Luật mạnh số lớn và luật logaritht lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên mliên kết âm

1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Ký hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết

âm theo khối

9

2.1

Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-liên kết âm theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy các biến
ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-liên kết âm theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm

24

3.1

Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . 24

3.2

Luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm

25

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


2

MỞ ĐẦU

Xác suất có ba viên ngọc quý: Luật số lớn, Luật logarithm lặp và Định
lý giới hạn trung tâm. Luật số lớn đóng một vai trò rất quan trọng trong
Lý thuyết Xác suất. Luật số lớn đầu tiên của J. Bernoulli được công bố
vào năm 1713. Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov,
Liapunov ... mở rộng. Luật số lớn được Kolmogorov hoàn thiện năm 1926,
chứng minh cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên độc lập bất kỳ.
Luật logarithm lặp là một trong những định lí giới hạn của lí thuyết xác

suất có ý nghĩa rất gần gũi với luật số lớn. Trong lý thuyết xác suất, luật
logarithm lặp mô tả tầm quan trọng của những biến động của một trình
quá ngẫu nhiên. Kết quả ban đầu về luật logarithm lặp là của Khinchin
năm 1924. Sau đó, một kết quả khác được đưa ra bởi Kolmogorov vào năm
1929.
Cho tới nay, các định lý giới hạn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của
lý thuyết xác suất. Các định lý giới hạn cổ điển trong lý thuyết xác suất
thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập. Hiện nay, có rất nhiều bài
báo nghiên cứu về tính liên kết âm. Khái niệm về liên kết âm đã được giới
thiệu bởi Alam và Saxena năm 1981 và Proschan năm 1983. Liên kết âm
rất quan trọng và có ứng dụng rộng rãi trong giải tích thống kê đa trị và
lý thuyết độ tin cậy. Những kết quả về các biến ngẫu nhiên liên kết âm
ngày càng được công bố nhiều trên các tạp chí quốc tế có uy tín. Nổi bật
như một số kết quả của Newman năm 1984, Brikel năm 1988 và Zhang
năm 2000 về định lý giới hạn trung tâm; Matula [8] năm 1992 về định lý
ba chuỗi; Shao năm 2000 về bất đẳng thức cực đại dạng Rosenthal và bất
đẳng thức mũ Kolmogorov. Năm 1999, Shao và Su [11] đã thiết lập luật
logarithm lặp cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm với phương sai hữu hạn
và Zhang [18] năm 2001 đã thiết lập luật logarithm lặp Strassen cho các
vectơ ngẫu nhiên liên kết âm.
Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo kể trên, chúng tôi nghiên


3

cứu đề tài "Luật mạnh số lớn và luật logarithm lặp cho dãy các
biến ngẫu nhiên m-liên kết âm".
Luận văn gồm 3 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị để

nghiên cứu các kết quả chính.
Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên mliên kết âm theo khối
Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu luật mạnh số lớn Kolmogorov
và luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết
âm theo khối bất kỳ. Đồng thời, chúng tôi sẽ nghiên cứu luật mạnh số lớn
Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo
khối bị chặn ngẫu nhiên. Các kết quả trong Chương 2 là mới.
Chương 3. Luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên
kết âm
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật logarithm lặp cho dãy các
biến ngẫu nhiên liên kết âm. Các kết quả trong chương này thuộc về Shao
(1999). Ở đây, chúng tôi trình bày lại các bước chứng minh chi tiết hơn.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của TS. Lê Văn Thành. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy
giáo Lê Văn Thành, thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng đã tận tình
hướng dẫn và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập và làm đề tài. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo đã
trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 19 XSTK, Ban chủ nhiệm và các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Phòng Sau đại học, Ban giám Hiệu trường THPT
Diễn Châu 3, tập thể Cao học 19 XSTK đã giảng dạy, động viên và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu
của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 5 năm 2013
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Ký hiệu chung

Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác
suất cố định, m là số tự nhiên, {βk , k

1} là dãy số nguyên dương tăng

ngặt với β1 = 1 và đặt Bk = [βk , βk+1 ). Ký hiệu C là một hằng số dương,
nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong các lần xuất
hiện.
Kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu exp(x) là

ex .
1.2

Một số tính chất cơ bản

Trước hết, chúng ta đưa ra một số tính chất về kỳ vọng của biến ngẫu
nhiên.
1.2.1 Bổ đề (tr. 75 [5]). Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm, α > 0
và EX α < ∞. Khi đó
∞

EX α = α

xα−1 P (X > x) dx.
0

1.2.2 Bổ đề. Giả sử f (x) là hàm số dương không giảm trên (0, ∞), X là
biến ngẫu nhiên dương. Khi đó
∞

f (n)P (X

n)

E (Xf (X)) .

n=1

Chứng minh. Đặt

∞

Y =

jf (j)I(j
j=1

X
(1.1)


5

Khi đó ta có Y

Xf (X), và do đó
EY

E (Xf (X)) .

(1.2)

Mặt khác
∞

∞

f (n)P (X

n) =

n=1

∞

f (n)
n=1

P (j

X < j + 1)

f (n)P (j

X < j + 1)

f (j)P (j

X < j + 1)

j=n
j

∞

=
j=1 n=1
j

∞

≤
j=1 n=1
∞

=

jf (j)P (j

X < j + 1)

j=1

= EY.

(1.3)

Từ (1.2) và (1.3) ta thu được (1.1).
1.2.3 Bổ đề. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, p > 0. Khi đó, nếu E|X|p < ∞
thì

tp P (|X| > t) −→ 0 khi t → ∞.
Chứng minh. Ta có

E|X|p =

|X|p dP.
Ω

Do E|X|p < ∞ nên

|X|p dP −→ 0 khi t → ∞.
(|X|>t)

Hơn nữa ta lại có

0

tp P (|X| > t) =

tp dP
(|X|>t)

|X|p dP.
(|X|>t)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề sau đây nêu lên một tính chất của covarian. Tính chất này được
sử dụng khi nghiên cứu về luật logarithm lặp.


6

1.2.4 Bổ đề (Đẳng thức Hoeffding, [11]). Giả sử f, g là các hàm số liên
tục tuyệt đối và X, Y là các biến ngẫu nhiên thỏa mãn Ef 2 (X)+Eg 2 (T ) <

∞. Khi đó
∞

∞

Cov (f (X), g(X)) =

f (x)g (y) P (X

x, Y

y)−

−∞ −∞

− P (X

x)P (Y

y) dxdy.

Kế tiếp, chúng ta đưa ra một số tính chất liên quan đến sự hội tụ hầu
chắc chắn.
1.2.5 Bổ đề ([14]). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên và

p > 0. Nếu

∞

E|Xn |p < ∞,
n=1

thì

lim Xn = 0 h.c.c.

n→∞

Bổ đề sau đây được thiết lập nhờ Bổ đề Borel-Cantelli ([5], [9]), kết quả
này dùng để thiết lập kết quả chính.
1.2.6 Bổ đề. Giả sử {Xn , n

1} và {Yn , n

1} là hai dãy các biến

ngẫu nhiên thỏa mãn
∞

P (Xn = Yn ) < ∞

(1.4)

n=1

và giả sử 0 < bn ↑ ∞ thỏa mãn

1
lim
n→∞ bn
Khi đó

1
lim
n→∞ bn

n

Xj = 0 h.c.c.

(1.5)

Yj = 0 h.c.c.

(1.6)

j=1
n

j=1

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli, từ (1.4) suy ra

P lim sup(Xn = Yn ) = 0.


7

Do đó

P lim inf(Xn = Yn ) = 1.

(1.7)

Do 0 < bn ↑ ∞ nên ta dễ dàng chứng minh được



n
1
 lim 1
Xj = 0
lim inf(Xn = Yn ) ⊂  lim
n→∞ bn
n→∞ bn
j=1



n

Yj = 0 .
j=1

Từ đó và (1.5), (1.7) ta thu được (1.6).
Kết quả sau nhận được từ Định lý 1 trong [3]

1, {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu

1.2.7 Bổ đề ([3]). Cho 0 < r
nhiên và {bn , n

1} là dãy số dương tăng đến vô hạn. Khi đó, nếu
∞

n=1

E |Xn |r
<∞
brn

thì

1
bn

n

Xi −→ 0 h.c.c khi n → ∞.
i=1

Bổ đề tiếp theo là Bổ đề Borel-Cantelli tổng quát của Kochen và Stone
[7], Yan [17].
1.2.8 Bổ đề (Bổ đề Borel-Cantelli tổng quát, [7], [17]). Cho {An , n
∞

P (An ) = ∞. Khi đó

1} là dãy các biến cố sao cho
n=1

P (Ai )P (Aj )
P (lim sup An )

lim sup

1 i
P (Ai Aj )

n→∞

.

1 i

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả của dãy số thực và chuỗi
số thực.
1.2.9 Bổ đề (Bổ đề Toeplitz, tr. 205 [13]). Cho ani , 1
và xi , i

i

n, n ≥ 1

1 là các số thực sao cho với mọi i cố định ta có lim ani = 0 và
n→∞

n

|ani |

với mọi n ta có
i=1

C < ∞. Khi đó ta có các kết luận sau đây.


8
n

i) Nếu lim xn = 0 thì lim
n→∞

n→∞ i=1

n

ii) Nếu lim

n→∞ i=1

ani xi = 0.
n

ani = 1, lim xn = x thì lim
n→∞

n→∞ i=1

ani xi = x.

1.2.10 Bổ đề (Bổ đề Kronecker, tr. 269 [9]). Giả sử 0 < bn ↑ ∞ và
∞ x
n
chuỗi số
hội tụ. Khi đó
n=1 bn

1
lim
n→∞ bn
1.3

n

xk = 0.
k=1

Một số bất đẳng thức cơ bản

1.3.1 Bất đẳng thức Markov (tr. 120 [5]). Cho p > 0 và X là biến
ngẫu nhiên khả tích bậc p. Khi đó, với mọi ε > 0 ta có

P (|X|

E|X|p
.
εp

ε)

1.3.2 Bất đẳng thức Cr (tr. 127 [5]). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là tập các
biến ngẫu nhiên và r > 0. Khi đó
r

n

E

Xi
i=1

n

E |Xi |r ,

cr
i=1

trong đó cr = max(1; nr−1 ).
1.3.3 Bất đẳng thức Jensen (tr. 45 [1]). Giả sử ϕ : R −→ R là hàm
lồi và X, ϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó

ϕ(EX)

Eϕ(X).


9

CHƯƠNG 2
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN m-LIÊN KẾT ÂM THEO KHỐI

2.1

Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Để thiết lập được các kết quả chính trong chương này, ngoài việc sử
dụng một số khái niệm, kí hiệu và bổ đề đã trình bày trong Chương 1,
chúng ta cần sử dụng một số khái niệm và kết quả cơ bản sau.
2.1.1 Định nghĩa ([6], [12]). Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1

i

n} được gọi là liên kết âm nếu với bất kỳ tập con A, B rời nhau của
{1, 2, . . . , n} và các hàm thực không giảm theo tọa độ f trên RA và g trên
RB ta có

Cov(f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B))

0,

(2.1)

với điều kiện covarian tồn tại.
2.1.2 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là liên
kết âm nếu với mỗi n

1, họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1

i

n} là liên

kết âm.
Định nghĩa sau đây là một mở rộng của trường hợp liên kết âm.
2.1.3 Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được
gọi là m-liên kết âm nếu n ≤ m + 1, hoặc n > m + 1 và với mỗi k ≥ 2
và i1 , i2 , . . . , ik thỏa mãn |ih − il | > m, ∀1 ≤ h = l ≤ k ta có họ

{Xi1 , Xi2 , . . . , Xik } là liên kết âm.
Với định nghĩa này, ta có thể thấy rằng khi m = 0 thì một dãy các biến
ngẫu nhiên m-liên kết âm chính là dãy liên kết âm.

10

2.1.4 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là

m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1,
họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ Bk } là m-liên kết âm.
2.1.5 Nhận xét. Khi {Xi , 1 ≤ i ≤ n} độc lập thì đẳng thức của (2.1)
xảy ra, do đó tính m-phụ thuộc suy ra tính m-liên kết âm.
Đối với {βk , k

1} và {Bk , k ≥ 1} như đã nói ở trên chúng ta đưa vào

các ký hiệu sau đây [15]:

B (l) = {k ∈ N : 2l

k < 2l+1 }, l

(l)

Bk = Bk ∩ B (l) , k

1, l

0,

(l)

Il = {k ≥ 1 : Bk = ∅}, l

(l)

0,

0,

(l)

rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l

0,

cl = card Il , l ≥ 0,
(l)

dl = max(card Bk ), l

0,

k∈Il
∞

ϕ(n) =

cl IB (l) (n), n

1,

dl IB (l) (n), n

1,

l=0
∞

φ(n) =
l=0

ψ(n) = max ϕ(k), n
k n

1,

với IB (l) là hàm đặc trưng của tập B (l) , l

0.

2.1.6 Nhận xét ([15]). (i) Nếu βk = 2k−1 , k

cl = 1, l

0;

ϕ(n) = 1, n

1;

1, thì
ψ(n) = 1, n

(ii) Nếu βk = [q k−1 ] với k đủ lớn, trong đó q > 1, thì

cl = O(1);
(iii) Với mọi dãy βk , k

ϕ(n)

ϕ(n) = O(1);

ψ(n) = O(1).

1
n, n

1;

φ(n)

2n, n

1.

1.


11

2.1.7 Định nghĩa ([10]). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n

1} được gọi

là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < ∞
sao cho

P (|Xn | > t)

CP (|X| > t) , t

0, n

1.

Để thiết lập kết quả chính, chúng ta cần một số tính chất. Tính chất
sau dễ dàng nhận được từ định nghĩa m-liên kết âm.
2.1.8 Bổ đề. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm.
Giả sử {fn , n

1} là dãy các hàm số không giảm. Khi đó {fn (Xn ), n

1}

cũng là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm.
Sau đây là bất đẳng thức cực đại cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm (khi m = 0).

1, {Xi , 1

2.1.9 Bổ đề ([12]). Cho p

i

n} là dãy các biến ngẫu

nhiên liên kết âm với kỳ vọng 0 và E|Xi |p < ∞. Khi đó, tồn tại các hằng
số Ap và Bp chỉ phụ thuộc vào p sao cho
p

k

E max

n

Xi

1 k n

E|Xi |p với 1 < p

Ap

i=1

2,

i=1

và
p

k

E max

1 k n

Xi

Bp





i=1

p
2

n

E|Xi |2

n

E|Xi |p

+
i=1

i=1




với p > 2.



Chúng ta sẽ mở rộng Bổ đề 2.1.9 sang trường hợp cho dãy các biến ngẫu
nhiên m-liên kết âm.
2.1.10 Bổ đề. Cho 1

p

2 và {Xi , 1

i

n} là dãy các biến ngẫu

nhiên m-liên kết âm với EXi = 0 và E|Xi |p < ∞. Khi đó, tồn tại hằng
số 0 < C < ∞ phụ thuộc vào m, p sao cho
p

k

E max

1 k n

Chứng minh. Nếu n

Xi
i=1

n

E|Xi |p .

C
i=1

m + 1, Bổ đề 2.1.10 hiển nhiên đúng.


12

Nếu n > m + 1, ta có
p

j

E

max

1 j n



m+1

Xi

E

p

k

max

i=1

j=1

Xi(m+1)+j 

0 k(m+1) n−j

i=0

m+1

(m + 1)p−1

p

k

E

max

Xi(m+1)+j

0 k(m+1) n−j

j=1

i=0

Áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta suy ra
p

j

E

max

m+1

Xi

1 j n

E|Xi(m+1)+j |p

C

i=1

=C

j=1 0 i(m+1) n−j
n
E|Xi |p .
i=1

Bổ đề được chứng minh.
Bằng kỹ thuật tương tự, ta cũng thu được bổ đề sau.
2.1.11 Bổ đề. Cho p > 2 và {Xi , 1

i

n} là dãy các biến ngẫu nhiên

p

m-liên kết âm với EXi = 0 và E|Xi | < ∞. Khi đó, tồn tại hằng số
0 < C < ∞ phụ thuộc vào m, p sao cho
p

k

E max

1 k n

Chứng minh. Nếu n

n

Xi

Cn

p
2 −1

E|Xi |p .
i=1

i=1

m + 1, Bổ đề 2.1.11 hiển nhiên đúng.

Nếu n > m + 1, để ý rằng
p

k

E

max
1 k(m+1) n−l

Xi(m+1)+l

p/2

Bp

E Xi(m+1)+l

i=0

2

1 i(m+1) n−l

+

E Xi(m+1)+l

p

(theo Bổ đề 2.1.9)

1 i(m+1) n−l

Bp





p/2

n

E|Xi |2

n

E|Xi |p

+

i=1

i=1




.



Kết hợp với Bất đẳng thức Cr ta thu được
p

k

E max

1 k n

Xi
i=1

(m + 1)p−1

E
l=1

p

k

m+1

max
1 k(m+1) n−l

Xi(m+1)+l
i=0

.


13

Bp (m + 1)p




p/2

n

E|Xi |2



n

E|Xi |p

+

i=1




.



i=1

Từ đó suy ra

E max

Xi

1 k n

Do 0 <

2
p




p

k

C



i=1

p
2

n

E|Xi |2

n

E|Xi |p

+

.



i=1

i=1




< 1 nên
2/p

n

n

|Xi |2

p

|Xi |

i=1

i=1

điều này kéo theo
n

p/2

n
p

E|Xi |

2

|Xi |

E

i=1

.

i=1

Theo bất đẳng thức Jensen ta có
p/2

n
2

E|Xi |

p/2

n
2

|Xi |

E

i=1

.

i=1

Từ các khẳng định trên và bất đẳng thức Cr ta thu được
p
2

n

E|Xi |

2

n
p

E|Xi |

+
i=1

i=1

p/2

n
2

|Xi |

2E
i=1

n

2n

E|Xi |p .

p/2−1
i=1

Bổ đề được chứng minh.
Bằng cách sử dụng các kết quả trên và các phương pháp tương tự trong
[10], [14], [15], [16], ta nhận được một số kết quả. Sau đây, chúng ta sẽ

thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy các biến ngẫu nhiên m-liên
kết âm theo khối.

2.2

Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-liên kết âm theo khối

2.2.1 Định lý. Cho 1
kỳ vọng 0 và {bn , n

p

2 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên

1} là dãy số dương không giảm thỏa mãn
b2n+1
b2n+1
> 1 và sup
< ∞.
0 b2n
n 0 b2n

inf

n

(2.2)

14

Nếu {Xn , n ≥ 1} là m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k

1}

và
∞

n=1

E|Xn |p p−1
ϕ (n) < ∞,
bpn

(2.3)

thì ta thu được luật mạnh số lớn

1
lim
n→∞ bn

n

Xi = 0 h.c.c.

(2.4)

i=1

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

Xi , k ∈ Il , l

= max

(l)

j∈Bk

0

(l)

i=rk

và

Tl =

1
(l)
Tk , l
(b2l+1 − b2l ) k∈I

0.

l

Với l

0, ta có

ETlp

1
bp2l+1

(l) p

cp−1
l

E Tk

(theo điều kiện thứ nhất trong (2.2))

k∈Il

C

p−1
E|Xi |p
p cl
b2l+1
k∈Il i∈B (l)

k

(theo Bổ đề 2.1.10)

2l+1 −1

C
bp2l+1

E|Xi |p

cp−1
l
i=2l

2l+1 −1

C
i=2l

E|Xi |p
(ϕ(i))p−1 ,
p
bi

∞

và từ (2.3) ta có
l=0

ETlp < ∞. Điều này kéo theo

lim Tl = 0 h.c.c (theo Bổ đề 1.2.5).

l→∞

Chú ý rằng, với n

1
bn

n

Xi
i=1

1
b2M

1, tồn tại M
M
(l)

Tk
l=0 k∈Il

0 sao cho 2M

n < 2M +1 ,

(2.5)


15

b M +1
= 2
b2M
M

C
l=0

M

b2l+1 − b2l
Tl
b2M +1

l=0

b2l+1 − b2l
Tl (theo điều kiện thứ hai trong (2.2)).
b2M +1
(2.6)

Từ (2.5), (2.6) và Bổ đề Toeplitz ta suy ra (2.4).
Sau đây là một dạng khác của Định lý 2.2.1. Định lý 2.2.2 đóng vai trò
quan trọng trong việc chứng minh Luật mạnh số lớn dạng MarcinkiewiczZygmund.
2.2.2 Định lý. Cho 1

p

với kỳ vọng 0 và {bn , n

2 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên

1} là dãy số dương không giảm thỏa mãn
b2n+1
b2n+1
> 1 và sup
< ∞.
b2n
n 0 b2n

inf

n 0

(2.7)

Nếu {Xn , n ≥ 1} là m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k

1}

và
∞

n=1

E|Xn |p
< ∞,
bpn

(2.8)

thì

lim

n

1

n→∞

bn ψ 1−1/p (n)

Xi = 0 h.c.c.

(2.9)

i=1

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

Xi , k ∈ Il , l

= max

(l)

j∈Bk

0,

(l)

i=rk

và

Tl =

1
(l)
Tk , l
1−1/p
l
(b2l+1 − b2l )ψ
(2 ) k∈I

0.

l

Với l

0,
ETlp

1
cp−1
p
p−1
l
b2l+1 ψ (2 ) l k∈I
l

(l) p

E Tk

(theo (2.7))


16

C
E|Xi |p
p
b2l+1 k∈I
l i∈B (l)
k

(theo Bổ đề 2.1.10)

2l+1 −1

C
bp2l+1

E|Xi |p
i=2l

2l+1 −1

C
i=2l
∞

Kết hợp với (2.8) ta có
l=0

E|Xi |p
.
bpi

ETlp < ∞. Do đó

lim Tl = 0 h.c.c (theo Bổ đề 1.2.5).

(2.10)

l→∞

Chú ý rằng, với n

n

1
bn

0 sao cho 2M

1, gọi M

ψ 1−1/p (n)

n < 2M +1 ,
M

1

Xi

b2

i=1

(l)

1−1/p (2M )
Mψ
M

b M +1

= 2
b2M

l=0

M

Tk
l=0 k∈Il

b2l+1 − b2l
Tl
b2M +1

b2l+1 − b2l
Tl (theo (2.7)).
b2M +1

C
l=0

(2.11)

Kết luận (2.9) nhận được từ (2.10), (2.11) và bổ đề Toeplitz.

2.3

Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho dãy các
biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối

2.3.1 Định lý. Cho 1

r < 2 và {Xn , n ≥ 1} là dãy m-liên kết âm theo

khối đối với các khối {Bk , k

1}. Nếu {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên

bởi biến ngẫu nhiên X sao cho

E (|X|r ) < ∞,

(2.12)

thì

1
lim 1/r 1/2
n→∞ n
ψ (n)

n

(Xi − EXi ) = 0 h.c.c.

(2.13)

i=1

Chứng minh. Đặt

Yn = Xn I(|X

n|

1

1
nr )

+ n r I(X

1
n >n r )

1

− n r I(X

1
n <−n r )

, n

1.


17

Dễ thấy rằng dãy hàm {fn (x) = xI(|x|

1

1

+n r I(x>n 1r ) −n r I(x<−n 1r ) , n

1}

là dãy các hàm không giảm. Do đó, theo Bổ đề 2.1.8 ta suy ra {Yn , n

1}

1
nr )

cũng là dãy các biến ngẫu nhiên m-liên kết âm theo khối.
Với n

1 ta có
2

EYn2 = E Xn I(|X

n|

1
nr )

2

1

2

1

+ n r P (Xn > n r ) + n r P (Xn < −n r )

∞

2

xP |Xn |I(|X

1
nr )

xP |Xn |I(|X

1
nr )

n|

2

1

2

1

> x dx + 2n r P (|Xn | > n r )

0
1

nr

=2

n|

> x dx + 2n r P (|Xn | > n r )

0
1

1

nr

nr

1

xP (|Xn | > x) dx − 2

=2

0

2

1

xP (|Xn | > n r ) dx + 2n r P (|Xn | > n r )
0

1
nr
1

2

xP (|Xn | > x) dx + n r P (|Xn | > n r )

=2
0

1

nr

2

C

1

xP (|X| > x) dx + Cn r P (|X| > n r ).
0

Ta có
1

∞

n=1

1
2
2 EYn
nr

∞

C
n=1

nr

1
2
nr

∞
1

xP (|X| > x) dx + C

P (|X| > n r )
n=1

0
1

∞

n=1

1
2
nr

∞

∞

C

n

jr

xP (|X| > x) dx + CE|X|r
j=1

1

(j−1) r
1

=C
j=1 n=j

jr

1
2
nr

xP (|X| > x) dx + CE|X|r
1

(j−1) r


18
1

jr

∞

C

j

r−2

r

j=1

xP (|X| > x) dx + CE|X|r
1

(j−1) r

∞

(do
n=j

r−2
1
j r , j
2 = O
nr

1)

1

jr

∞

xr−1 P (|X| > x) dx + CE|X|r

C
j=1

1

(j−1) r

∞

xr−1 P (|X| > x) dx + CE|X|r

C
0

CE|X|r < ∞.
Sử dụng Định lý 2.2.2 ta nhận được
n

1
lim 1 1
n→∞ n r ψ 2 (n)

(Yi − EYi ) = 0 h.c.c.

(2.14)

i=1

Lại có
∞

∞
1

P (|Xn | > n r )

P (Xn = Yn )
n=1

n=1
∞
1

D

P (|X| > n r )
n=1

CE|X|r < ∞.

(2.15)

Từ (2.14), (2.15) và Bổ đề 1.2.6 suy ra

1
lim 1 1
n→∞ n r ψ 2 (n)

n

(Xj − EYj ) = 0 h.c.c.

(2.16)

j=1

Cuối cùng, ta sẽ chứng minh rằng

1
lim 1/r 1/2
n→∞ n
ψ (n)
Do ψ(n)

n

(EYi − EXi ) = 0 h.c.c.

(2.17)

i=1

1, để chứng minh (2.17), ta sẽ chứng minh rằng
1
lim 1/r
n→∞ n

n

(EYi − EXi ) = 0 h.c.c.

i=1

(2.18)


19

Thật vậy,
i) Với r = 1,

|E(Xn − Yn )|

E|Xn − Yn |
1

E |Xn |I(|X

1

+ 2n r P (|Xn | > n r )

1
n |>n r )

∞
1

P |Xn |I(|X

=

1

n |>n r )

1

> x dx + 2n r P (|Xn | > n r )

0
1

∞

nr

1

1
r

0

1

P (|Xn | > x) dx + 2n r P (|Xn | > n r )

P (|Xn | > n ) dx +

=

1

nr
∞
1

1

P (|Xn | > x) dx

= 3n r P (|Xn | > n r ) +
1

nr





∞

1
 1
C n r P (|X| > n r ) +


P (|X| > x) dx
1

nr

= CE |X|I(|X|>n 1r ) .
Do E|X| < ∞ nên E |X|I(|X|>n 1r ) → 0 (n → ∞). Từ đó suy ra

lim E(Xn − Yn ) = 0.

n→∞

1 n
E(Xi − Yi ) −→ 0, n → ∞. Từ
n i=1
đây ta thu được (2.18) trong trường hợp r = 1.
Sử dụng Bổ đề Toeplitz ta thu được

ii) Với 1 < r < 2,
∞

n=1

∞

∞

1
1
1 E|Xn − Yn | ≤ C
1
r
nr

n=1 n

∞
1

P (|X| > x) dx + C

P (|X| > n r )
n=1

1

nr

1

∞

n=1

1
1
nr

∞

i

≤C

∞

(i+1) r

P (|X| > x) dx + CE|X|r
i=n

1

ir

1

=C
i=1 n=1

(i+1) r

1
1
nr

P (|X| > x) dx + CE|X|r
1

ir


20
1

(i+1) r

∞

C

i

r−1
r

P (|X| > x) dx + CE|X|r

i=1

1

ir

i

(do
n=1

r−1
1
r ), i
1 = O(i
nr

1)

1
(i+1) r

∞

xr−1 P (|X| > x) dx + CE|X|r

C
i=1

1

ir

∞

xr−1 P (|X| > x) dx + CE|X|r

=C
1

CE|X|r < ∞.
Do đó, theo Bổ đề Kronecker ta có

1
lim 1
n→∞ n r

n

E(Xj − Yj ) = 0.
j=1

Từ đây ta thu được (2.18) trong trường hợp 1 < r < 2.
Định lý được chứng minh.
Để ý rằng, nếu {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối
thì chúng bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1 . Do đó ta có hệ quả
sau.
2.3.2 Hệ quả. Cho {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên cùng phân phối.
Nếu E (|X1 |r ) < ∞, 1

r < 2 và {Xn , n ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên

m-liên kết âm theo khối đối với các khối Bk = [2k−1 , 2k ), k
1
lim
n→∞ n

1 thì

n

Xi = EX1 h.c.c.
i=1

Đặc biệt hơn nữa, ta có kết quả sau.
2.3.3 Hệ quả. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân

phối. Nếu E (|X1 |r ) < ∞, 1

r < 2 và {Xi , 1

i

thì

1
lim
n→∞ n

n

Xi = EX1 h.c.c.
i=1

n} là m-liên kết âm


21

2.4

Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu
nhiên m-liên kết âm theo khối

2.4.1 Định lý. Cho p > 1 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên với
kỳ vọng 0. Giả sử {bn , n

1} là dãy các số dương không giảm thỏa mãn

b2n+1
b2n+1
> 1 và sup
< ∞.
0 b2n
n 0 b2n

inf

n

(2.19)

Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy m-liên kết âm theo khối đối với các khối {Bk , k

1}

và
∞

n=1

E|Xn |2p 2p−1
ϕ
(n)φp−1 (n) < ∞,
2p
bn

(2.20)

thì ta nhận được luật mạnh số lớn
n

1
lim
n→∞ bn

Xi = 0.

(2.21)

i=1

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

Xi , k ∈ Il , l

= max

(l)

j∈Bk

0

(l)

i=rk

và

Tl =

1
b2l+1 − b2l

0, ta có
C 2p−1
(l)
ETl2p
E Tk
2p cl
b2l+1
k∈Il

(l)

Tk , l

0.

k∈Il

Với l

C
b2p
2l+1

2p

(theo (2.19))
(l) p−1

c2p−1
l

E|Xi |2p (theo Bổ đề 2.1.11)

cardBk
k∈Il

(l)

i∈Bk

C 2p−1 p−1
dl
E|Xi |2p
2p cl
b2l+1
k∈Il i∈B (l)
k
2l+1 −1
2p−1 p−1

dl
E|Xi |2p
2p cl
b2l+1
i=2l

C

2l+1 −1

C
i=2l

E|Xi |2p
(ϕ(i))2p−1 (φ(i))p−1 .
2p
bi


22

Do đó
∞ 2l+1 −1

∞

ETl2p

C
i=2l

l=0
∞

l=0

E|Xi |2p
(ϕ(i))2p−1 (φ(n))p−1
2p
bi

E|Xn |2p 2p−1
ϕ
(n)φp−1 (n) < ∞.
2p
bn

=C
n=1

Sử dụng Bổ đề 1.2.5, ta có

Tl → 0 h.c.c khi l → ∞.
Để ý rằng, với n

1
bn

0 sao cho 2M

1, tồn tại M
n

(l)

Tk

b2M

i=1

=

n < 2M +1 , khi đó

n

1

Xi

(2.22)

l=0 k∈Il
n
b2M +1
b2l+1

b2M
n

C
l=0

l=0

− b2l

b2M +1

Tl

b2l+1 − b2l
Tl (theo (2.19)).
b2M +1

(2.23)

Kết luận (2.21) được suy ra từ (2.22), (2.23) và Bổ đề Toeplitz.
Sau đây là một dạng khác của Định lý 2.4.1
2.4.2 Định lý. Cho p > 1 và {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên kỳ
vọng 0. Giả sử {bn , n

1} là dãy các hằng số dương không giảm thỏa mãn
b2n+1
b2n+1
> 1 và sup
< ∞.
0 b2n
n 0 b2n

inf

n

(2.24)

Khi đó, nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy m-liên kết âm theo khối đối với các khối

{Bk , k

1} và nếu
∞

n=1

E|Xn |2p p−1
φ (n) < ∞
b2p
n

(2.25)

thì luật mạnh số lớn

lim

1

n

n→∞ bn ψ 1−1/(2p) (n)
i=1

được thỏa mãn.

Xi = 0 h.c.c

(2.26)


23

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

Xi , k ∈ Il , l

= max

(l)
j∈Bk

0

(l)

i=rk

và

Tl =

1
(l)
T
,l
k
(b2l+1 − b2l )ψ 1−1/(2p) (2l ) k∈I

0.

l

với l

0, ta có

ETl2p

C
ψ 2p−1 (2l )
b2p
2l+1
C
ψ 2p−1 (2l )
b2p
2l+1

(l) 2p

c2p−1
l

E Tk

(theo (2.24))

k∈Il
(l) p−1

c2p−1
l

E|Xi |2p (theo Bổ đề 2.1.11)

cardBk
k∈Il

(l)

i∈Bk

C p−1
E|Xi |2p
2p dl
b2l+1
k∈Il i∈B (l)

k
2l+1 −1
p−1
E|Xi |2p
2p dl
b2l+1
i=2l

C

2l+1 −1

C
i=2l

E|Xi |2p
(φ(i))p−1 .
2p
bi
∞

Điều này kéo theo
l=0

ETl2p < ∞. Kết hợp với Bổ đề 1.2.5 ta nhận được
Tl → 0 h.c.c khi l → ∞.

Chú ý rằng, với n

1

bn

ψ 1−1/(2p) (n)

0 sao cho 2M

1, tồn tại M
n

Xi
i=1

1

(2.27)

n < 2M +1 ,

M
(l)

b2M ψ 1−1/(2p) (2M ) l=0 k∈I
l
b M +1
= 2
b2M
M

C
l=0

M

l=0

Tk

b2l+1 − b2l
Tl
b2M +1

b2l+1 − b2l
Tl (theo (2.24)).
b2M +1

Kết luận (2.26) nhận được từ (2.27), (2.28) và Bổ đề Toeplitz.

(2.28)


24

CHƯƠNG 3
LUẬT LOGARITHM LẶP CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN LIÊN KẾT ÂM

3.1

Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị

Để thiết lập được các kết quả chính trong chương này, ngoài việc sử
dụng một số khái niệm, kí hiệu và bổ đề đã trình bày trong Chương 1
chúng tôi cần sử dụng một số khái niệm và kết quả cơ bản sau.
3.1.1 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là dừng
ngặt nếu với mọi i

1, k

1, với mọi số tự nhiên dương n1 , n2 , . . . , nk thì

(Xn1 , Xn2 , . . . , Xnk ) và (Xn1 +i , Xn2 +i , . . . , Xnk +i ) có cùng phân phối, trong
đó, phân phối của (X1 , X2 , . . . , Xn ) được định nghĩa là

F(X1 ,X2 ,...,Xn ) (x1 , x2 , . . . , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn ).
3.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta thấy, nếu {Xn , n ≥ 1} dừng ngặt
thì dãy {Xn , n ≥ 1} cùng phân phối. Và cũng từ định nghĩa trên, ta có
thể thấy rằng, nếu {Xn , n ≥ 1} dừng ngặt thì E(Xi Xi+k ) = E(X1 Xk ),
với mọi k

1, i

1.

Từ định nghĩa biến ngẫu nhiên liên kết âm, ta nhận được các tính chất
sau.
3.1.3 Bổ đề ([11]). Giả sử {Xn , n
kết âm. Nếu {fn , n

1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên

1} là dãy các hàm không tăng thì {fn (Xn ), n

1}

cũng là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm.
3.1.4 Bổ đề. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên kết âm. Khi đó, với
mọi x, y ta có

P (X

x, Y

y)

P (X

x)P (Y

y).


25

Chứng minh. Áp dụng định nghĩa cho hàm f (t) = I(t

I(t

x) và hàm g(t) =

y) ta thu được điều phải chứng minh.

Để nghiên cứu về luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên
kết âm, ta cần sử dụng thêm một số bổ đề. Các bổ đề sau dây được trích
từ các tài liệu tham khảo.
3.1.5 Bổ đề ([12]). Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên
k

Xi , k

kết âm kỳ vọng 0 và moment cấp 2 hữu hạn. Đặt Tk =

Bn2 =

n
i=1

1 và

i=1

EXi2 . Khi đó, với mọi x > 0, a > 0 và 0 < α < 1, ta có

P (Tn

x)

P

x2
max Xk > a + exp −

1 k n
2 (ax + Bn2 )

(3.1)

và

P

max |Tk |

1 k n

x

2P

2
x2 α
max Xk > a +
exp −
1 k n
1−α
2 (ax + Bn2 )
(3.2)

3.1.6 Bổ đề ([11]). Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên
k

kết âm với kỳ vọng 0, moment cấp 3 hữu hạn. Đặt Tk =

Bn2 =

n
i=1

Xi , k

1 và

i=1

EXi2 . Khi đó, với mọi x > 0, ta có

P (Tn

xBn )

(1 − Φ (x + 1)) + 6Bn−2
−

E (Xi Xj )

1 i=j n
n
−3
12Bn
E|Xi |3 ,
i=1

(3.3)

trong đó Φ là hàm phân phối của phân phối chuẩn tắc.

3.2

Luật logarithm lặp cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết
âm

3.2.1 Định lý. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm
dừng ngặt với EXn = 0, EXn2 < ∞ và σ 2 = EX12 + 2

∞

E(X1 Xn ) >
n=2