LUẬN VAN THẠC sĩ TOÁN GIẢI TÍCH hàm trụ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

Ket-noi.com
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà Nội-2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ NHÀN

HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT. Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. NGƯT
Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả,
thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất
cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ
nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần
xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn
sớm được hoàn thành.


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Phùng Thị Nhàn


NHỮNG KÍ HIỆU
Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong
bảng sau
R
C
∅
−∞

∞
ber
bei

tập hợp số thực
tập hợp số phức
tập rỗng
âm vô cùng
dương vô cùng (tương đương với +∞)
là phần thực của hàm
là phần ảo của hàm


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Những kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. HÀM TRỤ

9

1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Hàm Gamar Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Hàm trụ loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2. Các hàm trụ khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ

. . . . . . . . 39

1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ

. . 47
53

2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . 53
2.1.1. Định lý cộng đối với các hàm Bessel . . . . . . . . 53
2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53
2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel . . . . . . . . . 54
2.1.4. Tích phân Sonhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện . . . . . . . . . . 58
2.1.6. Dao động của dây xích . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.7. Dao động của màng tròn . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.9. Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn . . . . . . . . 67
2.2. Một số ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


6

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí
thuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình
phát triển toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết
rất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống
khác nhau.
Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ. Nhiều tính chất quan
trọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính
thực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng. . .
Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toán
học đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều
chiều và đạt được nhiều kết quả to lớn. Với những kết quả đã đạt được trong
không gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tích
mặt, thể tích khối. . . . Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cách
triệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt được
biểu diễn thông qua hàm trụ.
Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiên

cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống
về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài
“Hàm trụ và ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


8

Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Hàm trụ.
Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic
và hệ thống.
6. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài
nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn
đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học
và người yêu thích toán học.


Chương 1
HÀM TRỤ

1.1.

Hàm chỉnh hình

Giả sử hàm f = u + iv xác định và hữu hạn trong lân cận nào đó của
điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C.
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng f khả vi tại điểm z0 theo nghĩa giải tích thực
(hay R2 − khả vi), nếu các hàm u và v khả vi như những hàm của (x, y) tại
điểm (x0, y0) biểu thức

df = du + idv,

(1.1)

được gọi là vi phân của f tại điểm z0 .
Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó C− khả
vi trong lân cận của điểm ấy.
Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗi
điểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùng
nhau).
Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M ⊂ C nếu nó có thể

thác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D ⊃ M.

Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh

hình của hàm ϕ(z) = ϕ( z1 ) tại z = 0. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm
chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C.
Định lý 1.1. Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnh
hình trong miền ấy.
Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một

vành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D). H(D) là một không gian
vector trên C.


10

Định lý 1.2. Giả sử D ∈ C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnh

hình trên D. Khi đó

i) Nếu f ∈ H(D) và f (z) = 0 thì

1
f

∈ H(D).

ii) Nếu f ∈ H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.

Định lý 1.3. Nếu f : D → D∗ và g : D∗ → C là các hàm chỉnh hình, ở đây

D và D∗ là các miền trong mặt phẳng (z), (w), thì hàm g0 f : D → C chỉnh
hình.

Định lý 1.4. (Định lý Cauchy) Nếu hàm f ∈ H(D) thì tích phân của nó

theo tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D, đồng luân với không trong miền này là bằng
không

γ

f dz = 0 nếu γ ∼ 0

Chứng minh. Vì γ ∼ 0 nên trong D có thể biến dạng đồng luân tuyến tính

đóng γ1 : z = z1 (t), t ∈ [0, 1], nằm trong hình tròn nào đó U ⊂ D. Mặt khác,

hàm f có nguyên hàm F trong U và do đó nguyên hàm của f dọc theo γ1

sẽ là hàm F (z1(t)). Vì z1 (0) = z1 (1) = a (tuyến γ1 là tuyến đóng) nên theo
công thức Newton-Leibnitz

γ1

f dz = F (a) − F (a) = 0.

Định lý 1.5. Hàm f bất kỳ, chỉnh hình trong miền đơn liên D, có nguyên
hàm trong miền ấy.
Định lý 1.6. (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f ∈ H(D) tại

mỗi điểm hữu hạn z ∈ D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó trên
đường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z
1
f (z) =
2π

2π

f (z + ρeit )dt.
0

(1.2)


11

Chứng minh. Ta lấy hình tròn Uρ = {z : |z − z| < ρ} sao cho Uρ

D. Theo

công thức tích phân Cauchy, ta thu được
f (z) =

1
2πi
∂Uρ

f (ζ)
dζ.
ζ −z

(1.3)

vì trên ∂Uρ ta có ζ − z = ρeit , t ∈ [0, 2π] , dζ = ρeit idt, nên từ (1.3) suy ra
(1.2).

Định lý 1.7. (Định lý Liouville) Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt
phẳng C và giới nội, thì nó là hằng số.
Chứng minh. Trong hình tròn đóng bất kỳ U¯ = {|z| ≤ R} , R < ∞ hàm f
được biểu diễn bởi chuỗi Taylor

f (z) =

∞

cn z n ,

n=0

hệ số của nó không phụ thuộc vào R. Vì f giới nội trong C (giả sử |f (z)| ≤

M), nên theo các bất đẳng thức Cauchy
|cn | ≤

M
, n = 0, 1, 2, ...
Rn

Bởi vì vế phải dần đến không khi R → ∞, nên cn = 0 với n = 0, 1, 2, ... do
đó ta nhận được f (z) ≡ c0 .

Định lý 1.8. Đạo hàm của f ∈ H(D) là hàm chỉnh hình trong miền D.
Định lý 1.9. Nếu trong hình tròn {|z − z0 | < R} hàm f được biểu diễn như
là tổng chuỗi luỹ thừa

f (z) =

∞
n=1

cn (z − z0 )n ,

thì hệ số của chuỗi được xác định đơn trị theo công thức
f (n) (z0 )
cn =
n!

n = 0, 1, 2, ...

(1.4)


12

Chứng minh. Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm được f (z0) = c0 . Vi phân từng từ
chuỗi (1.4) ta được
f (z) = c1 + c2 (z − z0 ) + ...
và sau đó thế z = z0 ta tìm được f (z0) = c1 . Lấy vi phân (1.4) n lần
f (n) (z) = n!cn + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + ...
(ta không viết ra các biểu thức của hệ số) và lại thế z = z0 ta thu được
n!cn = f (n) (z0).

1.2.

Hàm Gamar Euler

Trước tiên ta định nghĩa đạo hàm lôgarit của hàm Euler là khai triển sau
đây
ψ (1 + z) = −C −

∞
k=1

1
1
−
.
z+k k

(1.5)

ở đó C là một hằng số nào đó.
Chuỗi (1.5) gồm các số hạng trong chuỗi
1
πcotgπz = +
z

∞
k=−∞

1
1
+
z−k k

1
= +
z

∞

k=1

2z
, z = k.
z2 − k2

(1.6)

với các chỉ số âm (các công thức (1.5) và (1.6) còn khác nhau về dấu của k).
Khai triển (1.6) là khai triển Mittag-Leffer của hàm ψ (1 + z), từ đó suy
ra nó là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm
z = −1, −2, −3, ...
Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) được xác định qua đạo hàm lôgarit
của nó
z

ln Γ (1 + z) =
0

ψ (1 + z) dz = −Cz −

∞
k=1

ln 1 +

z
z
−
,

k
k

(1.7)


13

ở đây z = −k, (k = 1, 2, ...), và tích phân được lấy theo một đường bất kì

không đi qua điểm này. Lấy được tích phân như trên vì chuỗi (1.6) hội tụ
đều.
Mũ hóa (1.7) ta được
1
= eC z
Γ (1 + z)

∞

1+

k=1

z −z
ek,
k

(1.8)

tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinπz,

ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng −k và z = πz). Từ (1.8) suy ra rằng

hàm

1
Γ(1+z)

nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = −k, (k = 1, 2, ...)

và chỉ có tại các điểm đó. Vì thế hàm Γ (1 + z) không triệt tiêu và là hàm
phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại các
điểm đó mà thôi.
Từ (1.8) suy ra Γ (1) = 1. Do khẳng định trên Γ (2) = 0 và bởi vì hằng số
C chưa xác định, nên ta có thể buộc Γ (2) = 1. Khi đó từ (1.7) ta nhận được
0 = −C −

∞

ln 1 +

k=1

1
k

−

1
,
k

hay
C=

∞
k=1

n

1
1
− ln 1 +
k
k

= lim

n→∞

k=1
n

= lim

n→∞

khi thêm vào trong dấu móc số hạng

1
n+1

k=1

2 3 n+1
1
− ln . ...
k
1 2
n
1
− ln (n + 1) ,
k

→ 0 (nó không làm thay đổi giới

hạn) và thay n + 1 bằng n, ta nhận được biểu thức cuối cùng đối với C
1
1
(1.9)
C = lim (1 + + ... + − lnn).
n→∞
2
n
Số C là giới hạn của hiệu giữa tổng riêng thứ n của chuỗi điều hoà (phân
kỳ) và ln n, nó được gọi là hằng số Euler (giá trị gần đúng của nó bằng
0,5772157).
Với z = k (k = −1, −2, ...) ta có
ψ (1 + z) − ψ (z) =

∞

k=1

1
1
−
z+k−1 z+k

1
= ,
z


14

vì tất cả các số hạng đều đã được giản ước. Lấy tích phân không định hạn
hệ thức này ta nhận được ln Γ (z + 1) − ln Γ (z) = ln z + ln A, trong đó A là
hằng số nào đó từ đó Γ (1 + z) = AzΓ (z). Ở đây khi đặt z = 1 và sử dụng

tính chất Γ (1) = Γ (2) = 1 ta tìm được A = 1, từ đó
Γ (1 + z) = zΓ (z) .

(1.10)

Công thức truy hồi vừa nhận được cho phép ta tính ngay được giá trị của
Γ (z) trong dải k < Re z ≤ k + 1 và k − 2 < Re z ≤ k − 1, nếu đã biết giá trị

của nó trong dải k − 1 < Re z ≤ k. Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm
được

Γ (z + 2) = (z + 1) Γ (z + 1) = (z + 1) zΓ (z) ,
Γ (z + 3) = (z + 2) Γ (z + 2) = (z + 2) (z + 1) zΓ (z) ,
và nói chung với n nguyên dương bất kì
Γ (z + n) = (z + n − 1) (z + n − 2) ...zΓ (z) .

(1.11)

Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ (z) trên toàn mặt phẳng nếu
đã biết giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ 1.
Nói riêng khi z = 1 thì (1.11) có dạng

Γ (1 + n) = n!.

(1.12)

Từ đó ta thấy rằng Γ (1 + z) là sự mở rộng trong miền phức của hàm n!
đối số nguyên.
Nhờ công thức (1.11) cũng có thể tìm được thặng dư của Γ (z) tại các cực
điểm của nó. Dựa vào công thức này ta có
Γ (z) =

1
Γ (z + n + 1) ,
z. (z + 1) ... (z + n)

từ đó theo công thức
1
Γ (z + n + 1)
z→−n z (z + 1) ... (z + n − 1)
1

Γ (1) ,
=
−n (−n + 1) ... (−1)

s Γ (−n) = lim (z + n) Γ (z) = lim
z→−n


15

hay cuối cùng

(−1)n
res Γ (−n) =
.
n!
Hơn nữa, từ công thức (1.7) ta có
1
z
=
= zeCz
Γ (z) Γ (1 + z)

và
1
= e−Cz
Γ (1 − z)

∞

1+

k=1

∞

1−

k=1

(1.13)

z −z
ek,
k

z z
ek .
k

Nhân các tích trên theo từng số hạng (có thể chứng minh tính đúng đắn của
phép toán đó), ta nhận được
1
=z
Γ (z) Γ (1 − z)

∞
k=1

z2

1− 2 .
k

z2
, ta thấy rằng vế phải của đẳng
k2π2
k=1
π
.
thức cuối cùng bằng π1 sin πz. Như vậy, Γ (z) Γ (1 − z) =
sin πz
Công thức nhận được ở trên cho phép tính Γ (z) trong dải 0 < Re z ≤ 1
1
(nghĩa là trên toàn phẳng). Về việc tính giá trị của nó trong dải 0 < Re z ≤ .
2
1
Đặc biệt khi z = từ công thức đó ta nhận được Γ2 12 = π, từ đó
2
Theo công thức sin z = z

∞

1−

Γ

1
2

=

√

π.

Để kết thúc ta đưa ra bảng các giá trị Γ (x) trong khoảng (1.2) của trục
thực với bước nhảy của x là 0,1 cùng với đồ thị của các hàm Γ (x) và

1
Γ(x)

đối với x thực (bảng 1.1).
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
Γ(x) 0,9514 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893 0,908 0,931 0,961
2
5
3
2
5
6
4

8
Bảng 1.1


16

Hình 1.1

Hình ảnh chung của đồ thị hàm Γ (x) đã rõ ràng do các tính chất của nó
đã nói ở trên hình 1.1. Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ (x)
với nửa trục âm khi x → −∞ có liên quan đến sự giảm nhanh các thặng dư
của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = −π, ta có

(−1)n 1
+ c0 + c1 (x + n) + ...
Γ (x) =
n! x + n

và khi n tăng, hệ số của phần chính trong khai triển giảm đi rất nhanh.

1.3.

Hàm trụ

Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ
quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các
bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ. Điều này được giải thích
rằng phương pháp giải các phương trình vật lý toán có chứa đựng các toán
tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , bằng phương pháp cổ điển để phân
chia các biến số dẫn tới phương trình

x2

d2 y
dy
+
x
+ (x2 − λ2 )y = 0,
2
dx
dx

(1.14)

phương trình này được dùng làm phương trình phụ trợ để xác định hàm trụ.


17

Hàm trụ J0 (x) được nghiên cứu đầu tiên bởi Danhil Bernull trong công
trình nghiên cứu tính giao động của các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm
1732).D. Bernull nghiên cứu từng phần của phương trình (1.14) với λ = 0,
sau khi giải phương trình tìm ra biểu thức J0(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa,
hơn nữa ông nhận ra rằng biểu thức J0 (x) có tập hợp vô hạn những nghiệm
số thực.
Trong nghiên cứu tiếp theo ( Peterburg, năm 1738) được tiến hành bởi
Leonard Euler người ta bắt gặp những hàm trụ. Trong nghiên cứu này Euler
sau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động của các màng tròn, đưa ra biểu
thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên. Sau khi giải phương trình này, ông ta
đã tìm ra biểu thức Jλ (x) cho n nguyên dưới dạng lũy thừa x, và trong các
nghiên cứu sau này ông đã phổ biến biểu thức này trong trường hợp những

giá trị độc lập của chỉ số λ, bằng 0 với nửa hàm Jλ (x) được thể hiện thông
qua những yếu tố cơ bản, chúng ta nhận ra một cách hiển nhiên với những
giá trị λ thực thì hàm Jλ (x) có tập hợp vô số các không điểm và đưa ra các
khái niệm tích phân đối với Jλ (x).
Cuối cùng, với λ = 0 và λ = 1 trong nghiên cứu của mình năm 1769,
Euler đã đưa ra biểu thức dưới dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai
(1.14), phụ thuộc một cách tuyến tính với Jλ (x).
Vì thế Euler nhận được các kết quả cơ bản có liên quan tới hàm trụ và
những phụ lục của môn vật lý toán học.
Nhà thiên văn học người Đức P. Bessel mà tên tuổi của ông luôn gắn liền
với hàm trụ trong mối tương quan nghiên cứu chuyển động của trái đất xung
quanh mặt trời, trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa ra các phương
trình truy toán đối với hàm ,Jλ (x) những phương trình vẫn mang những đặc
trưng cơ bản mặc cho tính quan trọng của chúng, ông đã thu được khái niệm
tích phân mới Jn(x) cho số nguyên n, ông cũng đã chứng minh tập hợp vô số
các không điểm J0(x) và lập ra những bản đầu tiên cho J0(x), J1 (x) và J2 (x).


18

1.3.1.

Hàm trụ loại 1

1) Những khái niệm tích phân của Sonhin. Chúng ta cùng nghiên
cứu biểu thức vi phân của hàm trụ
t2 x + tx + (t2 + λ2 )x = 0

(1.15)

ở đó t là biến số độc lập, x− hàm ẩn và λ là tham số, chỉ số của biểu thức
(1.15) chúng ta sẽ tính bằng số thực. Chúng ta sẽ giải biểu thức này bằng
phương pháp mở.
Nếu như đặt X(p) là phương trình của hàm ẩn, thì theo định lý về gốc vi
phân chúng ta sẽ có
t2 x = (p2X − px0 − x1) = p2 X + 4pX + 2pX,
tx = −(pX − x0) = −pX − X, t2 x = X ,
ở đó x0 = x(0), x1 = x (0), là những dữ liệu có sẵn (những dữ liệu ban đầu
không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), hoặc t = 0 được coi là điểm đặc
biệt của biểu thức (1.15)), vì thế những phương trình toán tử tương ứng với
biểu thức (1.15) sẽ có dạng
(p2 + 1)X + 3pX + (1 − λ2 ) = 0.

(1.16)

Để giải biểu thức này chúng ta tiến hành thay thế những biến số độc lập
và những hàm ẩn, sau khi đặt
p = shp, X(p) =

1
Y (q).
ch q

Khi đó ta có
X =

1
sh q
dX dp
:

= 2 Y − 3 Y, X =
dq dq
ch q
ch q
dX dp
1
sh q
3sh2q − ch2 q
=
:
= 3 Y −3 4 Y +
Y,
dq dq
ch q
ch q
ch5 q

ta đưa chúng vào (1.16), sẽ dẫn tới một phương trình đơn giản
Y = λ2 Y = 0.


19

Quay trở lại giải từng phần Y = e−λq của biểu thức này với các biến số
cũ ρ và x, ta được
X=
Hàm

1
p2 + 1

e−λ arsh p =

1
p2 + 1(p +

p2 + 1)λ

.

(1.17)

p2 + 1 bỏ qua sự phân chia những nhánh cùng giá trị trên mặt

phẳng p = s + jσ với các tia hình quạt vô nghiệm s = 0, |σ| > 1. Bên cạnh
đó λ > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phần

p2 + 1 mà trên

trục tâm s nhận các giá trị dương. Khi đó hàm X(p) sẽ tiến gần tới 0 với
|ρ| → ∞, Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện.
Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ và

đặt biểu tượng Jλ (x) (cho λ = n nguyên). Ta tìm ra hàm Jλ (x) như sau
ept dp

1
Jλ (t) =
2πi

p2 + 1(p +

L

p2 + 1)λ

,

(1.18)

trong đó L là đuờng thẳng tự do Re ρ = a > 0.
Đặt
ω =p+
khi đó

1
1
p = (ω − ),
2
ω

(1.19)

p2 + 1,
dp
p2 + 1

=

dω

,
ω

và đường tích phân sẽ là đuờng cong C của mặt phẳng ω = ξ + iη là mẫu
đường thẳng L theo hình thức của (1.19). Vì thế trên trục tâm σ dịch chuyển
dần tới thể hiện của (1.19) trong tập hợp của các tia ξ = 0, |η| > 1 và một
nửa vùng lân cận |ω| = 1, ξ > 0, còn số α càng nhỏ, thì C càng có dạng thể

hiện trên hình 1.2 là đường đứt quãng. Tích phân (1.18) theo đó tiến theo
đường này tới tích phân (N. Ya. Sonhin năm 1870)

Jλ (t) =

t
e2

1
2πi

ω−

1
ω

ω λ+1

dω.

(1.20)

C

Không thay đổi giá trị tích phân, khi đường cong C có thể được thay thế
bởi bất cứ một đường thẳng đứng nào Im ω = α > 0.


20

Hình 1.2

Vì thế trên vùng lân cận |ω| = R thì hàm

−t

e 2ω
ω λ+1

tiến dần tới 0 với R → ∞,

khi đó t > 0 theo bổ đề của Jordan thì tích phân (1.20) dọc theo đuờng vòng
cung C có thể thay thế bởi đường chu tuyến C ∗ đã được chỉ trong hình 1.2,
đuợc vẽ từ các điểm −∞ theo giới hạn dưới của bán trục âm ξ , chạy vòng
quanh vùng lân cận từ đầu toạ độ và quay về −∞ theo giới hạn trên của

bán trục này. Vì thế chúng ta thu được một khái niệm tích phân của hàm
trụ, cũng như thuộc về N. Ya. Sonhin (chúng ta viết z thay t)

Jλ (z) =

1

2πi

e

z
2 (ω−

1
)
ω

ω λ+1

dω.

(1.21)

C0

Tích phân Sonhin (1.21) chúng ta nhận được đối với những số dương z,
nhưng phần phải của nó là hàm phân tích trong nửa mặt phẳng phải z, hoặc
nhờ Re z > 0 tích phân (1.21) cùng bằng z. Vì vậy tích phân Sonhin tiếp
tục phân tích Jλ (z) ở nửa mặt phẳng phải.
Ngoài ra khi Re z > 0 tích phân Sonhin hội tụ không chỉ đối với những số
dương mà còn đối với các giá trị tổng hợp bất kỳ của tham số λ, hoặc trên
phần thẳng đứng của chu tuyến C ∗ số nhân đặc trưng tiến tới 0 càng nhanh
ω λ+1 càng tăng. Cho nên tích phân Sonhin xác định ở nửa mặt phẳng phải
những hàm Bessel bậc tổng hợp tự do.

21

2) Tính chất giải tích. Nhờ những giá trị nguyên của tham số λ =
n, n = 0, ±1, ±2, ... hàm thuộc tích phân của tích phân (1.21) có 1 giá trị,
cho nên những tích phân các phần nằm ngang của chu tuyến C ∗ biến mất
và tích phân (1.21) có dạng

Jλ (z) =

1
2πi

e

z
2 (ω−

1
)
ω

ω n+1

dω

(1.22)

|ω|=1

(bán kính đường tròn thuộc chu tuyến C ∗ chúng ta có thể lấy bằng 1). Bởi

vì tích phân ở vế phải (1.22) hội tụ đối với z bất kỳ và hơn nữa hội tụ đều,
điều đó có thể khẳng định rằng nhờ các giá trị số nguyên tham số λ = n các
hàm Jλ (z) là nguyên.
Giả sử tiếp theo z là số dương, còn λ là bất kỳ. Khi thay biến số ω =
ở tích phân Sonhin (1.21), ta được tích phân Sonhin - Slepply
Jλ (z) =

z2
e 4ζ ζ −λ−1 dζ
ζ−

1 z λ
( )
2πi 2

2ζ
z

(1.23)

C∗

(sự thay đổi này chu tuyến C ∗ được thay đổi ) Tích phân Sonhin – Slepply
hội tụ và ngoài ra hội tụ đều với bất kỳ giá trị z và λ, cho nên tiếp tục phân
tích hàm trụ Jλ (z) trên cả mặt phẳng tổng hợp z và tất cả giá trị của tham
số λ. Nhưng hệ thức Jλ (z) z λ khi tổng hợp bất kỳ là hàm nguyên.
3) Những biểu diễn tích phân khác. Giả sử Re z > 0, chúng ta
thay ω = ei ζ trong tích phân Sonhin, từ đó chu tuyến C ∗ được thay bằng
chu tuyến II, được miêu tả ở hình 1.3 (Bán kính đường tròn ở chu tuyến C ∗
chúng ta coi là bằng 1).

Tích phân Sonhin đi qua tích phân Slepply
Jλ (z) =

1
2π

ei z sin ζ−i λ ζ dζ,
II

biểu diễn hàm trụ ở nửa mặt phẳng phải.
Khi những giá trị nguyên của tham số λ = n, n = 0, ±1, ±2, ... do tính

tuần hoàn của hàm số einζ và sin ζ tích phân phần thẳng đứng của chu tuyến


22

Hình 1.3

II được rút gọn tương quan, và chúng ta nhận được
1
Jn(z) =
2π

π

−π

π

1
ei z sin ζ−in ζ dζ =
π
0

cos(z sin ζ − nζ)dζ

(chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và
hàm lẻ sin). Đó là tích phân Bessel.
4) Biểu diễn bởi chuỗi. Chúng ta khai triển ở tích phân Sonhin –
1 z
− ( )2
1
Slepply (1.23) bằng số nhân e ζ 2 ở chuỗi bậc và thay bậc tổng và tích
ζ
phân (đó là theo quy luật sự trùng hợp bằng nhau của chuỗi nhận được)
1 z λ
( )
Jλ (z) =
2πi 2
=

∞
k=0

ζ −λ−1

eζ

∞

k=0

C∗
k

(−1) z 2k+λ 1
( )
k! 2
2πi

(−1)k z 2k
( ) dζ =
k!ζ k 2
eζ ζ −λ−1−k dζ.

C∗

Nhờ biểu diễn của tích phân Khakeli đối với hàm Gamma, ta tìm thấy khai
triển cần tìm của hàm trụ ở chuỗi
Jλ (z) =

∞
k=0

z
(−1)k
( )λ+2k .
k!Γ(λ + k + 1) 2

(1.24)

Từ công thức (1.24) rõ ràng rằng nhờ những số thực λ và z = x hàm số
Jλ (x) có những số thực.


23

Đối với những giá trị không âm số nguyên λ = n chúng ta nhận được nói
riêng khai triển

∞

Jn(z) =

k=0

(−1)k z n+2k
( )
.
k!(n + k)! 2

(1.25)

Đối với những giá trị âm số nguyên λ = −n những giá trị đầu n của tổng
1
các số cộng (1.24) biến mất, hoặc
= 0 khi k = 0, 1, 2, ..., n − 1
Γ(−n + k + 1)
và công thức (1.25) có dạng
J−n(z) =

∞
k=0

(−1)k
z
( )−n+2k =
k!(−n + k)! 2

∞
v=0

(−1)n+v z n+2v
( )
,
(n + v)!v! 2

(chúng ta thay chỉ số tổng số k bằng chỉ số ν = k − n), hoặc
(1.26)

J−n(z) = (−1)Jn(z).

5) Hàm sinh. Đối với giá trị không nguyên λ = n = 0, ±1, ±2 · ·· , phân

tích của Sonhin (1.22) trùng hợp với công thức đối với hệ số khai triển của
1
z
)
2 (ω−
ω vào chuỗi Laurent bậc ω ta có

hàm e
z
2 (ω−

e

1
)
ω =

∞

(1.27)

Jn(z)ω n .

n=−∞

Hàm số e

z
2 (ω−

1
)
ω gọi là hàm sinh đối với Jn (z), chúng ta đã sử dụng nó để

xác định hàm trụ bậc số nguyên.
Khi thay ở (1.27) ω = ei θ , chúng ta khai triển thành chuỗi Fourier
i z sin θ

e

=

∞

(1.28)

Jn(z)ein θ .

n=−∞

Khi tách ở (1.28) (khi số thực z và θ) phần thực và phần ảo, ta được
cos(z sin θ) =

∞
n=−∞

jn (z) cos nθ,

sin(z sin θ) =

∞

Jn(z) sin nθ,

n=−∞

hoặc khi sử dụng hệ thức (1.26) ta nhận được những chuỗi Fourier ở dạng

24

thực
cos(z sin θ) = j∂ (z) + 2

∞

j2π (z) cos 2nθ,

n=1
∞

sin(z sin θ) = 2

n=1

Khi θ =

(1.29)

j2n−1(z) sin(2n − 1)θ.

π
nói riêng ta có
2
cos z = J0(z) − 2J2(z) + 2J4(z) − ....,
sin z = 2J1(z) − 2J3(z) + ......

6)Quan hệ truy toán. Từ khai triển vào những chuỗi (1.24) ta được
1
d Jλ (z)
=
dz z λ
2λ

∞

(−1)k
z
( )2k−1 =
(k − 1)!Γ(λ + k + 1) 2

k=1
∞

1
=− λ
z

k=0

(−1)k
z
( )λ+2k+1
k!Γ(λ + k + 2) 2

(chúng ta đã thay chỉ số tổng k bằng k − 1), hoặc cuối cùng
d Jλ (z)

Jλ+1(z)
=
−
.
dz z λ
2λ

(1.30)

Công thức cuối cùng có thể được viết lại dưới dạng
d Jλ (z)
Jλ+1(z)
= − λ+1 ,
λ
zdz z
2
d
Jλ (z)
của
phép
tính
được quy lại thay đổi dấu và thay
zλ
z dz
chỉ số λ thành λ + 1. Khi sử dụng phép tính này một cách trình tự và khi

từ đó ứng với

đưa ra ký hiệu rút gọn
d

dn
d
d
=
,
·
···
zdz zdz
zdz
(zdz)n
n lần
ta được

dn Jλ (z)
n Jλ+n (z)
=
(−1)
.
(zdz)n z λ
z λ+n

(1.31)