đề cuong on thi toán vào lớp 10

Bài tập rút gọn
Bài 1 :
1) Đơn giản biểu thức :
2) Cho biểu thức :

P = 14 + 6 5 + 14 6 5 .


x +2

Q =

x + 2 x +1

x 2 x +1
ữ.
x 1 ữ
x




a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để Q > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

Hớng dẫn :

1. P = 6

2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q =

2
.
x 1

b) Q > - Q x > 1.
c) x = { 2;3} thì Q Z
1

x

+
Bài 2 : Cho biểu thức P =
x +1
x x
a) Rút gọn biểu thức sau P.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

1
2

.
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P =
b) Với x =

1
2

x +1
.
1 x

thì P = - 3 2 2 .

Bài 3 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.

x x +1 x 1

x 1
x +1

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A.

1
4

Hớng dẫn :
x
.
x 1

a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1

b) Với x = thì A = - 1.
4
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì A = A.

1




1

Bài 4 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.

a 3

+

3

ữ 1
ữ
a + 3
a
1

1
.
2

b) Xác định a để biểu thức A >

Hớng dẫn :
2

a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A =

a +3

.

1
.
2
x + 1 x 1 x 2 4x 1 x + 2003

+
ữ.
A=
.
x2 1
x
x 1 x +1

b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
Bài 5 : Cho biểu thức:

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.

3) Với x Z ? để A Z ?
Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : x 0 ; x 1.
b) Biểu thức rút gọn : A =

x + 2003
với x 0 ; x 1.
x

c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .

(

)

x x 1 x x +1 2 x 2 x +1

.
ữ:
x 1
x+ x ữ
x x


Bài 6 : Cho biểu thức:

A =

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hớng dẫn :
x +1

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =

x 1

b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = { 4;9} thì A Z.
Bài 7 : Cho biểu thức:

x+2

A =

x x 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.

+

x 1
ữ:
2
x + x +1 1 x ữ

x

+) A > 0
+) A < 2

2
x + x +1
2
x + x +1

1

+

Hớng dẫn :

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
b) Ta xét hai trờng hợp :

.

2
x + x +1

> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
< 2 2( x + x + 1 ) > 2 x + x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
2


Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

a +3

Bài 8 : Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.

a 2



a 1
a +2

+

4 a 4
(a 0; a 4)
4a

Hớng dẫn :
4

a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P =

a 2

b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4


N = 1 +

Bài 9 : Cho biểu thức:

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.



a + a a a
ữ 1
ữ
a + 1 ữ
a 1 ữ


Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 10 : Cho biểu thức P =

x x + 26 x 19
2 x

+
x+2 x 3
x 1

x 3
x +3

a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
x + 16
x +3
103 + 3 3
b) Ta thấy x = 7 4 3 ĐKXĐ . Suy ra P =
22

a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : P =

c) Pmin=4 khi x=4.

2 x
x
3x + 3 2 x 2
:

+

Bài 11 : Cho biểu thức P =
x 3 1
x

9
x
+
3
x

+
3




a. Rút gọn P.

b. Tìm x để P <

1
2

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Hớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn : P =
b. Với 0 x < 9 thì P <
c. Pmin= -1 khi x = 0

3
x +3

1
2

3


 a +1

a −1



1 

)(

4 − 15

Bµi 12: Cho A= 
−
+4 a÷
víi x>0 ,x ≠ 1
÷.  a + a ÷
a +1

 a −1

a. Rót gän A

(

)(

b. TÝnh A víi a = 4 + 15 .

10 − 6 .

( KQ : A= 4a )

)

 x −3 x   9− x
x −3
x −2
− 1÷
:
+
−

÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠ 4 .
÷  x+ x −6
x −2
x +3÷
 x−9
 


Bµi 13: Cho A= 

a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z

3
)
x −2

(KQ : A=
Bµi 14: Cho A =

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
x + 2 x − 3 1− x
x +3

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c.

T×m x ®Ó A =

d.

CMR : A ≤

Bµi 15: Cho A =
a . Rót gän A.

1
2

2
.
3

(KQ:

x+2
x +1
1
+
+
x x −1 x + x + 1 1− x

b. T×m GTLN cña A .

2−5 x
)
x +3

A=

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x
)
x + x +1

( KQ : A =

1
3
2
−
+

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x +1 x x +1 x − x +1

Bµi 16: Cho A =

a . Rót gän A.
b. CMR : 0 ≤ A ≤ 1

( KQ :

A=

x
)
x − x +1

 x −5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷
: 
−
+
÷
÷
x +5
x −3÷
 x − 25
  x + 2 x − 15



Bµi 17: Cho A = 

a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z

( KQ :

A=

5
)
x +3
4


Bµi 18: Cho A =

2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
a −5 a +6
a − 2 3− a

víi a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.

a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1

c. T×m a ∈ Z ®Ó A ∈ Z

a +1
)
a −3

( KQ : A =

 x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 
+
:
−
−
÷

÷

x −2÷
x +2 x−4÷
 x−4
  x −2


Bµi 19: Cho A= 

a. Rót gän A.

b. So s¸nh A víi

1
A

( KQ : A =

3
3
 x− y
x − y 
Bµi20: Cho A = 
÷:
+
 x− y
y−x ÷



(

x− y

)

2

víi x > 0 , x ≠ 4.

x+9

)
6 x

+ xy

víi x ≥ 0 , y ≥ 0, x ≠ y

x+ y

a. Rót gän A.

b. CMR : A ≥ 0

( KQ : A =

xy
x − xy + y

)

x x −1 x x +1 
1   x +1
x −1 
−
+ x −
+
÷
÷. 
x− x
x+ x 

x   x −1
x +1÷


Bµi 21 : Cho A =

a. Rót gän A.

b. T×m x ®Ó A = 6

( KQ : A =

(

)

2 x + x +1

Víi x > 0 , x ≠ 1.

)

x


x −4
3 ÷  x +2
x 

Bµi 22 : Cho A =

+
: 
−
÷
 x x −2
x −2÷ 
x
x −2÷




(

víi x > 0 , x ≠ 4.

)

a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5

(KQ:

A = 1− x )



1
1   1
1 

1
+
−
víi x > 0 , x ≠ 1.
÷: 
÷+
 1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x

Bµi 23 : Cho A= 

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5
 2x +1

Bµi 24 : Cho A= 

3

 x −1

a. Rót gän A.

−

(KQ:

A=

3

2 x

)

1  
x+4 
: 1 −
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
x −1   x + x +1 

b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z

(KQ:

A=

5

x
)
x −3




  1
1
2 x −2

2 
−
:
−
÷
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
÷
 x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1 

Bµi 25: Cho A= 

a. Rót gän A.
b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z

c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN .

(KQ:

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
÷
÷:  x − 3 − 1÷
÷
x
−
9
x

+
3
x
−
3

 


Bµi 26 : Cho A = 
.

x −1
)
x +1

A=

víi x ≥ 0 , x ≠ 9

a. Rót gän A.

b. T×m x ®Ó A < -

1
2

−3
)
a +3

x − x−3
1 
−
÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x −1
x −1 ÷


( KQ : A =
 x +1
x −1 8 x  
−
−
÷: 
x +1 x −1 ÷
 x −1
 

Bµi 27 : Cho A = 

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5

(KQ:

A= 4 x )
x+4

c . CMR : A ≤ 1

Bµi 28 :

1
1 
x +1
+
÷:
x −1  x − 2 x +1
 x− x


víi x > 0 , x ≠ 1.

Cho A = 

a. Rót gän A

(KQ:

A=

b.So s¸nh A víi 1
Bµi 29 :

x −1
)
x



x −1
1
8 x   3 x −2
1
−
+
: 1 −
Víi x ≥ 0, x ≠
÷
÷
÷
÷
9
 3 x −1 3 x +1 9 x −1   3 x +1 

Cho A = 

a. Rót gän A.

b. T×m x ®Ó A =

6
5

c. T×m x ®Ó A < 1.
x+ x
)
3 x −1

( KQ : A =

 x −2
x + 2  x2 − 2x + 1
Bµi30 : Cho A = 
−
÷
÷.
2
 x −1 x + 2 x +1 

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cña A
(KQ:

víi x ≥ 0 , x ≠ 1.

A=
6

x (1 − x ) )


x+2
x
1 x 1
+
+
ữ
ữ: 2

x x 1 x + x +1 1 x

Bài 31 : Cho A =

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x 0 , x 1 thì A > 0 , (KQ:
Bài 32 :

4
1 x2 x
+
ữ:
x +1 x 1 x 1



Cho A = 1


A=

2
)
x + x +1

với x > 0 , x 1, x 4.

a. Rút gọn

b. Tìm x để A =

1
2

x +1 x 2 x 3 x + 3
2

:
+
ữ
ữ với x 0 , x 1.
ữ
x 1 x 1
x +1
x 1

Bài 33 : Cho A =

a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm x Z để A Z
Bài 34 :



Cho A= 1


a. Rút gọn A.

b. Tìm x Z để A Z
c. Tìm x để A < 0

x x +3
x +2
x +2
:
+
+
ữ

ữ

ữ với x 0 , x 9 , x 4.
1+ x ữ
x 2 3 x x 5 x + 6

(KQ:

A=

x 2
)
x +1

Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hớng dẫn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
2 = a + b
a = 3

4 = a + b
b = 1

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
7


2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
Bài 2 : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1
đồng quy.
Hớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =

3
.
4
y = x + 2
y = 2x 1

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :

(x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m =

1
2

B ài 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
x0 = 1
y0 = 2

y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.

1 = a + b
a = 2

1 = 2 a + b
b = 3

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
8

1
.
3


2) Để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm
m 2 3m = 2
C(0 ; 2) ta cần : 2
m = 2.
m 2m + 2 = 2

Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua điểm C(0 ; 2)
Bài 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm
cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .
Hớng dẫn :
1) m = 2.

2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có
1

x0 = 2
y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0
y = 5
0
2
1 5
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ;
).
2 2

Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y=

6x
4x 5
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3

Bài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và
B(-3; -1).
Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.

Chủ đề :

Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =

a
.
b

+ Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm.
9


2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :

ax + by = c

a' x + b' y = c'

Phơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta
đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.

+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
x
x
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S = { 4 } .
+
=2
x -1 x + 2
2x 3 - 1
b) 3
=2
x + x +1
Giải : ĐKXĐ : x 3 + x + 1 0. (*)
3
2x 3 - 1
Khi đó : 3
= 2 2x = - 3 x =
2
x + x +1
3 3 3
3
Với x =
thay vào (* ) ta có (
) +
+10
2

2
2
3
Vậy x =
là nghiệm.
2

a)

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m2 4 = 0
(1)
+ Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :

Ta có : với m Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y =
Vì y Z x 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4

4
.
2m - 3

7x + 4y = 23.

23 - 7x
x 1
= 6 2x +
4
4

bài tập phần hệ pt
Bài 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y = 5
3x + 4y = 2

a)

x + 4y = 6
4x 3y = 5

b)

2x y = 3
5 + y = 4x

c)

10

x y = 1
x + y = 5

d)


5
2
x + x + y = 2

f)
3 + 1 = 1, 7
x x + y

2x + 4 = 0
4x + 2y = 3

e)

Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y = 2

x + my = 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y = 3 m

2x + y = 3(m + 2)

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x + y = a
có nghiệm duy nhất là (x; y).

x + (a 1)y = 2

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2x 5y
nhận giá trị nguyên.
x+y

B ài5 : Cho hệ phơng trình:
x + ay = 1
(1)

ax + y = 2

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
mx y = n
nx + my = 1

Bài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình

(

)

có nghiệm là 1; 3 .
( a + 1) x + y = 4
(a là tham số).
ax + y = 2a

Bài 7 : Cho hệ phơng trình

1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
x - (m + 3)y = 0

Bài 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình : (m - 2)x + 4y = m - 1 (m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Giải và biện luận pt theo m.



11


x - m y = 0

Bµi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : mx − 4y = m + 1 (m lµ tham sè).

a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.

Bµi 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bµi 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bµi 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4
lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau

4
giờ thì đầy bể. Nếu
5

6
giờ nữa mới nay bể . Nếu một mình
5

vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bµi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải
dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.
Hường dãn :
x + y = 10
100x + 20y = 400

Ta có hệ pt : 

x = 2,5

⇔ 
 y = 7,5

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C.
Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
 ( x + 200)
 y + 200 .100% = 50%

Theo bài ra ta có hệ pt : 
 ( x + 200) .100% = 40%
 y + 500

x = 400
⇔ 
 y = 1000

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
12


a)Nu a= 0 khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo (1).Phng
trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim duy nht

- hoc vụ nghim
- hoc vụ s nghim
b)Nu a 0
Lp bit s = b2 4ac hoc / = b/2 ac
* < 0 ( / < 0 ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim
b
2a
b/
=- )
a

* = 0 ( / = 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x1,2 = (hoc x1,2

* > 0 ( / > 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
b
2a
b / /
(hoc x1 =
a

x1 =

b+
2a
b / + /
; x2 =
)
a

; x2 =

2. nh lý Viột.
Nu x1 , x2 l nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ
S = x 1 + x2 = p = x1x2 =

b
a

c
a

o lại: Nu cú hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình .Ta có
các kết quả sau:
x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0
0

Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) p > 0
S > 0

0

Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) p > 0
S < 0

> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) p = 0

S > 0


13


> 0

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p = 0
S < 0


4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

c
a

Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

c
a

Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích p = x1x2

- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.
(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p
*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22
*)

x + x2
1
1
S
+
= 1
=
x1 x 2
x1 x 2
p

*)

x1 x 2 x1 + x 2
S2 2p
=
+
=
x 2 x1
x1 x 2
p

2

2

*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
*)

x1 + x 2 2a
1
1
S 2a
+
=
=
x1 a x 2 a ( x1 a )( x 2 a ) p aS + a 2

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiệm
thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc / 0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
14


Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ
2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có / = (m + 1)2 2m + 10 = m2 9
+ Nếu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m 2 9 x 2 = m + 1 + m 2 9
+ Nếu / = 0 m = 3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2
+ Nếu / < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 -

x2 = m + 1 +

m2 9

m2 9

Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x=-

1
2

* Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
2
/ = m (m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
/
x1 = x2 = - b = 2

a

23

=-2

- Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 = m 3 m 2
m3

- Nếu / < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

1
2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 = m 3 m 2
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

m3

15


Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0
d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Giải
a) 2x2 + 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =

c 2009
=

a
2

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,
x2 = -

c
204
= - 12
=
a
17

c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5 ) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5
(hoặc x1 = 5 , x2 = - 3 )
d ) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có
x 1 + x 2 = 3 - 2 7

x 1 x 2 = - 6 7 = 3(-2 7 )

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0

Hớng dẫn :
a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra :
x1 = 2
Hoặc x2 =

m +1
3

b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0 x = - 1
x1 = 1
* m 3 0 m 3 (*)
x 2 = 2m 2

m3

Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x 7 = 0
a) Tính:
A = x12 + x22
B = x1 x2
16


C=

1
1
+
x1 1 x 2 1

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1
và
x1 1
x2 1

Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23
+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x2 = S 2 4 p = 37
+C=

1
1
( x1 + x 2 ) 2
S 2
1
+
=
=
=
x1 1 x 2 1

( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
1
1
1
+
= (theo câu a)
x1 1 x 2 1
9
1
1
1
=
=
p=
( x1 1)( x 2 1) p S + 1
9
1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x1 1
x2 1
1

1
X2 SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
9
9

S=

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 3
5

= 5(k2 2. k +

6
9
k+ )
5
5

9
36
3
36
+

) = 5(k - ) +
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình (1)
25
25
5
5

luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2.
-(k -

1
1
7
k+ + )<0
2
4
4

1 2 7
) - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với
2
4

mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
17

x1 + x2 = k 1 và x1x2 = - k2 + k 2
x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]
= (k 1) (4k2 5k + 7)
5 2 87
) +
]
4
16
5
87
Do đó x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k - )2 +
] >0
4
16
5
87
k 1 > 0 ( vì (2k - )2 +
> 0 với mọi k)
4
16
k>1

= (k 1)[(2k -

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9
2. Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5
= m2 + 2.m.

1
1
19
1
19
+ +
= (m + )2 +
> 0 với mọi m
2
4
4
2
4

Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4
Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

1 2 19
) + ]

2
4

1
1
=> x1 x2 = 2 (m + 1 ) 2 + 19 2 19 = 19 khi m + = 0 m = 2

4

2

4

Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2

1
2

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -

9
2

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này
gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:

1) Thay m = -

9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
2

5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
18


x1 =

2m 1 + 5 2m + 4
=
=1
2(m + 2)
2m + 4

x2 =

2m 1 5 2(m 3) m 3
=
=
2(m + 2) 2( m + 2) m + 2

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m3
9
giải ra ta đợc m = - (đã giải ở câu 1)
m+2
2
m3
11
Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= 3.
(thoả mãn điều kiện m m + 2 = 3m 9 m =
m+2
2

Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =

2)

Kiểm tra lại: Thay m =

11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
2

15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x1 = 1 , x 2 =

5

1
= (thoả mãn đầu bài)
15
3

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =

3
4

+ Nếu m 0 .Lập biệt số / = (m 2)2 m(m-3)
= m2- 4m + 4 m2 + 3m
=-m+4
/ < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm

/ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép

/
x1 = x 2 = - b = m 2 = 4 2 = 1

a

m

2

2
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m 2 m + 4
; x2 = m 2 + m + 4
m
m
/

Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

1
2

0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 = m 2 m + 4
m

;

x2 = m 2 + m + 4
m

3
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
c
m3
2. (1) có nghiệm trái dấu

<0
<0
a
m

19


m 3 > 0

m < 0

m 3 < 0

m > 0

m > 3

m < 0

m < 3

m > 0

m > 3
không thoả mãn
m < 0

Trờng hợp

m < 3
m > 0

Trờng hợp

0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/ 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)

- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :

9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
4

9
thoả mãn
4
9
4

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = - .Sau đó thay
9
vào phơng trình (1) :
4
9
9
9

- x2 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0
4
4
4
x1 = 3
/
có = 289 189 = 100 > 0 =>
x2 = 7
9

9
Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4

m=-

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = đã làm)

9
7
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =
(Nh phần trên
4
9

9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
4
9

2( 2)
2(m 2)
34
4
x1 + x2 =
=
=
9
m
9
4
34
34
7
x2 =
- x1 =
-3=
9
9
9

Cách 2: Thay m = -

Cách 3: Thay m = -

9
vào công trức tính tích hai nghiệm
4
20

m3
x1x2 =
=
m



9
3
21
21
21
7
4
=> x2 =
: x1 =
:3=
=
9
9
9
9
9

4

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép / = 0 k2 (2 5k) = 0
k2 + 5k 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
5 33
5 + 33
k1 =
; k2 =
2
2
Vậy có 2 giá trị k1 = 5 33 hoặc k2 = 5 + 33 thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2
2

2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
2
/ 0 k + 5k 2 0 (*)
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 2x1x2 = 10

b
= - 2k và x1x2 = 2 5k
a

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = -

Vậy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

7
2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k 2
+ k1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k2 = -

7
49 35
49 70 8
29
=> / =
không thoả mãn

2=
=
2
4
2
4
8

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

7
(cách tìm nh trên)
2

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
+ Với k2 = -

7
39
(1) => x2- 7x +
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
2
2

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài tập về pt bậc hai
Bài 1 : Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gọi x 1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hãy tính:
1) x12 + x22
2) x1 x1 + x 2 x 2

21


3)

x12 + x 22 + x1x x ( x1 + x 2 )

(

)

(

x12 x12 1 + x 22 x 22 1

)

.

Bài 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.
Tính x1 x 2 + x 2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 4 : Cho phơng trình:
x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Bài 5 : Cho phơng trình:
x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Bài 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0.

Bài 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9.
Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
, = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
m m +1
1
=
2m 1
2m 1
1
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
<0
2m 1
1
2m
+1 > 0
>0

=> 2m 1
=>m<0
2m 1
2m 1 < 0

2m 1 < 0

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
GiảI bài toán bằng cách lập pt
22


Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc
đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô
đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy cùng một thời gian nh
nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao
lâu đầy bể.
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB
và thời gian dự định đi lúc đầu .
Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô
thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận
tốc của mỗi ôtô?
Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả
80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn
nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.
Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi
trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5
km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta

đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật
ban đầu.
Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A
một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một
địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B,
mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc
mỗi xe.
Bài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều
3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi
lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
Bài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào
hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc
thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h ,
một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách
A bao nhiêu km
Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít
hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng
nớc là 3km/h.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và
đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
23


Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau.
Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi có bao
nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
Bài 15 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy
giời thì xong?.

Bài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ cùng
một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau
thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua.
Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt
20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ
sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm
Bài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì còn thừa 01 h/s. Nếu bớt
đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu h/s.
Mỗi xe chở không quá 32 h/s.
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300
chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm
đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.
Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của
dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng
Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi
xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh
hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết
quãng đờng AB dài 240km
Bài 23: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng
vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi
chảy bao lâu đầy bể?
Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.
Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau.
Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ
một.
Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và gặp

nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc ô
tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.
Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã
bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số thóc
hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn
24


ôn tập hình học 9
Phần 1 : hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0
bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí tơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối

Hệ thức

M nằm ngoài ( O ; R )

OM > R

M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc
; R)

( O OM = R

M nằm trong ( O ; R )

OM < R

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối

Số điểm chung

Hệ thức

a cắt ( O ; R )

2

d
a tiếp xúc ( O ; R )

1

d=R

a và ( O ; R ) không giao 0
nhau

d>R

* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
vị trí tơng đối

Số điểm chung

Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau

2

R r < d < R- r

Hai đờng tròn tiếp xúc 1
nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :

d=R+r
d=Rr
25