Cac dang bai tap toan 9 (on thi)

Các dạng bài tập lớp 9
Đại số
Căn thức rút gọn biểu thức

CHủ đề 1:
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại : A Có nghĩa A 0
2. Hằng đẳng thức:
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:

A2 = A
A.B =
A
=
B

4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
5. Đa thừa số ra ngoài căn:
6. Đa thừa số vào trong căn:

A 2 .B = A B .
A B=
A
B

=

( A < 0; B 0)

A.B

B

A B

=

( A 0; B > 0)

( A 0; B 0)

A 2 .B

C

8. Trục căn thức ở mẫu:

A

B
( B 0)

A B = A 2 .B

7. Khử căn thức ở mẫu:

( A 0; B 0)

A. B

( B > 0)

C( A B )
A B

Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
2
x2

1) 2 x + 3

2)

5) 3x + 4

6) 1 + x 2

Rỳt gn biu thc
Bài1
1) 12 + 5 3 48
4) 3 12 4 27 + 5 48

3)

2) 5 5 + 20 3 45
5) 12 + 75 27

7) 3 20 2 45 + 4 5
10)

1

52

+

1
5+2

7)

4
x+3
3
1 2x

4)
8)

3) 2 32 + 4 8 5 18
6) 2 18 7 2 + 162

8) ( 2 + 2) 2 2 2
11)

2
43 2

13) ( 28 2 14 + 7) 7 + 7 8
15) ( 6 5 ) 2 120
17) (1 2 ) 2 + ( 2 + 3) 2
19) ( 5 3) 2 + ( 5 2) 2

21) 4 x + ( x 12) 2 ( x 2)



2
4+3 2

5
x +6
3
3x + 5
2

1

9)

5 1



1
5 +1

12) 2 + 2

1+ 2
14) ( 14 3 2 ) 2 + 6 28

16) (2 3 3 2 ) 2 + 2 6 + 3 24

18) ( 3 2) 2 + ( 3 1) 2
20) ( 19 3)( 19 + 3)
22)

7+ 5
7 5

+

7 5
7+ 5

23) x + 2 y ( x 2 4 xy + 4 y 2 ) 2 ( x 2 y )

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

1


Bài2:
1) 3 + 2 2 + 3 2

(

)

(

Các dạng bài tập lớp 9

)

2) ( 2 3 ) 2 ( 2 + 3 ) 2

2

4) 8 + 2 15 - 8 2 15
4+2 3 + 42 3

(

5) 5 + 2 6
5

32 2

5



)

3) ( 5 3) 2 +

+ 8 2 15

(

)

5+3

2

6)

3+ 8

Gii phng trỡnh:
1) 2 x 1 = 5
2) x 5 = 3
3) 9( x 1) = 21
4) 2 x 50 = 0
5) 3 x 2 12 = 0
6) ( x 3) 2 = 9
7) 4 x 2 + 4 x + 1 = 6
8) (2 x 1) 2 = 3
9) 4 x 2 = 6
10) 4(1 x) 2 6 = 0 11) 3 x + 1 = 2
12) 3 3 2 x = 2
II. các bài toán rút gọn:
A.các bớc thực hiên:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1

Cho biu thc : A =

x
2x x

vi ( x >0 v x 1)
x 1 x x

1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti x = 3 + 2 2
Bi 2.

Cho biu thc : P =

a+4 a +4
a +2

+

4a
2 a

( Vi a 0 ; a 4 )

1) Rỳt gn biu thc P.

2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =

x +1 2 x x + x
+
x 1
x +1

1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A = (1 +

x+ x
x x
)(1
)
x +1
x 1

( Vi x 0; x 1 )

a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

2


Các dạng bài tập lớp 9

Bài 5: Cho biểu thức : B =

1
2 x 2



a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để A =
Bài 6: Cho biểu thức : P =
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức:

1
2 x +2

+

x
1 x

1
2
x +1
x 2

Q=(

+

2 x
x +2

+

2+5 x
4 x

1
1
a +1
a +2

):(

)
a 1
a
a 2
a 1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5

a
1 a a a + a

Bài 8: Cho biểu thức: M =



a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4

2

2 a a + 1

a 1

Bài 9 : Cho biểu thức : K = 15 x 11 + 3 x 2 x + 3
a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=

1
2

Bài 10 : Cho biểu thức:
1.
2.
3.

4.
5.
6.
7.

x + 2 x 3 1 x

x +3

d. Tìm giá trị lớn nhất của K
x 2
x + 2 x 2 2x + 1

.

G=

x

1
2
x
+
2
x
+
1

Xác định x để G tồn tại
Rút gọn biểu thức G
Tính số trị của G khi x = 0,16
Tìm gía trị lớn nhất của G
Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
Tìm x để G nhận giá trị âm
x+2
x
1 x 1
:
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
Với x 0 ; x 1
+
+

2
x
x

1
x
+
x
+
1
1

x

a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1

1
1
a 2 +1 1
. 1 +
Bài 12 : cho biểu thức
Q=
+

2
1

a
2
+
2
a
2

2
a

a
a. Tìm a dể Q tồn tại
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

3

Các dạng bài tập lớp 9
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=

x3
xy 2 y

+

2x

.

1 x

2 xy + 2 y x x 1 x

a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
3 a

Bài 14:Xét biểu thức: P=
1)Rút gọn P

a +4

+

a
a 4

+

4( a + 2 ) 2 a + 5

: 1
16 a
a + 4

(Với a 0 ; a 16)

2)Tìm a để P =-3
3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
---------------------------------CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất

I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ
một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng: y = ax + b Trong đó a; b là các hệ số a 0
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y = ax + b là hàm số bậc nhất là: a 0
Ví dụ: Cho hàm số:
y = (3 m) x - 2 (1)

Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất 3 m 0 0 m 3
Tính chất:
+ TXĐ: x R
+ Đồng biến khi a > 0 . Nghịch biến khi a < 0
Ví dụ: Cho hàm số:
y = (3 m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến 3 m > 0 0 m < 3
+ Hàm số (1) Nghịch biến 3 m < 0 0 m > 3
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng b.
b
a

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y=
ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải:
Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :

+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a , .
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

4


Các dạng bài tập lớp 9
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b = b ' .
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a.a ' = 1.
+ Song song với nhau: (d1) // (d2) a = a , ; b b ' .
+ Trùng nhau: (d1) (d2) a = a , ; b = b ' .
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d1)
V
y = 2 x m (d2)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
3 m = 2
m = 1

{m = 1
2 m
m 2
b/ (d1) cắt (d2) 3 m 2 m 1

a/ (d1)//(d2)

c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung m = 2 m = 2
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.

+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tg = a
Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù ( 180 0 )
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox

Giải:
Ta có: Tg = 2 = Tg 630 = 630.
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: = 630.
Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có: Tg (180 0 ) = 2 = Tg 630 (180 0 ) = 630 = 117 0.
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: = 117 0.
Các dạng bài tập thờng gặp:

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

5


Các dạng bài tập lớp 9
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các ví dụ ở trên.
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x
vào (d1) hoặc (d2) ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng
không biết trực tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.

+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
-Dng 3: Tớnh gúc to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì
điểm M không thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1).
Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 =0
x0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
Y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :

Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có:
2 = (m2 -1) .1 + m2 -5
m2 = 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 v (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

6


Các dạng bài tập lớp 9
1) Tỡm m (d1) v (d2) ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d1) v (d2) trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao
im ca hai ng thng (d1) v (d2) bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s
ng bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay
nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m 0) v y = (2 - m)x + 4 ; (m 2) . Tỡm iu kin ca
m hai ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti
mt im trờn trc tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =

1

x v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
2

Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im
A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d1): y =

1
x + 2 v (d2): y = x + 2
2

a/ V (d1) v (d2) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d1) v (d2) vi trc Ox , C l giao im ca (d1) v (d2)
Tớnh chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố
định B . Tính BA ?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

CHủ đề 3:
hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
I. các kháI niệm:

Phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

7


Các dạng bài tập lớp 9
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a 0 hoặc b 0)
+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu a 0; b 0 thì đờng thẳng (d)
a
b

c
b

là đồ thị của hàm số bậc nhất: y = x + .
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
ax + by = c.(1)

+ Dạng:

,
,
,
a x + b y = c .(2)

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ phơng trình tơng đơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.phơng pháp giảI hệ phơng trình:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế:
a) Quy tắc thế:
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào ph ơng
trình thứ hai để đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình
thứ nhất cũng thờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1).
Ví dụ: xét hệ phơng trình:
x 2 y = 1.(1)

3 x + 2 y = 3.(2)

+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có: x = 1 + 2 y.(*)
Thay x = 1 + 2 y.(*) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1 + 2 y ) + 2 y = 3.(**)
+ Bớc 2: Thế phơng trình (**) vào phơng trình hai của hệ ta có:
x = 1 + 2 y

3(1 + 2 y ) + 2 y = 3

b) Giải hệ :

x = 1 + 2 y

x = 1 + 2 y
x = 1 + 2 y
x =1




3(1 + 2 y ) + 2 y = 3
3 + 6 y + 2 y = 3
y = 0
y =0

Vậy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số:
a)Quy tắc cộng đại số:
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên
phơng trình kia)
Lu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
8
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang


Các dạng bài tập lớp 9
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng
hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.

4 x + y = 2

x y = m


8 x + 3 y = 5


2 x + y = 4


4 x + 6 y = 2


5 x 4 y = 1

2 x 3 y = 1
x + 4 y = 2

3 x + 2 y = 6


x y = 2

2 x + 3 y = 5

3 x y = 7


x + 2 y = 0

x y = 2

2x 3y = 2
4x + 6y = 2



3 x + 2 y = 4
2 x 3 y = 9
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
2 x 11 y = 7



3 x + y = 3

2 x + 5 y = 8


10 x + 11 y = 31


2 x y = 7


2 x 3 y = 0

6 x 3 y = 7



3 x + 2 y = 2
3 x 2 y = 3
3 x + 2 y = 1

2 x y = 3

5 x + 2 y = 4

2 x 3 y = 11
4 x + 6 y = 5
3 x 2 y = 4

6 x 4 y = 3

2 x + 5 y = 2
6 x 15 y = 6



Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau
2( x + y ) + 3( x y ) = 4
( x + y ) + 2( x y ) = 5

1
x +


1
x

1 4
=
y 5
1 1
=
y 5



Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
2 x y = 2
2 x y = 4
x + y = 3
c)
2 x 3 y = 4

a)

3x + 4 y = 2
6 x + 8 y + 3 = 0

e)

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
1 1 5
x + y = 8

a)
1 1 = 3
x y 8

2
1
x y 2 = 2

b)
3 + 1 1= 0
x y 2
( m 3) x + y = 5
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
x y = 7

1
x 2 +


2
x 2

1
=2
y 1

3
=1
y 1

2 x + 5 y = 1
10 x 5 y = 20
2 x + 3 y = 4
d)
5 x + 7 y = 9

b)

x y
2 3 = 1
f)
x + 2y = 8
4 3
1
4
x + 2y x 2y =1

c)
20 + 3 = 1
x + 2 y x 2 y

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

9

Các dạng bài tập lớp 9
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
ax y = 2
x + ay = 3

Bài 4 : Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
ax 2 y = a
2 x + y = a + 1

Bài 5 : Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:

2 x + (m 4) y = 16
(I)

(4 m) x 50 y = 80

b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :

a) 8 + x + 5 x = 5
b) 2 x 2 + x 2 + 8 = 4

CHủ đề 4: hình học
I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao:

+ b 2 = a.b , ; c 2 = a.c ,
+ h 2 = b , .c ,
+ a.h = b.c

+ a2 = b2 + c2
+ a = b, + c,
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

10


Các dạng bài tập lớp 9
+

1
1 1
= , + ,
2
h
b c

2
,

2
,
+ b 2 = b , .; c 2 = c ,

c

c

b

b

Hệ thức giữa cạnh và góc:

Tỷ số lợng giác:
Sin =

D
K
D
K
; Cos = ; Tg = ; Cotg =
H
H
K
D

Tính chất của tỷ số lợng giác:
1/ Nếu + = 90 0 Thì:

Sin = Cos
Cos = Sin

Tg = Cotg
Cotg = Tg

2/Với nhn thỡ 0 < sin < 1, 0 < cos < 1
*sin2 + cos2 = 1
*tg = sin /cos



*cotg = cos /sin
*tg . cotg =1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
b = a.SinB.; c = a.SinC

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:
b = a.CosC.; c = a.CosB

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:
b = c.TgB.; c = b.TgC

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
b = c.CotgC .; c = b.CotgB

Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 7, c = 3. Gii tam giỏc ABC?

Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b = 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b = 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 4.8, BC =10. Gii tam giỏc ABC?
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c = 3.
Gii tam giỏc ABC?
Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 12, a = 20. Gii tam giỏc ABC?
Bi7: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c = 5.
Gii tam giỏc ABC?
0
0.
Bi 8: Cho tam giỏc ABC vuụng cú A = 90 , b = 5, B = 40 Gii tam giỏc ABC?
Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú a = 15, B = 600. Gii tam giỏc ABC?
Bi 10:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 3, C = 400. Gii tam giỏc ABC?
Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, B = 550. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m a = 5, h = 4.
Gii tam giỏc ABC?
Bi13: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, trung tuyn ng vi cnh huyn m a = 5, mt gúc nhn
bng 470. Gii tam giỏc ABC?
11
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang


Các dạng bài tập lớp 9
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g a = 5.
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g a = 5. Gúc C =
300. Gii tam giỏc ABC?
II. Đờng tròn:
.Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc

+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc
+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn
thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó)
.
Tính chất đối xứng:
+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.
Các mối quan hệ:
1. Quan hệ giữa đờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn.
Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn:
+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn Không có điểm chung d > R (dlà khoảng cách từ tâm
đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn Có 1 điểm chung d < R.
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn Có 2 điểm chung d = R.
Tiếp tuyến của đờng tròn:
1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp
điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đờng
tròn là tiếp tuyến của đờng tròn đó.
Bài Tập tổng hợp học kỳ I:
Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác
tại D
a/ Chửựng minh: AD là đờng kính
b/ Tính góc ACD
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đờng tròn tâm (O)

Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn
( B , C là tiếp điểm )
a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB . Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn .
G ọi E , F lần lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vuông góc kẻ từ
C đến AB. Chửựng minh:
a/ CE = CF
b/ AC là phân giác của góc BAE
c/ CH2 = BF . AE
Bài 4: Cho đờng tròn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đờng tròn ( M khác A,
B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

12


C¸c d¹ng bµi tËp líp 9
CN NB
=
AC BD
b/ MN ⊥ AB

a/

c/ gãc COD = 90º
Bµi 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng
với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE ⊥ AB

b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa
đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba
lần lượt cắt Ax và By tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 900
b) Chứng minh: AC.BD = R2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và
(d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường
thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Chứng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn
ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
C¸c d¹ng to¸n vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai
bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iỊn tiÕp vµo chç (.........)
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 -27x = 0  3x(x-……) = 0  3x= 0 (1) hc .........................(2)
Gi¶i(1) x=…………
Gi¶i(2) x=…………
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã…….nghiƯm …………………………..
2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x2 - 45 = 0  x2-…… = 0  x2 = 9  x1,2=………………
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã…….nghiƯm …………………………..

3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 -2007x +2005= 0
(a=…..;b=…..;c=……)
13
Ngun ThÞ LÜnh – Trêng THCS KiÕn Giang


Các dạng bài tập lớp 9
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ; ..
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x2 +7x -5= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ; ..
5) Giải phơng trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*)
Đặt x2 = y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..
Với y1=; y2=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y1==> x2 =..<=>
y2==> x2 =..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
6) Giải phơng trình: x + 5 x 6 = 0 (*)
Đặt x = y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2==..

Với y1=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y1=(loại)
y2=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x2 = y
Nên y2==> x =..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x2 - 50 = 0
c)54x2 = 27x
e)y+ y -6=0
2
b) 3 x + 5 = x 2 2
4
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x2 -17x - 20 = 0
b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0
c) x2 + x + 1 = 0

d) y+

y =0

f)y-5

y +4=0

d) x2 - 4x + 4= 0
e) x2 + 3x - 1 = 0
f) x2 - x + 2 2 = 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x4 - 5x2 - 6 = 0

6) x 2 + 2 x 2 2 x 2 + 2 x 3 = 0
2) x4 + 7x2 - 8 = 0
3) x4 + 9x2 + 2 = 0
7) y 2 + 5 y 2 8 y( y + 5) 84 = 0
2x
1
4) 2
=2+
8) y 2 5 5 y 2 5 = 6
x +1
x 1

(

5)

x
x +1
+
= 2
x +1
x

(

(

)

)

)

(

)

9) x 2 + 4 x 2 2 + 2 = 0

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

14


Các dạng bài tập lớp 9
bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x1=2 thì:
5.22 +m.2 -m2-12=0
8+m.2 -m2=0
m2-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '=..=..> 0 => ' =
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m1==.. ; m2==..
+)Với m1= phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.
m
.
5
4
Mà x1=2 ; m1= Nên 2 + x2 =- x2=.=..
5

lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =-

+)Với m2= phơng trình(1) có một nghiệm x1=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =-

m
.
5

Mà x1=2 ; m2= Nên 2 + x2 =.. x2=.=..
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b2x2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x2 + 5x + k = 0
c) x2 - (2k+3) + 4k + 2 = 0
2
b) x + kx + 2 = 0
d) (k-1) x2 + kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
3x+1=0 x=

=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m2 - 4m + 12
= m2 - 2(.).m +(..)2-.. +12 = ( - .)2 +.
Nhận thấy: ( m - .)20 Với mọi m 3 ( m - .)2 + 8 .>0 Với mọi m 3
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x2+(m+1)x+m=0
b) x2 -mx + m - 4 = 0
2
c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0
d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0
2
e) (m+1)x + x - m = 0
15
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang


Các dạng bài tập lớp 9
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0
30-5m < 0 .<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x2 + 2x + m - 1 = 0

b) x2 + mx + 7 = 0
c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0
d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 5 = 0
2
2
e) (m + 4 m +4)x + mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình :
(m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m =..lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '==..= -mm+4
<4
m3
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1= (m 2) + 4 m ;.
-Khi '=0 hay -m+4 =0 m= 4
lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x1=.=

m3

(m 2)
=2 (do m= 4)

m3

-Khi '>0 hay -m+4 <0 . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm
Vậy m = ..thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.





Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5
b) 3- 5 và 3 + 5
c) 3-

2 và 3 +

2

d)

1
3 2 2

và

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

1
3 +2 2

16


Các dạng bài tập lớp 9
e)

1
1
và
với a b
a +b
a b

bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- 5 và 1 + 5
Giải:
Đặt x1=3- 5 và x2= 3 + 5
Ta có: x1+x2=+= 6
x1.x2=(.).(..)=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm của phơng trình: .= 0
Vậy phơng trình cần lập là:..
Bài 13 : Cho phơng trình : x2 + 5x - b = 0 có hai nghiệm x1 ; x2
Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :
y1 = x12 + 1 và y2 = x22 + 1
Bài 14:Cho phơng trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0
Có 2 nghiệm x1và x2 .Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 và y2 thoả mãn :

y2 = x12 + 1 và y1 = x22 + 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
x + y = 5
a)
x.y = 35

x y = 11
b)
x.y = 60

x 2 + y 2 = 25
c)
x.y = 12

bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x2 - 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x2 - 7x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x2 - 7x+2 = 0
(a=..; b=.; c=.)
Ta có : =.= 9 > 0
............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) x2 + 11x + 5 = 0
Giải: phơng trình: x2 +11x+5 = 0

(a=..; b=.; c=.)
Ta có : =.= . > 0
............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x2 + x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x2 + x +2 = 0
(a=..; b=.; c=.)
Ta có : =.= ..< 0
=> phơng trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
các phơng trình sau :
1) 3x2 + 5x - 1 = 0
3) 5x2 - 14x + 1 = 0
2
2) 7x -3x + 1= 0
4) 2x2 - 4x - 3 = 0
5) 4x2 - 3x +2 = 0
6) x2 +5x +1 = 0
2
bài mẫu: Cho phơng trình : x - 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

17

Các dạng bài tập lớp 9
hai nghiệm cùng dấu dơng ?
Giải: phơng trình : x2 - 2x + m-3 = 0 (*)
(a=..; b=.; c=.)
' > 0
......................................(1)

Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì: x 1 + x 2 > 0. hay . ......................................(2) .
x .x > 0
.......................................(3)
1 2


Giải(1): 4-m > 0 .<=>
Giải(2): 2 > 0 luôn đúng
Giải(3): . > 0 .<=>
Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:
Vậy m
Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
1) có 2 nghiệm trái dấu
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
2) có 2 nghiệm cùng dấu
5) Có 2 nghiệm cùng âm
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x2 - 2mx + (m-1)2 = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x2 - 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
c) x2 - 2x + 2m -30 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x2 - 6x - 8 = 0

Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x1; x2là nghiệm của phơng trình)
1) S = x1 + x2 ; P = x1. x2
x
x
1
1
+
2) A = x12 + x22 ;
B=
;
C= 1 + 2 ;
D = x13 + x23
x1 x 2
x2
x1
3
3
E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ;
F = x 1 - x2
Bài 20 : Cho phơng trình : x2 - 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x1 - x2 = 2
; 3) 2x1 + 3x2 = 36
2) x1 = 3x2
; 4) x12 + x22 = 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia

b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x2 - 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x12 + x12 theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm
Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phơng trình: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)
(a=..;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= m2-8m+24
18
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang


Các dạng bài tập lớp 9
= m -2m(..)+(.) -+24
=(..-)2 +
Nhận thấy: (..-)2 0 với mọi giá trị của m
=> (..-)2 +..> 0 với mọi giá trị của m
Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2

2

............... = ............
.
................ = ..........

áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

(I)

Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (+)
Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)(..-)
=. = - 4m2+ 42m - 90
-A = 4m2- 42m - 90
= (2m)2-2.2m(..)+(.)2 -- 90
=(-)2 -
Nhận thấy: (..-)2 0 với mọi giá trị của m
<=> (..-)2 -.. với mọi giá trị của m
Hay -4A với mọi giá trị của m A.. với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (ẩn x)
Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x1 , x2 là
nghiệm của phơng trình (1) )
Giải:
phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= 0 (1) (ẩn x)
(a=..;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ' 0 hay m
Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =..

mà m .=> 6m. 6m+.............. Hay A.
Dấu "=" xảy ra khi m =.............
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là .........khi m=........
Bạn hãy tự phân chia các bớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x21x2 + x22x1 theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x21x2 + x22x1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1)
Bài 25 : Cho phơng trình: x2 - (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

19


Các dạng bài tập lớp 9
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x1+x2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x1+x2+x1.x2+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m

d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x1 + x2
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài 29 : Cho phơng trình: x2 - (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1)
(ẩn x)
a) Với giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x1 + x2 ; S = x1. x2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x2 - (2m+5)x + m + 3 = 0
b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0
2
2
c) x + (m-1) x+ m + 5m = 0
d) (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x2 - (2m-1)x+ m2 - m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình :
x2 - 7x + 6 = 0
x2 + (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = 0 và x2 + mx + 1 = 0
a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x2 - (3m+2) x + 12 = 0

4x2 - (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x2 +(3m+2n)x - 4 = 0
x2 + (2m-3n)x + 2n = 0
2
Bài 36 : Cho hai phơng trình x + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2 = 0
Biết rằng: p1p2 = 2(q1 + q2) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax2 + bx + c = 0
(1)
2
và a1x + b1x + c1 = 0
(2)
Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)
Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc
vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x12 +x22
Bài 39: Cho phơng trình: x2 - (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5
20
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

Các dạng bài tập lớp 9
e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó
Bài 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x1,x2 là nghiệm của phơng trình .Tính S= x12 + x22 theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lập với a.
4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn

1
1
+ nhận giá trị dơng
x1 x 2

Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x2 + 5 x +m2 - 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1)
a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thức
A=

1
2(2 x 1 + 3)

2

+

1
2(2 x 2 + 3) 2

theo p ,q

b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là

x1 + 1
x +1
và 2
x1 1
x2 1

d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x2 + n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 là độc lập với m.
b. Tìm m để x1- x2 =6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x12 x2 + x22 x1

3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1Chuyên đề :
giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình
dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính
quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều
nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nh ng ngời đi chậm xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính
vận tốc ở mỗi ngời.

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

21


Các dạng bài tập lớp 9
Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ
nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của
mỗi xe.
Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định
là 45 phút nên ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời
đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc
bận cần đi theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h.
Lên thời gian về ít hơn thời gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng
đi từ A đến B và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc

của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều
nhau họ gặp nhau lúc 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A
hơn vận tốc ngời đi từ B là 3 km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi
hành lúc 6 giờ 30 phút. Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô
tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô
tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều
nhau, gặp nhau ở C cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ
A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đ ờng đầu. Ô
tô đi với vận tốc dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ.
xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên
quãng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau
khi đợc 1 giờ. Ô tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận
tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một
ngời đi từ A đến B hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc
lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc đi bằng vận tốc xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận
tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB.
Thời gian đi AB là 4 giờ 20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc
xuống dốc là 15 km/h, vận tốc lên dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc
lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốc xuống dốc lúc về).
Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ
bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền. Biết rằng ca nô chạy
nhanh hơn thuyền là 12 km một giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều

hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi
vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngợc dòng.
Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến
sớm 2 giờ, nếu ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc
dự định.
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

22


Các dạng bài tập lớp 9
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận
tốc thực cuả ca nô. Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng
nớc là 4 km/h.
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km.
Một lần khác ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc
riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết
vận tốc của dòng nớc là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h,
ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp.
Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi cùng một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau.
Sau
1 giờ 40 phút 2 ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng
lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9 km/h. Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một
chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.

Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu
của ô tô.
Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h .
Do đó thời gian về ít hơn thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút . Biết vận
tốc thực của ca nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời
thứ nhất ít hơn vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là
4 giờ . Tính vận tốc và thời gian đi quang đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về
A ngời ấy đi vòng con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc
lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc lúc đi .Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3
km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng
AB dài 30 km. Sử dụng tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc
theo bờ sông hớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm
cách bến A 8km . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và
vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày,
họ cùng làm với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do
cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày.
Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong công việc trên (với năng suất bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm
trong 5 giờ và Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
mình làm công việc đó thì trong mấy giờ xong.

3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một

4

Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

23


Các dạng bài tập lớp 9
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy

2
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao
15

nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì
đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vờng thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày xong.
Nếu mỗi lớp tu sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp
9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc.
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành

2
3

công việc . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ
làm một mình thì trong bao lâu xong công việc.
Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ.
Nếu tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một

mình mỗi tổ cần làm trong bao lâu mới hoàn thành công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải điều đi làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi
nếu làm một mình mỗi ngời làm trong bao lâu thì xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng
cộng số giờ làm việc là 12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì
xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm riêng thì mất bao lâu xong việc.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau 4
chảy bằng 1

4
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1
5

1
lợng nớc ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
2

Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng
trong thực tế ngời 1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì
cả hai ngời chỉ làm đợc

3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu
4

xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất
làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó
một mình thì trong bao lâu xong công việc.
II. tăng năng xuất :

Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên
mỗi ngời còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Bài 2 : Hai đội thuỷ lợi gồm 5 ngời đào đắp một con mơng. Đội 1 đào đợc 45 m3 đất, đội hai
đào đợc 40 m3 . Biết mỗi công nhân đội 2 đào đợc nhiều hơn ccông nhân đội 1 là 1m 3 . Tính số
đất mỗi công nhân đội 1 đào đợc.
Bài 3 : Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm đợc 4 ha
nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định.
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

24


Các dạng bài tập lớp 9
Bài 4 : Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế mỗi
ngày đã dệt thêm đợc 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trớc 3 ngày mà
còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch . Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc
đầu.
Bài 5 : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong 1 thời gian quy định thì mỗi
giờ phải bơm 10 m3 . Sau khi bơm đợc

1
dung tích của bể chứa, ngời công nhân vận hành cho
3

máy bơm với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đợc 15 m3 do đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so
với thời gian quy định. Tính dung tích bể chứa.
Bài 6 : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian
làm theo năng suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất
giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày ( tăng, giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến
theo kế hoạch.

Bài 7 : trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ một vợt mức
15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ
sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 8 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ
1 sản xuất vợt mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc
945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết
máy ?
Bài9 . Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt đợc 30 tấn cá . Nhng thực tế mỗi
ngày đánh bắt thêm đợc 8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc 2 ngày mà còn
đánh bắt vợt mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 10. Trong một buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất cả 180 cây.
Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc bằng số cây các bạn nữ trồng và mỗi bạn nam trồng
nhiều hơn mỗi bạn nữ là 5 cây.Tính số học sinh nam và nữ.
IV. Toán hình học :
Bài 1 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau2m.
Tìm các cạnh góc vuông của tam giác.
Bài 2 : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn
( thuộc đất của vờn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m 2.
Tính các
kích thớc của vờn.
Bài 3 : Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 13/12 cạnh
còn lại bằng 15m. Tính cạnh huyền.
Bài 4 : Tìm hai cạnh của tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông
là 7 cm.
Bài 5 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu chiều rộng tăng thêm 5 m và chiều
dài tăng thêm 3 m thì diện tích sẽ tăng thêm 195 m2. Tính các kích thớc của miếng đất.
Bài 6 : Tìm các kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tíc bằng 875m2
Bài 7 : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m 2. Tính cạnh đáy của hình tam giác biết rằng
nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10

m . Thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2. Tính chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính các cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết hiệu của chúng bằng 4 m và diện
tích tam giác bằng 48 m2 .
Nguyễn Thị Lĩnh Trờng THCS Kiến Giang

25