đề thi tuyển sink lớp 10 mÔn vĂn

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA
PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
___________________________________
153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5
ĐT: 39572477

TUYỂN TẬP

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

CÁC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

2010


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2009
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

a, b, c, d
Câu 1.a) Cho

là các số thực thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

b2 = d 2

a c
a+c
= =
, a.c ≠ 0
b d 3b − d

.

.

b) Giải hệ phương trình:

3− x − y
 x −1
=
 xy − 3 7 − x 2 − y 2


 y − 2 = 3− x − y
 xy − 4 7 − x 2 − y 2
Câu 2.
a) Giải bất phương trình:

2x + 1 ≤ 8x + 9

[ −1;2]

a, b, c

b) Cho

là các số thuộc

Chứng minh rằng:

thỏa mãn điều kiện

a 2 + b2 + c 2 = 6

.

a+b+c ≥0

Câu 3.a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên

a

sao cho

a 2 + a = 20102009
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên

a

sao cho

a + a 2 + a3 = 20092010

( O)

( O)

AB = 2 R C

O

Câu 4. Cho đường tròn
tâm , đường kính
.
là một điểm thay đổi trên đường tròn
sao
HE , HF
ABC
C
ABC
C
H
cho tam giác
không cân tại . Gọi
là chân đường cao của tam giác
hạ từ . Hạ

AC , BC

vuông góc với
a) Tính theo

tương ứng. Các đường thẳng

R

diện tích tam giác

CEF

EF

và

AB

cắt nhau tại

K

.

KA, KB
và độ dài các đoạn

trong trường hợp

·
BAC
= 600

.

EP, FQ
b) Hạ
thẳng

EF

vuông góc với

AB

PQ
. Chứng minh rằng đường tròn đường kính

tiếp xúc với đường

.

( O)

CH D ≠ C
c) Gọi
là giao điểm của
và đường tròn đường kính
,
. Chứng minh rằng
2
CD
KA.KB = KH
M
EF

và giao điểm
của các đường thẳng
và
luôn thuộc một đường thẳng cố định.

D

1, 2,3,...,10
Câu 5.Trên một đường tròn, người ta xếp các số

(mỗi số xuất hiện đúng một lần).

a) Chứng minh không tồn tại một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10?
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN (CHUNG CHO CÁC LỚP)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (2 điểm)a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số

x2 +

5 x
t = − ÷

 x 4

:

400
5 x
= 35 + 24  − ÷
2
x
 x 4

mx 2 + 3 ( m + 1) x − 2m + 3 = 0
b) Cho phương trình
Tìm

m

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

R=
Câu 2. (2.5 điểm) Xét biểu thức:
a) Rút gọn

R

x1 , x2

x12 + x2 2 = 34

thỏa mãn

x +2
x + 3 3x + 4 x − 5
−
−
x +1 5 − x x − 4 x − 5

.

b) Tìm số thực

x

để

R > −2

. Tìm số tự nhiên

Câu 3. (2 điểm) a) Giải hệ phương trình:

x

là số chính phương sao cho

 x + xy + y = 0
 2
2
x + y = 8

R

là số nguyên.


a, b, c
b) Cho

ABC

là độ dài ba cạnh của tam giác

. Giả sử phương trình

( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a ) = 0
có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác

ABC

Câu 4. (1.5 điểm) Cho tam giác

HK ⊥ AB

( K ∈ AB )

. Gọi

M

ABC

.

·ABC = 600 , ·ACB = 450
, có

AH ⊥ BC

( H ∈ BC )

. Dựng

là trung điểm của

AC

. Biết

AH = 3

, và dựng

, tính

BC

. Chứng minh

BKMC

là

tứ giác nội tiếp.
Câu 5. (1 điểm) Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A, B, C, điềm trung bình của học sinh ở các tổ
được thống kê ở bảng sau:
Tổ

A

B

C

A và B

B và C

Điểm trung bình

9.0

8.8

7.8

8.9

8.2

Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp.
Câu 6. (1 điểm)Cho tứ giác lồi

( O)

chuyển trên
với

AB

cắt

CD

và đường thẳng

sao cho

ABCD

·
BAD
> 90

( O)
nội tiếp đường tròn

0

vuông góc với

AD

cắt

B, C , D
cố định và các đỉnh

BC

tại

E

di

Ay

, kẻ tia
vuông góc
EFCK
F
K
A
EF
tại . Gọi
là điểm đối xứng của qua
. Chứng minh tứ giác
nội tiếp được

EF

. Kẻ tia

Ax

, có đỉnh

A

luôn đi qua một điểm cố định.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I
x 2 − mx + 2m − 2 = 0 ( 1)

1) Cho phương trình
a) Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm


b) Giả sử

x1 , x2

là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức
( x − 2 x1 + 2 ) ( x22 − 2 x2 + 2 )
2
1

x12 + x22

không phụ thuộc vào giá trị của m

2) Giải hệ phương trình
x = y2 + z2

2
2
y = z + x
 z = x2 + y 2

Câu II. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt
tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K.

1) Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.
Câu III. Cho góc xAy vuông và hai điểm B, C lần lượt trên các tia Ay, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M
thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC.

1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC.
2) Cho B, C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB. AC = k2 ( k không đổi). Tìm giá trị lớn
nhất của diện tích hình vuông MNPQ.

Câu IV. Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nó.

1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim
Câu V. Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bất kỳ thi đấu với nhau
đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các
( D1 ≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6 )
đội lần lượt là D1, D2, D3, D4, D5, D6
. Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua
D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6
đúng một trận và
. Hãy tìm D1 và D6.

Hết


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

Câu 1: a) Giải hệ phương trình:

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
2
 x + 6 y = 6 x
 2
 y + 9 = 2 xy

.

a = 11 + 6 2 , b = 11 − 6 2
b) Cho

. Chứng minh rằng a, b, là hai nghiệm của một phương

trình bậc 2 với hệ số nguyên.

c = 3 6 3 + 10, d = 3 6 3 − 10
c) Cho

. Chứng tỏ rằng c2, d2 là hai nghiệm của một phương trình

bậc 2 với hệ số nguyên.
Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM,
AN lần lượt vuông góc với PB, PC.

a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.
b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3:
a) Cho a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: ab = cd =1. Chứng minh bất đẳng thức:

( a + b) ( c + d ) + 4 ≥ 2( a + b + c + d )
.
b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd = 1. Chứng minh rằng bất đẳng thức:

( ac + bd ) ( ad + bc ) ≥ ( a + b ) ( c + d )
.
Câu 4: Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên

AD, BC tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang.
Câu 5:

a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình
x 2 − 2ax + b = 0, x 2 − 2bx + c = 0, x 2 − 2cx + a = 0
có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân
biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.

b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính
phương( ví dụ S = {5, 20, 44}). Chứng minh rằng trong tập S có không quá một số lẻ.
Hết


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2006 - 2007
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

a) Giải hệ phương trình:
b) Giải bất phương trình:

 2 x 2 + xy = 1
 2
 2 y + xy = 1
3x − 5 x 2 ≤ 5 x − 2

c) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện

xy ( x 2 + y 2 ) ≤ 2

x+ y =2
. Chứng minh rằng

.

Câu 2:

( m + 3) x 2 − 2 ( m 2 + 3m ) x + m3 + 12 = 0 ( 1)
Cho phương trình

với m là tham số.

a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Ký hiệu x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho

x12 + x22
là một số nguyên.

Câu 3:
Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến BC,
AC và AB.

a) Biết rằng x =1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm quĩ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z.. Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong
tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.

Câu 4:
Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C). Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn
(C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.Q không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác
BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B.
Câu 5:


a) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt( trong một trận, đội thắng được 1 điểm, đội
thua 0 điểm, và đội hoà được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm
lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại đượt bao nhiêu điểm và giải thích tại
sao?.

b) Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện là tổng của 6 số bất kì trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại.
Chứng minh rằng tất cả các số đều dương.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2005 - 2006
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

a, b > 0, c ≠ 0
a) Cho

. Chứng minh rằng:

1 1 1
+ + = 0 ⇔ a+b + a+c + b+c
a b c

b) Giải hệ phương trình :

.

1
1
 x2 + y 2 = 1

 x 2 − 1 + y 2 − 1 = xy + 2


Câu 2:

a) Cho

p≥5
là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6
2

và 2p + 1 không phải là số nguyên tố.

b) Tìm tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong đó cách viết thập phân của chúng không chứa
chữ số 4 và chữ số 5.

c) Cho tam thức bậc hai

P ( x2 − 2) = P2 ( x ) − 2

P ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
thoả mãn điều kiện:

.

P ( x ) = P( − x)
Chứng minh rằng

với mọi x.

Câu 3:
Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O 1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp
các tam giác ABD và ACD.


a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO 1O2.
Hãy xác định vị trí của điểm D trên BC sao cho IO là nhỏ nhất.
Câu 4:

a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng
MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 ≥ 2

.

b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kì thuộc đoạn [ 0; 1]. Chứng minh rằng:
x (1− y) + y (1− z) + z (1− t ) + t (1− x) ≤ 2

.
Câu 5:
Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các
chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi k = 1, 2, …, 9 trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp có đúng
k chữ số.
Hết
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2004 - 2005
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

a) Giải hệ phương trình:

 x + y + 5 = 1

 y + x + 5 = 1
x+ y ≥

x < 1, y < 1
b) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện
c) Tìm tất cả các số nguyên

m≥0

. Chứng minh rằng:

x+ y
1 + xy
.

x 2 − ( m − 1) x + m = 0
2

sao cho phương trình:

có các nghiệm đều

nguyên.
Câu 2:

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức:
b) Tìm số dư trong phép chia

A = 38 + 36 + 32004

x 3n +1 + x 2 n + 1

chia hết cho đa thức

x2 + x + 1

.

cho 91.

Câu 3: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuông góc với BC, CA,
AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác A1B1C1 là tam giác cân.


Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C ) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N
là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.

a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định.
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh
rằng DE đi qua trung điểm J của HK.
Câu 5:

a) Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt ( 2 đội bất kì đấu với nhau một
trận). Đội bóng nào thắng được 3 điểm, hoà được 1 điểm, thua không có điểm nào. Kết thúc giải, người
ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hoà và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm
k.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thoã mãn đúng hai trong 4 tính chất
sau:

i)
ii)
iii)
iv)

A là bội số của 5.
A là bội số của 21.
A + 7 là số chính phương
A – 20 là số chính phương.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2003 - 2004
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(a

2

)

(

)

− b 2 x 2 − 2 a 3 − b3 x + a 4 − b 4 = 0

Câu 1: a) Chứng minh rằng phương trình:

b) Giải hệ phương trình

có nghiệm với mọi a, b.


 x + y + xy = 5


3
3

( x + 1) + ( y + 1) = 35

.

an = 22 n +1 − 2n+1 + 1; bn = 22 n +1 + 2n+1 + 1
Câu 2: a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt:

Chứng minh rằng với mọi n có

anbn

.

chia hết cho 5 và

an + bn

không chia hết cho 5.

b)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của
chúng.


Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AA 1. Hạ A1H vuông góc AB, A1K vuông góc AC. Đặt
A1B = x, A1C = y.

a) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và tam giác AHK tương ứng. Hãy tính tỉ số

r′
r

theo x và y. Suy ra giá trị lớn nhất của tỉ số đó

b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x
và y.
Câu 4: a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi
qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi
qua một điểm cố định khác O.
b)Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên
(d). Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 5: a)Cho một mảnh vuông 4 x 4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0
một cách tuỳ ý( mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và
trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành 1, các số 1 thành 0. Chứng minh rằng sau một số
hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về toàn các số 0.
b) Ở vương quốc “ Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh.
Khi hai hiệp sĩ gặp nhau thì màu tóc của họ sẽ đổi sang màu tóc thứ ba ( ví dụ nếu hiệp sĩ tóc xanh gặp hiệp sĩ
tóc vàng thì màu tóc của họ sẽ thành màu đỏ). Hỏi sau một hữu hạn lần gặp nhau thì ở “Sắc màu kì ảo” tất cả
các hiệp sĩ có cùng màu tóc được không?
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

Câu 1: Cho phương trình:

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2002 - 2003

Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

x − x +1 = m

(1) trong đó m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
x2 + y 2 = z 2
Câu 2: Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn:

.

a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3.


xy
b) Chứng minh rằng tích

chia hết cho 12.

Câu 3: Cho đường tròn (C ) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C ) ( A không trùng B và C). Đường
phân giác trong của góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( C) tại điểm K ( khác A). Hạ AH vuông góc với
BC.

a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng

AH 2 + HK 2

c) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng

a luôn luôn là một đại lượng không đổi.

AN
3
=
HK
5
.

a+
Câu 4: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện

1
1
1
=b+ =c+
b
c
a

.

a) Cho a = 1, hãy tìm b, c.
a 2b 2 c 2 = 1

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.

.

Câu 5: Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt ( hai đội bất kì sẽ gặp nhau một
lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, nếu trận đấu kết thúc với tỉ số
hoà thì mỗi đội được 1 điểm. Các đội được xếp hạng dựa trên tổng số điểm. Trong trường hợp một số đội có
tổng điểm bằng nhau thì các đội này sẽ được xếp hạng theo chỉ số phụ. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng
không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà; các đội xếp nhất nhì ba có tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả
các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đội một khác nhau.

N ≥7
a) Chứng minh rằng
.
b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2001 - 2002
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1:
a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là số chính phương.
b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1 ) không là bội của 9, b là bội của bốn nguyên
tố liên tiếp và 2002b là số chính phương.
x+

1
y

Câu 2 Cho x, y là số thực sao cho
x2 y 2 +
a) Chứng

y+
và

1
x

đều là các số nguyên.

1
x y2
2

là số nguyên.
xn y n +

b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho
Câu 3

1
x yn
n

là số nguyên.

a) Cho a, b là các số dương thoả ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( a + b + 1) ( a 2 + b 2 ) +

4
a+b

.
1 1 1
+ =
2m n 3

b) Cho m, n là các số nguyên thoả
. Tìm giá trị lớn nhất của B = m.n
Câu 4. Cho hai đường tròn C1( O1, R1) và C2(O2, R2) tiếp xúc ngoài với tại điểm A. Hai điểm B, C lần
lượt di động trên C1, C2 sao cho góc

·
BAC
= 90o

.

a) Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn thuộc một đường cố định.
b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp các điểm H. Chứng minh rằng độ dài AH không lớn hơn

2R1 R2
R1 + R2

.
c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự câu a) và câu b) trong trường hợp C 1, C2 tiếp xúc
trong tại A.
Câu 5. Giải hệ phương trình :
 x + 1 + x + 3 + x + 5 =

2
2
 x + y + x + y = 80

y −1 + y − 3 + y − 5


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2000 - 2001
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I.

1. Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề
đúng và 1 mệnh đề sai:
a. P: “ A + 51 là số chính phương”
b. Q:”Chữ số tận cùng của A là 1”
c. R:”A – 38 là số chính phương”
2. Có thề xếp hay không các số 0, 1, 2, …, 9 lên các đỉnh của một đa giác đều 10 đỉnh sao cho hiệu 2 số
−3, −4, −5, 3, 4

trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá trị
hoặc 5.
Câu II. Giải các hệ phương trình sau:

1.

( x + y + z ) 3 = 12t

( y + z + t ) 3 = 12 x

3
( z + t + x ) = 12 y

3
( t + x + y ) = 12 z

 xy = x + 3 y

 yz = 2 ( 2 y + z )

 zx = 3 ( 3z + 2 x )

2.

Câu III.

1. Cho 4 số nguyên dương

1 ≤ ak ≤ k

a1 , a2 , a3 , a4

a1 + a2 + a3 + a4

sao cho

với mọi k = 1, 2, 3, 4 và tổng
là
± a1 ± a2 ± a3 ± a4
một số chẵn. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các số có dạng
có giá trị bằng 0.
a1 , a2 , a3 , a4
1 ≤ ak ≤ k
2. Cho 1000 số nguyên dương
sao cho
với mọi k = 1, 2,…,1000 và tổng
a1 + a2 + ... + a1000
± a1 ± a2 ± ... ± a1000
là một số chẵn. Hỏi trong các số có dạng
có số nào bằng 0 hay
không? Giải thích vì sao?
Câu IV.

1. Cho góc vuông xAy và đường tròn (C )tâm O tiếp xúc với Ax, Ay lần lượt tại P và Q. d là một tiếp
tuyến thay đổi của (C ). Gọi a, p, q lần lượt là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng
a2
pq
minh khi d thay đổi thì tỉ số
không đổi.
2. Khẳng định trên có còn đúng không nếu xAy không phải là góc vuông? Vì sao?

Câu V.


a 2 + b 2 + c 2 ≤ 2 ( ab + ac + bc )

1. Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện

( a + b + c) ≤ 2(

ab + bc + ac

(1)

)

Chứng minh bất đẳng thức
(2)
Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không? Vì sao?
2. Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là 3 số thực thỏa p + q + r = 0. Chứng minh bất
apq + bqr + crp ≤ 0
đẳng thức
.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 1999 - 2000
Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.

a) Biết rằng

x1 , x2
là 2 nghiệm của phương trình bậc 2:

ax 2 + bx + c = 0

x13
. Viết phương trình bậc 2 nhận

3
2

x
và

làm 2 nghiệm.

b) Giải bất phương trình

(x

2

+ 4 x + 10 ) − 7 ( x 2 + 4 x + 11) + 7 < 0
2

Câu 2.

n 4 + ( n + 1)

4

a) Khai triển biểu thức
thành dạng 2K + 1 và phân tích K thành tích các thừa số.
b) Cho số nguyên A là tổng bình phương của 2 số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không
thể là tổng lũy thừa bậc 4 của 2 số nguyên dương liên tiếp.
Câu 3. Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác.

a) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của các tam giác PBC, PCA và PAB. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất
S12 + S 22 + S32
của

b) Gọi P1, P2, P3 lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và AB. Đường thẳng đi qua P1 và song
song với BC cắt AB và AC tại B1 và C1. Đường thẳng đi qua P2 và song song với AC cắt BC và BA tại
C2 và A2. Đường thẳng đi qua P3 và song song với AB cắt CA và CB tại A3 và B3. Hãy xác định vị trí
điểm P để tổng diện tích 3 hình thang BCC1B1, CAA2C2 và ABA3B3 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị
đó.
Câu 4. Người ta lát một nền nhà hình vuông có kích thướng n x n ô bằng các viên gạch dạng như hình vẽ bên
dưới sao cho chừa lại một ô không
lát.


a) Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại góc nhà.
b) Hãy chứng minh rằng, luôn tồn tại một cách lát nền nhà có kích thước

2k × 2k

(k nguyên dương) với ô

trống còn lại nằm ở vị trí (i, j ) bất kỳ.
Câu 5.
x + y + x − y = max { x, y}

∀x, y ∈ R

a) Chứng minh đẳng thức

b) Chứng minh đẳng thức

a +b a −b 2 a +b a −b 2
1 1 1
+
− +
+
+ = 4 max  , , 
ab
ab
c
ab
ab
c
 a b c  ∀a, b, c ≠ 0

Trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

Câu 1. Cho phương trình

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

x 2 + mx − 2m2
= ( 2m − 1) x + 6
x + 2m

( 1)

a) Giải phương trình (1) khi m = - 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2. a) Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

2 x − 1 − 2 x − 1 = −1
2 x 2 − x + 2 y = 4 xy
 2
 x + 2 xy = 4

Câu 3. a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (với x > 1):

A=

(x

) ( x x −1)
( x − 1) ( x x + x + x ) ( x + 3)
x + 4x + 3 x

b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện

a + 2b − 3c = 0

bc + 2ca − 3ab = 0

Chứng minh rằng a = b = c
Câu 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau. Gọi M là
giao điểm của AC và BD, P là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác ABD.
PM
DH

a) Hãy xác định tỷ số
b) Gọi N và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ABD; Q là giao điểm của hai đường
thẳng KM và BC. Chứng minh rằng MN = MQ
c) Chứng minh rằng tứ giác BQNK nội tiếp được.
Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần quà tặng để cho các em nhỏ ở một đơn
vị nuôi trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần
giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần quà nữa. Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu kẹo?
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
x2 − 2 x m + 2 m
x −1

Cho phương trình

(

)

m +1 − 3

=0

a) Tìm m để x = -1 là nghiệm của phương trình
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm
Câu 2:

( x + 3) ( x − 1)

− 2 x − 1 < x2 − 7

a) Giải bất phương trình

b) Giải hệ phương trình
Câu 3:

 x y + 2 y x = 3x 2 x − 1

 y x + 2 x y = 3 y 2 y − 1

a) Cho a, b, là hai số thoả mãn điều kiện
a 2 − 3ab + 2b 2 + a = a 2 − 2ab + b 2 − 5a + 7b = 0

Chứng tỏ rằng

(
A=
b) Cho

ab − 12a + 15b = 0

)(

x2 + 4 − 2 x + x + 1

(

)(

x2 + 4 + 2

)

)

x − 2 x +1

x x x −1

·
BAC
= 600

Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và
kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm BC.

. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao

a) Chứng minh rằng tam giác INP đều.
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc
một đường tròn.
·
·
NIP
BCP
c) Giả sử IA là phân giác của góc
. Hãy tính số đo góc


Câu 5: Một công ti may giao cho tổ máy A may 16.800 sản phẩm, tổ B may 16.500 sản phẩm và bắt
đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ

hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B. Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ đầu thì sẽ
hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ, mỗi công
nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2006 - 2007
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1

Cho phương trình:

3 x 2 − 10 x + 4m − 7 = 0 ( 1)

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
b) Tìm tấc cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2
a) Giải phương trình

x + 4 − 2x − 6 = 1

b) Giải hệ phương trình :
Câu 3

 x 2 + 2 y 2 = 6


2
2 xy − y = 3

abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0
a) Cho a, b, c thoả
P=
Tính

.

( a + b) ( b + c) ( c + a)
abc

.

( a + b) ( b + c) ( c + a) ≠ 0

b) Cho a, b, c thoả
Chứng minh rằng a = b= c.
Câu 4

và

a2
b2
c2
a2
b2
c2
+

+
=
+
+
a +b b+c c+a b+c c +a a +b

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trình tâm O, có
6cm, IB = 8cm, ID = 3cm.

AC ⊥ BD

.

và AC cắt BD tại I. Biết rằng IA =


a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN.
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn MN.
Câu 5
Để tặng thưởng cho các học sinh đạt thành tích cao trong một kì thi Olympic toán dành cho học
sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000
đồng bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được 130.000
đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được
thưởng 10.00 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao. Hỏi ban tổ chức trao bao
nhiêu giải nhất, bao nhiêu giải nhì và khuyến khích.
Hết
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2005 - 2006
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

Cho phương trình

x ( x + 1)  mx 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 = 0

.

a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2:

a) Giải hệ phương trình

b) Giải hệ phương trình
Câu 3:
a) Giải phương trình

 x − y = 5

 2 x + 1 − y − 2 = 2
 xy = z

 yz = 4 x
 zx = 9 y



.

x + 6 + x − 3 − x +1 − x − 2 = 0

.

b) Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
Câu 4:

ab + 2bc + 3ca ≤ 0

.


Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam
giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua
BC.
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là điểm thuộc cạnh AB sao cho:
minh rằng C, H, P thẳng hàng.
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Câu 5:

·
·
PMB
= NMC

. Chứng

Trong một kì thi học sinh giỏi của trường , nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 học sinh thì còn thiếu một
em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học
sinh tham dự kì thi, biết rằng mỗi phòng không thể chứa quá 40 học sinh.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2004 - 2005
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
a) Giải phương trình:

x − 4x − 3 = 2

.

x − ( m + 1) x + 2m = 0
2

b) Định m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là
độ dài hai cạnh của góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Câu 2:
a2 + b2 + c 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )

2

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện:
a) tính a + b + c biết rằng
b) Chứng minh rằng nếu
Câu 3

ab + ac + bc = 9
c ≥ a, c ≥ b

thì

.

c ≥ a+b

.

2

2

.


Cùng một thời điểm , một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về thành phố B và một chiết xe
khác XB xuất phát từ thành phố B về thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốt riêng không đổi và
gặp nhau lần thứ nhất tại một điểm cách A 20 km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập
tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe X B đi từ C đến B là 10
phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Tìm vận tốt của từng chiếc ô tô.

Câu 4. Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn
ABC. Tia AI cắt đường tròn (C ) tại K ( K khác A) và J là điểm đối xứng của I và O qua BC.
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông.
b) Tính góc BAC nếu Q thuộc ( C).
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C ) thì P cũng thuộc (C ).
Câu 5.Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tuỳ ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số x, y, z là
độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2003 - 2004
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
mx 2 + 2mx + m 2 + 3m − 3 = 0
Cho phương trình:

( 1)

.

a) Định m để phương trình vô nghiệm.
x1 − x2 = 1
b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả
Câu 2:
x ( x + 2 ) + x ( x − 5 ) = x ( x + 3)

a) Giải phương trình

.

.


b) Giải hệ phương trình:
Câu 3:
Cho tam giác ABC có
giác ABC.

a) Tính tỉ số

MN
BC

( x 2 + y 2 ) ( x 2 − y 2 ) = 144


 x 2 + y 2 − x 2 − y 2 = y

·
BAC
= 45o

.Gọi M và N lần lượt là chần đường cao kẻ từ B và C của tam

.
OA ⊥ MN

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều; mặt
bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính diện tích tamg giác SIJ theo a.
b) Họi H là chân đường cao kẻ từ S của tam giác SIJ. Chứng minh SH vuông góc với AC.
Câu 5:
Lớp 9A có 28 học sinh đăng kí dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hoá của trường Phổ Thông
Năng Khiếu. Trong đó: không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hoá;
Có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý
bằng số học sinh chỉ thi vào lớp Toán; Có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hoá; Số học sinh chọn
thi vào lớp Lý và lớp Hoá gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý, Hoá. Hỏi số học sinh
thi vào từng lớp là bao nhiêu.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2002 - 2003
Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.
Cho phương trình

x + 2 x − 1 − m 2 + 6m − 11 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
Câu 2.

(

)

 x + y + m x 2 + 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 = 1 − m


 x y = −6

Cho hệ phương trình:

.

a) Giải hệ khi m = 0.
b) Giải hệ phương trình khi m = 1.
Câu 3:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD. Biết rằng đường tròn
8+2 3
ngoại tiếp hình chữ nhật có đường kính bằng
·
DAI
= 45o

và

·
IDA
= 30o

và tồn tại điểm I thuộc MN sao cho

.

a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính diện tích tam giác NKH.
Câu 4.
Tam giác ABC có góc ABC bằng 30o và góc ACB bằng 150. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC.
a) Tính góc PON. Chứng minh rằng A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
Câu 5.
2 x + a = bx + 5 ∀x ∈ ¡
a) Tìm tất cả các số thực a, b, sao cho
ax + b = cx + d = ex + f
b) Cho a, b, c , d, e, f là các số thực thoả điểu kiện:
Biết a, c, e khác không. Chứng minh rằng ad = bc.
Hết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG
NĂNG KHIẾU

với mọi số thực x.

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2001 - 2002

Môn thi: TOÁN AB
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1.
a) Giải bất phương trình

b) Giải hệ phương trình:

x +1 > 2x −1
1 7

 x + y = 2

y + 1 = 7

x 3

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình:
có nghiệm chung đồng thời các phương trình

x2 + x + a = 0

và

x 2 + ax + 1 = 0

x 2 + cx + b = 0

và

x 2 + bx + c = 0

cũng có nghiệm chung.

Hãy tìm tổng a + b + c.
Câu 3.
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
AM = CN =

AB
3

. Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác
ADK nằm trên BC.
b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm của hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng

AC ⊥ ( SBD )

và

( SAC ) ⊥ ( SBD )

.
Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2. BC =13, CD = 8, DA = 5.
a) Đường thẳng BA cắt DC tại E. Tính AE.
b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.
Câu 5. Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thằng được 1 điểm, hoà
được 0.5 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kì thủ nhận

được số điểm khác nhau và kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng số điềm của 4 kì thủ xếp cuối
cùng. Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thứ 5 kết thúc với kết quả như thế nào.
Hết