de thi khao sat chat luong cuoi nam

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2009 – 2010
Thời gian:120’ (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(5 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 22.3) + 84.35
6

−

510.73 − 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10
Bài 2:(2 điểm)
Tìm x biết:

x−

1 4

2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

Bài 3: (3 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2009)2
Bài 4(4 điểm): Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong dụng cụ hết 5 phút, người
thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy
84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được.
Bài 5(6điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy
điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba
điểm I , M , K thẳng hàng
·
·
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o .
·
·
Tính HEM
và BME


Phòng GD- ĐT Huyện Phú Thiện
Trường THCS Trần Quốc Toản
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Bài1:a. (2,0 điểm)

212.35 − 46.92

510.73 − 255.492

10

212.35 − 212.34 510.73 − 5 .7 4
A=
−
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
6
3
9
3
2
4 5
( 2 .3) + 8 .3 ( 125.7 ) + 5 .14 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
212.34. ( 3 − 1) 510.73. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )
212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 − 9 3
2 .3 .4
5 .7 .9
1 −10 7
= −
=
6

3
2
10

3

b. (3,0điểm) Với mọi số nguyên dương n ta có:
(0,5đ)
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n = 3n + 2 + 3n − 2n+ 2 − 2n
n
2
n
2
= 3 (3 + 1) − 2 (2 + 1)
(0,75đ)
n
n
n
n−1
= 3 ×10 − 2 ×5 = 3 ×10 − 2 ×10 (1,0đ)

= 10( 3n -2n)
(0,5đ)
n+2
n+2
n
n
Vậy 3 − 2 + 3 − 2 M 10 với mọi n là số nguyên dương.(0,25)
Bài2(2,0 điểm)

x−

1 4
2
1 4 −16 2
+ = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+ (0,5d )
3 5
5
3 5
5
5

⇔ x−

1 4 14
+ = (0,5d )
3 5 5

 x −1 =2
1
⇔ x − = 2 ⇔  13
(0,5d )
 x− =−2
3
 3
 x = 2+ 1 = 7
3 3 (0,5d )
⇔ 
x=−2+ 1= −5

3 3



Bài3:(3,0 điểm)
25 − y 2 = 8(x − 2009) 2
8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)

Ta có

Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤

(0,5đ)

25
, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1
8

(1,0đ)

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

(0,5đ)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ¥ )

(0,5đ)

Từ đó tìm được

(0,5đ)

(x=2009; y=5)

Bài4(4,0 điểm):
Gọi x,y lần lượt của người thợ chính, thợ phụ. Ta có số dụng cụ tỉ lệ nghịch với thời gian làm
x y
=
việc nên 1 1 và x + y = 84
5 9

(1,0đ)

x y x + y 84 84.45
= =
=
=
= 270
Nên 1 1 1 + 1 14
14
5 9 5 9 45
x
1
= 270 ⇒ x = .270 = 54
Vậy 1
5
5

(1,5đ)

(0,5đ)

y
1
= 270 ⇒ y = .270 = 30
1
9
9

0,5đ)

Vậy : Người thợ chính làm được 54 dụng cụ
Người thợ phụ làm được 30 dụng cụ
Bài5(6 điểm) Vẽ hình (0,5đ)
A

I
M

B

C
H

K

E

(0,5đ)

a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆EMB có :
AM = EM
(gt )
·AMC = EMB
·
(đối đỉnh )
BM = MC
(gt )
∆
AMC
Nên :
= ∆EMB (c.g.c )
(1,0đ)
⇒ AC = EB
·
·
Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC
= MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . (0,5đ)
b/ (1 điểm )
Xét ∆AMI và ∆EMK có :
AM = EM (gt )
·
·
= MEK
( vì ∆AMC = ∆EMB )
MAI

AI = EK (gt )
Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )
(1,0đ)
·
·
Suy ra AMI = EMK
·
Mà ·AMI + IME
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )
·
·
⇒ EMK
+ IME
= 180o
⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng
(1,0đ)
c/ (1,5 điểm )
µ = 90o ) có HBE
·
Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
·
·
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
(1.0đ)
⇒ HBE
o
o
o

·
·
·
= HEB
- MEB
= 40 - 25 = 15
⇒ HEM
·
là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM
BME
·
·
·
Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )
(1,0đ)