Bài Tập Lượng Giác Có Đáp Án Chi Tiết

Bài 1: Bài tập Tìm TXĐ của hàm số:
a ) y = sin 3 x
2
b) y = cos
x
1+ x
c) y = sin
1− x
3
d)y =
2 cos x
π

e) y = cot  2 x − ÷
4


cot x
cos x − 1
2 + sin x
g) y =
1 + cos x
f )y =

h) y = 1 + cos x
i ) y = 3 − cos x +

Giải:
a) D = R
b)Hàm số

1
sin 2 x

h) y = 1 + cos x
y = sin

1+ x
1 − x có nghĩa khi:

1+ x
1+ x
∈R ⇔
≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
1− x
1− x
Vậy D = [ −1;1)
cot x
cos x − 1
D = R \ { kπ , k ∈ Z }
f )y =

2 + sin x
1 + cos x
2 + sin x
≥ 0, ∀x ∈ R
Vì 1 + cos x
nên
g) y =

Hàm số có nghĩa khi 1 + cos x ≥ 0

Mà 1 + cos x ≥ 0, ∀x ∈ R
Vậy D=R
i ) y = 3 − cos x +

1
sin 2 x

Hàm số có nghĩa khi

3 − cos x ≥ 0, ∀x ∈ R
3 − cos x ≥ 0

⇔

kπ
sin 2 x ≠ 0
 x ≠ 2 , k ∈ Z
 kπ

D = R \  ,k ∈Z
 2


hàm số có nghĩa khi:
cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ Z
D = R \ { π + k 2π , k ∈ Z }
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
1) y = 1 − 3sin 5 x
x
2) y = 2 + 3cos

2
3) y = 3 − 2 sin x

Bài 3: Giải các phương trình sau:

π

4) y = cos x + cos  x − ÷
3

2
1 + 4 cos x
5) y =
3
6) y = 3 − 4sin 2 x cos 2 x


x
 1
1)sin  − 60° ÷ =
2
 2
2) sin 2 x = −1

π
1

3)sin  3 x − ÷ = −
6
2


2
4) sin(−3 x + 1) =
3
π

5) sin 2 x = cos  − x ÷
3


6) cos( x − 2) =

2
5

π
2

7) cos  4 x − ÷ = −
6
2

1
8) cos(2 x + 50°) =
2
9) (1 + 2 cos x)(3 − cos x) = 0
10) cos(2 x − 40°) =

5
2

Giải:
x
 1
1)sin  − 60° ÷ =
2
 2
x

⇔ sin  − 60° ÷ = sin 30°
2

 x = 90° + k 360°
⇔
(k ∈ Z )
 x = 210° + k 360°
2) sin 2 x = −1
3π
⇔ 2x =
+ k 2π
2
3π
⇔x=
+ kπ ( k ∈ Z )
4
π
1

3)sin  3 x − ÷ = −
6

2

π

 π
⇔ sin  3 x − ÷ = sin  − ÷
6

 4

π k 2π

 x = − 36 + 3
⇔
(k ∈ Z )
 x = 17π + k 2π

36
3
2
4) sin(−3 x + 1) =
3
2
> 1 nên PTVN
Vì
3
π

5) sin 2 x = cos  − x ÷
3



6) cos( x − 2) =

2
5

2
⇔ x = 2 ± arccos + k 2π (k ∈ Z )
5
π
2

7) cos  4 x − ÷ = −
6
2


π
3π

⇔ cos  4 x − ÷ = cos
6
4

11π
π
11π



 x = 48 + k 2
 4 x = 12 + k 2π
⇔
⇔
(k ∈ Z )
 x = − 7π + k π
 4 x = − 7π + k 2π

12
48
2

1
8) cos(2 x + 50°) =
2
⇔ cos(2 x + 50°) = cos 60°
 x = 5° + k180°
⇔
(k ∈ Z )
 x = −55° + k180°
9) (1 + 2 cos x)(3 − cos x) = 0
1

cos x = −
1 + cos 2 x = 0

⇔
⇔
2


3 − cos x = 0
 cos x = 3
2π

x=±
+ k 2π (k ∈ Z )

⇔
3

 PTVN
10) cos(2 x − 40°) =

5
2


π

⇔ sin 2 x = sin  + x ÷
6

π

 x = 6 + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 x = 5π + k 2π

18

3

Bài 4: Giải các phương trình sau:
π
π


1) tan  2 x + ÷ = tan  x − ÷
6
3


2) tan(2 x + 45°) = −1

π
x π
3) tan  − ÷ = tan
8
2 4

Vì

5
> 1 nên PTVN
2

4) tan(2 x + 60°).cos( x + 75°) = 0
5) tan x.tan 2 x = −1

π


6)2 cot  3 x + ÷ = − 3
4

3
x

7) cot  + 20° ÷ = −
3
3


Giải:
π
π
π


x π
1) tan  2 x + ÷ = tan  x − ÷3) tan  − ÷ = tan
(3)
6
3
8


2 4
(1)
x π
cos  − ÷ ≠ 0

Điều
kiện:
ĐK:
2 4
π π

x π π
(3) ⇒ − = + kπ
2 x + 6 ≠ 2 + kπ
( k, l ∈ Z )
2 4 8

π π
 x − ≠ + lπ
3π
⇔x=
+ k 2π (k ∈ Z )(n)

2 2
4
π
π − 3


π
π
= − 3 ⇔ cot  3 x + ÷ =
∈ Zcot  3 x + 4 ÷
( 1) ⇒ 2 x + = x − + kπ , k 6)2
4

2


6
3
− 3
π
π 1
π
⇔ x = − + kπ , k ∈ Z
⇔ x = − + arc cot 
+ k (k ∈ Z )
÷
÷
2
12 3
3
 2 

So với đk suy ra (3) có
nghiệm:
π
x = − + k 2π , k ∈ Z

3
x

7) cot  + 20° ÷ = −
3
3


x

2
⇔ cot  + 20° ÷ = cot ( −60° )
2) tan(2 x + 45°) = −1
3

⇔ tan(2 x + 45°) = tan(−45°)⇔ x = 240° + k 540°(k ∈ Z )
⇔ x = −45° + k 90°(k ∈ Z )

Bài 5: Giải các phương trình sau với điều kiện đã chỉ ra:
1
với 0 < x < 2π
2
−90° < x < 360°
a )sin 2 x =

c) tan( x + 30°) + 1 = 0 với


b) cos 3 x = −

3
với −π < x < π
2

Giải:
1
với 0 < x < 2π

2
π

x = + kπ

1
12
sin 2 x = ⇔ 
(k ∈ Z )
2
 x = 5π + kπ

12
π
Xét x = + kπ (k ∈ Z): Vì 0 < x < 2π nên
12
π
13π
x = ;x =
12
12
5π
+ kπ ( k ∈ Z ) : Vì 0 < x < 2π
Xét x =
12
a )sin 2 x =

nên

3

với −π < x < π
2
3
5π
2π
cos 3 x = −
⇔ x=±
+k
(k ∈ Z )
2
18
3

b) cos 3 x = −

Kết hợp điều kiện
 5π 17π −5π

7π 7π 17π 
S = ;
;
;−
;
;−

18 18
18 
 18 18 18
c ) tan( x + 30°) + 1 = 0 với −90° < x < 360°
tan( x + 30°) + 1 = 0 ⇔ tan( x + 30°) = −1

⇔ x = −75° + k180°(k ∈ Z )

Kết hợp điều kiện ta có
S = { −75°;105°; 285°}

5π
17π
;x =
12
12
 π 13π 5π 17π 
; ;
Vậy S =  ;

12 12 12 12 
x=

Bài 6: Giải các phương trình:
1)sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) =
2) cos 3 x − sin 2 x = 0
3) tan x.tan 2 x = −1
4) cot 2 x.cot 3 x = 1
5) sin 3 x + sin 5 x = 0

1
2

6) sin 4 x − cos 3 x = 0

π


7) cos 2 x.cot  x − ÷ = 0
4

8)(cot x + 1) sin 3 x = 0
9) tan(2 x + 60°) cos( x + 75°) = 0
x
10) cos = − cos(2 x − 30°)
2

Giải:
1)sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) =

1
2

⇔ sin[2(2 x + 1)] = 1
π
⇔ 4 x + 2 = + k 2π
2
1 π
π
⇔ x = − + + k (k ∈ Z )
2 8
2
2) cos 3 x − sin 2 x = 0

π

7) cos 2 x.cot  x − ÷ = 0

(1)
4

π

Điều kiện: sin  x − ÷ ≠ 0
4



π

⇔ cos 3 x = sin 2 x ⇔ cos 3 x = cos  − 2 x ÷
2

π
2π

 x = 10 + k 5
⇔
(k ∈ Z )
 x = − π + k 2π

2
3) tan x.tan 2 x = −1 (1)
Điều kiện: cos x ≠ 0;cos 2 x ≠ 0
(1) ⇒ sin x.sin 2 x = − cos x.cos 2 x
⇒ sin x.sin 2 x + cos x.cos 2 x = 0
⇒ cos x = 0

Kết hợp điều kiện thì PTVN
4) cot 2 x.cot 3 x = 1 (4)
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0,sin 3 x ≠ 0

(4) ⇒ cos 2 x.cos 3 x = sin 2 x.sin 3 x
⇒ cos 5 x = 0
π
π
⇒ x = + k ,k ∈Z
10
5
Với k=2+5m,m ∈ Z thì
π
π π
x = + (2 + 5m) = + mπ , m ∈ Z khôn
10
5 2

g thỏa điều kiện.
Vậy PT có nghiệm x =
và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z

π
π
+ k ,k ∈Z
10
5

5) sin 3 x + sin 5 x = 0
⇔ 2sin 4 x.cos x = 0

kπ

x = 4
sin 4 x = 0
⇔
⇔
(k ∈ Z )
cos x = 0
 x = π + kπ

2
6) sin 4 x − cos 3 x = 0
⇔ sin 4 x = cos 3x
π

⇔ cos  − 4 x ÷ = cos 3x
2

π k 2π

 x = 14 + 7
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + m2π

2

π


(1) ⇒ cos 2 x.cos  x − ÷ = 0
4

π
π

cos 2 x = 0
x = +k

4
2 (k ∈ Z )
⇒ 
⇒
cos  x − π ÷ = 0 
 x = 3π + kπ
4
 

4

So điều kiện thì pt có nghiệm
π
π
x=

+ (2m + 1) , m ∈ Z
4
2
3π
x=

+ kπ , k ∈ Z
4
8)(cot x + 1) sin 3x = 0 (2)
Điều kiện: sin x ≠ 0
π

x = − + kπ

 cot x = −1
4
(2) ⇒ 
⇒
k ∈Z
k
π
sin
3
x
=
0

x =

3
kπ
, k = 3m, m ∈ Z
So điều kiện loại x =
3

Vậy nghiệm của PT là:

π
π
2π
x = − + kπ , x = + k π , x =
+ kπ (k ∈ Z )
4
3
3
9) tan(2 x + 60°) cos( x + 75°) = 0
Điều kiện: cos(2 x + 60°) ≠ 0
sin(2 x + 60°) = 0
(9) ⇒ 
cos( x + 75°) = 0
 x = −30° + k 90°
⇒
(k ∈ Z )
 x = 15° + k180°

So điều kiện vậy PT có nghiệm
x = −30° + k 90°
x
10) cos = − cos(2 x − 30°)
2
x
⇔ cos = cos(180 − 2 x + 30°)
2
x
⇔ cos = cos(210° − 2 x)
2
 x = 84° + k144°

⇔
(k ∈ Z )
 x = 140° + k 240°

(9)


Bài 7: Giải các phương trình:
π


1) cos 2 x + cos  3 x + ÷ = 0
3

3π 
π


2) sin  5 x −
÷+ cos  2 x + ÷ = 0
4 
3


3) tan(3 x − 20°) − cot(2 x + 15°) = 0

Giải:
Bài 8: Giải các phương trình sau:
π


1)2sin  x − ÷− 2 = 0
3


2) − 2 cos(3π + 2 x) + 3 = 0
3) sin x .(2 cos x + 1) = 0
4) 3 cot(3 x − 30°) − 1 = 0

Giải:
π

1)2sin  x − ÷− 2 = 0
3

π
2

⇔ sin  x − ÷ =
3 2

7π

 x = 12 + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 x = 13π + k 2π

12

2) − 2 cos(3π + 2 x) + 3 = 0 ⇔ cos(3π + 2 x) = −

3
2

5π
5π
⇔ x=±
+ kπ ( k ∈ Z )
6
12
3) sin x .(2 cos x + 1) = 0 (1)
Điều kiện: sin x ≥ 0
 x = kπ
sin x = 0

(1) ⇔
⇔
(k ∈ Z )
 x = 2π + k 2π
cos x = − 1
3

2

⇔ cos 2 x = cos

4) 3 cot(3 x − 30°) − 1 = 0
1
⇔ cot(3 x − 30°) =
⇔ x = 20° + k 60°(k ∈ Z )

3

Bài 9: Giải phương trình:
a ) cos 2

x
x
+ 2 cos − 3 = 0
2
2

b) tan 2 (2 x) + tan(2 x) − 2 = 0

c)3sin 2

x
x
− 4sin + 1 = 0
3
3

Giải:
b) tan 2 (2 x) + tan(2 x) − 2 = 0
x
x
π

+ 2 cos − 3 = 0
x
=

+ kπ
2
2

 tan 2 x = 1
8
⇔
⇔
(k ∈ Z )
x

tan 2 x = −2
1


cos
=
1
x = arctan( −2) + kπ

x
2

2
⇔
⇔ cos = 1 ⇔ x = k 4π (k ∈ Z )
2
cos x = −3( PTVN )

2

a ) cos 2


x
x
− 4sin + 1 = 0
3
3
π

 x = 2 + k 2π

sin x = 1
1

⇔
⇔  x = arcsin + k 2π
(k ∈ Z )
1

sin x =
3

3

 x = π − arcsin 1 + k 2π
3


c )3sin 2

Bài 10: Giải các phương trình sau:
x
x
+ 2 cos − 2 = 0
2
2
2
2)4 tan x − 5 tan x + 1 = 0

1)2 cos 2

3)14 cos 2 (2 x) − 5cos(2 x) − 1 = 0
4) cot 2 x − 7 cot x + 10 = 0

Giải:

5)5cos x − 2sin 2 x = 0
6)8sin x cos x cos 2 x = −1
7)2 cos 2 x + cos 2 x = 2
8) cos 3 x − cos 4 x + cos 5 x = 0


x
x
+ 2 cos − 2 = 0
2
2
x


 cos 2 = − 2( PTVN )
x
2
⇔
⇔ cos =
2
2
x
2

 cos 2 = 2

1)2 cos 2

5)5cos x − 2sin 2 x = 0
⇔ 5cos x − 4sin x cos x = 0 ⇔ cos x(5 − 4sin x) = 0

π

 x = 2 + kπ ( k ∈ Z )
cos x = 0
⇔
⇔
5 − 4sin x = 0
sin x = 5 ( PTVN )

4
6)8sin x cos x cos 2 x = −1 ⇔ 4sin 2 x cos 2 x = −1

π

+ k 4π (k ∈ Z )
2
1
⇔ 2sin 4 x = −1 ⇔ sin 4 x = −
2
2)4 tan x − 5 tan x + 1 = 0
2
π
π

π

 tan x = 1
 x = − 24 + k 2
 x = 4 + kπ
(k ∈ Z )
⇔
⇔
(k ∈ Z ) ⇔ 
7π
π

 tan x = 1
1
x=
+k
 x = arctan + kπ


4

24
2

4
2
⇔x=±

7)2 cos x + cos 2 x = 2 ⇔ 1 + 2 cos 2 x = 2
1
π
⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ Z )
2
6
8) cos 3x − cos 4 x + cos 5 x = 0

4) cot 2 x − 7 cot x + 10 = 0

cot x = 2
 x = arc cot 2 + kπ
⇔
⇔
(k ∈ Z ) ⇔ 2 cos 5 x sin 2 x − cos 5 x = 0
cot x = 5
 x = arc cot 5 + kπ
⇔ cos 5 x(2sin 2 x − 1) = 0
π
π


 x = 10 + k 5


cos 5 x = 0
π

⇔
⇔  x = + kπ ( k ∈ Z )
1

sin 2 x =
12


2
 x = 5π + kπ

12

Bài 11: Giải PT:
a ) cot 2 x + ( 3 − 1) cot x − 3 = 0
b) sin 2 x − 2 cos x = 0

e) cos 2 x − 5sin x − 3 = 0

c)8cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2

g ) cos 2 x + 2 cos x = 2sin 2

d )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0

Các công thức thường áp dụng:

-Các hằng đẳng thức lượng giác
sin2α + cos2α = 1
1 + tan2α =
1 + cot2α =

1

2

cos α
1
sin 2 α

tanα.cotα = 1

(α ≠

π
2

+ k π)

(α ≠ kπ)
π
2

(α ≠ k )

f )2 cos 2 2 x + 3sin 2 x = 2
x

2


Giải
c)8cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2 ⇔ 4sin 4 x cos 4 x = 2
a ) cot x + ( 3 − 1) cot x − 3 = 0
π
π

x=
+k

2
π
32
4

⇔
sin
8
x
=
⇔
(k ∈ Z )
x
=
+
k
π


cot x = 1
3
π
π
2
4

⇔
⇔
(k ∈ Z )
x=
+k

π
32
4

cot
x
=
−
3


x = − + kπ
2

6 d )3sin 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0
b) sin 2 x − 2 cos x = 0 ⇔ 2 cos x⇔
(sin3(1

x −−1)
= 202 x) + 7 cos 2 x − 3 = 0
cos
2

π

cos 2 x = 0
x
=
+ kπ

2
cos x = 0
2
2 x + 7 cos 2 x = 0 ⇔ 
⇔
⇔
(⇔
k ∈−Z3cos
)
cos 2 x = 7 ( PTVN )
sin x = 1
 x = π + k 2π
3


2
π
π

⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ Z )
Vậy Pt có nghiệm
4
2
π
x = + kπ ( k ∈ Z )
e) cos 2 x − 5sin x − 3 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x − 5sin x − 3 = 0
2
 sin x = − 2( PTVN )
2
⇔ − 2sin x − 5sin x − 2 = 0 ⇔ 
 sin x = − 1

2
π

x = − + k 2π
1 
6
⇔ sin x = − ⇔ 
(k ∈ Z )
7π
2 
x=
+ k 2π

6
f )2 cos 2 2 x + 3sin 2 x = 2 ⇔ 4 cos 2 2 x − 3cos 2 x − 1 = 0

 x = kπ


(k ∈ Z )
 x = ± 1 arccos  − 1 ÷ + kπ

2
 4
x
g ) cos 2 x + 2cos x = 2sin 2 ⇔ 2cos 2 x − 1 + 2cos x = 1 − cos x
2
1

cos x =
2

⇔ 2 cos x + 3cos x − 2 = 0 ⇔
2

 cos x = − 2( PTVN )
 cos 2 x = 1
⇔
⇔
 cos 2 x = − 1

4

⇔ cos x =

Bài 12: Giải các phương trình sau:
a ) 3 cos x + sin x = −2
b) cos 3 x − sin 3 x = 1

c)2 cos x − sin x = 2

Giải

1
π
⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Z )
2
3

d ) sin 5 x + cos 5 x = −1
e) cos 3x + sin x = 3(sin 3 x − cos x)


a ) 3 cos x + sin x = −2

c )2 cos x − sin x = 2
2
1
2
⇔
cos x −
sin x =
⇔ cos( x − α ) = cos α
5
5
5
2
1
,sin α = −

Với cos α =
5
5
 x = k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 x = 2α + k 2π

3
1
cos x + sin x = −1
2
2
π

⇔ sin  x + ÷ = −1
3

5π
⇔x=−
+ k 2π (k ∈ Z )
6
1
1 d ) sin 5 x +1 cos 5 x = −1 ⇔ 2 sin 5 x + 2 cos 5 x = −1
b) cos 3 x − sin 3 x = 1 ⇔
cos 3 x −
sin 3 x =
2
2
2

2
2
2
π k 2π

k 2π

x
=
−
+
x
=


π
−1
10
5
π 1

3
⇔(ksin(5
⇔
(k ∈ Z )
⇔ cos  3 x + ÷ =
⇔
∈ Z x) + ) =
π
k

2
π
4
2
π
k
2
π
4
2


x = − +
x= +


5
5
6
3
e) cos 3x + sin x = 3(sin 3 x − cos x)
⇔

⇔ 3 sin 3x − cos 3 x = sin x + 3 cos x

π
π


⇔ sin  3 x − ÷ = sin  x + ÷

6
3


π

 x = 4 + kπ
⇔
(k ∈ Z )
 x = 5π + kπ

24 2

Bài 13 :Giải phương trình:
1 1

a )sin  4 x + ÷ =
2 3

b) sin(2 x + 1) = cos(2 − x)
c) sin 2 x + 3 cos 2 x = 1
d )2sin 2 x + 5sin x + 3 = 0
e)4 cos 2 3 x − 13cos 3 x + 9 = 0

Giải:


π 1
1 1
1 kπ



c ) sin 2 x + 3 cos 2 x = 1 ⇔ sin  2 x + ÷ =
x = − − arcsin +

1 1
3 2

8 4
3 2

a )sin  4 x + ÷ = ⇔ 
(k ∈ Z )
2 3

π
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + kπ 
x = − + kπ

4 8 4
3 2 
12
⇔
(k ∈ Z )
π

π

b) sin(2 x + 1) = cos(2 − x) ⇔ sin(2 x + 1) = sin  − 2 +xx=÷ + kπ
  4

2
π

 x = 2 − 3 + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + 1 + k 2π

6 3
3

−3

sin x =
( PTVN )

d )2sin x + 5sin x + 3 = 0 ⇔
2

sin x = −1
π
⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ Z )
2
9

cos 3 x = ( PTVN )
2

e)4 cos 3 x − 13cos 3 x + 9 = 0 ⇔
4


cos 3 x = 1
k 2π
⇔ cos 3 x = 1 ⇔ x =
(k ∈ Z )
3
2

Bài 14: Tìm tập xác định của hàm số
a)

y=

2 − cos x
π

1 + tan  x − ÷
3


b) y =

tan x + cot x
1 − sin 2 x

Giải:
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
 
π
 π π

cos  x − ÷ ≠ 0
 x − ≠ + kπ

3
 

3 2
⇔

π
 tan  x − π  ≠ −1  x − ≠ − π + kπ
÷

 
3
4
3
5π

 x ≠ 6 + kπ
⇔
,k ∈Z
π
 x ≠ + kπ

12
  5π
 π

Vậy, D = R \   + kπ , k ∈ Z  U  + kπ , k ∈ Z  

  12

 6

Bài 15: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
π

a ) y = 1 + 3sin  2 x − ÷
4


b) y = 3 − 2 cos 2 3 x

b. Hàm số xác định khi và chỉ
khi
π

cos x ≠ 0
x≠k


2
k ∈Z
sin x ≠ 0 ⇔ 
π
sin 2 x ≠ 1  x ≠ + kπ


4

Vậy,
 π
 π

D = R \   k , k ∈ Z  U  + kπ , k ∈ Z  
 4

 2

c) y = 1 + 2 + sin 2 x

d)y =

4
1 + 2sin 2 x


Bài 16: Giải phương trình:
c)2 tan 2 x + 5 tan + 3 = 0
x
d ) − 17 cos + 4 cos x + 4 = 0
2

x
x
+ 5cos − 3 = 0
2
2
2
b)3sin 2 x + 5sin 2 x − 8 = 0

a ) − 2 cos 2

Giải
 tan x = −1
2
x

c )2 tan x + 5 tan + 3 = 0 ⇔ 
cos = 1
 tan x = − 3

x
x
2

2
a ) − 2 cos 2 + 5cos − 3 = 0 ⇔ 
x
3
2
2
cos = ( PTVN )
π

2 2
 x = − 4 + kπ
⇔
(k ∈ Z )
x
 x = arctan  − 3  + kπ

⇔ cos = 1 ⇔ x = k 4π ( k ∈ Z )

÷
2

 2
sin 2 x = 1
x
2
d ) − 17 cos + 4 cos x + 4 = 0
b)3sin 2 x + 5sin 2 x − 8 = 0 ⇔ 
8
sin 2 x = − ( PTVN )
2
3

x
x
⇔ −17 cos + 4(2 cos 2 − 1) + 4 = 0
π
2
2
⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4
x

cos = 0

x
x

2
⇔ 8cos 2 − 17 cos = 0 ⇔ 
2
2
cos x = 17 ( PTVN )

2 8
x
⇔ cos = 0 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z )
2

Bài 17: Giải phương trình:
x
x
c) 6 cos − 2 sin = −2
2
2
d ) 3 cos 5 x − sin x = 2

a )3cos 2 x − 2sin x + 2 = 0
b)2sin 2 2 x − 3cos 2 x = 0
e) cos x + 3 sin x = 2 cos 3 x

Giải
3
1
2
d ) 3 cos 5 x − sin x = 2 ⇔
cos 5 x − sin 5 x =
a )3cos x − 2sin x + 2 = 0 ⇔ −3sin x − 2sin x + 5 = 0

2
2
2
π k 2π
sin x = 1

x=
+
π


⇔
⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z
2
 π)

60
5
5
⇔ sin  − 5 x ÷ =
⇔
(k ∈ Z )
sin x = − ( PTVN )
2
3
 2
3

 x = − π + k 2π


12
5
b)2sin 2 2 x − 3cos 2 x = 0 ⇔ −2 cos 2 2 x − 3cos 2 x + 2 = 0
2

2

1

cos 2 x =
1
π

⇔
⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z )
2

2
12
cos 2 x = −2( PTVN )


x
x
3
x 1
x e) cos
1 x + 3 sin x = 2 cos 3 x
c) 6 cos − 2 sin = −2 ⇔
cos − sin = −

2
2
2
2 2
2
2
π kπ

x= +

π

π

12 2
⇔ cos  x − ÷ = cos 3 x ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = 6 + k 4π
1
π x 
3

 x = − π + kπ
⇔ sin  − ÷ = −
⇔
(k ∈ Z )
2
 6 2

 x = − 17π + k 4π

6

6

Kiểm tra 15 phút
Đề 1: Giải phương trình
a )3sin 2 2 x + 5sin 2 x − 8 = 0

x
x
b) 6 cos − 2 sin = −2
2
2

Đề 2: Giải phương trình
a ) − 2 cos 2

x
x
+ 5cos − 3 = 0
2
2

b) sin 5 x + cos 5 x = −1

Đáp án:
Câu
Đề

Đề 1

Điể
m

a)

a) − 2 cos 2

a)3sin 2 x + 5sin 2 x − 8 = 0
2

sin 2 x = 1
⇔
sin 2 x = − 8 ( PTVN )
3

⇔ sin 2 x = 1
π
⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4

b)

x
x
b) 6 cos − 2 sin = −2
2
2
3
x 1

x
1
⇔
cos − sin = −
2
2 2
2
2
1
π x 
⇔ sin  − ÷ = −
2
 6 2
π

 x = 6 + k 4π
⇔
(k ∈ Z )
 x = − 17π + k 4π

6

Đề 2

3

2

2
1

2

x
x
+ 5cos − 3 = 0
2
2

x

 cos 2 = 1
⇔
 cos x = 3 ( PTVN )

2 2
x
⇔ cos = 1 ⇔ x = k 4π (k ∈ Z )
2
b) sin 5 x + cos 5 x = −1
2
2
−1
sin 5 x +
cos 5 x =
2
2
2
π
−1
⇔ sin(5 x + ) =

4
2
π k 2π

 x = − 10 + 5
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + k 2π

5
5
⇔