Bộ đề thi THPT chuyên (98 trang)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.9 MB, 77 trang )
Sở Giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------------
Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
(Lớp 10: Văn, Hoá, Sử, Địa, Anh, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
đề chính thức
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
2
x 2 1
x 2 + 1
1
x2
A =
2 x 2
2
x
2
+
1
x
2
1
a) Rút gọn A
A
1
b) Tìm x để
x2
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:
x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k.
b) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang
dấu gì ?
c) Tìm k để phơng trình có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
4 x 2 + y 2 + 4 xy = 4
2
2
x + y 2( xy + 8) = 0
b) Trong 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng. Thùng thứ hai có số đờng bằng
4
5
thùng thứ nhất, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% thùng thứ hai. Tính số đờng
trong mỗi thùng.
Câu 4 (3 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định còn
CD là đờng kính thay đổi. Gọi d là tiếp tuyến với đờng tròn tại B; AC và AD lần lợt
cắt d tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn.
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC.
c) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định.
Câu 5 (1 điểm) Cho x 1 , y 1 . Chứng minh rằng:
x y 1 + y x 1 xy
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Hng Yên
---------------------Môn thi: Toán
đề chính thức
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
Đề số 2
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
2
x 2 1
x 2 + 1
1
x2
A =
2 x 2
2
x
2
+
1
x
2
1
a) Rút gọn A
A
1
b) Tìm x để
x2
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:
x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k.
b) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang
dấu gì ?
c) Tìm k để phơng trình có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
4 x 2 + y 2 + 4 xy = 4
2
2
x + y 2( xy + 8) = 0
b) Trong 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng. Thùng thứ hai có số đờng bằng
4
5
thùng thứ nhất, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% thùng thứ hai. Tính số đờng
trong mỗi thùng.
Câu 4 (3 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định còn
CD là đờng kính thay đổi. Gọi d là tiếp tuyến với đờng tròn tại B; AC và AD lần lợt
cắt d tại P và Q.
d) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn.
e) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC.
f) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định.
Câu 5 (1 điểm) Cho x 1 , y 1 . Chứng minh rằng:
x y 1 + y x 1 xy
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Hng Yên
---------------------Môn thi: Toán
Đề thi chung cho các lớp
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
đề Dự bị
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
x2 1
1 4 1 x 4
x +
M = 4
2
2
x
x
+
1
x
+
1
1+ x2
a) Rút gọn M
b) Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:
x2 (m 1)x m2 + m 2 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu m.
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x1, x2. Tìm giá trị m để x12 + x 22
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải phơng trình: 3x + x + 1 = 5
b) Giải hệ phơng trình:
x 2 + xy + 2 = 3x + y
2
2
x + 3y = 4
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A và đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? chứng minh E, O, F thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đờng tròn vẽ từ E và F cắt BC theo thứ tự ở M và N. Tam
giác MON có đặc điểm gì ?
c) Cho AB = 8 cm, AC = 14 cm. Tính diện tích tứ giác MEFN.
d) Giả sử A chuyển động nhng luôn nhìn BC dới góc vuông. Tìm vị trí của A
để tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 1 thì x 2 + y 2 + z 2
1
3
(với x, y, z R)
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Hng Yên
---------------------Môn thi: Toán
đề chính thức
Lớp 10: Toán, Tin (Vòng 2)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
Câu 1 (2 điểm)
a)Tính giá trị của biểu thức:
P = 29 12 5 + 25 + 4 21 29 + 12 5 25 4 21
b) Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thoả mãn điều kiện: a+b+c = 0 thì:
a3+b3+c3 = 3abc
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
3x + x + 1 = 5
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình: x2+(a+b +c)x+ ab+bc+ca = 0 vô nghiệm.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
x + y + xy = 5
2
2
x +y =5
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = x 2 xy + 3y 2 x + 1
Câu 4 (2 điểm) Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Gọi D, E, F thứ tự là
các tiếp điểm của đờng tròn (O) với các cạnh BC; AC; AB. Điểm P nằm trên cung
nhỏ DE. Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại P cắt hai cạnh AC; BC thứ tự ở M và
N.
a) Tính góc MON theo các góc của tam giác ABC.
b) Đờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt hai cạnh AC, BC lần l ợt tại I
và J. Chứng minh: IM . JN = OI 2 = OJ 2.
Câu 5 (2 điểm) Cho ABCDE là ngũ giác lồi nội tiếp trong đờng tròn bán kính
bằng 1. Trong đó AE là đờng kính; biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d.
a) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 4.
b) Khi góc CEA bằng 300. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + d2 + dc + ab 3 = 4.
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Hng Yên
---------------------Môn thi: Toán
đề Dự Bị
Lớp 10: Toán, Tin (Vòng 2)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
1
1
1
+
++
1+ 2
2+ 3
24 + 25
1
1
1
1
B=
+
+
++
1
2
3
24
A=
a) Tính giá trị A
b) Chứng minh rằng B > 8
Câu 2 (2 điểm) Giải các phơng trình sau:
a) x 2 + 26 2x + y 10 y = 0
b)
x 2 + 6 x + 12 + 5x 4 10 x 2 + 9 = 3 4 x 2 x 2
Câu 3 (1 điểm) Cho hệ phơng trình:
x +y=a
ax + 2 y = a + 2
Tìm a để hệ phơng trình có vô số nghiệm và tìm nghiệm thoả mãn x 2 + y2
có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A và đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm
O đờng kính AH, đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? chứng minh E, O, F thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đờng tròn vẽ từ E và F cắt BC theo thứ tự ở M và N. Tam
giác MON có đặc điểm gì ?
c) Cho AB = 8 cm, AC = 14 cm. Tính diện tích tứ giác MEFN.
d) Giả sử A chuyển động nhng luôn nhìn BC dới góc vuông. Tìm vị trí của A
để tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm) Tìm c để phơng trình: x2 cx 5 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả
mãn: x1 < x2 và trong khoảng (x1, x2) có đúng 5 số nguyên -2, -1, 0, 1, 2.
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên
Hng Yên
Năm học 2006 2007
---------------Môn thi: Toán
(Đề thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Đề chính thức
------------------------------
Câu I: (2,0 điểm) Cho biểu thức:
(
2
)
1 x x
1 x
P = x 1
+ x
1
x
1
x
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2
Câu II: (1,0 điểm). Tìm giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm dơng:
4 m =
2
x +1
Câu III: (2,0 điểm)
a) Ngời ta viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số có hai chữ số
để tạo thành số mới có ba chữ số. Lập tỷ số có tử số là số có ba chữ số vừa tạo
thành và mẫu số là số có hai chữ số đã cho. Hỏi giá trị nguyên lớn nhất và giá trị
nguyên nhỏ nhất của tỷ số đó là bao nhiêu ?
b) Cho hai phơng trình: x2 + mx + n = 0 và x2 2x n = 0. Chứng minh
rằng với mọi giá trị của m và n, ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm.
Câu IV: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng (d) không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi M là một điểm chạy trên (d) và nằm
ngoài đờng tròn (O), qua M kẻ các tiếp tuyến MP và MN với đờng tròn (O) (P, N
là các tiếp điểm).
a) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Xác định vị trí điểm M để tam giác MNP là tam giác đều.
c) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
d) Chứng minh NP đi qua một điểm K cố định và KA là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Câu V: (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Tính tổng
S=
1
1
1
+
+
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ca
--------------- Hết ---------------
Họ tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng thi số:
Sở giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------
Đề chính thức
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2006
------------------------------
(Dành cho thí sinh có số báo danh chẵn)
Câu I: (2 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
P = 2x 6
Q=
1
x2
b) Rút gọn các biểu thức sau:
M = 27 + 75 12
2
3
+
3
2
Câu II: (2 điểm) Cho phơng trình x2 2(m +3)x + m2 + 3 = 0 (1)
(x là ẩn)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 5
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép? Xác định nghiệm kép đó?
Câu III (1 điểm) Một ngời dự định đi từ A đến B hết 2 giờ 30 phút. Nếu ngời đó đi
với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định 10 km/h thì sẽ đến B muộn hơn dự định 50
phút. Tính quãng đờng AB
CâuIV (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính CD. Gọi Cx và Dy
là các tiếp tuyến của đờng tròn. Lấy điểm M thuộc Cx ( M khác C), kẻ MP tiếp
xúc với đờng tròn (O) tại P, MP cắt Dy tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác CMPO và tứ giác DNPO nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh tam giác MON và tam giác CPD đồng dạng.
c) Chứng minh rằng:
CM.DN = R2.
N=
d) Khi CM = R , hãy tính tỷ số diện tích tam giác MON và tam giác COP
2
CâuV (1điểm) Giải phơng trình x4 = 2x2 + 8x + 3
--------------- Hết --------------Họ tên thí sinh: ...
Số báo danh: Phòng thi số:
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Sở giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2006
Đề chính thức
------------------------------
(Dành cho thí sinh có số báo danh lẻ)
Câu I: (2 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
P = 3x 9
Q=
1
x3
b) Rút gọn các biểu thức sau:
M = 27 75 + 12
2
5
+
5
2
Câu II: (2 điểm) Cho phơng trình x2 2(m +2)x + m2 + 11 = 0 (1)
( x là ẩn)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 4
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép? Xác định nghiệm kép đó?
Câu III (1 điểm) Một ngời dự định đi từ A đến B hết 1 giờ 30 phút. Nếu ngời đó đi
với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định 8 km/h thì sẽ đến B muộn hơn dự định 40
phút. Tính quãng đờng AB
CâuIV (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, đờng kính EF. Gọi Ex và Fy là
các tiếp tuyến của đờng tròn. Lấy điểm M thuộc Ex ( M khác E), kẻ MI tiếp xúc
với đờng tròn (O) tại I, MI cắt Fy tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác EMIO và tứ giác FNIO nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh tam giác MON và tam giác EIF đồng dạng.
c) Chứng minh rằng: EM.FN = R2.
N=
d) Khi EM = R , hãy tính tỷ số diện tích tam giác MON và tam giác EIO
2
CâuV (1điểm) Giải phơng trình x4 = 7x2 + 18x + 8
--------------- Hết --------------Họ tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng thi số:
Sở giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 02 tháng 7 năm 2006
Đề chính thức
Câu I: (2 điểm) a) Tính M =
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
------------------------------
(Dành cho thí sinh có số báo danh chẵn)
3 . 27
N=
80
5
b) Giải phơng trình x2 + 2x - 3 = 0
Câu II: ( 2điểm) Cho hệ phơng trình:
2x + y = m
(1)
4x + 3y = 10
( m là tham số)
a) Giải hệ phơng trình (1) với m = 2
b) Tìm m để hệ phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn x>0 và y>0.
CâuIII (1điểm) Một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 10m.
Nếu giữ nguyên chiều dài và bớt chiều rộng của khu vờn 10m thì diện tích của khu
vờn giảm đi một nửa. Tính chu vi và diện tích của khu vờn.
Câu IV (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Gọi AD, BE, CF là các đờng cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ hình bình hành BHCG, đờng thẳng
qua G song song với BC cắt AH tại M.
a) Chứng minh tứ giác ABGC và tứ giác ABMG nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AGC đồng dạng.
c) Chứng minh H và M đối xứng với nhau qua BC.
d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của
BC, AK cắt OH tại I. Chứng minh rằng I là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu V (1điểm) Cho x, y thoả mãn x.y = 2 và x >y.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 +y2
x y
--------------- Hết --------------Họ tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng thi số:
Sở giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 02 tháng 7 năm 2006
Đề chính thức
Câu I: (2 điểm)
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
------------------------------
(Dành cho thí sinh có số báo danh lẻ)
a) Tính M = 5 . 20
N=
48
3
b) Giải phơng trình x2 2x 3 = 0
Câu II: ( 2điểm) Cho hệ phơng trình:
x+ 2y= m
(1)
3
x
+
4
y
=
10
( m là tham số)
a) Giải hệ phơng trình (1) với m = 2
b) Tìm m để hệ phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn x>0 và y>0.
CâuIII (1điểm) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng
10m. Nếu giữ nguyên chiều dài và bớt chiều rộng của thửa ruộng 10m thì diện tích
còn lại sẽ bằng hai phần ba diện tích ban đầu . Tính chu vi và diện tích của thửa
ruộng đó.
Câu IV (4 điểm) Cho tam giác DEF nhọn có DE < DF. Gọi DA, EB, FC là các đờng cao và H là trực tâm của tam giác DEF. Vẽ hình bình hành EHFG, đờng thẳng
qua G song song với EF cắt DH tại M.
a) Chứng minh tứ giác EDFG và tứ giác EDGM nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh tam giác EDA và tam giác FDG đồng dạng.
c) Chứng minh H và M đối xứng với nhau qua EF.
d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và K là trung điểm của
EF, DK cắt OH tại I. Chứng minh rằng I là trọng tâm của tam giác DEF.
Câu V (1điểm) Cho hai số thực a,b thoả mãn a.b = 2 và a >b.
a 2 +b 2
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
--------------- Hết --------------Họ tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng thi số:
Sở Giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------------
đề chính thức
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
(Lớp 10: Văn, Hoá, Sử, Địa, Anh, Pháp)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
2
x 2 1
x 2 + 1
1
x2
A =
2 x 2
2
x
2
+
1
x
2
1
a) Rút gọn A
A
1
b) Tìm x để
x2
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:
x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k.
b) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang
dấu gì ?
c) Tìm k để phơng trình có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
4 x 2 + y 2 + 4 xy = 4
2
2
x + y 2( xy + 8) = 0
b) Trong 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng. Thùng thứ hai có số đờng bằng
4
5
thùng thứ nhất, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% thùng thứ hai. Tính số đờng
trong mỗi thùng.
Câu 4 (3 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định còn
CD là đờng kính thay đổi. Gọi d là tiếp tuyến với đờng tròn tại B; AC và AD lần lợt
cắt d tại P và Q.
g) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn.
h) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC.
i) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định.
Câu 5 (1 điểm) Cho x 1 , y 1 . Chứng minh rằng:
x y 1 + y x 1 xy
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục & Đào tạo
Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên
Năm học 2005-2006
Hng Yên
---------------------Môn thi: Toán
Đề số 2
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
--------------------------
đề chính thức
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức:
2
x 2 1
x 2 + 1
1
x2
A =
2
x 2 1 2 x 2
x 2 +1
a) Rút gọn A
A
1
b) Tìm x để
x2
Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình:
x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k.
b) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang
dấu gì ?
c) Tìm k để phơng trình có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
4 x 2 + y 2 + 4 xy = 4
2
2
x + y 2( xy + 8) = 0
b) Trong 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng. Thùng thứ hai có số đờng bằng
4
5
thùng thứ nhất, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% thùng thứ hai. Tính số đờng
trong mỗi thùng.
Câu 4 (3 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R có AB là đờng kính cố định còn
CD là đờng kính thay đổi. Gọi d là tiếp tuyến với đờng tròn tại B; AC và AD lần lợt
cắt d tại P và Q.
j) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đợc đờng tròn.
k) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với DC.
l) Chứng minh tâm E của đờng tròn ngoại tiếp tam giác CPD luôn nằm trên
một đờng thẳng cố định.
Câu 5 (1 điểm) Cho x 1 , y 1 . Chứng minh rằng:
x y 1 + y x 1 xy
----------------------------------------------
Họ tên thí sinh:...............................................
1
Số báo danh:....................Phòng thi số:................
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
-----Đề số 1
.......
Chữ ký của cán bộ coi thi số
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học xã hội)
(Thời gian làm bài 150 phút)
--------
Câu 1: (2,0 điểm)
1) Cho hàm số bậc nhất y = (1- 5 )x 1
a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 5
c) Tính giá trị của x khi y = 5
2) Tìm x, y sao cho biểu thức: C = 2x 2 + 9y2 6xy 6x 12y +2034
giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
có
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phơng trình: 36x 36 - 9x 9 - 4x 4 = 16 - x 1
2) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 20
km/h thì thời gian đi sẽ giảm một giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi tăng
thêm một giờ. Tính vận tốc và thời gian đi của ôtô.
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho phơng trình: (m2 m 2)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phơng trình (1) với m = 1;
2) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt;
3) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) chỉ có một nghiệm;
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hai đờng tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng nửa mặt
phẳng bờ OO vẽ hai bán kính OC và OD song song với nhau. Gọi D là điểm đối xứng
của D qua O.
1) Chứng minh AB, OO, CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
2) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD.
3) Gọi M là một điểm của đờng tròn O và N là một điểm để tứ giác OMNO là
hình bình hành. Chứng minh rằng một trong 4 điểm A, B, M, N là trực tâm của tam giác
tạo bởi 3 đỉnh còn lại.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC trong đó góc BAC bằng 900;
BC = 15cm; AB = 9cm; AC = 20cm
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ.
--------Họ và tên thí sinh:............................................
Số báo danh: .................... Phòng thi: .............
Chữ ký giám thị 1: ...........................
Chữ ký giám thị 2: ...........................
Hớng dẫn chấm
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
-----Đề số 1
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học xã hội)
--------
I - Các chú ý khi chấm thi:
1) HDCT này chỉ trình bày sơ lợc cách giải hoặc chỉ nêu kết quả. Trong làm bài, thí sinh phải
trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm
quy định dành cho bài (hay phần đó).
3) Cặp chấm thảo luận chi tiết để thống nhất việc vận dụng HDCT.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không đợc làm tròn.
II- Tóm tắt đáp án và cách chấm điểm:
Câu 1: (2,0điểm)
1) (1,5đ)
a) Dùng máy tính bỏ túi tính đợc 5 = 2,236 nên a =1 - 5 = 1 - 2,236 = - 1,236 < 0
0,5đ
Do a < 0 nên hàm số y = (1- 5 )x 1 nghịch biến trên R
1b) Khi x =1 +
1c) Khi y =
5 , ta có y = (1 -
5 ta có
(1 x=
5 )(1 +
5 )x 1 =
1+
5
5 ) 1 = (1 5) 1 = - 5
5 (1 -
x=-
3+
5 )x = 1 +
5
9x 9 -
4 x 4 = 16 -
6 x 1 - 3 x 1 - 2 x 1 = 16 -
0,5đ
5
1 5
2
2) (0,5đ)
Ta có: C = 2x2 + 9y2 6xy 6x 12y +2034
= (x2 + 9y2 + 4 6xy + 6x 12y) + (x2 - 10x + 25) + 2005
= (x - 3y + 2)2 + (x - 5)2 + 2005 2005
(do (x - 3y + 2)2 0 với x, y và (x - 5)2 0 với x, y)
x 3y + 2 = 0
x=5
Nên C đạt giá trị nhỏ nhất khi
x5 = 0
y = 7/3
Vậy Cmin = 2005 khi x=5 và y = 7/3
Câu 2: (2,0điểm)
1) Ta có: 36 x 36 -
0,5đ
0,25đ
0,25đ
x 1
x 1
2 x 1 = 16 x 1 = 8 x 1 = 64 x = 65
Thử lại: thay x = 65 vào hai vế của phơng trình:
36.65 36 - 9.65 9 - 4.65 4 = 8
16 - 65 1 = 8
Vậy x = 65 là nghiệm của phơng trình đã cho.
2) (1,0đ) Gọi vận tốc xác định của ôtô là x km/h (điều kiện x > 0) và thời gian đi của
ôtô là y km/h (điều kiện y > 0)
Thực ra nếu để ý việc ôtô giảm vận tốc 10 km/h và thời gian giảm 1 giờ thì cần phải có
điều kiện x > 10 và y > 1.
0,25đ
Thì quãng đờng AB dài xy (km)
Theo bài ra, nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì Ôtô đến B trớc 1 giờ nên ta có phơng
trình:
(x + 20)(y - 1) = xy
(1)
Theo bài ra, nếu vận tốc giảm đi 10 km/h thì Ôtô đến B tăng thêm 1 giờ nên ta có phơng trình:
(x - 10)(y + 1) = xy
(2)
Ta có hệ phơng trình:
( x + 20)( y 1) = xy (1)
( x 10)( y + 1) = xy (2)
( x + 20)( y 1) = xy (1) 20 y y = 20 (1' )
Giải hệ phơng trình:
( x 10)( y + 1) = xy (2) x 10 y = 10 (2' )
10y = 30 y = 3
Thay vào (2) ta đợc x = 10.3 + 10 = 40
Thoả mãn điều kiện của ẩn x > 0; y > 0
Vậy vận tốc xác định của ôtô là 40 km/h
Thời gian đi của ôtô là 3 giờ
Bài 3: (2,0 điểm)
1) (1,0đ)
Với m = 1 phơng trình (1) trở thành: - 2x2 + 4x + 1 = 0
= 22 (- 2)1 = 6
2 6
2+ 6
2+ 6
2 6
phơng trình có hai nghiệm x1 =
=
; x2 =
=
2
2
2
2
2) (0,75đ)
Điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: a 0 (2), > 0 (3)
m 1
a 0 m2 m 2 0 (m + 1)(m 2) 0
m2
> 0 (m + 1)2 (m2 - m 2) > 0 3m + 3 > 0 m > - 1
Điều kiện phải tìm là: -1 < m 2
3) (0,75đ)
Với m = - 1, phơng trình (1) có dạng 0x + 1 = 0 vô nghiệm
Với m = 2, phơng trình (1) có dạng 6x + 1 = 0, nghiệm x = - 1/ 6
Với m - 1 , m 2, (1) là phơng trình bậc hai có nghiệm, nó có một nghiệm (nghiệm
kép) khi và chỉ khi = 0 3m + 3 = 0 m = - 1 trái với điều kiện trên
Vậy phơng trình (1) chỉ có một nghiệm khi m = 2
Câu 4: (3,0 điểm)
a) AOBO là hình thoi (AO = OB = BO =
OA) nên AB và Ô cắt nhau tại I là trung
điểm chung của AB và OO.
D đối xứng của D qua O nên D (O)
OCOD là hình bình hành (OC // OD,
OC = OD).
AB và CDcắt nhau tại trung điểm của
mỗi đoạn. Nhng trung điểm của AB là I,
nên CD đi qua I.
Vậy AB, OO, CD cắt nhau tại I, trung
điểm của mỗi đoạn thẳng
b) Tứ giác OCDO là hình bình hành nên OO // CD.
Vì BA OO nên BA CD (1)
Tứ giác ACBD có IA = IB, IC = ID nên ACBD là hình bình hành do đó AD // CB.
Vì DA AD (DD là đờng kính) suy ra DA CB (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của tam giác BCD (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
,5đ
,75đ
0,75đ
0
0
c) A là trực tâm của tam giác BMN, A là giao điểm của OA và đờng tròn (O).
Ta có tứ giác OAOB là hình thoi (vì OA = OB = OA = OB)
OB // OA nhng OB = OA nên ta có hình bình hành OOAB (1)
Mặt khác kết hợp hình bình hành OMNO (2) ta có MB // NA nhng NA NA nên MB
NA (3)
Ta lại có OO AB nên theo (2) suy ra MN BA (4).
Từ (3) và (4) ta kết luận A là trực tâm của tam giác MBN, dễ thấy rằng M là trực tâm
tam giác ABN, D là trực tâm tam giác AMB và B là trực tâm tam giác AMN.
Câu 5: (1,0 điểm)
a) (0,25đ)
Vì ABC.ABC là hình lăng trụ đứng nên
AA mp (ABC) do đó AA BA
mà BA AC (gt) và AA cắt AC tại A nên
BA mp (AAC) suy ra BA AC hay tam
giác ABC vuông tại A
b) (0,75đ)
Từ tam giác vuông ABC, ta có
AC = BC 2 AB 2 = 15 2 9 2 = 12
Từ tam giác vuông ABC, ta có
CC = AC ' 2 AC 2 = 20 2 12 2 = 16
Diện tích toàn phần Stp = Sxq + 2SABC
p = AB + BC + CA = 9 + 15 + 12 = 36 (cm) ; Sxq = pl = 36. 16 = 576 (cm)
1
1
SABC = AC.AB = 12.9 = 54 2SABC = 108 (cm2) Stp = 576 + 108 = 684 (cm2)
2
2
V = Bh = SABC . CC = 54. 16 = 864 (cm3)
----------
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
-----Đề số 2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học xã hội)
(Thời gian làm bài 150 phút)
--------
Bài 1: (2,0 điểm)
1) Cho hàm số bậc nhất y = (1 - 3 )x 1
a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 3
c) Tính giá trị của x khi y = 3
2) Xác định x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
A = x4 8xy x3y + x2y2 xy3 + y4 + 2021
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phơng trình:
4 x + 20 +
1
3
x+5 -
2) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
9 x + 45 = 4
Hai ôtô khởi hành cùng lúc từ A và từ B, ngợc chiều về phía nhau. Tính quãng
đờng AB và vận tốc mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại địa điểm cách điểm
chính giữa quãng đờng AB là 10 km, và nếu xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe
gặp nhau sau 1
2
giờ.
5
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho phơng trình x2 + (2m - 5)x n = x (x là ẩn)
1) Giải phơng trình khi m = 1 và n = 4
2) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và - 3;
3) Cho m = 5. Tìm n nguyên nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng.
Bài 4: (3,0 điểm)
R.
Cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cùng có bán kính R cắt nhau tại A, B và O1O2 =
1) Tia AO1 cắt (O1) tại E, tia AO2 cắt (O2) tại F, chứng minh 3 điểm E, B, F
thẳng hàng.
2) Đờng thẳng O1O2 cắt đờng tròn (O1) tại điểm thứ hai C. Tính số đo góc
ACO1 và diện tích hình thoi AO1BO2 theo R
3) Hình vuông MNPQ có M, Q nằm trên cung nhỏ AB của (O2) và N, P nằm
trên cung nhỏ AB của (O1). Tính cạnh của hình vuông theo R.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC trong đó góc BAC bằng 900;
BC = 15cm; AB = 9cm; AC = 20cm
c) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
d) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ.
---------
Họ và tên thí sinh:............................................
Số báo danh: .................... Phòng thi: .............
Chữ ký giám thị 1: ...........................
Chữ ký giám thị 2: ...........................
Hớng dẫn chấm
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
-----Đề số 2
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học xã hội)
--------
I - Các chú ý khi chấm thi:
1) HDCT này chỉ trình bày sơ lợc cách giải hoặc chỉ nêu kết quả. Trong làm bài, thí sinh phải
trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm
quy định dành cho bài (hay phần đó).
3) Cặp chấm thảo luận chi tiết để thống nhất việc vận dụng HDCT.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không đợc làm tròn.
II- Tóm tắt đáp án và cách chấm điểm:
Câu 1: (2,0 điểm)
0,5đ
1a) Dùng máy tính bỏ túi tính đợc 3 = 1,732 nên a =1 - 3 = 1 - 1,732 = - 0,732 < 0
Do a < 0 nên hàm số y = (1- 3 )x 1 nghịch biến trên R
1b) Khi x =1 +
1c) Khi y =
3 , ta có y = (1 -
3 ta có
(1 x=
3 )(1 +
3 )x 1 =
1+
3
1
3
3 ) 1 = (1 3) 1 = - 3
3 (1 -
x=-
3+
3
2
3 )x = 1 +
3
0,5đ
0,5đ
2) Ta có: A = x4 8xy x3y + x2y2 xy3 + y4 + 2021
= (x4 x3y) (xy3 - y4) + (x2y2 8xy + 16) + 2005
= x3( x - y) y3(x - y) + (x2y2 8xy + 16) + 2005
= ( x - y)(x3 y3) + (x2y2 8xy + 16) + 2005
= ( x - y)( x - y)(x2 + xy + y2) + (x2y2 8xy + 16) + 2005
= ( x - y)2(x2 + xy + y2) + (xy 4)2 + 2005
y
3
Vì ( x - y)2 0 ; (x2 + xy + y2) = (x + )2 + y2 0 ; (xy 4)2 0 với x, y
2
4
Do đó A 2005 với x, y
( x y ) 2 ( x 2 + xy + y 2 ) = 0
x = y
Mặt khác A = 2005
x = y = 2
( xy 4) 2 = 0
xy = 4
0,5đ
Vậy A nhỏ nhất là 2005 x = y = 2
Bài 2: (2,0 điểm)
1) (1,0đ) Ta có:
1
3
9 x + 45 = 4 2 x + 5 + x + 5 x+5 =4
3
3
x+5 =2x+5=4x=-1
Thử lại: thay x = - 1 vào vế trái của phơng trình đã cho ta đợc:
1
4 + 20 + 1 + 5 9 + 45 = 4 + 2 2 = 4 bằng vế phải
3
Vậy x = - 1 là nghiệm của phơng trình đã cho.
2) (1,0đ)
Gọi vận tốc xe đi nhanh là x, vận tốc xe đi chậm là y (đơn vị: km /h), điều kiện x, y > 0
Trong hai giờ xe đi nhanh đi hơn xe đi chậm: 10 + 10 = 20 (km) nên x y = 10
2
Quãng đờng AB là 2(x + y); quãng đờng AB cũng bằng 1 (x + 2y), ta có phơng trình
5
(1)
x y = 10
2
(x + 2y) =2(x + y) . Ta có hệ phơng trình 7
5
5 ( x + 2 y ) = 2( x + y ) (2)
3
Giải hệ phơng trình: Từ (2) ta có 7x + 14y = 10x + 10y 4y = 3x y =
4
3
3
x
Thay y =
vào (1): x x = 10
= 10 x = 40.
4
4
4
Nghiệm của hệ là x = 40, y = 30
x = 40 > 0, y = 30 > 0 thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy vận tốc xe đi nhanh: 40 km/h , vậy tốc xe đi chậm 30 km/h
4 x + 20 +
x+5 -
Bài 3: (3,0 điểm)
1) Khi m = 1 và n = 4, phơng trình đã cho có dạng x2 3x 4 = 0. Vì a b + c = 0
c
4
nên phơng trình có hai nghiệm x1 = - 1; x2 = =
=-4
a
1
2) Khi x = 2 phơng trình đã cho có dạng
4m 6 n = 0 (*)
Khi x = -3 phơng trình đã cho có dạng - 6m + 24 n = 0 (**)
(*)
4m 6 n = 0
Từ đó, có hệ hai phơng trình bậc nhất với ẩn là m, n sau:
6m + 24 n = 0 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 10m 30 = 0 m = 3 n = 6
3) Cho m = 5 phơng trình đã cho có dạng x2 + 5x n = 0 (2)
(2) là một phơng trình bậc hai nếu ac < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
c
Do đó muốn phơng trình (2) có nghiệm dơng thì phải có
< 0 nghĩa là - n < 0 hay n > 0.
a
Vậy với n = 1 là số nguyên nhỏ nhất thì phơng trình (2) có nghiệm dơng.
Bài 4: (3,0 điểm)
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1) (1,0đ) (hình1)
Nối E với B và F với B
Ta có: EBA = 1v (góc nội tiếp
chắn nửa đờng tròn đờng kính AE)
FBA = 1v (góc nội tiếp
chắn nửa đờng tròn đờng kính AF)
nên EBA + FBA = 2v
Vậy E, B, F thẳng hàng
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Hình1
2) (1,0đ) (hình1)
* Ta có: tam giác BO1O2 đều (vì O1O2 = O1B = BO2 = R) O1BO2 = 600.
Dẽ dàng chứng minh AB O1O2
AB vừa là đờng cao vừa là phân giác
R 3
ABO2 = 1/2 O1BO2 = 600/2 = 300 và đờng cao BI =
2
Mà ACO2 = ABO2 ( góc nội tiếp cùng chắn một cung AO2 của đờng tròn (O1).
Vậy ACO2 = 300.
1
* Diện tích hình thoi AO1BO2 = AB. O1O2 (đơn vị diện tích)
2
2
1
=
R 3 .R = R 3 (đơn vị diện tích)
2
2
3) (1,0đ) (hình2)
Gọi cạnh hình vuông là x
MN = NP = PQ = QM = x
Gọi H, K lần lợt là giao điểm của
O1O2 với MQ và (O2);
Chứng minh các kết quả sau:
MQ O1O2
O1H. HK = HM . HQ (1)
Rx
3R + x
O1H =
(2) ; HK =
(3)
2
2
Hình2
Từ (1) và (2), ta có thể viết:
x
R x 3R + x
( )2 =
.
2x2 + 2Rx 3R2 = 0 (4)
2
2
2
Giải phơng trình (4) với x > 0 ta đợc: x = r ( 7 1)
2
Bài 5: (1,0 điểm)
b) (0,25đ)
Vì ABC.ABC là hình lăng trụ đứng nên
AA mp (ABC) do đó AA BA
mà BA AC (gt) và AA cắt AC tại A nên
BA mp (AAC) suy ra BA AC hay tam
giác ABC vuông tại A
b) (0,75đ)
Từ tam giác vuông ABC, ta có
AC = BC 2 AB 2 = 15 2 9 2 = 12
Từ tam giác vuông ABC, ta có
CC = AC ' 2 AC 2 = 20 2 12 2 = 16
Diện tích toàn phần Stp = Sxq + 2SABC
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
p = AB + BC + CA = 9 + 15 + 12 = 36 (cm) ; Sxq = pl = 36. 16 = 576 (cm)
1
1
SABC = AC.AB = 12.9 = 54 2SABC = 108 (cm2) Stp = 576 + 108 = 684 (cm2)
2
2
V = Bh = SABC . CC = 54. 16 = 864 (cm3)
0,25đ
0,25đ
------------
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
-----Đề số 3
Bài 1: (2,0 điểm)
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học tự nhiên)
(Thời gian làm bài 150 phút)
--------
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
M= 3+2 2 + 32 2
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải và biện luận phơng trình:
; b)
P=3-
N=
4m 2 4m + 1
4m 2
x 2 2x
m 2 ( x + 2) 2 - 2(2x + m + 1) = (m + 1)2 + m 2 ( x 2) 2 + 1
8
8
2) Trên quãng đờng AB dài 60 km, ngời I đi từ A đến B, ngời II đi từ B đến A.
Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C sau khi khởi hành 1 giờ 12 phút. Từ C,
ngời I đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trớc 6 km/h, ngời II đi tiếp đến A với vận
tốc nh cũ. Kết quả ngời I đến nơi sớm hơn ngời II là 48 phút. Tính vận tốc mỗi ngời.
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho phơng trình: (m - 4)x2 2mx + m 2, trong đó m là tham số
1) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2
2) Tìm m để
a) Phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O) đờng kính AC ở H. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ HB, AD cắt đờng tròn (O)
ở E cắt BC
ở F.
1) Biết AB = 20cm, BC = 25cm, tính chu vi tam giác AHB.
2) Chứng minh 3 điểm O, E, O thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.
b) Qua trung điểm I của đờng cao SH của hình chóp ngời ta dựng mặt phẳng
song song với đáy hình chóp và đợc hình chóp cụt đều ABCD.ABCD. Tìm
diện tích xung quanh và thể tích hình chóp cụt ấy.
--------Họ và tên thí sinh:............................................
Số báo danh: .................... Phòng thi: .............
Sở Giáo dục và Đào tạo
Hng Yên
-----Đề số 3
Chữ ký giám thị 1: ...........................
Chữ ký giám thị 2: ...........................
Hớng dẫn chấm
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hng Yên
Năm học 2005 - 2006
Môn Toán
(dành cho thí sinh ban khoa học tự nhiên)
-------I - Các chú ý khi chấm thi:
1) HDCT này chỉ trình bày sơ lợc cách giải hoặc chỉ nêu kết quả. Trong làm bài, thí sinh phải
trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm
quy định dành cho bài (hay phần đó).
3) Cặp chấm thảo luận chi tiết để thống nhất việc vận dụng HDCT.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không đợc làm tròn.
II- Tóm tắt đáp án và cách chấm điểm:
Câu 1: (2,0 điểm)
1a) (0,75đ) A = 3 + 2 2 + 3 2 2
1b) (0,75đ)
=
2 + 2 2 +1 +
=
( 2)2 + 2 2 + 1 +
=
( 2 + 1) 2 +
B=
0,25đ
2 2 2 +1
( 2 1) 2 =
4m 2 4m + 1
=
0,25đ
( 2)2 2 2 + 1
2 +1+
(2m 1) 2
=
2 -1=2 2
0,25đ
2m 1
2(2m 1)
4m 2
2(2m 1)
1
1
* Nếu 2m 1 > 0 hay m > thì B =
2
2
1
* Nếu 2m 1 = 0 hay m = thì B không xác định.
2
1
1
* Nếu 2m 1 < 0 hay m < thì B = 2
2
2
2) P = 3 - x 2 x = 3 - x( x 2) 3; max P = 3 với x = 0 hoặc x = 2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Bài 2: (2,5 điểm)
2
2
2
2
1) (1,0đ) Ta có: m ( x + 2) - 2(2x + m + 1) = (m+1)2 + m ( x 2) + 1
8
8
2
2
8m x 32x = 8m + 32m + 32
m2x 4x = m2 + 4m + 4
(m 2)(m + 2) x = (m + 2)2 (1)
* Nếu (m 2)(m + 2) 0 hay m 2 (1) có nghiệm duy nhất x =
* Nếu (m 2)(m + 2) = 0 hay m = 2
Với m = 2 (1) 0x = 4 hay phơng trình (1) vô nhiệm
Với m = - 2 (1) 0x = 0; phơng trình (1) có vô số nhiệm
6
2) (1,5đ) Tổng vận tốc của hai ngời là 60 : = 50 (km/h).
5
Gọi vận tốc ngời I lúc đầu là x (km/h) , điều kiện x > 0
0,5đ
m+2
m2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6
(50 x) km, quãng đ5
6(50 x)
6
ờng CA dài x (km). Ngời I đi quãng đờng CB với vận tốc x 6 (km/h) hết:
5( x 6)
5
6x
(giờ). Ngời II đi quãng đờng CA với vận tốc 50 x (km/h) hết
(giờ). Ta có
5(50 x)
phơng trình
6x
6(50 x)
4
= x2 + 85x 3450 = 0 x1 = 30 , x2 = - 115 (loại)
5(50 x) 5( x 6)
5
x1 = 30 thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy vận tốc ngời I là 30 km/h ; ngời II là 50 30 = 20 (km/h)
thì vận tốc ngời II là 50 x (km/h). Quãng đờng CB dài
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Bài 3: (1,5 điểm)
1) Thay x = 2 vào phơng trình ta đợc: (m 4)2 - 2
- 2
2 . m +3m 10 = 0 (3 - 2
m = 10(3 + 2
2 .m+m2=0
10
2 )m 10 = 0 m =
32 2
2 )
m4
2a) Phơng trình có nghiệm kép khi
2
' = m (m 4)(m 2) = 0
Ta có x1 = x2 =
b'
m
4
4
4 3 1
=
= : (4 - ) = . =
a
m4
3
3
3 8
2
m4
2b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:
' > 0
Công thức tính nghiệm của phơng trình là: x1 =
Bài 4: (3,0 điểm)
1) (1,0đ) Trong tam giác vuông ABC theo
định lí Pitago, ta có AC = BC 2 AB 2
= 252 202 = 15 (cm)
Ta có AHB = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn đờng kính AB); BAC = 1v (gt)
AHB BAC (vì hai tam giác vuông có B
AB + BC + AC BC 20 4
chung) nên
=
=
=
HA + AB + HB AB 25 5
4
Do đó HA + AB + HB = (AB + BC + AC)
5
4
= (20 + 25+ 15) = 48 (cm).
5
Vậy chu vi tam giác AHB bằng 48cm.
m4
4
m = 3
m4
4
m > 3
4
4
m m
;
x
=
1
3
3
m4
m4
m+ m
0,25đ
2) Vì BAC = 1v nên CAF + FAB = 1v ; AHF = 1v nên CFA + HAF = 1v
0,25đ
và HAF = FAB (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) do đó CAF = CFA hay
tam giác CAF cân
Ta có CEA = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn đờng kính AC) nên CE AD
đờng cao CE trong tam giác cân CAF cũng là trung tuyến nên EA = EF; trong tam giác
ABF có OA = OB và EA = EF nên EO // BF hay EO // BC
Chứng minh tơng tự có EO // BC
Qua E ở ngoài BC chỉ dựng đợc một và chỉ một đờng thẳng song song với BC mà thôi, do
đó EO EO hay 3 điểm O, E, O thẳng hàng (đpcm)
Bài 5: (1,0 điểm)
c) (0,5đ)
Bốn mặt bên hình chóp là 4 tam giác đều
cạnh a. do đó diện tích xung quanh của hình
a2 2
chóp là Sxq = 4
= a2 3
4
Ta tính độ dài đờng cao SH = ?
Trong tam giác vuông SHA ta có
a2
a2
SH2 = SA2 AH2 SH2 = a2 =
2
2
a 2
SH =
. Thể tích hình chóp là
2
3
1
1
V = B.h = a2 a 2 = a 2
3
3
2
6
b) Mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng và đi qua trung điểm I của đờng cao SH
nên ta suy ra A, B, C, D theo thứ tự là trung điểm các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Nh vậy
a
1
hình chóp cụt đều ABCD. ABCD có cạnh đáy là a và , còn đờng cao bằng SH =
2
2
a 2 . Thể tích hình chóp cụt ABCD. ABCD là:
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
3
2
2
1 a 2
(a2 + a + a ) hay V = 7 a 2
3 4
4
2
48
Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a nên có đờng cao bằng a 3 . Ta suy ra khoảng
V=
2
cách giữa hai cạnh đáy AB và AB là a 3 . Diện tích xung quanh hình chóp cụt
4
2
1
ABCD.ABCD là Sxq = (4a + 2a) a 3 = 3a 3
2
4
4
---------------
0,25đ
Sở Giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------------
Hớng dẫn chấm - Thi tuyển sinh vào
THPT chuyên Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
(Lớp 10: Văn, Hoá, Sử, Địa, Anh, Pháp)
--------------------------
đề chính thức
Câu 1 (2 điểm)
a)Rút gọn A (1 điểm)
* ĐK: x > 2, x 3
* A=
(
) (
)(
)
0.25đ
x 2 1 x 2 + 1 1 ( x 2)
x 2 +1 x 2 1
2
x
2
2
(
4 x 2 3 x
* A=
x 3
2 x2
3 x
* A=
x2
)
2
2
0.25đ
2
0.25đ
0.25đ
b) (1 điểm)
x > 2 , x 3
A
C1: Biến đổi
1 3 x
x2
x 2 1
x > 2 , x 3
5 2x
x 2 0
5
* Giải hệ trên thu đợc kết quả: 2 < x
2
A
3 x
1
Lu ý: C2: Học sinh biến đổi
1
x2
x2
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
5 2x
0
x2
5
2
0.25đ
0.25đ
Đối chiếu với điều kiện rồi trả lời kết quả 2 < x
5
2
Câu 2 (2 điểm) Xét phơng trình:
x2 - 2(k-1)x + 2k - 5 = 0 với k là tham số.
a) (0.5 điểm) Ta có ' = (k -1)2 (2k 5)
= k2 2k + 1 2k + 5
= k2 4k + 6
= (k 2)2 + 2 > 0 với mọi k.
Vậy phơng trình có nghiệm với mọi k.
b) (0.75 điểm) Để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu thì: x1.x2 > 0
c
Theo định lý Viét có: x1.x 2 = = 2k 5
a
Giải bất phơng trình 2k 5 > 0 ta đợc k >
Vậy khi k >
b
5
= 2(k 1) > 2. 1 = 3 > 0
a
2
x1, x2 cùng dấu dơng.
c) (0.75 điểm) Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2.(k 1)
Mà x1 + x2 = 6 nên 2.(k 1) = 6
Giải phơng trình ta đợc k = 4
Khi đó phơng trình có dạng: x2 6x + 3 = 0
Giải phơng trình ta đợc: x1 = 3 + 6 ; x2 = 3 - 6
Câu 3 (2 điểm)
a) (1 điểm) Biến đổi hệ phơng trình đã cho về dạng:
( 2x + y ) 2 = 22
2
2
( x y) = 4
2 x + y = 2
xy=4
2 x + y = 2
hoặc
x y = 4
2 x + y = 2
xy=4
2 x + y = 2
hoặc
x y = 4
0.25đ
0.25đ
0.25đ
5
2
5
thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
2
Ta có: x1 + x 2 =
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
hoặc
0.25đ
Giải các hệ phơng trình trên tìm đợc 4 cặp nghiệm.
0.5đ
(Tìm đúng 2 cặp nghiệm thì cho 0.25 điểm)
Hệ phơng trình này có 4 cặp nghiệm (x; y) là:
2 10
2 10
(2; - 2), ( ; ) , ( ; ) và (-2; 2)
3
3
3 3
b) (1.0 điểm)
* Gọi số đờng ở thùng thứ I là x kg ( x > 0) và số đờng trong thùng th II là y kg (y
> 0). Thì số đờng ở thùng thứ III là 64,2 x y (kg)
0.25đ
* Lập luận đợc hệ phơng trình:
4
y= x
5
0.25đ
42,5
64,2 x y =
y
100
* Giải hệ phơng trình tìm đợc x = 30; y = 24
0.25đ
* Đối chiếu với điều kiện trả lời.
0.25đ
Câu 4 (3 điểm)
a) (1 điểm)
1
Sđ AC (góc nội tiếp) (0.25đ)
2
1
Sđ P1 = Sđ (AB BC) (góc có đỉnh ở
2
Sđ D1 =
ngoài đờng tròn)
1
(ACB BC)
2
1
= Sđ AC
2
D 1 = P1
=
(0.25đ)
Mà D1 + CDQ = 1800 (2 góc kề bù)
(0.25đ)
P1 + CDQ = 1800
(0.25đ)
Tứ giác CPQD nội tiếp đờng tròn
b) (1 điểm) Ta có CAD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
PAQ = 900
1
PAQ vuông tại A có AI là trung tuyến IA = IQ = IP = 2 PQ
IAQ cân tại I.
QAI = AQI
Có D1 = P1 (cmt) QAI + D1 = AQI + P1
Vì PAQ = 900 AQI + P1 = 900
QAI + D1 = 900
AKD = 900 AI vuông góc với CD
c) (1 điểm) Vì tứ giác CPQD nội tiếp (cmt)
Đờng tròn ngoại tiếp CPD là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD
Qua O dựng đờng thẳng vuông góc với CD
Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với PQ
Hai đờng thẳng này cắt nhau tại E thì E là tâm đờng tròn ngoại tiếp CPD.
Có IE // OA (cùng vuông góc với d)
OE // AI (cùng vuông góc với CD)
Tứ giác AOEI là hình bình hành
IE = AO = R
Vì d cố định, IE = R không đổi. Vậy E thuộc đờng thẳng // d và cách
khoảng bằng R và là đờng thẳng cố định.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
d một
0.25đ
Câu 5 (1 điểm)
Ta có: x 1, y 1 nên x y 1 + y x 1 xy
Chứng minh: với x 1 ta luôn có:
với y 1 ta luôn có:
Vậy
y 1
x 1
+
1
y
x
x 1 1
x
2
y 1 1
y
2
0.25đ
0.25đ
0.25đ
y 1 1 1
x 1
+
+ =1
x
y
2 2
hay x y 1 + y x 1 xy
---------------------------------------------Ghi chú:
0.25đ
- Các cách giải khác đúng cho điểm tơng đơng nh đáp án.
- Các bớc giải phải có lý luận mới cho điểm tối đa.
Sở giáo dục & Đào tạo
Hng Yên
----------------
Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh
vào lớp 10 THPT Chuyên Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán
(Đề thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Đề chính thức
------------------------------
I. Hớng dẫn chung.
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì
cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn
chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện
trong hội đồng chấm thi.
3. Tuyệt đối không làm tròn điểm dới mọi hình thức.
II. Hớng dẫn chấm cụ thể.
Hớng dẫn
Câu I: (2,0 điểm)
a)(1,5đ)
T.Điểm
x 0
x 1
0,25 điểm
ĐKXĐ
)(
)(
)
P=
(
1 x 1+ x + x
1 x
x 1
+ x
1 x
1 x
=
(
=
(
1 x
x 1 1 + x + x + x
1
x
)(
)
)
x 1 (1 x )
b)( 0,5đ)
0,25 điểm
2
2
0,75đ
2
(1 x ) 2
Vậy P = x 1
=
x 1
0,25điểm
x 0
x 1
với ĐKXĐ
P=2
x 1 = 2
0,50 điểm
x 0
x 1
với ĐKXĐ
x = 9 ( t/m)
Câu II: (1,0 điểm).
ĐKXĐ x -1
4m =
2
(x+1)(4-m) = 2
x +1
x(4 - m) = m 2
* Khi m = 4 phơng trình là 0.x = 2 ( vô nghiệm)
0,25 điểm
0,25 điểm
