Chuyen dong Brown

CHUYỂN ĐỘNG BROWN
Nguyễn Hữu Thái
Khoa Toán - Thống kê, ĐH Kinh Tế Tp.HCM

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

1 / 56


Mở đầu

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]
∆t

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

(1)

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất

điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]
∆t

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

(1)

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]

(1)

1 nếu chất điểm đi xuống
1 nếu chất điểm đi lên

(2)

∆t

trong đó

Xi =

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]

(1)

1 nếu chất điểm đi xuống
1 nếu chất điểm đi lên

(2)

∆t

trong đó

Xi =

khi đó fXi g là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]

(1)

1 nếu chất điểm đi xuống
1 nếu chất điểm đi lên

(2)

∆t

trong đó

Xi =

khi đó fXi g là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2.
Ta có:
E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = 1

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56


Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:

h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]

(1)

1 nếu chất điểm đi xuống
1 nếu chất điểm đi lên

(2)

∆t

trong đó

Xi =

khi đó fXi g là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2.
Ta có:
E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = 1

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

2 / 56

Mở đầu
Xét chuyển động của một chất điểm. Trong khoảng thời gian ∆t chất
điểm có thể đi liên hoặc xuống với vận tốc là ∆x.
Ký hiệu X (t ) là vị trí của nó tại thời điểm t, ta có:
h
i
X (t ) = ∆x X1 + X2 + ... + X[ t ]

(1)

1 nếu chất điểm đi xuống
1 nếu chất điểm đi lên

(2)

∆t

trong đó

Xi =

khi đó fXi g là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2.
Ta có:
E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = 1
E [X (t )] = ∆x.0 = 0; Var [X (t )] = ∆x 2 .
(Institute)

Chuyển động Brown

t
∆t

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

(3)

2 / 56


Qua giới hạn

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56


Qua giới hạn
p
Giả sử ∆x = σ ∆t. Khi đó nếu cho ∆t ! 0 thì theo định lý giới hạn
trung tâm ta có:

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56


Qua giới hạn
p
Giả sử ∆x = σ ∆t. Khi đó nếu cho ∆t ! 0 thì theo định lý giới hạn
trung tâm ta có:
X (t ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0,
phương sai bằng σ2 t.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56


Qua giới hạn
p
Giả sử ∆x = σ ∆t. Khi đó nếu cho ∆t ! 0 thì theo định lý giới hạn
trung tâm ta có:
X (t ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0,
phương sai bằng σ2 t.
X (t ) có gia số độc lập, nghĩa là với t1 < t2 < ... < tn , các biến ngẫu
nhiên X (tn ) X (tn 1 ) , .., X (t2 ) X (t1 ) là độc lập.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56


Qua giới hạn
p
Giả sử ∆x = σ ∆t. Khi đó nếu cho ∆t ! 0 thì theo định lý giới hạn
trung tâm ta có:
X (t ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0,
phương sai bằng σ2 t.
X (t ) có gia số độc lập, nghĩa là với t1 < t2 < ... < tn , các biến ngẫu
nhiên X (tn ) X (tn 1 ) , .., X (t2 ) X (t1 ) là độc lập.
X (t ) có gia số dừng, nghĩa là phân phối của X (t + s )
không phụ thuộc vào s.

(Institute)

Chuyển động Brown

X (s )

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56

Qua giới hạn
p
Giả sử ∆x = σ ∆t. Khi đó nếu cho ∆t ! 0 thì theo định lý giới hạn
trung tâm ta có:
X (t ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0,
phương sai bằng σ2 t.
X (t ) có gia số độc lập, nghĩa là với t1 < t2 < ... < tn , các biến ngẫu
nhiên X (tn ) X (tn 1 ) , .., X (t2 ) X (t1 ) là độc lập.
X (t ) có gia số dừng, nghĩa là phân phối của X (t + s )
không phụ thuộc vào s.

X (s )

Chuyển động như trên có tính chất giống như một di động ngẫu
nhiên và được gọi là chuyển động Brown.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

3 / 56


Định nghĩa

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:
1

B (0) = 0.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:
1

B (0) = 0.

2

B (t ) có gia số dừng và độc lập.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56

Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:
1

B (0) = 0.

2

B (t ) có gia số dừng và độc lập.

3

Với mọi t > 0, B (t )

(Institute)

N 0, σ2 t

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất

phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:
1

B (0) = 0.

2

B (t ) có gia số dừng và độc lập.

3

Với mọi t > 0, B (t )

N 0, σ2 t

Khi σ = 1 ta gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:

1

B (0) = 0.

2

B (t ) có gia số dừng và độc lập.

3

Với mọi t > 0, B (t )

N 0, σ2 t

Khi σ = 1 ta gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Chú ý rằng
hàm mật độ của B (t ) là ft (x ) =

(Institute)

p1 e
2πt

x2
2t

Chuyển động Brown

.

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Định nghĩa

Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất
phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau:
1

B (0) = 0.

2

B (t ) có gia số dừng và độc lập.

3

Với mọi t > 0, B (t )

N 0, σ2 t

Khi σ = 1 ta gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Chú ý rằng
hàm mật độ của B (t ) là ft (x ) =

p1 e
2πt

x2
2t

.

Nếu B(0) = x ta có chuyển động Brown xuất phát từ x.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

4 / 56


Tính thuần nhất không gian quỹ đạo

Lemma
Nếu fB (t ) , t 0g là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ 0
thì B (t ) = B (t ) + x là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ
x.

(Institute)

Chuyển động Brown

Ngày 14 tháng 5 năm 2009

5 / 56