de+dap an thi khoi mon toan 11 lan 2

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I

ĐỀ THI KHỐI NĂM 2010- 2011 (Lần 2)

Tổ Toán

Môn Thi : Toán 11
Thời gian làm bài : 180 phút

Câu I( 1 điểm): Giải phương trình

(sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
=0
2sin x + 3

Câu II(2 điểm):
1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số
đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.
2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:

C

1
2 n +1

2

3

2 n +1

− 2.2C 2 n +1 + 3.22 C 2 n +1 − ... + (2n + 1).22 n C 2 n +1 = 2011

Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y = − x3 + 3x 2 − 2 (C)
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y = −9 x + 2011 .
2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp
tuyến với đồ thị ( C ).
Câu IV(2 điểm):
1/ Chứng minh phương trình :
−2 x 4 + mx 3 + nx 2 + px + 2011 = 0 có ít nhất 2 nghiệm với ∀ m,n,p∈ R
2/ Tính :

Lim
x →1

x 2 + 3 − 2011x + 2009
x −1

Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SO =

3a
. Gọi E là trung điểm
4

của AD, F là trung điểm của DE.
1/ Chứng minh (SOF) ⊥ (SAD).
2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).
3/ Gọi ( α ) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( α ) . Tính diện tích của thiết diện này.

.........................Hết…………….


Đáp án đề thi khối môn toán lớp 11 lần 2 (2010-2011)
Câu
I

Nội dung
Xét phương trình:
Điều kiện: sin x ≠ −

( Sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
= 0 (1)
2sin x + 3

Điểm
0,25

3
2

1
2
1
1
⇔ sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0
2
2
1
⇔ (cosx- )(sin2x+4)=0

2
π
⇔ x= ± + k 2π
3

Phương trình (1) ⇔ sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=0

π
3

Đối chiếu với điều kiện: x= + k 2π

0,5

0,25

π
3

Vậy phương trình có nghiệm: x= + k 2π
II
1

2

.Đặt A= {1;2;3;4;5;6}
.Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần
tử đó chia hết cho 3 là:
{1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5},
{4;5;6}.

⇒ Có 8 tập
Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được
3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy có 8.6=48 số cần tìm
Ta có (1 − x)2 n +1 = c20n +1 − c12 n +1.x + c22n +1.x 2 − c23n+1.x3 + .... − c22nn++11.x 2 n +1 (1)
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được

0,5

0,5

0,25
0,5

(2n + 1)(1 − x) 2 n (−1) = −c12 n +1 + 2c22n+1.x − 3.c23n+1.x 2 + .... − (2n + 1).c22nn++11.x 2 n
⇔ (2n + 1)(1 − x) 2 n = c12 n +1 − 2c22n +1.x + 3.c23n+1.x 2 − .... + (2n + 1).c22nn++11.x 2 n (2)

Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:
2n + 1 = c

2 n +1
2 n +1

0,25

− ...... + (2n + 1).c .2
Khi đó: 2n+1=2011 ⇔ n=1005.
1
2 n +1

2n

Vậy n=1005.
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng y=-9x+2011 có 0,25
phương trình dạng y= -9x+m (m ≠ 2011)
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình
0,25
3
2
−
 x + 3x − 2 = −9 x + m

2
 −3 x + 6 x = −9

có nghiệm


 x = −1

Giải (2): 
x = 3
Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn).
⇒ phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7.
Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)
⇒ phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25.
2

0,5

0,25
Goi M(x0,f(x0) ∈ (c ); f(x0)= − x03 + 3x0 2 − 2 .
Đường thẳng ∆ với hệ số góc k đi qua điểm M(x 0,f(x0) có
phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0)
0,25
∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình
3
2
− x + 3x − 2 = k ( x − x0 ) + f ( x0 )

có nghiệm
2
 −3 x + 6 x = 1

⇒ (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0

 x = x0
⇔
2
2
 g ( x) = −2 x + ( x0 + 3) x + x0 − 3x0 = 0

0,5

∆ = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0

Yêu cầu bài toán ⇔ g(x)=0 có nghiệm kép x=x0
∆ = 0


⇔  − x0 − 3
⇔ x0=1 ⇒ M(1;0)
=
x
0
 −4

Vậy M(1;0)
IV
1

−2 x 4 + mx3 + nx 2 + px + 2011 = 0 (1)
f ( x) = −2 x 4 + mx 3 + nx 2 + px + 2011
lim f ( x) = lim (−2 x 4 + mx 3 + nx 2 + px + 2011) = −∞

Xét phương trình:
Xét hàm số:
x →+∞

x →+∞

⇒ ∃ b>0 sao cho f(b)
0,5

lim f ( x) = lim (−2 x 4 + mx 3 + nx 2 + px + 2011) = −∞

x →−∞

x →−∞

⇒ ∃ a<0 sao cho f(a) f(0)=2011>0
Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b];
 f (a ). f (0) < 0

 f (0). f (b) < 0

⇒ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x 1∈ (a;0) và ít nhất 1
nghiệm x2∈ (0;b).
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
2

0,5


x 2 + 3 − 2 − 2011( x − 1)
x2 + 3 − 4
lim
= lim[
− 2011]
x →1
x →1 ( x − 1)( x + 3 + 2)
x −1
= lim(
x →1

V
1
2

x +1
4021
− 2011) = −
2
x+3 +2

Tam giác ABD đều nên BE ⊥ AD ; OF//BE ⇒ OF ⊥ AD (1)
SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ AD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ ( SOF) ⇒ ( SAD) ⊥ ( SOF)
Kẻ OH ⊥ SF tại H ⇒ OH ⊥ (SAD ) ⇒ d (O;( SAD)) = OH
1
1
1
1
1
64
=
+
= 2 + 2 = 2
2
2
2
9a
3a
OH
SO OF
9a
16
16

3a
⇒ OH =
8

O là trung điểm của AC nên d (C;( SAD)) = 2d (O;( SAD)) =
3

3a
4

12a 2
a 12
SF = SO + OF =
⇒ SF =
16
4
2
SH SO
3
SO 2 = SH .SF ⇒
=
=
2
SF SF
4
⇒ MN cắt SF tại trung điểm I ⇒ MN là đường trung bình của
2

2

tam giác SAD
⇒ MN =

AD a
=
2
2

a
3a
( + a)
2
( MN + BC )CK
4 = 9a
⇒ Std =
= 2
2
2
16

0,25
0,5

Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) ⇒ H là trung điểm
của AK
mp (α ) ≡ mp ( BCK ) ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo
giao tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song
với AD cắt SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình
thang BCMN
2

1,0

0.25