Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.62 KB, 35 trang )
1
MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach . . .
4
4
1.2
1.1.1
1.1.2
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
1.1.3
1.1.4
Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .
Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
Các dạng hội tụ và luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
1.2.2
9
Luật số lớn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên
đa trị, hoán đổi được theo hàng
13
2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Hội tụ Mosco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
2.4
Tính hoán đổi được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị,
17
hoán đổi được theo hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Kết luận
33
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong mấy thập kỷ gần đây, lý thuyết về các biến ngẫu nhiên đa trị đã
xuất hiện và có những bước phát triển mạnh mẽ, dẫn tới nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hóa và điều khiển, hình học ngẫu
nhiên, toán kinh tế, thống kê, y học, ... Trong bài báo đầu tiên viết về luật
số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị, các tác giả Artstein và Vitale đã thiết
lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối,
nhận giá trị tập compact trên một không gian Euclide (1975). Kết quả này
mở rộng một kết quả đã có về xác suất đơn trị. Cho đến nay luật số lớn cho
các biến ngẫu nhiên đa trị đã được nghiên cứu dưới các dạng hội tụ khác
nhau như: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ slice,
hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, ... Chúng ta có thể kể tên một số nhà
toán học tiêu biểu trên thế giới nghiên cứu về vấn đề này như: G. Beer, C.
Castaing, C. Hess, F. Hiai, R. L. Taylor, H. Inoue,...
Gần đây, trong bài báo [6], các tác giả Nguyễn Văn Quảng và Dương Xuân
Giáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác các
biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian
Rademacher dạng p (1 < p ≤ 2).
Khái niệm các biến ngẫu nhiên hoán đổi được là một mở rộng của khái
niệm các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Để tiếp nối hướng nghiên
cứu trong bài báo [6], chúng tôi quyết định chọn đề tài "Luật số lớn dạng
hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được
theo hàng."
Nội dung chính của luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kí hiệu, khái niệm và tính chất
cơ bản của xác suất trên không gian Banach. Cụ thể, chúng tôi trình bày các
kí hiệu, khái niệm và tính chất của phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng của phần
3
tử ngẫu nhiên, các dạng hội tụ và luật số lớn đối với phần tử ngẫu nhiên.
Chương 2. Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến
ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng.
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các kí hiệu, khái niệm
và tính chất của biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị,
các dạng hội tụ đối với biến ngẫu nhiên đa trị và trình bày những khái niệm,
tính chất của biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được. Các khái niệm này đều
là đối tượng nghiên cứu chính trong luận văn. Sau đó chúng tôi thiết lập luật
số lớn cho trường hợp mảng tam giác. Kết quả của chúng tôi là một mở rộng
kết quả của H. Inoue và R. L. Taylor. Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam
giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, nếu sử dụng kĩ thuật chứng
minh như của H. Inoue và R. L. Taylor thì không thu được kết quả. Vì thế,
chúng tôi đưa ra phương pháp mới để xây dựng mảng các lát cắt, cũng như
đưa ra một số kỹ thuật biến đổi khác. Trong bài báo [6], khi thiết lập luật
số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá
trị tập đóng trên không gian Banach khả ly các tác giả đã chỉ ra điều kiện
kỳ vọng bị chặn của mảng các biến ngẫu nhiên đa trị là cần thiết đối với kĩ
thuật chứng minh được sử dụng. Tuy nhiên, trong luận văn này, chúng ta
không cần giả thiết kỳ vọng bị chặn của mảng các biến ngẫu nhiên.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo và hết sức nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn
Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy,
người đã chỉ dạy cho tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập,
nghiên cứu khoa học và cả trong cuộc sống. Nhân dịp này, tác giả cũng xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất Thống kê và Toán
ứng dụng, các thầy cô Khoa Toán. Tác giả xin cảm ơn thầy giáo ThS. Dương
Xuân Giáp cùng các anh chị trong nhóm Seminar "Xác suất thống kê " đã
giúp đỡ tận tình cho tác giả. Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới
gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt để tác giả
thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô
giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết rằng (Ω, F, P) là một
không gian xác suất đầy đủ, (X, . ) là không gian Banach thực, khả ly, X∗
là không gian đối ngẫu của nó, G là σ -đại số con của F và B(X) là σ -đại số
các tập Borel của X. Ký hiệu R là tập tất cả các số thực, N là tập tất cả
các số tự nhiên.
1.1
Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian
Banach
1.1.1
Định nghĩa
Ta nói ánh xạ X : Ω −→ X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được, nếu X là
ánh xạ G/B(X) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(X) thì X −1 (B) ∈ G ). Phần
tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là phần tử ngẫu
nhiên. Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được thì X là phần
tử ngẫu nhiên. Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tử ngẫu nhiên
thì họ
σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(X)}
lập thành một σ -đại số con của σ -đại số F . σ -đại số này được gọi là σ -đại
số sinh bởi X . Hơn nữa, σ(X) là σ -đại số bé nhất mà X đo được. Do đó X
là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G .
Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ X được gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc
nếu |X(Ω)| không quá đếm được. Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được
gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượng của tập
5
hợp X(Ω)).
Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n
1} được gọi là hội tụ đến ánh xạ
X : Ω → X (khi n → ∞), nếu Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) với
mọi ω ∈ Ω.
Ký hiệu Xn → X (khi n → ∞).
Giả sử {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên
(Ω, F, P), nhận giá trị trên (X, B(X)). Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆} được gọi là
độc lập đôi một (độc lập) nếu họ σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc lập đôi một
(độc lập).
Với 1 ≤ p < ∞, ký hiệu Lp (Ω, F, P, X) = Lp (Ω, X) là không gian Banach
gồm các phần tử ngẫu nhiên F -đo được f : Ω → X sao cho chuẩn
f
p=
(E
f
p
1
p
) =
f (ω)
p
1
p
dP
Ω
là hữu hạn.
Đặc biệt, Lp (Ω, R) được kí hiệu một cách ngắn gọn bởi Lp .
1.1.2
Tính chất
1. Giả sử X1 , X2 là các không gian Banach thực khả ly, T : X1 → X2 là
ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo được và X : Ω → X1 là phần tử ngẫu nhiên G -đo
được. Khi đó ánh xạ T ◦X : Ω → X2 là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
2. Giả sử ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó,
ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên G -đo được.
3. ( Tính chất này chỉ ra một đặc trưng quan trọng của phần tử ngẫu
nhiên.) Ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi
với mọi f ∈ X∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên G -đo được.
4. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈ R và ξ : Ω →
R là biến ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó aX + bY và ξX là các phần tử ngẫu
nhiên G -đo được.
5. Nếu {Xn , n 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo được và Xn → X khi
n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
6. Ánh xạ X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi X
là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được. Nghĩa là
6
tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được {Xn , n
1}, sao cho
lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0.
n→∞ ω∈Ω
7. Ánh xạ: X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi
X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản
G -đo được {Xn , n
1}, sao cho Xn (ω)
2 X(ω) với mọi n
1 và
mọi ω ∈ Ω. Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo được
{Xn , n 1} thoả mãn lim Xn (ω) − X(ω) = 0 và Xn (ω)
2 X(ω)
n→∞
1 và mọi ω ∈ Ω.
h.c.c.
8. Giả sử {Xn , n 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo được và Xn −−−→ X
(khi n → ∞). Khi đó tồn tại phần tử ngẫu nhiên G -đo được X sao cho
h.c.c.
X = X h.c.c. và Xn −−−→ X .
9. Giả sử X1 , X2 là các không gian Banach thực khả ly và {Xt , t ∈ ∆} là
họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong X1 . Khi đó, nếu với mỗi
t ∈ ∆, Tt : X1 → X2 là ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo được thì họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆}
là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong X2 .
10. Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên
(Ω, F, P), nhận giá trị trên (X, B(X)). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
X1 , X2 , . . . , Xn độc lập là với mọi f1 , f2 , . . . , fn ∈ X∗ , các biến ngẫu nhiên
f1 (X1 ), f2 (X2 ), . . . , fn (Xn ) độc lập.
với mọi n
1.1.3
Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên
1.1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử m ∈ X được gọi là kỳ
vọng của X nếu với mọi f ∈ X∗ ta có
f (m) = E(f (X)).
Ký hiệu m = EX .
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên và p > 0. Nếu E X p < ∞, thì ta nói
X khả tích bậc p. Nếu X khả tích bậc 1, thì để đơn giản, ta nói X khả tích.
1.1.3.2 Tính chất
1. Giả sử X , Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ X. Khi đó, nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì
7
1) Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ;
2) Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX ;
3) Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ ;
4) Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α;
5) Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ X∗ thì tồn tại E(ξX) và E(ξX) =
EξEX ;
6) Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : X → X ( X là không gian
Banach thực khả ly) thì tồn tại E(T (X)) và E(T (X)) = T (E(X)).
2. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và
EX
E X .
3. (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ : X → R là hàm lồi liên tục, X và ϕ(X)
khả tích, thì
ϕ(EX)
1.1.4
E ϕ(X) .
Kỳ vọng có điều kiện
1.1.4.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X là không
gian Banach thực khả ly, B(X) là σ -đại số Borel. X : Ω → X là phần tử
ngẫu nhiên, G là σ -đại số con của σ -đại số F . Khi đó phần tử ngẫu nhiên Y:
Ω → X gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu
(i) Y là phần tử ngẫu nhiên G -đo được;
(ii) E(Y IA ) = E(XIA ), với mọi A ∈ G .
Kí hiệu Y = E(X|G ).
1.1.4.2 Tính chất
1. (Tính chất này cho ta một phương pháp khác để định nghĩa kỳ vọng
có điều kiện, tương tự như định nghĩa kỳ vọng.) Giả sử X, Y là các phần tử
ngẫu nhiên. Khi đó Y = E(X|G) khi và chỉ khi f (Y ) = E(f (X)|G) với mọi
f ∈ X∗ .
2. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiên, α ∈ X,
a ∈ R, f ∈ X∗ . Khi đó
1) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên G -đo được thỏa mãn E|ξ| < ∞ và E ξX <
∞, thì
E(ξX|G) = ξE(X|G).
8
2) Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được thì E(X|G) = X.
3) E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G).
4) E(aX|G) = aE(X|G).
5) E(αξ|G) = αE(ξ|G).
6) Nếu G1 ⊂ G2 thì E E(X|G1 )|G2 = E(X|G1 ) = E E(X|G2 )|G1 .
7) Nếu σ(X) độc lập với G thì E(X|G) = EX.
3. Nếu X là phần tử ngẫu nhiên khả tích, thì tồn tại E(X|G) và
E(X|G)
1.2
1.2.1
E( X |G) h.c.c.
Các dạng hội tụ và luật số lớn
Các dạng hội tụ
1.2.1.1 Định nghĩa. Giả sử {X, Xn , n 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên Ω và nhận giá trị trong X. Ta nói:
Dãy {Xn , n
1} hội tụ hầu chắc chắn đến X (khi n → ∞), nếu tồn tại
tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞)
với mọi ω ∈ Ω\N .
h.c.c.
−−→ X (khi n → ∞).
Ký hiệu Xn → X h.c.c., hoặc Xn −
Dãy {Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X (khi n → ∞), nếu với mọi ε > 0
thì
∞
P( Xn − X > ε) < ∞.
n=1
c
Ký hiệu Xn →
− X (khi n → ∞).
Dãy {Xn , n
ε > 0 thì
1} hội tụ theo xác suất đến X (khi n → ∞), nếu với mọi
lim P( Xn − X > ε) = 0.
n→∞
P
Ký hiệu Xn −
→ X (khi n → ∞).
9
Dãy {Xn , n 1} hội tụ theo trung bình cấp r > 0 đến X (khi n → ∞),
nếu X, Xn (n 1) khả tích bậc r và lim E Xn − X r = 0.
n→∞
Lr
Ký hiệu Xn −→ X (khi n → ∞).
Dãy {Xn , n 1} hội tụ yếu (theo phân phối) đến X (khi n → ∞), nếu
w
PXn −
→ PX , trong đó
PX : B(X) → R
B → P X −1 (B) .
w
Ký hiệu Xn −
→ X (khi n → ∞).
1.2.1.2 Tính chất
Từ định nghĩa trên suy ra rằng dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n
1} hội
tụ hầu chắc chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến phần
tử ngẫu nhiên X (khi n → ∞) khi và chỉ khi dãy biến ngẫu nhiên (thực)
{ Xn − X , n 1} hội tụ hầu chắc chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung
bình cấp r) đến 0 (khi n → ∞). Do đó, bằng cách sử dụng các tính chất
tương ứng của dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có ngay các tính chất sau đây
của dãy phần tử ngẫu nhiên.
1. Xn → X h.c.c. (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
lim P sup Xm − X > ε = 0.
n→∞
c
m n
h.c.c.
2. Nếu Xn →
− X thì Xn −−−→ X (khi n → ∞).
h.c.c.
−−→ C ∈ X
3. Nếu {Xn , n 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn −
c
thì Xn →
− C (khi n → ∞).
h.c.c.
L
P
r
4. Nếu Xn −
−−→ X hoặc Xn −→
X thì Xn −
→ X (khi n → ∞).
5. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk ; k
1) ⊂ (Xn , n ≥ 1} sao cho {Xnk ; k
1.2.2
Luật số lớn
1.2.2.1 Định nghĩa
1} hội tụ h.c.c.
10
Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n
nếu
1
(
n
n
k=1
1} gọi là tuân theo luật mạnh số lớn
n
1
Xk −
n
EXk ) → 0 h.c.c khi n → ∞
k=1
Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi là tuân theo luật mạnh số lớn
tổng quát nếu tồn tại dãy số (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho
1
(
bn
bn
k=1
1
Xk −
bn
bn
EXk ) → 0 h.c.c khi n → ∞
k=1
Nếu trong 2 định nghĩa trên, hội tụ hầu chắc chắn được thay bởi hội tụ
theo xác suất thì dãy {Xn , n
số lớn tổng quát)
1} gọi là tuân theo luật yếu số lớn (luật yếu
1.2.2.2 Luật yếu số lớn đối với dãy
Chúng tôi giới thiệu luật yếu số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên độc
lập nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p. Trước hết, chúng ta có
định nghĩa không gian Rademacher dạng p như sau:
Định nghĩa Giả sử {rj , j
1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập, cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2. Không gian
Banach X được gọi là không gian Rademacher dạng p (1 p 2) nếu tồn
tại một hằng số C > 0 sao cho, với mọi i 1 và mọi vj ∈ X (1 j i),
i
E
i
p 1/p
rj vj
C
j=1
vj
p
1/p
.
j=1
Hoffmann - Jorgensen đã chứng minh được rằng một không gian Banach
là không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) nếu và chỉ nếu tồn tại một
hằng số dương C = Cp sao cho với mọi dãy hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên
{f1 , f2 , ..., fn } độc lập, có kỳ vọng 0 thì
n
E
n
fj
j=1
p
E fj p .
≤C
j=1
Định lý Giả sử X là không gian Rademacher dạng p (1
{Xn , n
p
2),
1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên X, {bn , n
11
1} là dãy số dương. Đặt Yni = Xi I(
bn ) .
Xi
Khi đó
n
P
b−1
n
Xi −
→ 0 khi n → ∞
i=1
nếu ba điều kiện sau đây được thỏa mãn
n
P( Xi > bn ) → 0 khi n → ∞,
i=1
n
b−1
n
EYni → 0 khi n → ∞,
i=1
n
b−p
n
E Yni − EYni
p
→ 0 khi n → ∞.
i=1
1.2.2.3
Luật mạnh số lớn đối với dãy
Chúng tôi giới thiệu luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,
cùng phân phối, nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly bất kỳ. Kỹ
thuật chứng minh định lý này được lấy từ bài báo của Terán và Molchanov.
Định lý Cho {X, Xn : n 1} là họ các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trên không gian Banach thực khả ly X. Giả sử {Xn : n
một, cùng phân phối với X và E X < ∞. Khi đó
1
n
1} độc lập đôi
n
Xi → EX h.c.c. khi n → ∞.
i=1
1.2.2.4 Luật mạnh số lớn đối với mảng
Chúng tôi giới thiệu luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc
lập theo hàng nhận giá trị trên không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
Định lý Giả sử X là không gian Rademacher dạng p, {fni : n ≥
1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng nhận
giá trị trên X, {an } là một dãy các số thực dương sao cho an+1 > an và
limn→∞ an = +∞. Khi đó,
1
an
n
fni (ω) → 0 h.c.c khi n → ∞
i=1
12
nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn
+ Efni = 0
∞
n
+
n=1 i=1
∞
n
+
(
n=1 i=1
E(Ψ( fni ))
<∞
Ψ(an )
E
(fni ) p pk
) <∞
an
với mọi số nguyên không âm k và hàm Ψ(t) là một hàm liên tục, chẵn, dương
Ψ(|t|)
thỏa mãn Ψ(t)
|t|r ↑ và |t|r+p−1 ↓ khi |t| ↑.
13
Chương 2
LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC
THEO HÀNG
2.1
Biến ngẫu nhiên đa trị
Ký hiệu c(X) là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian
Banach X. Trên c(X) ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán
được định nghĩa như sau:
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
λA = {λa : a ∈ A},
trong đó A, B ∈ c(X), λ ∈ R.
σ -đại số Effros E trên c(X) là σ -đại số sinh bởi các tập con
U − := {C ∈ c(X) : C ∩ U = ∅}
với U là một tập con mở trên X.
ánh xạ X : Ω → c(X) được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu X là
(F, E)-đo được, nghĩa là với mọi B ∈ E , chúng ta có X −1 (B) ∈ F . Từ đó,
một hàm đa trị X : Ω → c(X) là đo được khi và chỉ khi với mọi tập con mở
U của X thì
X −1 (U − ) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∩ U = ∅} ∈ F.
Phần tử ngẫu nhiên f : Ω → X được gọi là một lát cắt F -đo được (hay
nói gọn là lát cắt đo được) của X nếu f (ω) ∈ X(ω) với mọi ω ∈ Ω.
14
Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị {X1 , X2 , . . . , Xn } được gọi là
độc lập nếu
P{X1 ∈ X1 , . . . , Xn ∈ Xn } = P{X1 ∈ X1 }.P{X2 ∈ X2 } . . . P{Xn ∈ Xn },
với mọi X1 , X2 , . . . , Xn ∈ E .
Ta cũng suy ra được họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị {X1 , . . . , Xn }
là độc lập khi và chỉ khi:
n
P{X1 ∩ K1 = ∅, X2 ∩ K2 = ∅, . . . , Xn ∩ Kn = ∅} =
P{Xi ∩ Ki = ∅},
i=1
với K1 , K2 , . . . , Kn ∈ c(X).
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo được X , ta đặt
p
SX
(F) = {f ∈ Lp (Ω, X) : f (ω) ∈ X(ω) với mọi ω ∈ Ω}.
p
Khi đó SX
(F) là một tập con đóng của Lp (Ω, X).
Một biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X) được gọi là khả tích nếu tập
1
SX
(F) khác rỗng và nó được gọi là bị chặn khả tích nếu |X| ∈ L1 (Ω, R),
trong đó |X| : Ω → R là biến ngẫu nhiên được xác định như sau:
|X|(ω) = sup{ x : x ∈ X(ω)} với mọi ω ∈ Ω.
Kỳ vọng E[X] của biến ngẫu nhiên đa trị khả tích X được định nghĩa
như sau
1
E[X] := {Ef : f ∈ SX
(F)}
với Ef là tích phân Bochner thông thường.
Cho một σ -đại số con A của σ -đại số F và một biến ngẫu nhiên đa trị
A-đo được X : Ω → c(X) (nghĩa là X −1 (U − ) ∈ A với mọi tập con mở U
1
của X). Với SX
(F) và E[X] xác định trên (Ω, F, P), ta định nghĩa:
1
SX
(A) = {f ∈ L1 (Ω, A, P, X) : f (ω) ∈ X(ω) h.c.c.},
(A)
1
XdP = {Ef : f ∈ SX
(A)}.
E[X, A] =
Ω
15
2.2
Hội tụ Mosco
2.2.1 Định nghĩa.
Cho C ⊂ X, chúng ta kí hiệu: clC là bao đóng (theo chuẩn), w-clC là bao
đóng (theo tôpô yếu), coC là bao lồi, coC là bao lồi đóng của C.
Hàm khoảng cách d(., C), hàm tựa s(C, .) của C tương ứng được định
nghĩa như sau
d(x, C) = inf{ x − y : y ∈ C}, (x ∈ X),
s(C, x∗ ) = sup{ y, x∗ : y ∈ C}, (x∗ ∈ X∗ ).
Chúng ta còn định nghĩa
|C| = sup{||x|| : x ∈ C}.
Cho t là một tôpô trên X và (Cn )n≥1 là một dãy nhận giá trị trên c(X).
Chúng ta đặt:
t-liCn = {x ∈ X : x = t- lim xn , xn ∈ Cn , ∀n ≥ 1},
t-lsCn = {x ∈ X : x = t- lim xk , xk ∈ Cn(k) , ∀k ≥ 1}
với (Cn(k) )k≥1 là một dãy con của (Cn )n≥1 . Các tập con t-liCn và t-lsCn
tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của (Cn )n≥1 , liên quan đến
tôpô t.
Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng t-liCn ⊂ t-lsCn .
Một dãy (Cn )n≥1 được gọi là hội tụ tới C∞ , theo dạng Kuratowski, liên
quan tới tôpô t, nếu hai đẳng thức sau đây được thỏa mãn
t-lsCn = t-liCn = C∞ .
(2.1)
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết C∞ = t-limn Cn .
Chúng ta ký hiệu s (tương ứng w) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn)
(tương ứng, tôpô yếu) của X. Một tập con C∞ được gọi là giới hạn dạng
Mosco của dãy (Cn )n≥1 và được ký hiệu bởi M - limn Cn nếu
w-lsCn = s-liCn = C∞ .
(2.2)
16
2.2.2 Tính chất.
1. Một dãy (Cn )n≥1 hội tụ tới C∞ , theo dạng Kuratowski, liên quan tới
tôpô t khi và chỉ khi
t-lsCn ⊂ C∞ ⊂ t-liCn .
(2.3)
Chứng minh. Thật vậy, ta sẽ chứng minh (2.1) tương đương với (2.3). Rõ
ràng từ (2.1) suy ra (2.3). Từ (2.3) ta có t-lsCn ⊂ C∞ và t-lsCn ⊂ t-liCn ,
kết hợp với t-liCn ⊂ t-lsCn ta được t-lsCn = t-liCn và do đó, t-liCn ⊂ C∞ .
Kết hợp với C∞ ⊂ t-liCn thì C∞ = t-liCn . Vậy t-lsCn = t-liCn = C∞ .
2. C∞ là giới hạn dạng Mosco của dãy (Cn )n≥1 khi và chỉ khi
w-lsCn ⊂ C∞ ⊂ s-liCn .
(2.4)
Chứng minh. Thật vậy, ta sẽ chứng minh (2.2) tương đương với (2.4). Rõ
ràng từ (2.2) suy ra (2.4). Từ (2.4) ta có w-lsCn ⊂ s-liCn , ta sẽ chứng minh
s
s-liCn ⊂ w-lsCn . Lấy x bất kỳ thuộc s-liCn suy ra xn → x khi n → ∞
w
với xn ∈ Cn . Từ đó, xn → x khi n → ∞ với xn ∈ Cn (hội tụ theo chuẩn
thì suy ra hội tụ yếu). Theo cách đặt của w-lsCn ta suy ra x ∈ w-lsCn hay
s-liCn ⊂ w-lsCn . Vậy w-lsCn = s-liCn . Kết hợp với (2.4) ta suy ra được
(2.2).
3. Nếu s-liCn = ∅ thì s-liCn là tập đóng.
Chứng minh. Giả sử {xk , k ≥ 1} là một dãy trong s-liCn và xk → x khi
k → ∞. Khi đó, với mỗi k = 1, 2, . . . , do xk ∈ s-liCn nên tồn tại dãy
(k)
(k)
(k)
{xn , n ≥ 1} với xn ∈ Cn sao cho xn → xk khi n → ∞.
Để chứng minh s-liCn là tập đóng ta cần chứng minh x ∈ s-liCn . Nghĩa là,
ta cần chứng minh tồn tại một dãy {yn , n ≥ 1} với yn ∈ Cn sao cho yn → x
khi n → ∞. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ chỉ ra tồn tại một dãy {yn , n ≥ 1} với
(k)
yn ∈ {xn : k ≥ 1} sao cho yn → x khi n → ∞. Thật vậy, giả sử điều này
(k)
không đúng, nghĩa là, với mọi dãy {yn , n ≥ 1} với yn ∈ {xn : k ≥ 1} đều
có yn
x. Khi đó, tồn tại ε > 0 và tồn tại dãy chỉ số {ni , i ≥ 1} sao cho
ni < ni+1 với mọi i và
y ni − x ≥ ε
∀yni ∈ {x(k)
ni : k ≥ 1}.
(2.5)
17
Từ giả thiết xk → x khi k → ∞ suy ra tồn tại k0 ∈ N sao cho với mọi
k ≥ k0 thì
ε
xk − x < .
2
ε
Nói riêng, khi k = k0 , ta có xk0 − x < 2 .
(k )
Tiếp tục, do xn 0 → xk0 khi n → ∞, nên tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi
n ≥ n0 , ta có
ε
0)
x(k
− xk0 < .
n
2
Rõ ràng, tồn tại ni0 ≥ n0 . Khi đó,
ε
0)
x(k
ni0 − xk0 < .
2
Từ đó, ta có
ε ε
(k0 )
0)
x(k
+ = ε.
(2.6)
ni0 − x ≤ xni0 − xk0 + xk0 − x <
2 2
Điều này mâu thuẫn với (2.5). Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
4. Nếu tồn tại M -limn Cn thì s-limn Cn , w-limn Cn tồn tại và
M -limn Cn = s-limn Cn = w-limn Cn
Chứng minh. Nếu tồn tại M - limn Cn thì theo định nghĩa hội tụ Mosco, ta
có s-liCn = w-lsCn = M - limn Cn .
Từ đó, do s-liCn ⊂ s-lsCn ⊂ w-lsCn nên s-liCn = s-lsCn . Điều này có
nghĩa là, tồn tại s-limn Cn và s-limn Cn = M -limn Cn .
Tương tự, vì s-liCn ⊂ w-liCn ⊂ w-lsCn nên w-liCn = w-lsCn . Điều này
có nghĩa là, tồn tại w-limn Cn và w-limn Cn = M -limn Cn .
Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như
trên bằng cách thay thế Cn bởi Xn (ω) và C∞ bởi X∞ (ω), các phát biểu là
đúng h.c.c.
2.3
Tính hoán đổi được
2.3.1 Định nghĩa. Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị {X1 , X2 , . . . , Xn }
được gọi là hoán đổi được nếu
P{X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn } = P{Xπ(1) ∈ B1 , . . . , Xπ(n) ∈ Bn },
với mọi B1 , . . . , Bn ∈ E và với mọi phép hoán vị π của tập {1, 2, . . . , n}.
18
2.3.2 Tính chất.
1. Nếu một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thì dãy đó
hoán đổi được.
Chứng minh. Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là một dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập cùng phân phối, ta sẽ chứng minh dãy này hoán đổi được. Thật vậy,
với mọi B1 , . . . , Bn ∈ E và với mọi phép hoán vị π của tập {1, 2, . . . , n} ta
có
P{Xπ(1) ∈ B1 , . . . , Xπ(n) ∈ Bn } = P{Xπ(1) ∈ B1 }...P{Xπ(n) ∈ Bn }
(vì {X1 , X2 , . . . , Xn } độc lập)
= P{X1 ∈ B1 }...P{Xn ∈ Bn }
(vì{X1 , X2 , . . . , Xn } cùng phân phối)
= P{X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn }.
✷
2. Nếu một dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được thì chúng cùng phân
phối.
Chứng minh. Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là một dãy các biến ngẫu nhiên hoán
đổi được, ta sẽ chứng minh chúng cùng phân phối. Với mọi B1 , . . . , Bn ∈ E
từ giả thiết hoán đổi được chúng ta có
P{X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , X3 ∈ B3 , . . . , Xn ∈ Bn }
= P{X2 ∈ B1 , X1 ∈ B2 , X3 ∈ B3 ..., Xn ∈ Bn }
Vì đúng với mọi Bi ∈ E nên ta có thể chọn B1 = B ∈ E, B2 = B3 = ... =
Bn = c(X) ta có
P{X1 ∈ B, X2 ∈ c(X), X3 ∈ c(X), . . . , Xn ∈ c(X)}
= P{X2 ∈ B, X1 ∈ c(X), X3 ∈ c(X)..., Xn ∈ c(X)}
⇔ P{X1 ∈ B} = P{X2 ∈ B}.
Điều này chứng tỏ X1 và X2 cùng phân phối, hoàn toàn tương tự ta cũng
chứng minh được X1 và Xi cùng phân phối (i = 3, 4, . . . n).
Y. S. Chow và H. Teicher [4] chỉ ra một điều kiện cần và đủ để dãy các
biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hoán đổi được, đó là dãy {Xn , n ≥ 1} độc lập
19
có điều kiện và cùng phân phối trên σ -đại số C gồm các biến cố hoán vị được
hoặc trên σ -đại số đuôi T và
P[X1 ≤ α|C] = P[X1 ≤ α|T ]
h.c.c.
với mọi α ∈ R.
3. (Định lý Y.S.Chow và H.Teicher[4]) Nếu {Xk : k ≥ 1} là dãy biến ngẫu
nhiên hoán đổi được thì tồn tại một σ−trường G sao cho:
m
P[X1 ≤ α1 , ..., Xm ≤ αm ] =
P[Xj ≤ αj |G] dP
j=1
với mọi α1 , α2 , ..., αm ∈ R.
Kí hiệu F là họ các độ đo xác suất trên σ -đại số Borel B(X) và F cũng
được kí hiệu cho σ -đại số sinh bởi tôpô yếu trên tập các độ đo xác suất.
4. (Định lý R.L.Taylor, P.Z.Dafer và R.F.Patterson[8]) Giả sử {Xn : n ≥
1} là một dãy các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được. Khi đó tồn tại một
độ đo xác suất µ trên σ−trường Borel các tập con của tập F sao cho:
P[g(X1 , ..., Xm ) ∈ B] =
PF [g(X1 , ..., Xm ) ∈ B]µ(dF )
F
với mọi B ∈ B(R) và hàm Borel g : Rm → R. Hơn nữa, PF [g(X1 , . . . , Xm ) ∈
B] được tính dưới giả thiết rằng dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} là cùng
phân phối với phân phối chung F .
5. Nếu một dãy các biến ngẫu nhiên là hoán đổi được và độc lập đôi một
thì dãy đó độc lập, cùng phân phối.
Chứng minh. Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là một dãy các biến ngẫu nhiên
hoán đổi được, độc lập đôi một. Theo Tính chất 2 thì chúng cùng phân phối,
ta cần chứng minh dãy {X1 , X2 , . . . , Xn } độc lập. Thật vậy, áp dụng tính
chất 4, với mọi B1 , B2 ∈ E , tồn tại một độ đo xác suất µ trên σ - đại số Borel
các tập con của tập F sao cho:
PF [X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ]µ(dF ) = P[X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ]
F
= P[X1 ∈ B1 ]P[X2 ∈ B2 ]
(do giả thiết độc lập đôi một)
PF [X1 ∈ B1 ]µ(dF )
=
F
PF [X2 ∈ B2 ]µ(dF ).
F
(2.7)
20
Lấy B1 = B2 = B ta được
PF [X1 ∈ B, X2 ∈ B]µ(dF ) =
F
PF [X1 ∈ B]µ(dF )
PF [X2 ∈ B]µ(dF )
F
F
2
P2F [X1
⇔
∈ B]µ(dF ) =
F
PF [X1 ∈ B]µ(dF )
.
(2.8)
F
Đẳng thức (2.8) chứng tỏ rằng với mỗi i ≥ 1, hàm đo được PF [Xi ∈ B]
là một hàm hằng h.c.c (ẩn F ), phụ thuộc vào B , liên quan tới độ đo µ xác
định ở Tính chất 4. Do đó, chúng ta có
PF [Xi ∈ Bi ] = P[Xi ∈ Bi ]
µ-h.c.c.
(2.9)
Từ (2.9) chúng ta suy ra rằng, với mọi B1 , . . . , Bn ∈ E ,
P{X1 ∈ B1 ,..., Xn ∈ Bn } =
PF {X1 ∈ B1 , ..., Xn ∈ Bn }µ(dF )
F
PF (X1 ∈ B1 )PF (X2 ∈ B2 )...PF (Xn ∈ Bn )µ(dF )
=
F
= PF (X1 ∈ B1 )PF (X2 ∈ B2 )...PF (Xn ∈ Bn )
✷
= P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 )...P(Xn ∈ Bn ).
Một dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thì chúng hoán đổi
được, tuy nhiên nếu một dãy biến ngẫu nhiên là hoán đổi được thì có thể
chúng không độc lập. Để thấy rõ điều này chúng ta xét một số ví dụ sau đây:
Ví dụ 1. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau
1
P(X = 1) = P(X = −1) = .
2
Khi đó
(i) X và X hoán đổi được nhưng không độc lập.
(ii) X và −X hoán đổi được nhưng không độc lập.
Thật vậy, với mọi a, b ∈ R thì rõ ràng P(X < a, X < b) = P(X <
b, X < a), do đó X và X hoán đổi được. Ta sẽ chứng minh X và X không
độc lập. Lấy a = b = 0 ta có P(X < 0, X < 0) = P(X = −1) =
1
2
và
1 1 1
P(X < 0)P(X < 0) = P(X = −1)P(X = −1) = . = .
2 2 4
Nghĩa là tồn tại a, b sao cho P(X < a, X < b) = P(X < a)P(X < b) hay
X và X không độc lập.
21
(ii) Với mọi a, b ∈ R, với lưu ý rằng khi X = 1 thì −X = −1 và X = −1
thì −X = 1 nên ta có
P(X < a, −X < b) = P(−1 < a, 1 < b) + P(1 < a, −1 < b)
và
P(X < b, −X < a) = P(−1 < b, 1 < a) + P(1 < b, −1 < a).
So sánh hai đẳng thức này, ta có
P(X < a, −X < b) = P(X < b, −X < a).
Do đó, X và −X hoán đổi được.
Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng X và −X không độc lập. Lấy a = b = 0,
khi đó P(X < 0, −X < 0) = 0 và
1 1 1
P(X < 0)P(−X < 0) = P(X = −1)P(X = 1) = . = .
2 2 4
Nghĩa là tồn tại a, b sao cho P(X < a, −X < b) = P(X < a)P(−X < b).
Do đó, X và −X không độc lập.
Ví dụ 2. Ta xét {X1 , X2 , . . . , Xn } là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,
cùng phân phối. Đặt Yk = Xk − X với X = n1 ni=1 Xi . Dãy {Y1 , Y2 , . . . , Yn }
hoán đổi được, nhưng không độc lập (xem [R. F. Patterson and R. L. Taylor
(1985), Strong laws of large numbers for triangular arrays of exchangeable
random variables, Stochastic Analysis and Applications, 3, 2, 171-187]).
Như vậy, có thể xem khái niệm các biến ngẫu nhiên hoán đổi được là một
mở rộng của khái niệm các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối.
Năm 2006, H. Inoue và R.L.Taylor [5] đã thiết lập được luật số lớn dạng
hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được.
2.4
Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu
nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng
Cho biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → c(X), ta kí hiệu FX là σ -đại số
sinh bởi X , nghĩa là σ -đại số bé nhất mà X đo được. Khi đó, chúng ta có
1
1
(FX ) = cl{E(x|FX ) : x ∈ SX
(F)}.
SX
22
1
(F),
Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên đa trị và f, g tương ứng thuộc SX
SY1 (F). Khi đó, nếu X, Y độc lập thì f, g nói chung không độc lập. Tuy
1
(FX ), g ∈ SY1 (FY ) thì X, Y độc lập sẽ kéo theo f, g độc
nhiên, nếu f ∈ SX
lập. Cũng như vậy, nếu X, Y hoán đổi được thì nói chung f, g không hoán
đổi được. Tuy nhiên, H. Inoue và R.L.Taylor [5] chứng minh được kết quả
sau
2.4.1 Bổ đề. (xem [5], Lemma 4.2) (1) Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị X
1
(F) = ∅, ta luôn có
và SX
coE(X) = coE(X, FX ).
(2) Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được. Với mỗi
1
(FX ), tồn tại một lát cắt g ∈ SY1 (FY ) sao cho f và g là hoán đổi
f ∈ SX
được.
1
(3) Với hai biến ngẫu nhiên đa trị X, Y hoán đổi được và SX
(F) = ∅, ta
có
E(X, FX ) = E(Y, FY ).
Chứng minh. Chúng ta chú ý rằng với x ∈ L1 (Ω, X), kỳ vọng có điều kiện
của x đối với A ∈ F được xác định bởi hàm E(x|A) ∈ L1 (Ω, A, X) sao cho
xdµ, ∀B ∈ A.
E(x|A)dµ =
B
B
1
Nếu SX
(F) = ∅ thì sẽ tồn tại một hàm A-đo được E(X|A) sao cho
1
1
SE(X|A)
(A) = cl{E(x|A) : x ∈ SX
(A)} ∈ L1 (Ω, X)
(1) Từ coX là FX -đo được, chúng ta có
1
1
ScoX
(FX ) = {E(x|FX ) : x ∈ ScoX
(F)}
1
1
1
1
Hơn nữa, ScoX
(F) = coSX
(F) và ScoX
(FX ) = coSX
(FX ). Do đó
coE(X) = clE(coX)
1
= cl{E(E(x|FX )) : x ∈ ScoX
(F)}
1
= cl{E(x) : x ∈ ScoX
(FX )}
= coE[X, FX ].
23
(2) Từ X là khả ly và f là F -đo được tồn tại một hàm (E, B(X))-đo
được ϕ : c(X) → X thỏa mãn f (ω) = ϕ(X(ω)), ∀ω ∈ Ω. Đặt g(ω) =
ϕ(Y (ω)), ω ∈ Ω. Nếu X, Y hoán đổi được thì f, g cũng hoán đổi được. Thật
vậy, chúng ta sẽ chúng minh điều này trong trường hợp tổng quát như sau,
giả sử họ các biến ngẫu nhiên đa trị {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là hoán đổi được và
ϕ : c(X) → X là (E, B(X))-đo được (hay (E, B(R))-đo được), trong đó B(X)
và B(R) tương ứng là σ -đại số Borel trên X và R. Khi đó, họ các biến ngẫu
nhiên đơn trị {ϕ(Xi ), 1 ≤ i ≤ n} cũng hoán đổi được. Với mọi phân hoạch
π của {1, 2, . . . , n} và với mọi các tập Borel {B1 , B2 , . . . , Bn }, chúng ta có
n
n
[ϕ(Xπ(i) ) ∈ Bi ] = P
P
i=1
[Xπ(i) ∈ ϕ−1 (Bi )]
i=1
n
[Xi ∈ ϕ−1 (Bi )]
=P
i=1
(từ tính hoán đổi được của hệ {Xi , 1 ≤ i ≤ n})
n
=P
[ϕ(Xi ) ∈ Bi ] .
i=1
Chúng ta có
g(ω) dµ =
Ω
ϕ(Y ) dµ =
c(X)
f (ω) dµ < ∞.
ϕ(X) dµ =
c(X)
Ω
Vì hàm khoảng cách d(f, X) là {B(X), E}-đo được và f, g hoán đổi đuộc nên
d(f (.), X(.)) và d(g(.), Y (.)) cũng hoán đổi được. Do đó, d(f (ω), X(ω)) = 0
suy ra d(g(ω), Y (ω)), nghĩa là Y ∈ SY1 (FY ).
(3) Ta sẽ chứng minh E(X, FX ) ⊂ E(Y, FY ). Thật vậy, lấy x bất kỳ
1
trong E(X, FX ). Khi đó, tồn tại f ∈ SX
(FX ) để Ef = x, suy ra tồn
tại g ∈ SY1 (FY ) sao cho f, g hoán đổi được (theo (2)). Từ đó chúng ta có
x = Ef = Eg nghĩa là x ∈ E(Y, FY ). Chứng minh E(Y, FY ) ⊂ E(X, FX )
hoàn toàn tương tự.
Chú ý rằng Bổ đề 2.4.1(2) cũng đúng cho họ hữu hạn hay vô hạn các biến
ngẫu nhiên.
R.L.Taylor, A.N.Vidyashankar và Y.Chen (năm 2000) chứng minh được
luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được.
24
2.4.2 Định lý. Cho {Xk , k ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi
được trên không gian Banach X sao cho E X1 < ∞ và {f (Xn )} là các biến
ngẫu nhiên không tương quan, với mỗi f ∈ X∗ , thì
1
n
n
Xk − EX1 → 0 h.c.c.
k=1
Tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn theo dạng
hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập
đóng trên không gian Banach khả ly.
2.4.3 Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi
được, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả ly X. Nếu E|X1 | < ∞
và Cov{f (g(coX1 )), f (g(coX2 ))} = 0 với mọi f ∈ X∗ thì
1
n
n
Xk → coEX1 theo dạng hội tụ Mosco,
k=1
trong đó g : c(X) → X là một hàm đo được.
Chứng minh. Lập luận như trong chứng minh Bổ đề 2.4.1(2), với mỗi dãy
các biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi được {Xn }, tồn tại một hàm (E, B(X))đo được ϕ : c(X) → X (trong đó B(X) là σ -đại số Borel trên X) và dãy
các phần tử ngẫu nhiên tương ứng {xn } sao cho xn (ω) = ϕ(Xn (ω)) với mọi
ω ∈ Ω. Lưu ý rằng tính hoán đổi được của dãy {Xn } sẽ kéo theo tính hoán
đổi được của dãy {f (Xn )}, với f : c(X) → X là một hàm đo được.
Đặt Z = coE(X1 ) và Vn (ω) = n1 cl
n
Xk (ω). Từ giả thiết dãy {Xn , n ≥ 1}
k=1
hoán đổi được và áp dụng Bổ đề 2.4.1(2), ta suy ra dãy {xn } hoán đổi được
(do đó, nó cùng phân phối).
Cho trước ε > 0. Khi đó, với mọi z ∈ Z , bằng cách áp dụng Bổ đề 2.4.1(1),
1
(2) và (3), chúng ta có thể chọn {x1 , x2 , ..., xm } sao cho xi ∈ SX
(FXi ), với
i
1 ≤ i ≤ m và
1
m
m
E(xi ) − z < ε.
i=1
Từ Bổ đề 2.4.1(2), tồn tại một dãy các lát cắt {xn : n ≥ 1}, với
1
xn ∈ SX
(FXn ) sao cho dãy {x(k−1)m+i , k ≥ 1} hoán đổi được với mỗi
n
i = 1, 2, ..., m. Tiếp tục, đặt zi = E(xi ), 1 ≤ i ≤ m.
25
Với mỗi n = (k − 1)m + l, 1 ≤ l ≤ m, chúng ta có
1
n
n
xt (ω) −
t=1
1
m
m
zi
i=1
1
n
=
≤
+
m
k
x(t−1)m+i (ω) −
i=1 t=1
m
k
1
k
x(t−1)m+i (ω)
n
k
t=1
i=1
m
k
1
zi .
−
n
m
i=1
1
n
m
x(k−1)m+i (ω) −
i=l+1
− zi +
1
n
1
m
m
zi
i=1
m
x(k−1)m+i (ω)
i=1
Với mọi 1 ≤ i ≤ m, do {x(k−1)m+i , k ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên thỏa
mãn đầy đủ giả thiết của Định lý 2.4.2 nên áp dụng định lý này ta suy ra
1
k
k
x(t−1)m+i (ω) − zi → 0 h.c.c khi k → ∞
t=1
và do k −1 x(k−1)m+i (ω) → 0 h.c.c khi k → ∞. Vì vậy,
1
n
n
xt (ω) −
t=1
1
m
m
zi → 0 h.c.c khi n → ∞.
i=1
Từ Vn (ω) là tập đóng trên c(X) ta suy ra
vậy, chúng ta có
1
m
m
1
n
n
k=1 xk (ω)
∈ Vn (ω) h.c.c. Vì
zi ∈ s − liVn (ω) h.c.c (do s − liVn (ω) là tập đóng, với
i=1
mỗi ω ∈ Ω). Từ đó, Z ⊂ s − liVn (ω) h.c.c.
Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ w − lsVn (ω) ⊂ Z h.c.c. Giả sử {zi } là một
dãy trù mật trên X\Z. Do X là khả ly nên chúng ta có thể chọn một dãy
{zi∗ } trên X∗ sao cho:
zi , zi∗ ≤ s(Z, zi∗ ) với mọi i.
Khi đó, z ∈ Z nếu và chỉ nếu z, zi∗ ≤ s(Z, zi∗ ), với mọi i ≥ 1. Do dãy {Xn }
hoán đổi được nên với mỗi i ≥ 1, {s(Xn (.), zi∗ )} là một dãy các biến ngẫu
nhiên hoán đổi được, thuộc L1 . Vì vậy, tồn tại N ∈ F với P(N ) = 0 sao cho
với mọi ω ∈ Ω\N và i ≥ 1 ta có
lim
n→∞
s(Vn (ω), zi∗ )
1
= lim
n→∞ n
n
s(Xk (ω), zi∗ ) = s(Z, zi∗ ).
k=1
w
Nếu z ∈ w − lsVn (ω) với ω ∈ Ω\N thì zk → z , với zk ∈ Vnk (ω). Do đó, với
mọi i ≥ 1,
z, zi∗ = lim zk , zi∗ ≤ lim s(Vnk (ω), zi∗ ) = s(Z, zi∗ ).
k→∞
k→∞
Điều này kéo theo z ∈ Z. Vì vậy, w − lsVn (ω) ⊂ Z h.c.c.
