De thi HS năng khiếu lớp 8 TX Phú Tho

UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: ( 2,5 điểm)

1
x2 − x − 2
2x − 4
A=
+ 2
−
x − 2 x − 7 x + 10 x − 5

a) Cho:

- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b) Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:

a+b
b+c
c+a

1 1 1
+
+
≤ + +
2
2
2
ab + c bc + a ac + b
a b c

Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:

x 2 + 4 x + 6 x 2 + 16 x + 72 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 12 x + 42
+
=
+
x+2
x+8
x+4
x+6

Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Bài 5: (1,5 điểm)
Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:

(x

2

+ 4 y 2 + 28 ) = 17 ( x 4 + y 4 + 14 y 2 + 49 )
2


UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT

Bài
Bài 1: ( 2,5 điểm)

HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8

Đáp án

Điểm

1
x2 − x − 2
2x − 4
+ 2
−
x − 2 x − 7 x + 10 x − 5
- Thực hiện rút gọn A.

- Tìm x nguyên để A nguyên.
b.)Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
a) Cho:

a)

A=

A=

1
x2 − x − 2
2x − 4
+
−
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
x − 2 ( x − 5)( x − 2) x − 5

x − 5 + x 2 − x − 2 − (2 x − 4)( x − 2) − x 2 + 8 x − 15
=
( x − 5)( x − 2)
( x − 5)( x − 2)
− ( x − 5)( x − 3) − x + 3
A=
=
( x − 5)( x − 2
x−2
A=

−( x − 2) + 1

1
= −1 +
x−2
x−2
1
A nguyên khi và chỉ khi
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
x−2
⇒ x=3, hoặc x=1.
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2)
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 - (a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab - (a+b)2(a2+b2)]
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab - (a+b)2] = 0
A=

b)

⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a+b
b+c
c+a
1 1 1
+
+
≤ + +
(1)
2
2
2
ab + c bc + a ac + b
a b c

Đặt vế trái của (1) là A, vế phải của (1) B.
Xét hiệu:
 a+b 1   b+c 1  c+a 1
A− B = 
− ÷+ 
− ÷+ 
− ÷
2
2

2
 ab + c a   bc + a b   ac + b c 
 (a − c)(c − b)   (b − a )(a − c )   (c − b)(b − a ) 
=
÷+ 
÷+ 
÷
2
2
2
 (ab + c )c   (bc + a ) a   (ca + b )b 

0.5

0.25


Bài

Đáp án
Do vai trò a, b, c trong (1) là bình đẳng nên ta giả sử a ≥ b ≥ c > 0 .
Khi đó (b − a)(a − c) ≤ 0; (c − b)(b − a) ≥ 0 và c3 ≤ b3 ⇒ abc + c 3 ≤ abc + b3
⇒

(c − b)(b − a ) (c − b)(b − a)
≤
(ca + b 2 )b
(ab + c 2 )c

 (a − c)(c − b)   (c − b)(b − a)   (b − a )( a − c ) 

÷+ 
÷+ 
÷
2
2
2
 (ab + c )c   (ab + c )c   (bc + a )a 
( a − c)(c − b) + (c − b)(b − a) (b − a)( a − c)
−(c − b) 2 (b − a )(a − c)
=
+
=
+
≤0
(ab + c 2 )c
(bc + a 2 ) a
( ab + c 2 )c
(bc + a 2 ) a
vì −(c − b) 2 ≤ 0; (b − a)(a − c) ≤ 0 Vậy (1) được chứng minh

Vậy: A − B ≤ 

Điểm
0.25

0.25
0.25

Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:

x 2 + 4 x + 6 x 2 + 16 x + 72 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 12 x + 42
+
=
+
x+2
x+8
x+4
x+6

Điều kiện: x ≠ −2; x ≠ −4; x ≠ −6; x ≠ −8

( x + 2) 2 + 2 ( x + 8) 2 + 8 ( x + 4) 2 + 4 ( x + 6) 2 + 6
+
=
+
PT đã cho ⇔
x+2
x+8
x+4
x+6
2
8
4
6
+ x +8 +
= x +4 +
+ x +6 +
⇔x +2 +
x +2

x +8
x +4
x +6
2
8
4
6
1
4
2
3
+
=
+
+
=
+
⇔
⇔
x+2 x+8 x+4 x+6
x+2 x+8 x+4 x+6
5 x + 16
5 x + 24
⇔ ( x + 2)( x + 8) = ( x + 4)( x + 6)

⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
⇔ 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
⇔ 8x2 + 40x = 0

⇔ 8x(x + 5) = 0

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
x = 0; x = -5. Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD.
a)Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
a)

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM


Bài

Đáp án
DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED
·
·
⇒ ADE
= DCF

·
·
·
·
⇒ EDC
+ DCF
= EDC
+ ADE
·
·
= 900 nên DE ⊥ CF
EDC
+ ADE
MC = MA
(BD là trung trực của AC)
MA = FE nên EF = CM

0,25

Điểm
C

D
1

0,25
0,25

M

F
1

0,25

2
O

0,25

0.25

1

A

B
E

b)

Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
·
·
⇒ ∆MCF =∆FED (DF = MF; DE = FC; MC = FE)⇒ MCF
= FED
¶ + E
µ =O
¶ + C
µ = 900 (Vì CF ⊥ DE chứng minh phần a)

⇒O
1

1

2

1

Tương tự a) được CE ⊥ BF
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui.
c)
Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
ME + MF = FA + FD là số không đổi. ⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
Lúc đó M là trung điểm của BD
Bài 5: (1,5 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:

(x

2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

+ 4 y 2 + 28 ) = 17 ( x 4 + y 4 + 14 y 2 + 49 )
2

Ta biến đổi PT như sau:

(x

2

+ 4( y 2 + 7) ) = 17 ( x 4 + ( y 2 + 7) 2 )
2

⇔ x 4 + 8 x 2 ( y 2 + 7) + 16( y 2 + 7) 2 = 17 x 4 + 17( y 2 + 7) 2
⇔ 16 x 4 − 8 x 2 ( y 2 + 7) + ( y 2 + 7) 2 = 0
2

2

⇔  4 x 2 − ( y 2 + 7)  = 0 ⇔  4 x 2 − y 2 − 7  = 0

Ta thấy: 4 x 2 − y 2 − 7 = 0
⇔ (2 x + y )(2 x − y ) = 7 (1)
Vì x, y ∈ ¥ nên 2 x + y > 2 x − y và 2 x + y ≥ 0
2 x + y = 7
x = 2
⇔
Do đó từ (1) ⇒ 
2 x − y = 1
y = 3
Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là (x; y) = (2; 3)

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25