕ ∩ ϕ −1( B ) ⇒ E = E ∩ ϕ −1( B )
= 0. Điều này chứng tỏ ϕ −1( B ) ⊂* M .

□


14

m

1.1.2.5 Mệnh đề. Cho R – môđun M, A ⊆ M . Khi đó tồn tại môđun con B của
M sao cho A ⊕ B ⊂* M .
Chứng minh. Xét tập Γ =

{

B / A I B =0 ,B

m

⊆ M } . Ta có Γ ≠ ∅ do 0 ∈

Γ.
Quan hệ thứ tự trong Γ là quan hệ “ ⊆ ”. Ta dễ dàng kiểm tra được Γ thõa
mãn bổ đề Zorn. Vậy Γ có phần tử tối đại, ta kí hiệu là B.
Ta có:

+ ∃ A⊕ B
+ B tối đại mà A ∩ B = 0
m

Ta phải chứng minh A ⊕ B ⊂* M . Thật vậy lấy X ⊆ M ( X ≠ ∅ ). Nếu (A ⊕ B)
A I ( B ⊕ X ) = 0
m
∩ X = 0 ⇒ B ∩ X = 0. Suy ra tồn tại B ⊕ X ⊆ M và ta có 
 B⊄ B⊕ X
Điều này mâu thuẫn tính tối đại của B mà A ∩ B = 0.

□

m
m
Ai và Ai ⊂* M i

1.1.2.6 Mệnh đề. Cho Ai ⊆ Mi ⊆ M ( ∀ i ∈ I ). Nếu tồn tại ⊕
I

Ai ⊂* ⊕ M i và tồn tại ⊕I M i ( ∀ i ∈ I ).
thì ⊕
I
I
* Trường hợp 1. | I | = n hữu hạn
Dùng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n = 2. Tức là cho A1 ⊂* M 1 ; A2 ⊂* M2
và tồn tại A1 ⊕ A2 ta cần phải
+ Chứng minh tồn tại M 1 ⊕ M 2 .
Thật vậy, dùng tính chất giao hữu hạn ta có A1 ∩ A2 ⊂* M1 ∩ M2 ⇒ 0 ⊂* M1 ∩
M2 ⇒ M1 ∩ M2 = 0.
+ Chứng minh A1 ⊕ A2 ⊂* M 1 ⊕ M 2 .
Xét các đồng cấu chiếu f1 : M 1 ⊕ M 2 → M1 và f2 : M 1 ⊕ M 2 → M2
x1 + x2 a x1
x1 + x2 a x2
Do A1 ⊂* M 1 suy ra f −1 ( A1 ) ⊂* M 1 ⊕ M 2 ⇒ A1 ⊕ M 2 ⊂* M 1 ⊕ M 2 (1). Tương


15

tự ta có M 1 ⊕ A2 ⊂* M 1 ⊕ M 2 (2). Từ (1) và (2) lấy giao hai vế ta có A1 ⊕ A2
⊂* M 1 ⊕ M 2 .
* Trường hợp 2. I bất kỳ ( vô hạn )
+ Lấy x ∈ ∑ M i suy ra x = x1 + ........+ xk (3) với xi ∈ Mi ; i = 1,k ;k hữu
I

hạn.
Suy ra tồn tại M 1 ⊕ ..... ⊕ M k (do TH 1) ⇒ biểu diễn (3) là duy nhất ⇒ ∑ M i

I

= ⊕ Mi .
I

m

+ Lấy 0 ≠ X ⊆ ⊕ M i suy ra tồn tại x ∈ X, x ≠ 0 và x = a1 + .......+ an , ai ∈
I

Mi , i = 1,n . ⇒ x ∈ M 1 ⊕ ......... ⊕ M n ⇒ xR ⊆ M 1 ⊕ ......... ⊕ M n ; xR ⊆ X. ⇒
A1 ⊕ .... ....... ⊕ An ⊂* M 1 ⊕ .......... ⊕ M n ⇒ A1 ⊕ ........... ⊕ An ∩ xR = 0. Suy ra
⊕ Ai ∩ xR ≠ 0 ⇒ ⊕ Ai ∩ X ≠ 0.
I
I

□

1.1.3 Các điều kiện (Ci) của môđun, môđun con đóng.
1.1.3.1 Định nghĩa. Cho môđun M R . Ta xét các điều kiện sau đối với M.
m

(C1) Mọi môđun A ⊆ M, tồn tại X ⊂⊕ M để A ⊂* X.
m

(C2) A ≅ B ⊆ M, A ⊂⊕ M ⇒ B ⊂⊕ M.
(C3) Với mọi M1, M2 ⊂⊕ M , M1 ∩ M2 = 0 ⇒ M 1 ⊕ M 2 ⊂ ⊕ M .
(1 – C1) Mọi môđun con đều U của M, tồn tại X ⊂⊕ M mà U ⊂* X .
1.1.3.2 Định nghĩa.
(a) Môđun M là môđun Extending hay CS – môđun nếu M có điều kiện (C1).

(b) Môđun M là Extending đối với môđun con đều nếu M có điều kiện (1C1).
(c) Môđun M được gọi là liên tục nếu M có điều kiện ( C1 ) và ( C2 ).
(d) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M có điều kiện ( C1 ) và ( C3 ).


16

(e) Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.
1.1.3.3 Ví dụ.
1. Z môđun Z ( xét trên Z ) có điều kiện (C1). Vì

∀nZ

m

⊆ Z ( n∈ N ).

Với n = 0 ⇒ 0 ⊂* 0 ⊂⊕ Z.
Với n ≠ 0 ⇒ n Z ⊂* Z ⊂⊕ Z ( Z = Z ⊕ 0 ).
2. Z có điều kiện (1 – C1).
3. Z không có điều kiện (C2). Thật vậy 2 Z ≅ Z mà Z ⊂⊕ Z nhưng 2 Z ⊄ ⊕ Z
.
m

1.1.3.4 Định nghĩa. Cho R – môđun M. A ⊆ M, A được gọi là môđun con
m

đóng trong M nếu A ⊂* K ⊆ M thì K = A ( hay A không có mở rộng cốt yếu
thực sự ).
Ví dụ 1. A ⊂ ⊕ M thì A đóng trong M .

Ví dụ 2. Xét Z – môđun. Với mọi n ∈ ¥ * thì n Z ⊂* Z ⇒ Z không có hạng
tử trực tiếp thực sự, Z không có môđun con đóng thực sự.
m

1.1.3.5 Định nghĩa. Cho R – môđun M, A ⊆ M. Ta gọi bao đóng của A trong
M là môđun con D của M thõa mãn A ⊂* D và D đóng trong M.
1.1.3.6 Hệ quả. Cho R – môđun M. Mọi môđun con A của M luôn tồn tại
bao đóng của A trong M.
m

Chứng minh. Ta dùng bổ đề Zorn. Xét tập Ω = { K / A ⊂* K ⊆ M }.
*Ω ≠

∅

do A∈ Ω ; Ω thõa mãn điều kiện Zorn nên trong Ω có phần tử tối

đại, kí hiệu là D.
m

* Ta chứng minh D là bao đóng của A. Ta có A ⊂* D ⊆ M. Mặt khác D đóng
m

vì nếu D ⊂* X ⊆ M ⇒ X ∈ Ω ⇒ X = D ( do D tối đại ).

□


17

1.1.3.7 Mệnh đề. Điều kiện (C1) ⇔ Mọi môđun con đóng là hạng tử trực
tiếp.
Chứng minh. Giả sử R – môđun M có điều kiện (C1). Lấy B là môđun con
đóng trong M. Suy ra tồn tại X ⊂⊕ M để B ⊂* X ⊂⊕ M. Do B đóng nên B =
X
Suy ra B ⊂⊕ M.
Ngược lại, giả sử mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp.
Lấy A là môđun con của M suy ra A có bao đóng là D trong M ⇒ A ⊂* D. Do
D đóng trong M suy ra D ⊂⊕ M ⇒ A ⊂* D ⊂⊕ M suy ra M có điều kiện (C1). □
m

1.1.3.8 Mệnh đề. Cho R – môđun M, A ⊆ M. Nếu A đóng trong M1, M1 ⊂⊕ M
thì A đóng trong M.
Chứng minh.
Giả sử M = M1 ⊕ M2 . Xét phép chiếu π : M = M 1 ⊕ M 2 → M 1 , giả sử A ⊂* B
⊆M

(1).

Ta kiểm tra được π (A) = A do A ⊆ M1 và π (A) ⊂* π (B) ⊆ M1 ⇒

A ⊂* π (B) ⊆ M1. Mà A đóng trong M1 ⇒ A = π (B) ⇒ (1– π )(B) ⊆ B

(2).

Vì với mọi b ∈ B ta có (1 – π )(b) = b – π (b), hơn nữa π (b) ∈ π (B) = A suy
ra π (b) ∈ A ⊂* B ⇒ π (b) ∈B. Mặt khác ta có (1 – π )(B) ∩ A = 0

(3) .

Vì với

mọi b ∈B ta có b = m1 + m2 , trong đó m1 ∈M1; m2 ∈M2. Suy ra π (b) = m1
⇒ (1 – π )(b) = b – m1 = m2 ∈M2 . Suy ra (1 – π )(B) ⊆ M2 , lại do A ⊆ M1 ,
và M1 ∩ M2 = 0 ⇒ ( 1 – π )(B) ∩ A = 0.
Từ (1), (2), (3) ta suy ra (1 – π )(B) = 0 ⇒ B = π (B) ⊆ M1 ⇒ B ⊆ M1. Vậy A
⊂* B ⊆ M1 mà A đóng trong M1 ⇒ A = B.

□

1.1.4 Môđun đều.
Tính chất đều quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạng suy rộng
của tính chất này. Bởi vậy môđun đều có mặt hầu khắp nơi trong luận văn. Đi
cùng với nó là khái niệm chiều đều.


18

1.1.4.1 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mỗi môđun con
khác không của M đều là môđun con cốt yếu của M. ( Nói cách khác, M là
môđun đều nếu mọi môđun con khác không A và B ta có A ∩ B ≠ 0 ).
Môđun M gọi là phân tích được nếu nó có hạng tử trực tiếp khác 0 và khác M
và không phân tích được trong trường hợp ngược lại.
1.1.4.2 Ví dụ.
a) Mỗi R môđun đơn là môđun đều.
b) Mỗi môđun con khác không của một môđun đều là môđun đều.
m
Thật vậy, giả sử N ⊆ M , N ≠ 0 . Với mọi B ⊆ M mà N ∩ B = 0 nên B = 0 .
Vì nếu B ≠ 0 thì do giả thiết M là đều nên ta sẽ có N ∩ B ≠ 0 (mâu thuẫn với
giả thiết N ∩ B = 0 ). Vậy N ⊂ *M .

Nhận xét. Nếu R - môđun M chứa một môđun con đều N và N cốt yếu trong
M thì M là môđun đều.
Chứng minh.

Giả sử N ⊂ *M , N là môđun đều. Ta lấy 0 ≠ U , V ⊆ M . Vì

N ⊂* M ⇒ N ∩ U ≠ 0 và N ∩ V ≠ 0 . Khi đó ( N ∩ U ) ∩ ( N ∩ V ) ≠ 0 . Từ
đó ta suy ra ( U ∩ V ) ∩ N ≠ 0 hay U ∩ V ≠ 0 . Vậy M là môđun đều.
□
1.1.4.3 Mệnh đề.
(a) R – môđun M không phân tích được và có điều kiện ( C1 ) khi và chỉ khi M
là môđun đều.
(b) Nếu M là môđun đều thì M tựa liên tục.
Chứng minh.
m

(a) Lấy A ⊆ M, do M có điều kiện (C1) nên tồn tại X ⊂⊕ M sao cho A ⊂* X.
Mặt khác M không phân tích được nên suy ra X =M ⇒ A ⊂* M ⇒ M là môđun
đều. Ngược lại giả sử M là môđun đều. Khi đó M không phân tích được vì nếu


19

M = A ⊕ B và A ≠ 0 suy ra A ⊂* M ( do M đều ), mà A ∩ B = 0 ⇒ B = 0. Hơn
m

nữa nếu lấy A ⊆ M khi đó ta có A ⊂* M ⊂⊕ M suy ra M có điều kiện (C1).
(b) Giả sử M là môđun đều. Để chứng minh M tựa liên tục ta chỉ ra M có điều
kiện (C1) và (C3).
Theo chứng minh trên M là môđun đều nên M có điều kiện (C1). Lấy A, B là

A = M
các môđun con của M và A ⊂⊕ M, B ⊂⊕ M, A ∩ B = 0 ⇒ (1) 
 B =0
 A=0
(2) 
hoặc
B = M

hoặc

A = B = 0 (3). Trong trường hợp (1) và (2) suy ra A ⊕

B
A ⊕ B = M ⊂⊕ M. Trường hợp (3) ta suy ra A ⊕ B = 0 ⊂⊕ M. Vậy M có điều
kiện (C3).

□

1.1.4.4 Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực
tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con đều.
Chứng minh.
Giả sử M không chứa môđun con đều, suy ra bản thân M không là môđun
đều. Khi đó tồn tại các môđun con K1 , L1 ⊆ M sao cho K1 ≠ 0, L1 ≠ 0 mà K1 ∩
L1 =

0.

Vì L1

không

là

môđun

đều

nên

tồn

tại

môđun

con

K 2 , L2 ≠ 0, K 2 , L2 ⊆ L1 mà K 2 ∩ L2 = 0 . L 2 không là môđun đều. Tiếp tục
quá trình này ta được một tổng trực tiếp vô hạn K 1 Å K 2 Å ... các môđun con
khác không của M , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy M chứa một môđun
con đều.

□


20

1.1.4.5 Mệnh đề. Giả sử N ⊂ *M , với N = U 1 ⊕ U 2 ⊕ ....... ⊕ U n . ( U i là
môđun đều trong M, ∀i = 1, n ). Thế thì mỗi môđun con K ≠ 0 của M là cốt
yếu trong M khi và chỉ khi K ∩ U i ≠ 0 với ∀i = 1, n .

Chứng minh.

Giả sử N ⊂ *M , với N = U 1 ⊕ U 2 ⊕ .... ⊕ U n (U i là môđun

đều trong M ).
( ⇒ ) Theo định nghĩa môđun con cốt yếu ta có K ≠ 0 và K ⊂* M , với U i ≠ 0
ta có K ∩U i ≠ 0 ∀ i = 1, n .
( ⇐ ) Giả sử K∩U i ≠ 0 ∀ i = 1, n . Ta chứng tỏ K ⊂ * M . Trước hết ta chứng
minh U i là môđun đều trong M với ∀ i = 1, n . Thật vậy K ∩ ( U 1 ⊕ U 2 ⊕ ...... .
.... ⊕U n ) ⊂* (U 1 ⊕ U 2 ⊕ ..... ⊕ U n ) hay K ∩ N ⊂* N.
Ta chứng minh quy nạp theo n.
Với n = 1. Ta có K ∩U 1 ⊂ * U 1 ( Vì U1 đều ). Giả sử mệnh đề đúng với n ≤ k
Ta sẽ chứng tỏ đúng với n = k + 1 .
Xét 0 ≠ u = u1 + u2 + ..... + uk +1 ∈U 1 ⊕ U 2 ⊕ ....... ⊕U k ⊕ U k +1 .
+ Nếu u1 + u2 + ... + uk = 0 thì 0 ≠ u = uk +1 ∈ U k +1 . Vì 0 ≠ K ∩U k +1 ⊂* U k +1 suy
ra tồn tại r ∈ R sao cho 0 ≠ ur = uk +1 ∈ K ∩ U k +1 ⊆ K ∩ ( U 1 ⊕ ... ⊕ U k +1 ) .
+ Nếu 0 ≠ u1 + u2 + ..... + uk ∈U 1 ⊕ ..... ⊕ U k ⇒ ∃ r ∈ R : 0 ≠ (u1 + ..... + uk )r

∈K∩ ( U 1 ⊕ ... ⊕ U k ) . Giả thiết quy nạp K∩ ( U1 ⊕ ... ⊕ U k ) ⊂ * ( U1 ⊕ ... ⊕ U k

)

0 ≠ ur = ( u1 + u2 + ... + uk ) r + uk +1r .
+ Nếu uk +1r = 0 thì ta có 0 ≠ (u1 + u2 + .... + uk )r ∈ K ∩ (U 1 ⊕ .... ⊕ U k ) ⊆ K ∩
(U 1 ⊕ ....... ⊕ U k +1 ).


21

+ Nếu uk +1r ≠ 0 thì tồn tại s ∈ R : uk +1rs ∈ K ∩U k +1 . Vì K ∩ U k +1 ⊂* U k +1 nên ta

có 0 ≠ urs = ( u1 + ..... + uk ) rs + uk +1rs ∈ K I
Ta chứng tỏ K ⊂* M . Thật vậy, vì K I

K ⊂* M .

( U 1 ⊕ .... ⊕ U n ) ⊂* U 1 ⊕ ..... ⊕ U n .

( U 1 ⊕ U 2 ⊕ ... ⊕ U n ) ⊂* N ⊂* M

nên
□

n

1.1.4.6 Mệnh đề. Giả sử M là một R - môđun và ⊕U i ⊂* M , trong đó mọi
i =1

U i là môđun đều. Khi đó
1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n hạng
tử.
k

2) Nếu ⊕Vi ⊂* M , với Vi là những môđun đều thì k = n.
i =1

Chứng minh.
1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp K1 ⊕ K 2 ⊕ ..... ⊕ K n +1 , K i ≠ 0 , Ki ⊆ M
i = 1, n + 1 . Thế thì K 2 ⊕ .... ⊕ K n+1 ⊄ * M vì có K 1 ≠ 0 , sao cho K1 ∩ ( K 2 ⊕ ...
... ⊕ K n+1 ) = 0. Suy ra tồn tại U i (i = 1,.., n) sao cho ( K 2 ⊕ K 3 ⊕ .... ⊕ K n +1 ) ∩
Ui

= 0 . Giả sử U i = U 1 , ta có tổng trực tiếp trong M : U 1 ⊕ K 2 ⊕ ... ⊕ K n+1 . Ta
lại có U 1 ⊕ K 3 ⊕ ..... ⊕ K n+1 ⊄* M vì ( U 1 ⊕ K 3 ⊕ ... ⊕ K n +1 ) I K 2 = 0 . Do đó
tồn U j sao cho U j ∩ ( U 1 ⊕ K 3 ⊕ ... ⊕ K n+1 ) = 0 với ( j ≠ 1 ) chẳng hạn U j = U 2
Khi đó ta có tổng trực tiếp U 1 ⊕ U 2 ⊕ K 3 ..... ⊕ K n+1 . Sau n bước như vậy ta có
tổng trực tiếp U 1 ⊕ U 2 ⊕ .... ⊕ U n ⊕ K n+1 . Suy ra ( U 1 ⊕ ..... ⊕ U n ) I K n+1 = 0 .
Vì U 1 ⊕ .... ⊕ U n ⊂ *M nên K n+1 ≠ 0 ( Trái với giả thiết K n+1 ≠ 0 ).


22

2) Nếu V1 ⊕ ....... ⊕ Vk ⊂ *M . Theo ý (1) của mệnh đề ta có k ≤ n . Mặt khác
thay đổi vai trò của Vi thành U i và lại áp dụng (1) ta có n ≤ k . Vậy n = k .

□

Như vậy với môđun M ≠ 0 ta có: môđun M không chứa một tổng trực tiếp vô
hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên dương n sao
cho M chứa một môđun cốt yếu dạng U 1 ⊕ U 2 ⊕ ...... ⊕ U n ,U i là môđun đều.
1.1.4.7 Định nghĩa. Số n bất biến với môđun M trong mệnh đề 1.1.4.6 gọi là
chiều đều của môđun M. Kí hiệu U dimM.
1.1.4.8 Mệnh đề. Cho M và N là các R – môđun, N là môđun con của M .
1) N ⊂* M khi đó U dim M hữu hạn khi và chỉ khi U dim N hữu hạn và trong
trường hợp này U dim M = U dim N .
2) Giả sử N và M / N có chiều đều hữu hạn thì M cũng có chiều đều hữu
hạn
và U dim M = U dim N + U dim M / N .
Chứng minh.
1) Cho M và N là các R – môđun, N là môđun con của M.
( ⇒ ) Do U dim M hữu hạn nên M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các
môđun con nên N cũng vậy. Ta có U dim N hữu hạn.

( ⇐ ) Giả sử U dim N hữu hạn, U dim N = n . Ta có U 1 ⊕ U 2 ⊕ ...... ⊕ U n ⊂* N
⊂* M . Ui là môđun đều ( i = 1, n ), ⇒ U 1 ⊕ ..... ⊕ U n ⊂ *M . Vậy U dimM = n
2) Giả sử N và U dim M / N hữu hạn, gọi K là phần bù của N trong M nên ta
có

K ⊕ N / K ⊂ *M / K ⇒ K ⊕ N ⊂ *M nhưng K ≅ K ⊕ N / N ⊂ *M / N . Suy
ra K có chiều đều hữu hạn nên U 1 ⊕ U 2 ⊕ ..... ⊕ U s ⊂ *K . Vì UdimM hữu hạn

V1 ⊕ ... ⊕ Vt ⊂ *N . Suy ra U 1 ⊕ ..... ⊕ U s ⊕ V1 ⊕ V2 ⊕ ...... ⊕ Vt ⊂* K ⊕ N ⊂* M .

U dim M = s + t = U dim K + U dim N ≤ U dim M / N + U dim N .
1.2 MÔĐUN HẦU TỰA NỘI XẠ.

□


23

1.2.1 Môđun tự nội xạ.
Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson - Wong đưa ra.
1.2.1.1 Định nghĩa. Môđun M gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu M là M - nội xạ
1.2.1.2 Mệnh đề.
(i) M là tự nội xạ khi và chỉ khi f ( M ) ⊆ M với mọi f ∈ End ( E ( M ) ) .
M i , khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i là M j - nội xạ
(ii) Giả sử M = i⊕
∈I
với i, j = 1, n .
m

1.2.1.3 Định nghĩa. Cho R – môđun M, N ⊆ M . N gọi là môđun con hoàn

toàn bất biến của M nếu f ( N ) ⊆ N , ∀f ∈ End ( M ) .
1.2.1.4 Mệnh đề. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con
hoàn toàn bất biến của môđun E ( M ) .
1.2.2 CS – Môđun.
1.2.2.1 Định nghĩa. Môđun M được gọi là một CS – môđun nếu mỗi môđun
m

N ⊆ M đều là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M.
1.2.2.2 Ví dụ. Mỗi môđun nửa đơn là CS – môđun vì mỗi môđun con là tổng
trực tiếp. Hơn nữa, mỗi môđun đều là CS – môđun vì mỗi môđun con khác
không là cốt yếu.
1.2.2.3 Mệnh đề.

Đối với R – môđun M, hai điều kiện sau đây tương

đương.
(i) M là CS – môđun
(ii) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M.
1.2.2.4 Mệnh đề. Môđun M không phân tích được. Khi đó, M là CS –
môđun khi và chỉ khi M là môđun đều.
1.2.2.5 Hệ quả. Mỗi hạng tử trực tiếp của một CS – môđun là một CS – môđun.


24

Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M , tức là M
=
P ⊕ Q. Với Q là môđun con của M. Ta chứng minh P là CS – môđun. Thật vậy,
lấy
A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M nên A đóng trong M. Vì M là

m

CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M. Nghĩa là M = A ⊕ B, với B ⊆ M.
Theo luật Modular thì P = P ∩ M = P ∩( A ⊕ B ) = A ⊕ ( P ∩ B ). Vậy A là hạng
tử

trực

tiếp

của

P

hay

P

là

CS

–

môđun.

□
1.2.2.6 Mệnh đề. Giả sử M 1 và M 2 là những CS - môđun và M = M 1 ⊕ M 2 .
Thế thì M là CS – môđun khi và chỉ khi mỗi môđun con đóng K ⊆ M thõa mãn
điều kiện K ∩ M 1 = 0 hoặc K ∩ M 2 = 0 đều là một hạng tử trực tiếp của M.

1.2.3 Môđun tựa liên tục.
Khái niệm môđun tựa liên tục được Utumi đưa ra. Đây là một trường hợp
đặc biệt của CS – môđun.
1.2.3.1 Định nghĩa.
Môđun M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó là một CS – môđun và với
hai hạng tử trực tiếp M 1 , M 2 của M mà M 1 ∩ M 2 = 0 thì M 1 ⊕ M 2 cũng là một
hạng tử trực tiếp của M.
1.2.3.2 Bổ đề. Cho môđun M, f ∈ End ( M ) .
(i) Nếu f luỹ đẳng thì M = f ( M ) ⊕ (1 − f ) M .
(ii) Nếu M = M 1 ⊕ M 2 thì tồn tại e ∈ End ( M ) , e luỹ đẳng sao cho M1= e(M)
và M 2 = (1 − e) M .
1.2.3.3 Định lý. Cho R – môđun M. Các mệnh đề sau tương đương.
(i) M là môđun tựa liên tục
(ii) f ( M ) ⊆ M với mỗi luỹ đẳng f ∈ End ( E ( M )) .


25

Ei thì M = ⊕ M
(iii) Nếu E(M) = i⊕
∈I
i∈I

I

Ei .

1.2.3.4 Định lý. Giả sử E = E ( M ) . Các mệnh đề sau tương đương
(i) M là môđun tựa liên tục.
m

m

(ii) N1 , N 2 ⊆ M và N1 ∩ N 2 = 0 thì tồn tại M 1 , M 2 ⊆ M sao cho M = M 1 ⊕ M 2
m

trong đó N i ⊆ M i , i = 1, 2 .
m

(iii) Nếu N1 , N 2 ⊆ M và N1 ∩ N 2 = 0 thì tồn tại f ∈ End ( M ) sao cho N ⊆
Kerf
và N 2 ⊆ Ker ( 1 − f ) .
m

(iv) Nếu N1 , N 2 ⊆ M và N1 ∩ N 2 = 0 thì đơn cấu f chẻ ra.
f : M → ( M N1 ) ⊕ ( M N 2 )
x a ( x + N1 , x + N 2 ) = f ( x ) + (1 − f )( y ) .
1.2.3.5 Định lí. Đối với môđun M các mệnh đề sau tương đương
(i) M là môđun tựa liên tục.
(ii) Với hai môđun con M 1 , M 2 của M mà M 1 ∩ M 2 = 0 thì mỗi phép chiếu
chính tắc pi : M 1 ⊕ M 2 → M i ,( i=1; i=2) đều mở rộng được thành một tự
đồng cấu của M.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) Giả sử M là môđun tựa liên tục, M 1 ; M 2 là hai môđun con bất kì của
M sao cho M 1 ∩ M 2 = 0, pi : M 1 ⊕ M 2 → M i , i = 1; 2 , là phép chiếu chính
tắc. Ta chứng minh pi mở rộng được thành tự đồng cấu của M.
Nếu M 1 = 0 , thì p1 = 0 . Do đó pi mở rộng được thành tự đồng cấu 0 của M.
Nếu M 2 = 0 , thì p2 = 1M 1 . Do đó pi mở rộng được thành tự đồng cấu 1M .

26

Nếu M 1 ≠ 0, M 2 ≠ 0 thì tồn tại những hạng tử trực tiếp K1 , K 2 của M sao cho
M 1 ⊂* K1 , M 2 ⊂* K 2 . Khi đó K1 ∩ K 2 = 0 . Thật vậy nếu 0 ≠ x ∈ K1 ∩ K 2 thì
tồn tại r ∈ R sao cho 0 ≠ xr ∈ K 2 . Vì 0 ≠ xr ∈ K 2 nên tồn tại s ∈ R sao cho
xrs
∈ M 2 ( xrs ≠ 0 ). Do đó 0 ≠ xrs ∈ M 1 I M 2 = 0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ x =
0.
Vậy K1 ∩ K 2 = 0 . Mặt khác M là tựa liên tục nên K1 ⊕ K 2 là hạng tử trực tiếp
của M, chẳng hạn M = K1 ⊕ K 2 ⊕ L . Gọi q1 : M → K1 là phép chiếu chính tắc
và u1 : K 1 → M là phép nhúng chính tắc. Ta xác định f1 = u1.q1 : M → M . Với
x1 + x2 ∈ M 1 ⊕ M 2 ta có f ( x1 + x2 ) = u1q1 ( x1 + x2 ) = u1 ( x1 ) = x1 = p1 ( x1 + x2 ).
Vậy f i là mở rộng của pi . Tương tự p2 mở rộng được thành một tự đồng cấu
của M.
(ii) ⇒ (i) Giả sử (ii) được thõa mãn. Để chứng minh M là môđun tựa liên tục
ta sẽ chứng minh điều kiện (iv) trong định lý 1.2.3.4 được thoả mãn.
Giả sử M 1 , M 2 là hai môđun con của M mà M 1 ∩ M 2 = 0 , ta chứng minh đồng
cấu h : M → ( M M 1 ) ⊕ ( M M 2 ) xác định bởi h( x) = ( x + M 1 , x + M 2 ) với x
∈ M bị chẻ ra. Thật vậy theo (ii) phép chiếu pi : M 1 ⊕ M 2 → M i mở rộng được
thành tự đồng cấu f i : M → M i . Chọn f 2 = 1 − f1 , với x1 + x2 ∈ M 1 ⊕ M 2 . Ta
có f 2 ( x1 + x2 ) = (1 − f1 )( x1 + x2 ) = x1 + x2 − f1 ( x1 + x2 ) = x1 + x2 − x1 = x2 =
p2 ( x1 + x2 ). Ta xác định ánh xạ k như sau k : ( M M 1 ) ⊕ ( M M 2 ) → M theo
quy tắc k ( x + M 1 , y + M 2 ) = f 2 ( x ) − f 1 ( y ). Rõ ràng k là một ánh xạ vì nếu có
x ∈ M 1 , y ∈ M 2 thì f 2 ( x) = p2 ( x + 0) = 0, f1 ( y ) = p1 (0 + y ) = 0 . Với x ∈ M ta
có k .h( x) = k ( x + M 1 , x + M 2 ) = f1 ( x ) − f 2 ( x ) = ( f 1 − f 2 )( x ) = ( f1 + 1 − f 1 )( x)
= x. Nghĩa là k .h = 1M . Vậy M là tựa liên tục.


27

CHƯƠNG 2
MÔĐUN ĐỀU VÀ TÍNH CHẤT HẦU TỰA NỘI XẠ
Chương II trình bày nội dung chính của luận văn, trong chương này
chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết một số tính chất của lớp môđun hầu tựa nội xạ
đối với lớp các môđun đều. Trong đó quan trọng là định lí 2.2.2.3 và mệnh đề
2.2.2.2 phát biểu tính chất đặc trưng của môđun hầu N – nội xạ được S. K.
Jain đưa ra.
2.1 MÔ ĐUN ĐỀU VÀ TÍNH CHẤT NỘI XẠ.
2.1.1 Môđun A – Nội xạ.
2.1.1.1 Định nghĩa. Cho A là R – môđun, môđun N được gọi A – nội xạ nếu
với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu ϕ : X → N đều mở rộng đến đồng
cấu ψ : A → N sao cho biểu đồ sau giao hoán
i→ A
X 


28

ϕ

ψ

N
ψ
.i
=
ϕ
Nghĩa là
( i là phép nhúng đồng nhất ).
2.1.1.2 Bổ đề. Cho N là môđun A – nội xạ. Khi đó mọi đơn cấu f : N → A là

chẻ ra. Nếu A không phân tích được thì f là đẳng cấu.
Chứng minh.
Ta chứng minh tồn tại k : A → N để k.f = 1N . Thật vậy do f đơn cấu nên N ≅
f(N) ⊆ A. Xét biểu đồ sau

i→ A
f(N) 
f

−1

k
N

Do N là A – nội xạ nên f − 1 có mở rộng là k : A → N tức là k.i = f − 1 (i là
phép nhúng đồng nhất). Ta chứng minh k.f = 1N . Thật vậy với mọi x∈ N ta có
kf ( x ) = k( f ( x )) = k ( i ( f ( x )) ) = kif(x) = f - 1 f ( x ) = x . Suy ra k.f = 1N .

□

2.1.1.3 Mệnh đề. Cho N là A – nội xạ và B là môđun con của A. Khi đó
(i) N là B – nội xạ.
(ii) N là A B nội xạ.
Chứng minh.
i→ B
X 

(i) Xét biểu đồ
f

f

*

N
Với mọi X ⊆ B, mọi đồng cấu f : X → N. Ta phải tìm f * : B → N là mở rộng
m

của f (tức là f * i = f ). Ta bổ sung j : B → A là phép nhúng
j
i→ B
X 
→ A
∃f

*


29

g

f

N
Do N là A – nội xạ nên tồn tại g : A → N là mở rộng của f tức là g( ji ) = f .
*
Lấy f * = gj. Với mọi x ∈ X ta có f i( x ) = gj ( i( x )) = f ( x ) ⇒ f * i = f suy ra

f * cần tìm.

(ii) Với mọi X

m

⊆ A , mọi đồng cấu ϕ : X B → N . Ta phải tìm ánh xạ ψ
B
B

là mở rộng của ϕ , với ψ : A B → N , tức là ψ .i = ϕ .
Bằng cách bổ xung j : X → A là phép nhúng, π , và π là các đồng cấu tự nhiên
Ta xét biểu đồ sau.
j
X 
→

π,
X

ϕ

i

B →

θ

A
A

π

B

ψ

N
Do N là A – nội xạ suy ra tồn tại mở rộng θ : A → N tức là θ . j = ϕ .π , . Ta xét
sự tương ứng ψ : A B → N xác định bởi a + B a θ ( a ) . Khi đó ta có
+ ψ là ánh xạ.

,
Thật vậy cho a + B = a ,+ B (1) suy ra a − a ∈ B ⇒ π (a - a ,) = 0 ⇒ a - a ,∈
ker π . Mặt khác ker π ⊆ ker θ vì với m ∈ ker π ⇒ π (m) = 0 (m ∈ A), mà
ker π = B ⇒ m ∈ B ⇒ m ∈ X. Ta có θ ( m ) = θ j( m ) = ϕπ ,( m ) = ϕ ( 0 ) = 0 do

π ,( m ) = 0 với m ∈ B. Suy ra m ∈ ker θ ⇒ a - a ,∈ ker θ ⇒ θ ( a ) = θ ( a , ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ψ là ánh xạ.
+ Ta dễ dàng chứng minh được ψ là một đồng cấu.