Toán khó lớp 6

đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2003 - 2004
Thời gian 120
Đề Bài

Câu 1.
a) Tính nhanh tổng các số thập phân sau :
19,75 + 18,5 + 17,25 + 16 + + 2,25
b) Tìm x biết: [(3x+ 8) : 2] 6 = x
Câu 2.
a)Tìm một số A có 4 chữ số, biết A chia cho 131 còn d 112 nhng khi chia A cho
132 ta nhận đợc số d là 98 .
b)Tìm số nguyên a sao cho :
a+ (a+ 1) + + 2002 = 2002
trong đó tổng ở vế trái là tổng của các số nguyên liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ số
nguyên a đến 2002
Câu 3. Cho x, m, n N*. Hãy so sánh hai tổng sau:
2005 2003
2004 2004
A= m + n
và B = m + n
x
x
x
x
Câu 4. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , biết rằng một trong hai số đó chia hết cho 9 .Tổng
của hai số đó là một số có đặc điểm sau:
a) Gồm ba chữ số
b) Là bội của 5
c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là bội số của 9
d)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là bội của 6.

Câu 5: Các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên một đờng thẳng sao cho:AB = 3BC
= 2CD
Hãy tính tỷ số :

BD
AD

18


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2004 2005
Thời gian 120
Đề Bài

Bài 1.

a)Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thoả mãn đẳng thức

46 46 46 46
+
= . .
p
q
p q

b) Tìm hai số có ba chữ số biết rằng tổng của hai số đó chia hết cho 489 và số lớn
gấp 5 lần số bé.
Bài 2.
Cho hai số nguyên dơng a, b. Biết rằng trong 4 mệnh đề P, Q, R, S dới đây có duy

nhất một mệnh đề sai:
P. a = 2b + 5
Q. (a + 1) chia hết cho b
R. (a + b) chia hết cho 3
S. (a + 7b) là số nguyên tố
a) Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong 4 mệnh đề trên (giải thích)
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dơng a, b thoả mãn ba mệnh đề đúng còn lại
Bài 3.
a) Chứng tỏ rằng

1
1
1
1
1 5
+ + + ... +
+
> .
15 16 17
43 44 6

b) Một ô tô chạy quãng đờng AB trong 3 giờ. Giờ đầu ô tô chay đợc

2
quãng đ5

2
quãng đờng còn lại và 4km. Giờ thứ 3 chạy nốt 50km
5
cuối. Tính vận tốc trung bình trên quãng đờng AB

Bài 4.
a) Cho ba điểm A, B, C trên mặt phẳng, biết rằng số đo các đoạn thẳng là:AB =
2a, AC = 3a, BC = 4a (a 0). Chứng tỏ rằng ba điểm A, B, C không thẳng
hàng.
b) Trên đờng thẳng xy cho n điểm phân biệt. Hỏi trên hình vẽ có bao nhiêu đờng
thẳng, bao nhiêu tia, bao nhiêu đoạn thẳng ? (nêu kết quả và cách làm)

ờng AB, giờ thứ hai chạy đợc

19


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2005 - 2006
Thời gian 120
Đề Bài
Câu 1.
Cho a, b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu có ít nhất một trong hai số
chia hết cho 5 thì số B = a.b(a + b) trong hệ ghi thập phân có chữ số tận cùng là 0.
Câu 2.
Trong dãy 10 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1 có nhiều nhất là bao nhiêu số nguyên tố ?
a+3
Q=
Câu 3. Cho biểu thức
a-2
a) Với những giá trị nào của a thì Q nhận giá trị nguyên
b) Với những giá trị nào của a thì Q là 1 phân số tối giản
Câu 4.
1
1

a) Tìm các phân số có tử số bằng 5 lớn hơn
và nhỏ hơn
5
6
a
b) Phân số
với b > 0 sẽ tăng hay giảm nếu ta cộng vào tử và mẫu cùng một số tự
b
nhiên k
Câu 5. Cho đoạn thẳng AB = 4cm. Vẽ các đờng tròn (A; 3cm) và (B; 2cm). Đờng tròn
(A; 3cm) cắt tia đối của tia AB tại điểm M, cắt đoạn thẳng AB tại điểm N. Đuờng tròn
(B; 2cm) cắt tia đối của tia BA tại Q và cắt đoạn thẳng AB tại P.
a) Chứng tỏ P là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là trung điểm của đoạn
thẳng AQ
b) Tính độ dài các đoạn thẳng NQ, MP, MQ

20


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2005 - 2006
Thời gian 120
Đề Bài

Câu 1 (2đ).
a) Tìm số tự nhiên x biết:
(x + 1) + (x + 2) + +(x + 100) = 20550
3x + 3x+1 + 3x+2 = 351.
b) Tìm số nguyên x, biết
2 x 2 + 13 = 15

c) Thay các chữ cái a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a 68b 45 .
Câu 2 (2đ).
20052005 + 1
2005 2006 + 1
a) So sánh các số sau:
và
D
=
.
C=
2005 2007 + 1
20052006 + 1
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết số đó chia cho 8 d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15
d 13 và chia hết cho 23.
Câu 3 (2đ).
a) Cho ba chữ số (khác 0) a, b, c. Chứng minh rằng tổng của các số có ba chữ số lập
bởi ba chữ số đã cho không phải là số chính phơng.
b) Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2006:
1;2; 3; ; 2006. Em hãy đặt trớc mỗi số dấu (+) hoặc dấu (-) để kết quả là một số tự
nhiên nhỏ nhất.
Câu 4 (2đ).
a) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C với AB = 8cm, BC = 3cm. Gọi I là trung điểm
của đoạn thẳng AB. Tính độ dài đoạn thẳng IC.
b) Cho 100 điểm A1, A2, A3, , A100. Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
Cứ qua hai điểm ta kẻ một đờng thẳng. Tính số đờng thẳng kẻ đợc.
Câu 5 (2đ).
Một xe máy đi từ A đén B với vận tốc 30km/h. Một lúc sau một ô tô cũng đi từ A đến
B với vận tốc 40km/h. Bình thờng ô tô và xe máy sẽ đến B cùng một lúc. Nhng đi đợc
nửa đờng ô tô tăng vận tốc lên 45km/h do đó 1 giờ sau khi tăng tốc ô tô đã đuổi kịp

xe máy. Tính quãng đờng AB.

21


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 90
Đề Bài

Bài 1: (3đ)
Tìm số nguyên x biết:
5x
<0
a) 1 <
13
Bài 2: (3đ)

b)

1) Một quả da hấu nặng hơn
nhiêu kg?
2) Cho a Z. Hỏi số x =

1
2
=
2 x 4 28

1 1 5

5

c) x ữ: + = 9


2 3

7

7

2
khối lợng của nó 2,5kg. Hỏi quả da hấu đó nặng bao
7

a a 2 a3
có phải là số nguyên không ? Vì sao?
+ +
3 2 6

Bài 3: (4đ)

1) Trong hình vẽ sau
a. Có những tam giác nào có cạnh là EF ?
b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra.
c. Nếu cho số đo BDC = 600, EDF = 500 thì tia DE có phải là tia phân giác của
BDF không ? Vì sao ?
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau:
Hãy vẽ 9 điểm là A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình phải thoả mãn tất
cả các điều kiện sau đây.

a) A, P, Q thẳng hàng
f) A, B, S thẳng hàng
b) A, M, N thẳng hàng
g) B, C, Q thẳng hàng
c) R, M, C thẳng hàng
h) B, C, N thẳng hàng
d) A, P, R thẳng hàng
i) M, N, R không thẳng hàng
e) M, C, S thẳng hàng
k) B, P, Q không thẳng hàng

22


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 120
Đề Bài

Bài 1: (5đ)
5.415.99 4.320.89
a) Tính:
5.29.619 7.229.27 6

1 3
1
1 1
1
1
1 1

b) Tìm x, biết: 1 : 24 24 ữ 2 14 = 1 ữ: 8 8 ữ
30 6
5 4x
3
15 5
2

Bài 2: (3đ) So sánh:
2
2
2
2
+
+ ... +
+
60.63 63.66
117.120 2006
5
5
5
5
B=
+
+ ... +
+
40.44 44.48
76.80 2006
A=

và

Bài 3: (2đ) Chứng minh rằng:
222...222
14 2 43 00333...333
14 2 43 là hợp số
2001so 2

2003 so 3

Bài 4: (4đ) Ba bạn Hồng , Lan Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất
có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ t có 18 chiếc, gói thứ
năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận đợc 5 gói và số kẹo của
Hồng gấp hai lần số kẹo của Lan.Tính số kẹo nhận đợc của mỗi bạn.
Bài 5: (6đ) Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia
Oz sao cho xOz nhỏ hơn 900
a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các góc xOz và zOy.
Tính mOn
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo mOz = 350
c) Vẽ đờng tròn (O; 2cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợ tại các điểm A, B,
C, D, E. Với các điểm O, A, B, C, D. E kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các
cặp điểm ? Kể tên những đờng thẳng đó

23


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 90
Bài 1(5,5đ)

Đề Bài

5
n2
a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A phân số
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên
2) Tìm x, biết:
a) x 12; x 25; x 30; 0 x 500
b) (3x - 24).73 = 2.76
c) | x 5 | = 16 + 2.(-3).
3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức đã
sử dụng bao nhiêu chữ số ? Trong những số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0 ?
1) Cho biểu thức A =

Bài 2: (2đ) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia
BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN.
Bài 3: (2,5đ) Cho xOy = 1000. Vẽ tia phân giác Oz của xOy; Vẽ tia Ot nằm trong
xOy sao cho yOt = 250.
1) Chứng tỏ tia Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy
2) Tính số đo zOt
3) Chứng tỏ rằng tia Ot là tia phân giác của zOy.

24


đề thi học sinh giỏi lớp 6
Năm học 2002 - 2003
Thời gian 120
Đề Bài

Bài 1: (4đ)

a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số

154 385 231
;
;
cho phân
195 156 130

số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên.
b) Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b + 7. Hỏi a có thể nhận những giá trị
nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.
Bài 2: (6đ)
1) Cho: A = 1 2 + 3 4 + + 99 100.
a) Tính A
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên ? Bao nhiêu ớc nguyên ?
2) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 22001 + 22002 và B = 22003 . So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố p để: p + 6 ; p + 8 ; p + 12 ; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Bài 3: (4đ)
Có ba bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết ợng nớc đó vào hai bình còn lại,
1
ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ đợc dung tích. Nếu bình thứ ba đầy
3
thì bình thứ hai chỉ đợc

1
dung tích. Tính dung tích của mỗi bình, biết rằng tổng dung

2

tích của ba bình là 180 lít

Bài 4: (4đ) Cho am giác ABC có BC = 5,5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho
CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM
b) Biết BAM = 800, BAC = 600. Tính CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Bài 5: (2đ)
Cho a = 1 + 2 + 3 + + n và b = 2n + 1 ( Với n N, n 2)
Chứng minh : a và b là hai số nhuyên tố cùng nhau

25