Tổng hợp các dạng toán thi lên lớp 10

Chủ đề I
rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
CN BC HAI
A.KIN THC C BN
1.Khỏi nim
x l cn bc hai ca s khụng õm a x2 = a. Kớ hiu: x = a .
2.iu kin xỏc nh ca biu thc A
Biu thc A xỏc nh A 0 .
3.Hng ng thc cn bc hai
A khi A 0
A2 = A =
A khi A < 0
4.Cỏc phộp bin i cn thc
+) A.B = A. B ( A 0; B 0 )
+)

A
A
=
B
B

+)

A 2B = A B

( B 0)

+)

A 1
=
A.B
B B

( A.B 0; B 0 )

+)

( A 0; B > 0 )

(

) ( B 0; A B )
n.( A m B )
=
( A 0; B 0; A B )

m. A m B
m
=
A2 B
A B

2

+)

n
A B

+)

A 2 B = m 2 m.n + n =

AB

m + n = A
vi
m.n = B
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1) 2 5 125 80 + 605 ;
2) 10 + 2 10 +
5+ 2

8
;
1 5

3) 15 216 + 33 12 6 ;
4) 2 8 12
18 48

5 + 27
;
30 + 162

(

m n

)

2

=

m n

BàI TậP
5)

2 3
2+ 3
;
+
2+ 3
2 3

6) 2 16 3 1 6 4 ;
3

27
75
7) 2 27 6 4 + 3 75 ;
3 5


8)

(

3 5. 3+ 5

)

10 + 2

9) 8 3 2 25 12 + 4

10) 2 3 ( 5 + 2 ) ;

18)
19)

13) ( 5 + 2 6 ) ( 49 20 6 ) 5 2 6 ;
2 + 2+ 3

+

)

64 2

+

2 64 2

2

5 + 2 8 5
2 5 4

;

17) 14 8 3 24 12 3 ;

4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 ;

14)

2 + 6+4 2

16) (

192 ;

11) 3 5 + 3 + 5 ;
12)

1

6+4 2

15)

1
2 2 3

;

x
1
Bài 2: Cho biểu thức A =

2 2 x

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Câu I(2,5đ): HN Cho biểu thức A =

20)

(

4
1
6
+
+
;
3 +1
32
3 3

) (

)

3

2 +1
3

1

2 1

3

3

+

3 +1 1+

3 +1

.

x x x + x
ữ
ữ x + 1 x 1 ữ
ữ



x
1
1

+
+
, với x 0 và x 4.
x4
x 2
x +2

1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
3/ Tìm giá trị của x để A = -1/3.
Câu I: (1,5đ) C Tho Cho biểu thức A =
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm giá trị của x để A > 0.
Câu III:
Thu gọn các biểu thức sau:
4
8
15

+
3 + 5 1+ 5
5
x+ y
x y

B =
1 + xy
1 xy

1

x + x 1



1
x x 1



x xx
1 x

A=

x + xy
:
ữ
ữ 1 xy ữ



Bài 1: (2,0đ) KH (Không dùng máy tính cầm tay)
a. Cho biết A = 5 + 15 và B = 5 - 15 hãy so sánh tổng A + B và tích A.B.
Bi 2:Cho biu thc:
x x
x 2
1
2
P =
+

vi x >0

x
x + 1 x x + x

1.Rỳt gn biu thc P
2.Tỡm giỏ tr ca x P = 0

;


Bi 1: (1,5 im)
Cho P =

x+2
x +1
x +1
+

x x 1 x + x +1 x 1

a. Rỳt gn P
b. Chng minh P <1/3 vi
v x#1
Bi 1 (2.0 im )
1. Tỡm x mi biu thc sau cú ngha
a)

1
x 1

b)

x

2. Trc cn thc mu
3
2

a)
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Tìm x biết :

1
3 1

b)

(2 x 1) 2 + 1 = 9

4
3+ 5
3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A =
2) Rút gọn biểu thức : M = 12 +

x2 + 6x 9

Câu I: (3,0đ). Nghệ An Cho biểu thức A = x x + 1 x 1
x 1

1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4.
3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1.
Bài 1. (2,0 điểm) QUNG NINH

x +1

Rút gọn các biểu thức sau :
a) 2 3 + 3 27 300


1
1
1
+
ữ:
x 1 x ( x 1)
x x
1
1

1. Tớnh HI PHềNG A =
2+ 5 2 5

b)

Bi 2: (2,0 im)


Cho biu thc : A =

1

x 3



1 x +3

ữ:
x x 2

x +2
ữ
x 3ữ


a) Vi nhng iu kin c xỏc nh ca x hóy rỳt gn A .
b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x A nh hn 1 .
Bi 1: (1,5 im)
1/.Khụng dựng mỏy tớnh, hóy tớnh giỏ tr biu thc sau :


 14 - 7
15 - 5 
1
A = 
+
:
÷

÷
2 -1
3 -1  7 - 5


2/.Hãy rút gọn biểu thức:
B=

x
2x - x
, điều kiện x > 0 và x ≠ 1
x -1 x - x

Bài 1 (2,5 điểm)
x

1

1

+
Cho biểu thức A = x - 4 +
, với x≥0; x ≠ 4
x- 2
x +2

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
3) Tìm giá trị của x để A =-

1
.
3

Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức sau: a)
b)

3
13
6
+
+
2+ 3 4− 3
3

x y −y x
xy

x−y
x− y

+

với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y

Câu 6:
Rút gọn biểu thức: A = 2 48 − 75 − (1 − 3)2
Bài 1. ( 3 điểm )
 a

1   1
2 
−
+
Cho biểu thức K = 
÷: 
÷
 a −1 a − a   a +1 a −1
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
25

a) Trục căn ở mẫu : A = 7 + 2 6

; B=

2
4+2 3

Bµi 1: (1,5 ®iÓm)
a) Rót gän biÓu thøc: A = 27 − 12
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = 9 x − 27 + x − 3 −

1
4 x − 12 với x > 3
2

a/ Rút gọn biểu thức A.

b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.


Bi 3 (1,5 im).


Rỳt gn biu thc: P =

1

a 1



1 a +1
a +2
vi a > 0, a 1, a 4 .
:

a a 2
a 1

Cõu 1 (2,0 im)

1. Rỳt gn (khụng dựng mỏy tớnh cm tay) cỏc biu thc:
a) 12 27 + 4 3 .

b) 1 5 + ( 2 5 )
1) Rút gọn biểu thức:

2

1
x 1
1
với x > 0 và x 1
A=

ữ:
x +1 x + 2 x +1
x+ x
Cõu 2:(2.0 im) Hải Dơng chính thức
2( x 2)
x
+
a) Rỳt gn biu thc: A =
vi x 0 v x 4.
x4
x +2


1

1



1

Bài 2(2,0 điểm): Cho biểu thức : M =
ữ1
ữ
a
1 a 1 + a
a, Rút gọn biểu thức M.

b, Tính giá trị của M khi a =

1
9

Bi 3: (2im)
Rỳt gn cỏc biu thc:
1/
2/

A=

4 + 15

+

4 15

4 15 4 + 15
a a a + 2 a
1 +

B = 1 +

1

a
2
+
a




Cõu 1: (2)
Rỳt gn biu thc
a/ A = 2 8 3 27

1
128 + 300
2

Cõu2: (2)
a2 + a
2a + a

+ 1 (vi a>0)
Cho biu thc P =
a a +1
a

a/Rỳt gn P.

b/Tỡm giỏ tr nh nht ca P.
Câu 3: (2 điểm)
Cho biểu thức: A =

2x
x + 1 3 11x


x + 3 3 x x2 9


a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
B Câu III: (1,0 điểm)
x+ x

Rút gọn: A =


x x

+ 1
1 Với x 0; x 1
x + 1 x 1

Bi 2: (2,0 im) K LK
1/ Rỳt gn biu thc A = ( 3 + 2) 2 + ( 3 2) 2
x +2

2/ Cho biu thc B =


x 1



x +1
x 3

+


1
: 1
ữ
ữ
ữ
( x 1)( x 3)
x 1
3 x 1

A. Rỳt gn biu thc B.
B. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc B nhn giỏ tr nguyờn .
Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức:
N= n 1 + n + 1 ; với n 0, n 1.
n +1

n 1

a. Rút gọn biểu thức N.
b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để biểu thức N nhận giá trị nguyên.
Bi 3: (1,0 di m)
Rỳt g n bi u th c P =

y x+ x+x y+ y
xy + 1

(x > 0; y > 0) .

x
2
1
10 x
+
+
:
x

2
+
ữ

ữ
x 4 2 x
x + 2 ữ
x +2


ài 3: Cho biểu thức B =

a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

1
3
1

+
x 1 x x +1 x x +1

Bài 4: Cho biểu thức C =

a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
a) D =

x + 2 + x2 4

+

x + 2 x2 4

x + 2 x2 4 x + 2 + x2 4
x + x x x
b) P = 1 +
;
ữ

ữ1 x 1 ữ
ữ
x
+
1




;

c) Q =
d) H =

1
x +1
;
:
x x x x +x+ x
2

x 1 2 x 2
x 2 1

1
1
a +1
+
ữ:
a 1 a 2 a +1

a a


Bài 6: Cho biểu thức M =
a) Rút gọn biểu thức M;


b) So sánh M với 1.

2x 3 x 2
Bài 7: Cho các biểu thức P =
và Q =
x 2
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.

x 3 x + 2x 2
x +2

2x + 2 x x 1 x x + 1
+

x
x x
x+ x

Bài 8: Cho biểu thức P =
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
giá trị nguyên.

8
chỉ nhận đúng một
P

3x + 9x 3
1
1 1
+
+
ữ
x + x 2
ữ: x 1
x

1
x
+
2



Bài 9: Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
1
là số tự nhiên;
P

c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .

b) Tìm các số tự nhiên x để


x +2
x +3
x +2
x


:
2

ữ
ữ
x5 x +6 2 x
x 3ữ
x +1ữ




Bài 10: Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để

1
5
.

P
2

Chủ đề II
HM S V TH
I..Tớnh cht ca hm s bc nht y = ax + b (a 0)
-ng bin khi a > 0; nghch bin khi a < 0.
- th l ng thng nờn khi v ch cn xỏc nh hai im thuc th.
+Trong trng hp b = 0, th hm s luụn i qua gc ta .
+Trong trng hp b 0, th hm s luụn ct trc tung ti im b.
- th hm s luụn to vi trc honh mt gúc , m tg = a .
- th hm s i qua im A(xA; yA) khi v ch khi yA = axA + b.
II.im thuc ng ng i qua im.
im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
2
Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax bit th hm s ca nú i qua im
A(2;4).


Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22
a=1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;
(d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.

-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.
-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.
+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.
+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.
IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm
(x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.
+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
VII.Vị trí của đường thẳng và parabol
-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:
+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
m
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = ±
a
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm.

VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:


cx2= ax + b (V)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = cx 2
tỡm tung giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (V) l s giao im ca (d) v (P).
IV.Tỡm iu kin (d) v (P).
a) (d) v (P) ct nhau
phng trỡnh (V) cú hai nghim phõn bit.
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau

phng trỡnh (V) cú nghim kộp.

c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (V) vụ nghim .
X.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b bit.
1.Quan h v h s gúc v i qua im A(x0;y0)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x0;y0 vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2).
Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nờn ta cú h phng trỡnh:
Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xỳc vi (P): y = cx2 (c 0).
+) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nờn cú phng trỡnh :
y0 = ax0 + b
(3.1)
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = cx 2 (c 0) nờn:
Pt: cx2 = ax + b cú nghim kộp

(3.2)
+) Gii h gm hai phng trỡnh trờn tỡm a,b.
XI.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x 0;y0
vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x 0;y0 nghim ỳng vi
mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x0;y0.
XII.Mt s ng dng ca th hm s.
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số.
Câu IV: (1,5đ) C tho Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P).


1. T×m a, biÕt r»ng (P) c¾t ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = -x hoµnh ®é b»ng 3. VÏ ®å thÞ (P) øng víi a võa t×m ®ỵc.
2. T×m to¹ ®é giao ®iĨm thø hai B (B kh¸c A) cđa (P) vµ (d).
Bµi 2: (2,25®) hue

3
t¹i ®iĨm A cã
2

a) Cho hµm sè y = ax + b. T×m a, b biÕt r»ng ®å thÞ cđa hµm sè ®· cho song song víi
1 2
x cã hoµng ®é b»ng -2.
2
b) Kh«ng cÇn gi¶i, chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh ( 3 + 1 )x2 - 2x - 3 = 0 cã hai nghiƯm

®êng th¼ng y = -3x + 5 vµ ®i qua ®iĨm A thc Parabol (P): y =
ph©n biƯt vµ tÝnh tỉng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiƯm ®ã.

C©u II: HCM

2
a) VÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè y = x vµ ®ng th¼ng (d): y = x + 4 trªn cïng mét hƯ

2

trơc to¹ ®é.
b) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) b»ng phÐp tÝnh.
Bài 2: (2,50 điểm) KH
Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a. Vẽ đồ thò (P) trên mặt phẳng Oxy.
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
c. Gọi A(xA; yA), B(xB; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá trò
của m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
Bàì 1:
1. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ
số a
Bài 2: (2,0 điểm)
1.
Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thò hàm số đẫ cho đi qua hai điểm
A(-2; 5) và B(1; -4).
2.
Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
a. tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghòch biến.
b. Tìm giá trò m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
2

bằng − 3
Bài 2 (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB


Bài 3. (1,5 điểm)
Cho hàm số : y = (2m 1)x + m + 1 với m là tham số và m #

1
. Hãy xác định m trong mỗi trờng
2

hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt tại A , B sao cho tam giác OAB cân.
3
2

Tỡm m ng thng y = 3x 6 v ng thng y = x + m ct nhau ti mt im trờn
trc honh
Bi 3: (3,0 im)
a) Cho hm s y = -x2 v hm s y = x 2. V th hai hm s trờn cựng h trc ta
. Tỡm ta giao im ca hai ụ th trờn bng phng phỏp i s .
b) Cho parabol (P) : y =

x2
4

v ng thng (D) : y = mx -

3
m 1. Tỡm m (D) tip
2

xỳc vi (P) . Chng minh rng hai ng thng (D 1) v (D2) tip xỳc vi (P) v hai
ng thng y vuụng gúc vi nhau .
Bi 2: (1,5 im)
1/. Cho hai ng thng d1 : y = (m+1) x + 5 ; d 2 : y = 2x + n. Vi giỏ tr no ca m,
n thỡ d1 trựng vi d 2 ?
2/.Trờn cựng mt phng ta , cho hai th (P): y =

x2
; d: y = 6 x . Tỡm ta
3

giao im ca (P) v d bng phộp toỏn .
Bi 2 (2 im) Cho Parabol (P) : y= x2 v ng thng (d): y = mx-2 (m l tham s m 0)
a/ V th (P) trờn mt phng to xOy.
b/ Khi m = 3, hóy tỡm to giao im (P) v (d) .
c/ Gi A(xA; yA), B(xA; yB) l hai giao im phõn bit ca (P) v ( d). Tỡm cỏc giỏ tr
ca m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .
Bi 3. (2,0 im)

Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng (d): y = ( k 1) x + 4 (k l tham s) v
parabol (P): y = x 2 .
1. Khi k = 2 , hóy tỡm to giao im ca ng thng (d) v parabol (P);
2. Chng minh rng vi bt k giỏ tr no ca k thỡ ng thng (d) luụn ct parabol (P)
ti hai im phõn bit;

3. Gi y1; y2 l tung cỏc giao im ca ng thng (d) v parabol (P). Tỡm k sao
cho: y1 + y 2 = y1 y 2 .
Bi 2 (1,5 im)
Cho hm s y = ax + b.
Tỡm a, b bit th ca hm s i qua im (2, -1) v ct trc honh ti im cú
honh bng

3
.
2

Bi 3 (2,5 im)
Trong mt phng ta Oxy cho parabol (P): y = x2 v im B(0;1)
1. Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua im B(0;1) v cú h s k.
2. Chng minh rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti hai im phõn bit E v
F vi mi k.
3. Gi honh ca E v F ln lt l x1 v x2. Chng minh rng x1 .x2 = - 1, t ú suy
ra tam giỏc EOF l tam giỏc vuụng.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hàm s bc nht y = mx + 2 (1)
a) Vẽ th hàm s khi m = 2
b) Tìm m để đ thị hàm s (1) cắt trục Ox và trục Oy lèn lợt tại A và B sao cho tam
giác AOB cân.
Cõu 2 (1,5 im)

Trong mt phng to Oxy cho hm s y = -2x + 4 cú th l ng thng (d).
a) Tỡm to giao im ca ng thng (d) vi hai trc to
b) Tỡm trờn (d) im cú honh bng tung .
Câu II : (2,0 điểm)

1
1
1) Cho hàm số y = f(x) = x 2 . Tính f(0); f ( 2 ) ; f ữ; f 2
2
2
Bi 1: (2im)
Cho hai hm s y = x 1 v y = 2x + 5
1/ V trờn cựng mt mt phng to th ca hai hm s ó cho.
2/ Bng phộp tớnh hóy tỡm to giao im ca hai th trờn.
2. Hàm số y=2009x+2010 đòng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao
2. Cho hàm số y = x -1. Tại x = 4 thì y có giá trị là bao nhiêu?
Bài 2 (1,5 điểm):
Cho ba đờng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1;
n là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đờng thẳng (d1) và (d2).
b) Tìm n để đờng thẳng (d3) đi qua N.

(

)

Bi 2: (3,0 im)

Cho hm s : y = x 2 cú th (P) v hm s y = 2x + m cú th (d) .
1/ Khi m = 1. V th (P) v (d) trờn cựng mt h trc to .
2/ Tỡm to giao im ca (P) v (d) to v bng phộp toỏn khi m = 1.
3/ Tỡm cỏc giỏ tr ca m (P) v (d) ct nhau ti hai im phõn bit A(x A ; y A ) v


B(x B ; y B ) sao cho

Bài tập 1.

1
1
+ 2 =6
2
xA xB

cho parabol y= 2x2. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ
thị và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bài tập 2.
cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại
hai điểm
phân biệt C,D sao cho CD=2.
Bài tập 3.
Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là

y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao
điểm của (a) và (d).
Bài tập 4.

cho hàm số y =

1
x (P)
2

a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân
biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài tập5.
cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài tập 6.
cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai
điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng

S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập7.


cho hàm số y= x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1- 2 )2
+ x=m2-m+1
+ x=(m-n)2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không
thuộc đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị
hàm số y= x-6

Bài tập 8.

cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2 )2.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao
điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ
nhất.

Bài tập 9.

cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm
cố định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3 .

Bài tập 10.
trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b.
a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bài tập 11.
cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d).
chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
a.
biệt.
b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y1+y2= 11y1.y2
bài tập 12.
cho hàm số y=x2 (P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng
thẳng AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bài tập 13..
a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với
(P) và đi qua B.
c. cho (P) y=x2. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với
(P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x 2 tại
điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có
tung độ bằng 9.

Chủ đề III


§5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
−b
-Nghiệm duy nhất là x =
a
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
A ( x ) = 0

⇔ B ( x ) = 0
C x = 0
 ( )
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
−b
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
.

a
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A ≥ 0
A =
−A khi A < 0
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.

BµI TËP HÖ ph¬ng tr×nh


Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
2 x y = 3
3 x + y = 7

2 x + 3 y = 2
5 x + 2 y = 6

a.
Giải:

b.

a. Dùng PP thế:

Dùng PP cộng:

2 x y = 3

3 x + y = 7

y = 2x 3
y = 2x 3 x = 2
x = 2




3 x + 2 x 3 = 7
5 x = 10
y = 2.2 3 y = 1
x = 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1
2 x y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2

3 x + y = 7
3x + y = 7
3.2 + y = 7
y =1
x = 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y =1

-

-

1.2.

Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 x + 3 y = 2
10 x + 15 y = 10
11 y = 22
y = 2
x = 2





5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6

5 x + 2.(2 = 6)
y = 2
x = 2
Vaọy HPT có nghiệm là y = 2


Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:
2
x +1 +


2 +
x + 1

3
= 1
y
5
= 1
y

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng.
2
x +1 +


2 +
x + 1

ĐK: x 1, y 0 .

3
2
= 1
1
3
y =1
y =1


y =2
y



x +1 =
x =

2
2

2
2
5
5
2
5
+
=
1

=

4

x + 1
y = 1
y = 1
= 1
+ = 1 x + 1 1
x + 1 y
y
3

x =
2
Vaọy HPT có nghiệm là
y = 1

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
Đặt

ĐK: x 1, y 0 .

1
1
= b . HPT đã cho trở thành:
=a ;
y
x +1

 1
3

 x + 1 = −2
 2a + 3b = −1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = −2
x = −
⇔
⇔
⇔
⇒
⇔
2 (TM§K)

1
 2a + 5b = 1
2b = 2
b = 1
b = 1
 =1
 y = 1
 y
3

x = −
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ 
 y = 1

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.

- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
x − y = 3
a) 
3 x − 4 y = 2

1.1:

 x − 2 2 y = 5
a) 
 x 2 + y = 2

1.2.

7 x − 3 y = 5
b) 
4 x + y = 2
 2 −1 x − y = 2

b) 
x + 2 +1 y = 1


(

)

(

)

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
3 x + y = 3
2.1. a) 
2 x − y = 7
x 2 − 3y = 1

2.2. a) 
Bài 4:

 2 x + y 2 = −2

4 x + 3 y = 6
b) 
2 x + y = 4

3 x − 2 y = 10

c)  2
1
 x − 3 y = 3 3

5 x 3 + y = 2 2
b) 
 x 6 − y 2 = 2
x + 3y = 1

Giải hệ phương trình 
Bài 5:

a) m = -1

2
(m + 1) x + 6 y = 2m

b) m = 0

trong mỗi trường hợp sau
c) m = 1
 2 x + by = 4

-2)

a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình bx − ay = −5 có nghiệm là (1;

b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm

(

2 − 1; 2

 2 x + y = 2
 x + 3 y = −1

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 

n
 2m
 m + 1 + n + 1 = 2
a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình  m

3n

+
= −1
 m + 1 n + 1

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

)


2 x + y = 4

3 x y = 1

x y = 1

x + 2 y = 5

; 3x + 2 y = 3 ; 3x y = 1 ;



x = 3 2 y

;
2 x + 4 y = 2007

3 x y = 2

;
3 y + 9 x = 6

y

x = 5
2

;
2 x y = 6

3 x y 5 = 0

;
x + y 3 = 0

0, 2 x 3 y = 2

;
x 15 y = 10
2 x + 3 y = 6
2 x + y = 5


5
5
3
3
15
;

3 x + 2 y = 5
2 x + 4 y = 2

2 x ay = b
ax + by = 1

Bài 8: Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )
Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau
2
1
x + y x y = 2

a)
5 4 =3
x + y x y
x + 3 y = 5
;

x + y = 1

3 x 4 y = 8

b)

2 x + y = 2
6 x + 6 y = 5 xy

;
4 3

=
1
x y


y = 2 x 1 + 3
;

x = 2 y 5

3 x 2 4 y 2 = 3

c)

2 x 2 + y 2 = 1

( x + y )( x 2 y ) = 0
;

x 5y = 3

(đk x;y 2 )

2 x 3 y = 5

2 2 + 3 3 = 5

3 x 3 y = 3 2 3
( x + 1) + 2( y 2) = 5
( x + 5)( y 2) = ( x + 2)( y 1)
;
;
.

3(
x
+
1)

(
y

2)
=
1
(
x

4)(
y
+
7)
=
(
x

3)(

y
+
4)
2
x
+
3
y
=
6
+
2



( x 1)( y 2) + ( x + 1)( y 3) = 4
3( x + y ) + 5( x y ) = 12
;
;

( x 3)( y + 1) ( x 3)( y 5) = 1
5( x + y ) + 2( x y ) = 11
1 1 4
x + y = 5

;

1
1
1

=
x y 5

2
1
x+ y x y = 2


5 4 =3
x + y x y

;

5
5
1
2 x 3 y + 3x + y = 8

;

3
5
3


=
2 x 3 y 3 x + y
8

7

5

x y + 2 x + y 1 = 4,5


3
2

+
=4
x y + 2 x + y 1



Chủ đề IV
Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1:
* Bớc 2:
* Bớc 3:

+ Lập HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập HPT.
Giải HPT.
Đối chiếu với ĐK để trả lời.

III, Bài tập và hớng dẫn:

Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc
thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.


Bài 2. Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng14
km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quãng
đờng AB, vận tốc và thời gian dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và
gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô
xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận
tốc dòng nớc là 3 km/h.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ. Một lần khác ca nô xuôi
dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ. Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật
của ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút
nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại.
Tính thời gian xe chạy.
Bài 6. Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ B lúc
7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng đờng AB. Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút.
HPT:

2 1
x y = 1

y x = 1

3

Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau. Tính quãng đờng

AB và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính
giữa quãng đờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1
giờ 24 phút.
HPT:

x y = 10

2
1 5 ( x + 2 y ) = 2( x + y )

Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số
HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển.
Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS
lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi
vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong
5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn
thành trong bao lâu.
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi
5m thì diện tích giảm đi 75 m 2 . Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi
bằng nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê
thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
có bao nhiêu ghế.
Câu II (2,5đ):HN Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất

may ®ỵc nhiỊu h¬n tỉ thø hai lµ 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tỉ trong mét ngµy may ®ỵc bao nhiªu
chiÕc ¸o?
C©u III: (1,0®) C tho T×m hai sè a, b sao cho 7a + 4b = -4 vµ ®êng th¼ng ax + by = -1 ®i
qua ®iĨm A(-2;-1).
Bµi 3: (1,5®) hue
Hai m¸y đi lµm viƯc trong vßng 12 giê th× san lÊp ®ỵc

1
khu ®Êt. Nõu m¸y đi thø nhÊt lµm
10

mét m×nh trong 42 giê råi nghØ vµ sau ®ã m¸y đi thø hai lµm mét m×nh trong 22 giê th× c¶
hai m¸y đi san lÊp ®ỵc 25% khu ®Êt ®ã. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi m¸y đi san lÊp xong
khu ®Êt ®· cho trong bao l©u.
Bài 3: (1,50 điểm) KH
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài
đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác đònh chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Bài 3: Một đồn xe vận tải nhận chun chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải
điều đi làm cơng việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự
định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở
như nhau)
Câu 3: (2,5 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng
vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa
thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3: (2,0 điểm)
Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút,
trên cùng tuyến đường đó một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc

lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận
tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách
Phù Cát 30 km.
C©u III: (1,5®).
Mét thưa rng h×nh ch÷ nhËt cã chiỊu réng ng¾n h¬n chiỊu dµi 45m. TÝnh diƯn tÝch thưa
rng, biÕt r»ng nÕu chiỊu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiỊu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thưa rng
kh«ng thay ®ỉi.

Bµi 4. (2,0 ®iĨm): Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh hc hƯ ph¬ng tr×nh:
Mét ca n« chun ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chun ®éng ngỵc dßng tõ B
vỊ A hÕt tỉng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng níc
lµ 5 Km/h . TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n« (( VËn tèc cđa ca n« khi níc ®øng yªn )

Câu 7
(1,5 điểm) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 4 km/h, rồi đi ơ tơ từ B đến C với vận
tốc 40 km/h. Lúc về anh ta đi xe đạp trên cả qng đường CA với vận tốc 16 km/h. Biết
rằng qng đường AB ngắn hơn qng đường BC là 24 km, và thời gian lúc đi bằng thời
gian lúc về. Tính qng đường AC.


Cõu 2 :( 2.0 im) Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh
Mt i xe cn phi chuyờn ch 150 tn hng . Hụm lm vic cú 5 xe c iu i lm
nhim v khỏc nờn mi xe cũn li phi ch thờm 5 tn . Hi i xe ban u cú bao nhiờu
chic ? ( bit rng mi xe ch s hng nh nhau )
Bài 3: (1,0 điểm)
Một đội xe cần chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành đội đợc điều thêm 3 xe nữa nên
mỗi xe chở ít hơn dự định 8 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc? Biết rằng các xe
chở nh nhau.
Cõu 4 (1,5 im)
Mt mnh vn hỡnh ch nht cú din tớch l 720m 2, nu tng chiu di thờm 6m v gim

chiu rng i 4m thỡ din tớch mnh vn khụng i. Tớnh kớch thc (chiu di v chiu
rng) ca mnh vn

2) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi
giờ 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng
đờng AB là 300 km.
b) Mt hỡnh ch nht cú chiu di hn chiu rng 2 cm v din tớch ca nú l 15
cm2. Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú.
Bài 3 ( 2,0 điểm): Một ngời đi xe đạp phải đi trong quãng đờng dài 150 km với vận tốc
không đổi trong một thời gian đã định. Nếu mỗi giờ đi nhanh hơn 5km thì ngời ấy sẽ đến
sớm hơn thời gian dự định 2,5 giờ. Tính thời gian dự định đi của ngời ấy.
Cõu 3: (2)
Hai ngi i xe p cựng xut phỏt mt lỳc t A n B vi vn tc hn kộm nhau 3km/h.
Nờn n B sm ,mn hn kộm nhau 30 phỳt. Tớnh vn tc ca mi ngi .Bit qung
ng AB di 30 km.
Câu 4: (1,5 điểm)
Hai giá sách có chứa 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai
thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng

4
số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi
5

giá sách.
Câu IV(1,5 điểm)
Một ôtô khách và một ôtô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đờng dài
180 km do vận tốc của ôtô khách lớn hơn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trớc ôtô tải
36 phút.Tính vận tốc của mỗi ôtô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi
ôtô không đổi.
Bi 3: (1,5 im)

Mt tam giỏc vuụng cú hai cnh gúc vuụng hn kộm nhau 8m . Nu tng mt cnh
gúc vuụng ca tam giỏc lờn 2 ln v gim cnh gúc vuụng cũn li xung 3 ln thỡ c mt
tam giỏc vuụng mi cú din tớch l 51m2 . Tớnh di hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc
vuụng ban u.
Bài 2: (2,0 điểm)
Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m2. Tính chiều dài và chiều
rộng hình chữ nhật ấy .

Chủ đề V


Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt
Tãm t¾t lÝ thuyÕt:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc
nhất một ẩn (§5).
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
x = 0
2
( 1) ⇔ ax + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔ 
b
x=−
a

Dạng 2: b = 0 khi đó
−c
( 1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 =

a
−c
−c
≥ 0 thì x = ±
-Nếu
.
a
a
−c
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
-Nếu
a
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

∆ = b − 4ac

∆ ' = b'2 − ac

2

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
−b + ∆
−b − ∆
−b'+ ∆ '
−b'− ∆ '
x1 =

; x2 =
x1 =
; x2 =
2a
2a
a
a
∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép
∆ ' = 0 : phương trình có nghiệm kép
−b
−b'
x1 = x 2 =
x1 = x 2 =
2a
a
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn
dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
b

S
=
x
+
x
=

−
1
2

a

P = x x = c
1 2

a


u + v = S 2
-Nếu có hai số u và v sao cho 
( S ≥ 4P ) thì u, v là hai nghiệm của
uv
=
P

2
phương trình x – Sx + P = 0.
c
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = .
a
c
-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = − .
a
2
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠0)
-(1) có 2 nghiệm ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 .

∆ ≥ 0
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu 
.
P > 0

∆ ≥ 0

-(1) có 2 nghiệm dương P > 0
S > 0

∆ ≥ 0

-(1) có 2 nghiệm âm P > 0
S < 0

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
1
1
a) αx1 + βx 2 = γ; b) x12 + x 2 2 = m; c)
+
=n
x1 x 2
d) x12 + x 2 2 ≥ h; e) x13 + x 23 = t; ...
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.

§12.CỰC TRỊ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa

Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác định giá trị
của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.
Để tìm maxA cần chỉ ra A ≤ M , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA = M.
-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.
Để tìm minA cần chỉ ra A ≥ m , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng toán thường gặp
2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):
Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … thì A có giá
trị nhỏ nhất minA = m.


Nu A = - B2 + M (a thc 1 bin), A = - B2 C2 + M (a thc hai bin), thỡ A cú
giỏ tr ln nht maxA = M.
2.2. Biu thc A cú dng phõn thc:
m
2.2.1. Phõn thc A = , trong ú m l hng s, B l a thc.
B
-Nu mB > 0 thỡ A ln nht khi B nh nht; A nh nht khi B ln nht.
-Nu mB < 0 (gi s m < 0) thỡ A ln nht khi B ln nht; A nh nht khi B nh
nht.
B
2.2.2. Phõn thc A = , trong ú B cú bc cao hn hoc bng bc ca C.
C
Khi ú ta dựng phng phỏp tỏch ra giỏ tr nguyờn tỏch thnh
m
D
A = n + ; A = n + trong ú m, n l hng s; D l a thc cú bc nh hn bc C.
C
C

B
2.2.3. Phõn thc A = , trong ú C cú bc cao hn bc ca B.
C
1
Cn chỳ ý tớnh cht: nu A cú giỏ tr ln nht thỡ
cú giỏ tr nh nht v ngc li.
A
2.3. Biu thc A cú cha du giỏ tr tuyt i, cha cn thc bc hai:
-Chia khong giỏ tr xột.
-t n ph a v bc hai.
-S dng cỏc tớnh cht ca giỏ tr tyt i:
a + b a + b ; a b a b a,b . Du = xy ra khi ab 0 .
-S dng mt s bt ng thc quen thuc.
1
Bt ng thc Cụsi: a1 ,a 2 ,...,a n 0 ( a1 + a 2 + ... + a n ) n a1a 2 ...a n du
n
= xy ra khi a1 = a2 = = an.
Bt ng thc Bu-nhi-a-cp-ski: a1 ,a 2 ,...,a n ;b1 ,b 2 ,...,b n cú

(a

2
1

+ a 2 2 + ... + a n 2 ) ( b12 + b 2 2 + ... + b n 2 ) ( a1b1 + a 2b 2 + ... + a n b n ) du = xy ra khi
2

a1 a 2
a
=

= ... = n .
b1 b 2
bn
Bài tập 1:
TT
1.
2.
3.
4.

Giải các phơng trình bậc hai sau

Các phơng trình cần giải theo

6x
6x2
7x2
3x2

2

- 25x - 25 = 0
- 5x + 1 = 0
- 13x + 2 = 0
+ 5x + 60 = 0

TT Các phơng trình cần giải theo '

1.
2.

3.
4.

x2 - 4x + 2 = 0
9x2 - 6x + 1 = 0
-3x2 + 2x + 8 = 0
x2 - 6x + 5 = 0


5.
2x2 + 5x + 1 = 0
5. 3x2 - 6x + 5 = 0
6.
5x2 - x + 2 = 0
6. 3x2 - 12x + 1 = 0
7.
x2 - 3x -7 = 0
7. 5x2 - 6x - 1 = 0
8.
x2 - 3 x - 10 = 0
8. 3x2 + 14x + 8 = 0
9.
4x2 - 5x - 9 = 0
9. -7x2 + 6x = - 6
10. 2x2 - x - 21 = 0
10. x2 - 12x + 32 = 0
11. 6x2 + 13x - 5 = 0
11. x2 - 6x + 8 = 0
12. 56x2 + 9x - 2 = 0
12. 9x2 - 38x - 35 = 0

13. 10x2 + 17x + 3 = 0
13. x2 - 2 3 x + 2 = 0
14. 7x2 + 5x - 3 = 0
14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
15. x2 + 17x + 3 = 0
15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Câu III (1,0đ): HN
Cho phơng trình (ẩn x): x2 2(m+1)x + m2 +2 = 0
1/ Giải phơng trình đã cho khi m = 1.
2/ Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức x12
+ x22 = 10.
Bi 3: (2,0 im)
Cho phng trỡnh x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0
1/ Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp ? Hóy tớnh nghim kộp ú.
2/ Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1 , x2 tha x1 x2 = 2 ?
Bi 4 : (1,5 im) Gii cỏc phng trỡnh sau :
1/

1
3
+
=2
x2 6x

2. Gii phng trỡnh: x +

2/ x4 + 3x2 4 = 0
4
=3.
x+2

Câu II: (2,0đ) C tho Giải bất phơng trình và các phơng trình sau:
1. 6 - 3x -9

2.

2
x +1 = x - 5
3