Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Sư Phạm, Hà Nội

ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán
(Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian: 120 phút

Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
 a 1

S  6  4 2 . 3 20  14 2  3 (a  3) a  3a  1 : 
 1
 2( a  1) 

2. Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và
x
y

1
1 x 1 y

Tính giá trị của biểu thức P  x  y  x 2  xy  y 2
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình
parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng
(đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y  ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn a 2  b 2  1  2(ab  a  b)

Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (ABđường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng
quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm
của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO. Chứng minh rằng:
1. MX  BF
2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3.

EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một
điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số
nguyên).
Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên.


Hướng dẫn giải
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
 a 1

S  6  4 2 . 3 20  14 2  3 (a  3) a  3a  1 : 
 1
 2( a  1) 

2. Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và
x
y

1
1 x 1 y

Tìm giá trị của biểu thức P  x  y  x 2  xy  y 2
Giải:
1.
 a 1

S  6  4 2 . 3 20  14 2  3 (a  3) a  3a  1 : 
 1
 2( a  1) 







a  2 a 1

a 1 :
 2 a 1 



 



 2 2 2 2 





 22  4

2.
Ta có .
x
y

 1  2  x  y   1  3 xy
1 x 1 y
1  3 xy
 x y 
2
1  3 xy
Thay x  y 
Ta có
2
P  x  y  x 2  xy  y 2  x  y 
2

 x  y

2

 3 xy

1  3 xy
1  3 xy
 1  3 xy 
 1  3 xy 

 
 
  3 xy 

2
2
 2 
 2 
1  3 xy 1  3 xy


2
2

2

Nếu xy> 1/3 Thì P = 2
Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình
parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng

(đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) y  ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?


1. Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2
4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x2
2. Thay x= 1.2 ta có y = 1.44
Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn
a 2  b 2  1  2(ab  a  b)  a 2  b 2  1  2ab  2a  2b  4a
  a  b  1  4a
2

là số chính phương suy ra a là số chính phương a = x2 (x là số nguyên)

x

2

 b  1  4 x 2  x 2  b  1  2 x
2

 b   x  1

2

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (ABđường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng
quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm
của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO. Chứng minh rằng:
1. MX  BF
2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3.

EF BC

FY CD

1. Ta có BE, CF, AD là ba đường cao .
Suy ra các tứ giác BFHD, BFEC , BFEC nội tếp Góc ACB = góc XFB = góc FBX
( cùng chắn cung AB, góc trong bằng góc ngoài đối diện) . Tam giác BXF cân suy ra
XF = XB. Vì M là trung điểm của BC nên FM là trung tuyến suy ra FM = MB.Vậy
XM là trung trực BF hay MX  BF
2 Xét hai tam giác FHD và tam giác XMS
ta có góc DFH = góc SXM ( vì cùng phụ với hai góc bằng nhau).
Góc FDH = góc FBH = góc BSM ( cùng phụ với hai góc bằng nhau)
Vậy . Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3 Ta chứng minh được tam giác AFE đồng dạng tam giác ACB và tam giác AFY
đồng dạng tam giác ADC suy ra
3.

EF BC

FY CD

Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một
điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số
nguyên).
Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên

Đặt A(x2,y2). B(x3,y3). C(x1,y1) Thì P có hoành độ là x1 . D có hoành độ x2, N có
hoành độ là x3. R có tung độ y2 . S có tung độ là y1. T có tung độ là y3.


SABC = SCBNP- SABND- SADPC
1
1
1
 y3  y2  x3  x1    y3  y2  x3  x2    y2  y1  x2  x1 
2
2
2
1
  y3 x3  y3 x1  y2 x1  y2 x3  y3 x3  y3 x2  y2 x3  y2 x2  y2 x2  y2 x1  y1 x2  y1 x1 
2
1
   y3 x1  y2 x1  y3 x2  y2 x1 )
2
1
1
 x1  y2  y1   y3  x2  x1 
2

2


2 SABC = x1(y2-y1) + y3(x2-x1)
Vì các tọa độ là các số nguyên vậy diên tích hai lần diện tích tam giác ABC là số
nguyên