31 chủ đề ôn luyện toán học lớp 4 và 5

TOÁN 4 NÂNG CAO THEO CHỦ ĐỀ
(31 CHỦĐỀ)

1/Số tự nhiên - Dãy số tự nhiên
A. Kiến thức cần ghi nhớ

3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0, không có số tự nhiên lớn nhất.
4.Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
5.Các số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 là các số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau hai đơn vị.
6.Các số có chữ số tận cùng là 1,3,5,7,9 là các số lẻ. Các số lẻ hơn (kém) hai đơn vị.
7. Đối với dãy số tự nhiên liên tiếp
a. Khi thêm 1 vào bất cứ số tự nhiên khác 0 nào cũng được số tự nhiên liền trước nó. Vì vậy không có số
tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên có thể kéo dài mãi mãi.
b. Bớt 1 ở bất kỳ số tự nhiên khác 0 nào cũng được số tự nhiên liền trước đó. Vì không có số tự nhiên nào
liền trước số 0 nên 0 là số tự nhiên lớn nhất.
c. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ kết thúc là số chẵn
thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
d. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn
số lượng số lẻ là 1.
e. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số chẵn
là 1.
8. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
a. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
b. Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đúng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên
q(q>1).
c. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
d. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi
cộng với thứ tự của số hạng ấy.
e. Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
f. Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
9. đối với dãy số cách đều:

a. Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = ( số hạng cuối - số hạng đầu ) : d+1
( d là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp)
b. Tính tổng của dãy số cách đều:

VD: Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, ..., 94, 97, 100 là:

(1 + 100) × 34
= 1717
2

1


2.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ THEO QUY
LUẬT
* DÃY SỐ TỰ NHIÊN
Một số quy luật của dãy số
-0;1;2;3;4....................................................... dãy số tự nhiên liên tiếp.
Số thứ n = n-1
-0;2;4;6......................................................dãy số chẵn.
Số thứ n =( n-1) x2
-1;3;5;7.............................................................Dãy số lẻ.
Số thứ n = n x 2-1
-1;2;3;5;8..............vv...............
Ta có : 3=1 +2
5= 3+2
8 = 5+3
13=8+5
Tổng 2 số trước bằng số đứng sau kể từ số thứ 3.

*1;4;9;16;25....v..v......................
Ta có:
1=1x1
4=2x2
9=3x3
Số đó bằng số thứ tự nhân với chính nó.
-Số thứ 100 là :100x100=10000
Số thứ n = n x n
*1;4;7;10;13...vvv Dạng này thường có các yêu cầu:
- Tính tổng của 50 số đầu.(Tím số đầu ,số cuối và ghép cặp;tìm số cặp ;giá trị 1 cặp rồi chuyển thành phép
nhân)
-Cho các số và xem số đó có thuộc dãy đó không.
Ta có : 1:3 =0 dư1
4:3=1dư1
7:3 =2 dư1
Các số chia cho 3 có số dư là 1
Đem số yêu cầu chia nếu cùng giống thì kết luận có thuộc dãy số không.
-Tìm số thứ n của dãy số.
-Cách tìm các số dựa váo số thứ tự
Ta có :
1=(1-1)x3+1
4=(2-1)x3 +1
7= (3-1)x3 +1
10 = (4-1)x3 +1
Ta có số đó bằng số thứ tự trừ 1 nhân 3 cộng 1.
Số thứ 100 của dãy số là
(100 -1) x 3 +1= 298
Số thứ n = ( n-1) x 3 +1
+ Ví dụ : Cho các số 1;4;7;10;.....................
a.Số 2221;2234 có thuộc dãy số đó không ?

b.Số thứ 134 ,số thứ 205 là số nào ?
c.Tính tổng của 50 số đầu của dãy số.
Bài giải
a.Ta có : 1:3 =0 dư1
4:3=1dư1

2


7:3 =2 dư1
Các số thuộc dãy số chia cho 3 dư 1
2221: 3=740 dư1 vậy số 2221thuộc dãy số.
-2234:3=778 không thuộc dãy số.
b
số đứng thứ1:1=(1-1)x3+1
số đứng thứ2: 4=(2-1)x3 +1
số đứng thứ 3:7= (3-1)x3 +1
số đứng thứ 4:10 = (4-1)x3 +1
Ta có số đó bằng số thứ tự trừ 1 nhân 3 cộng 1.
Số thứ 134 là (134-1)x3 +1
Số thứ 205 là :(205-1)x3+1
c.
Tính tổng của 50 số đầu
Ta có : số thứ 50 là: (50-1)x3 +1= 148
1;4;7;10;13........145;148.
Ghép thành các cặp (1+148)+(4+145)+....
Số cặp là 50:2=25 (cặp)
Mỗi cặ có giá trị là 149
Vậy tổng trên là :149x 25= 3725

3/CẤU TẠO SỐ
1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số
1.1. Phân tích làm rõ chữ số
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính
số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.
Bài giải
Bước 1 (tóm tắt bài toán)
Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)
Theo bài ra ta có = a + b + a x b
Bước 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi
đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn giản nhất.
a x 10 + b = a + b + a x b
a x 10 = a + a x b (cùng bớt b)
a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với một tổng)
10 = 1 + b (cùng chia cho a)
Bước 3: Tìm giá trị :
b = 10 - 1
b=9
Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.

3


Đáp số: 9
1.2. Phân tích làm rõ số
ab = a 0 + b
abc = a 00 + b0 + c

abcd = a 00 + b00 + c0 + d
= ab00 + cd
Ví dụ : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta được một số lớn
gấp 31 lần số cần tìm.
Bài giải
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 0)
Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta được số mới là 21ab .
Theo bài ra ta có:
21ab = 31 x ab
Bước 2: 2100 + ab = 31 x ab (phân tích số 21ab = 2100 + ab )
2100 + ab = (30 + 1) x ab
2100 + ab = 30 x ab + ab (một số nhân một tổng)
2100 = ab x 30 (cùng bớt ab )
Bước 3: ab = 2100 : 30
ab = 70.
Bước 4: Thử lại
2170 : 70 = 31 (đúng)
Vậy số phải tìm là: 70
Đáp số: 70.

2.2.Ví dụ: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
Bài giải
Cách 1:
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10).
Theo đề bài ta có: ab = 6 x b
Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng.
Vì 6 x b là một số chẵn nên ab là một số chẵn.
b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn
Nếu b = 2 thì ab = 6 x 2 = 12. (chọn)

Nếu b = 4 thì ab = 6 x 4 = 24. (chọn)
Nếu b = 6 thì ab = 6 x 6 = 36. (chọn)
Nếu b = 8 thì ab = 6 x 8 = 48. (chọn)
Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
Cách 2:
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10)
Theo đề bài ta có: ab = 6 x b
Bước 2: Xét chữ số tận cùng
Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn
Nếu b = 2 thì ab = 6 x 2 = 12 (chọn)

4


Nếu b = 4 thì ab = 6 x 4 = 24 (chọn)
Nếu b = 6 thì ab = 6 x 6 = 36 (chọn)
Nếu b = 8 thì ab = 6 x 8 = 48 (chọn)
Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
II. Một số dạng toán điển hình :
Dạng 1: Viết số TN từ những chữ số cho trước
Bài 1 : Cho bốn chữ số : 0; 3; 8 và 9.
a) Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ?
b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho?
c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho ?
Lời giải:
Cách 1.
Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số:

3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980.
Vậy từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đầu
bài.
Chữ số 0 không thể đứng được ở vị trí hàng nghìn.
Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là:
6 × 3 = 18 ( số )
Cách 2:
Lần lượt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đầu bài ( vì số 0 không thể đứng ở vị
trí hàng nghìn ).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn )
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục ( đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm còn lại
)
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là 1 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng
chục )
Vậy các số được viết là:
3 × 3 × 2 × 1 = 18 ( số )
b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số
lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho ). Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8.
Chữ số hàng chục là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.
Số phải tìm là 9830.
Tương tự số bé nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là 3089.
c) Tương tự số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 9803
Số chẵn nhỏ nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 3098.
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số :
Bài 1: Tìm 1 số TN có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn
gấp 13 lần số đã cho ?
Lời giải:
Gọi số phải tìm là ab . Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số 9ab . Theo bài ra ta có :

9ab = ab × 13
900 + ab = ab × 13
900 = ab × 13 - ab
900 = ab × ( 13 – 1 )
900 = ab × 12

5


ab
ab

= 900 : 12
= 75

Vậy số phải tìm là 75.
Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112
đơn vị.
Lời giải:
Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số abc5
Theo bài ra ta có:
abc5 = abc + 1112

× abc + 5 = abc + 1112
10 × abc = abc + 1112 – 5
10 × abc - abc = 1107
( 10 – 1 ) × abc = 1107
9 × abc = 1107
abc = 1107 : 9

abc = 123
10

Vậy số phải tìm là 123.

Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của số
Một số kiến thức cần lưu ý:
1. Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số
hạng trong tổng ấy.
2. Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa
số trong tích ấy.
3. Tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
4. Tích 1 × 3 × 5 × 7 × 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
5. Tích a × a không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8.
Bài 1: Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) – ( 11 + 12 + .....+ 19 ).
b) ( 1981 + 1982 + ...+ 1989 ) × ( 1991 + 1992 +....+ 1999 )
c) 21 × 23 × 25 × 27 – 11 × 13 × 15 × 17
Lời giải :
a) Chữ số tận cùng của tổng : ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) và ( 11 + 12 + .....+ 19 ) đều bằng chữ số tận
cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu đó có tận cùng bằng 0.
b) Tương tự phần a, tích đó có tận cùng bằng 5.
c) Chữ số tạnn cùng của tích 21 × 23 × 25 × 27 và 11 × 13 × 15 × 17 dều bằng chữ số tận cùng của
tích 1 × 3 × 5 × 7 và bằng 5. Cho nên hiệu trên có tận cùng bằng 0.
Bài 2 : Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) 136 × 136 – 42 = 1960
b) ab × ab - 8557 = 0
Lời giải:
a) Kết quả sai, vì tích của 136 × 136 có tận cùng bằng 6 mà số trừ có tận cùng bằng 2 nên hiệu không
thể có tận cùng bằng 0.

b) Kết quả sai, vì tích của một số TN nhân với chính nó có tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6
hoặc 9.

4. Các bài toán về dãy số
I. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

6


Cách giải. Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là :
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia) với một số TN q
khác 0.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng hai hạng đứng trước nó .
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số TN d cộng với số
thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
Vvv.....
Bài 1. Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
Lời giải:
a) Nhận xét :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng của hai số hạng
đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...

b) Tương tự phần a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của ba
số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;.....
c) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là : 12 = 7 + 1 + 4......
Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) bằng tổng của số hạng đứng trước
nó cộng với 1 và cộng với số TT của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...
d) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là: 2 = 1 × 2
Số hạng thứ ba là : 6 = 2 × 3
Số hạng thứ tư là : 24 = 6 × 4
.....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng tích của số hạng đứng liền
trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....
Bài 2 : Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a).....; 17; 19; 21.
b)......: 64; 81; 100.
Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Lời giải :
a) Ta nhận xét :
Số hạng thứ mười là 21 = 2 × 10 + 1
Số hạng thứ chín là 19 = 2 × 9 + 1
Số hạng thứ tám là 17 = 2 × 8 + 1
......
Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là : Mỗi số hạng của dãy bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng
trong dãy rồi cộng với 1.

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 2 × 1 + 1 = 3.
b) Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự nhân với STT của
số hạng đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 × 1 = 1.
II. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không

7


Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài 1: Hãy cho biết:
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90; 95; 100;...hay không ?
b) Số 1996 thuộc dãy 2;5;8;11;... hay không ?
c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 thuộc dãy 3; 6; 12; 24;... hay không ?
Giải thích tại sao ?
Lời giải :
a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50.
- Các số hạng đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 chia cho 3
thì dư 1.
c) Cả 3 số 666; 1000 và 9999 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng
( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.
III. Tìm số số hạng của dãy
Cách giải:

- Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta
có công thức sau :
Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1.
- Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi
d thì:
Số các số hạng của dãy = ( Số hạng LN – Số hạng BN ) :d + 1.
Bài1. Cho dãy số 11; 14; 17;.....;65; 68.
a) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy?
Lời giải :
a) Ta có : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;....
Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước cộng với 3. Số các
số hạng của dãy số đó là:
( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng )
b) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 ) × 3
Số hạng thứ ba : 17 = 11 + 6 = 11+ ( 3-1 ) × 3
Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) × 3
Vậy số hạng thứ 1996 là : 11 + ( 1996-1 ) × 3 = 5996
Đáp số : 20 số hạng và 59996.
Bài 2 . Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Lời giải:
Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 vàg số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4
là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng BN là 100, số hạng
lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy ( kể từ số hạg thứ hai ) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4.
Vậy số có ba chữ số chia hết cho 4 là :
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )
IV. Tìm tổng các số hạng của dãy số
Cách giải:
Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của dãy số đó là:

( SLN + SBN ) × Số số hạng : 2
Bài 1 . Tính tổng của 50 số lẻ đầu tiên .
Lời giải:
Dãy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ........; 97; 99. Vậy ta phải tìm tổng sau:
1 + 3 + 5 +......+ 97 + 99

8


Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + 1 )

× 50 : 2 = 2500

5. Bốn phép tính với số tự nhiên
5.1. Phép cộng
A. Kiến thức cần ghi nhớ
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0
4. ( a – n ) + ( b - n) = a + b – n x 2
5. (a - n) + (b + n) = a + b
6. (a + n ) + (b + n) = a + b + n x 2
7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó tăng lên
đúng bằng(n -1) lần số hạng dược gấp lên đó.
8. Nếu một số hạng được giảm đi n lần, đồng thời số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi
một số đúng bằng (1-

1
) số hạng bị giảm đi đó.
n

9.Trong một tổng số lượng các số hạng là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
10. Trong một tổng có số lượng các số hạng là chẵn thì tổng đó là một số chẵn.
11. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
12. Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
13. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
Bài 1: Tìm hai số có tổng bằng 1149, biết rằng nếu giữ nguyên số lớn và gấp số bé lên 3 lần thì ta được
tổng mới bằng 2061.
Bài giải
Tæng míi h¬n tæng cò lµ: 2061- 1149 = 912
Số bé mới hơn số bé cũ là: 3- 1 = 2 lần
Sè bÐ lµ : 912 : (3-1) =456
Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693
5.2. PhÐp trõ
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
3. Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1)
lần số bị trừ. (n > 1).
4. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần số trừ. (n > 1).
5. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
6. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
Bài 1: Tìm hai số có hiệu là 23, biết rằng nếu giữ nguyên số trừ và gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu là
353.
Bài giải
Hiệu giữa SBT mới và cũ là: 353 – 23 = 330
Hiệu số phần bằng nhau là: 3-1 = 2 phần
Số bị trừ cũ là: 330 : 2 = 165
Số trừ cũ là : 165- 23 = 142
5.3. Phép nhân
a. Kiến thức cần nhớ

9


1. a × b = b × a
2. a × (b × c) = (a × b) × c
3, a × 0 = 0 × a = 0
4, a × 1 = 1 × a = a
5, a × (b + c ) = a × b + a × c
6, a × (b − c ) = a × b − a × c
7.Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác giảm đi n lần thì tích
không thay đổi.
8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên
n lần và ngược lại nếu một tích có thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị
giảm đi n lần.(n>0).
9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích
gấp lên (m × n)lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần , một thừa số bị giảm đi n
lần thì tích giảm đi (m × n)lần. (m và n khác 0)
10. Trong một tích nếu một thừa số tăng lên a đơn vị , các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng
lên a lần tích các thừa số còn lại .
11. Trong một tích nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó là chẵn .
12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hược ít nhất có một thừa số tận cùng bằng 5 và
có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
13. Trong một tích các thừa số đều là lẻ và có ít nhất một thừa số tận cùng bằng 5 thì tích có tận cùng là 5.
Bài 1: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số thứ 2 lên 4 lần thì
được tích mới là 8400.
Bài giải
Tích của hai số là :
8400 : 2 = 4200 ( Vì trong một tích nếu có một thừa số gấp lên nlần và thừa số kia gữ nguyên thì thích đó
gấp lên nlần và ngược lại.)

5.4. Phép CHIA
a)Kiến thức cần ghi nhớ
1. a : (b × c) = a : b : c = a : c : b (b,c>0)
2. 0 : a = 0 (a>0)
3. a : b – a : c = (a – b) : c (c>0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c ( c>0)
5.Trong phép chia nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n>0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương
cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
6.Trong phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n>0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n
lần và ngược lại.
7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) nlần (n>0) thì thương không
thay đổi.

10


8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp(giảm) n lần (n>0) thì số dư cũng
được gấp (giảm)đi n lần.

6. DẠNG TOÁN TRUNG BèNH CỘNG
1. Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số ta lấy tổng chia cho số lượng các số hạng.
2. Muốn tìm tổng các số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng.
3. Trong dãy số cách đều:
- Nếu số lượng số hạng là lẻ thì số hạng ở giữa của dãy đó chính là số trung bình cộng của các số hạng.
- Muốn tìm số trung bình cộng trong dãy số cách đều ta lấy giá trị của một cặp chia cho
4. Trong các số, nếu có một số lớn hơn mức trung bình cộng của các số n đơn vị thì trung bình cộng
của các số đó bằng tổng các số còn lại cộng với n đơn vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại đó.
VD: An có 20 viên bi, Bình có số bi bằng

1

số bi của An. Chi có số bi hơn mức trung bình cộng của ba
2

bạn là 6 viên bi. Hỏi Chi có bao nhiêu viênn bi?
Giải:
Số bi của Bình là: 20 ×

1
= 10 (viên)
2

Nếu Chi bù 6 viên bi cho hai bạn rồi chia đều thì số bi của ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình của
cả ba bạn.
Vậy trung bình cộng số bi của cả ba bạn là: ( 20 + 10 + 6 ) : 2 = 18(viên)
Số bi của Chi là: 18 + 6 = 24 (viên)
5. Trong các số , nếu một số kém trung bình cộng của các số đó n đơn vị thì trung bình cộng của các
số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia số các số hạng còn lại.
VD: An có 20 bi, Bình có 20 bi. Chi có số bi kém trung bình cộng của cả ba bạn là 6 bi. Hỏi Chi có bao
nhiêu bi?
Giải:
Nếu An và Bình bù cho Chi 6 viên bi rồi chia đều thì số bi của cả ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung
bình cộng của cả ba bạn.
Vậy trung bình cộng số bi của ba bạn là: ( 20 + 20 - 6 ): 2 = 17 (bi)
Số bi của Chi là: 17 - 6 = 11 (bi)
6. Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả tăng thêm n đơn vị, ta làm như
sau:
B1: Tính tổng ban đầu
B2: Tính trung bình cộng của các số đã cho.
B3: Tính tổng mới = (trung bình cộng của các số đã cho + n) × số lượng các số hạng mới.
B4: Tìm số đó = tổng mới – tổng ban đầu

11


VD: Một ô tô trong ba giờ đầu, mỗi giờ đi được 40km, trong ba giờ sau, mỗi giờ đi được 50 km. Nếu
muốn tăng trung bình cộng mỗi giờ tăng thêm 1 km nữa thì đến giờ thứ 7, ô tô đó cần đi bao nhiêu km
nữa?
Giải:
Trong 6 giờ đầu, trung bình mỗi giờ ô tô đi được: ( 40 × 3 + 50 × 3) : 6 = 45 (km)
Quãng đường ô tô đi trong 7 giờ là: ( 45 + 1 ) × 7 = 322 ( km)
Giờ thứ 7 ô tô cần đi là: 322 – ( 40 × 3 + 50 × 3 ) = 52 ( km)
Trong chương trình toán Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với một số dạng toán điển
hình. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta thường gặp một số bài toán không chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản
mà người ra đề thường làm thay đổi một số dữ kiện để bài toán hay hơn, hấp dẫn hơn. Việc tìm ra hướng
giải các bài toán dạng này như thế nào, các bạn hãy tham khảo một số ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Tìm 3 số có trung bình cộng lớn hơn số thứ nhất 540, bé hơn số thứ hai là 1260 và gấp 31 lần số
thứ ba.
Phân tích : Khác với các bài toán cơ bản, bài toán này ta không thể xác định ngay nó thuộc loại toán gì.
Bài toán cho mối quan hệ giữa trung bình cộng (TBC) của ba số với từng số. Dựa vào điều kiện trung
bình cộng gấp 31 lần số thứ ba ta biết được tỉ số của số trung bình cộng với số thứ ba. Mặt khác từ điều
kiện còn lại của đầu bài, ta có thể tìm được hiệu số của trung bình cộng và số thứ ba rồi đưa bài toán về
dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số. Từ hướng phân tích ấy ta có thể giải bài toán đó như sau :
Bài giải :
Sơ đồ :

Nhìn trên sơ đồ ta thấy trung bình cộng của ba số lớn hơn số thứ ba là : 260 - 540 = 720.
Số thứ ba là : 720 : (31 - 1) = 24.
Số trung bình cộng của ba số là : 24 x 31 = 744.
Số thứ hai là : 744 + 1260 = 2004.
Số thứ nhất là : 744 - 540 = 204.

Ví dụ 2 : Đội tuyển học sinh giỏi khối 5 của một trường Tiểu học có 16 bạn. Biết rằng 2/5 số bạn nam
nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn. Hỏi đội tuyển có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ ?
Phân tích : Bài toán này cho biết tổng của số học sinh và hiệu giữa 2/5 số bạn nam với 1/2 số bạn nữ nên
không thể coi là dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu được. Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ
là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ là : 1 x 2 = 2 (bạn). Từ hướng phân tích này ta có thể
đưa bài toán về dạng tìm hai số biết tổng và tỉ của hai số đó.
Bài giải : Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
là : 1 x 2 = 2 (bạn), ta có sơ đồ 1 :

Nếu đội tuyển có thêm 2 bạn nữ thì số bạn nữ bằng 4/5 số bạn nam. Khi đó số học sinh của cả đội là : 16
+ 2 = 18 (bạn), ta có sơ đồ 2 :

Số bạn nam của đội tuyển là : 18 : (4 + 5) x 5 = 10 (bạn).

12


Số bạn nữ của đội tuyển là : 16 - 10 = 6 (bạn).
Ví dụ 3 : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh. Trong đó 3/4
số bạn nam và 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của
trường đó. Biết số học sinh tiên tiến của trường đó là 530 bạn.
Phân tích : Khi vừa đọc bài toán nhiều học sinh sẽ nghĩ ngay đây là loại toán tìm hai số biết tổng và hiệu.
Tuy nhiên đầu bài không cho biết tổng số học sinh của cả trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến
của trường bao gồm 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ. Vì số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40
học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều hơn 3/4 số học sinh nữ là 30 học sinh. Từ đó ta có thể đưa bài toán về
dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ.
Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường là 4 phần thì 3/4 số học sinh nữ là 3 phần, 3/4 số bạn nam
(số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) là 3 phần cộng thêm một đoạn biểu thị 30 học sinh và số học sinh
nữ đạt học sinh tiên tiến là 2 phần, ta có sơ đồ sau :

Số học sinh nữ đạt danh hiệu tiên tiến là : (530 - 30) : (2 + 3) x 2 = 200 (học sinh)
Số học sinh nữ của cả trường là : 200 x 2 = 400 (học sinh)
Số học sinh nam của cả trường là : 400 + 40 = 440 (học sinh)

7. DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU
A. KiÕn thøc cÇn ghi nhí:
Sè bÐ = (Tæng - hiÖu) : 2
Sè lín = ( Tæng + hiÖu) : 2

→
→

Sè lín = Sè bÐ + hiÖu
Sè bÐ = Sè lín - hiÖu

8. DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT 2 HIỆU SỐ
2. Ví dụ:
Bài toán: Để chuẩn bị cho năm học mới, hai bạn Vĩnh và Kim đi mua sắm sách vở. Vĩnh mua 15
quyển vở, Kim mua nhiều hơn hơn Vĩnh 5 quyển vở cùng loại và phải trả nhiều hơn Vĩnh 20.000 đồng.
Hỏi mỗi bạn phải trả bao nhiêu tiền mua vở?
Phân tích:
Ta có: Kim mua nhiều hơn Vĩnh 5 quyển vở là hiệu số thứ nhất.
Kim trả nhiều 20.000 đồng là hiệu số thứ hai.
Như vậy: Một hiệu số là số vở mua nhiều hơn.
Một hiệu số là số tiền trả nhiều hơn.
Mà: Muốn tìm một số (hoặc một phần bằng nhau của một số) ta lấy hiệu số có giá trị lớn hơn chia
cho hiệu số có giá trị nhỏ hơn, thương mang tên đại lượng của số bị chia.
Vì Kim mua nhiều hơn Vĩnh 5 quyển vở và phải trả nhiều hơn Vĩnh 20.000 đồng, do đó ta tính
được giá tiền một quyển vở là: 20.000 : 5 = 4.000 (đồng)
(20.000 là hiệu số có giá trị lớn hơn; 5 là hiệu số có giá trị nhỏ hơn; đồng là tên đại lượng của

số bị chia)
Bài giải
Giá tiền một quyển vở là:

13


20.000 : 5 = 4.000 (đồng)
Số tiền bạn Vĩnh mua hết là:
4.000 x 15 = 60.000 (đồng)
Số tiền bạn Kim mua hết là:
60.000 + 20.000 = 80.000 (đồng)

9. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT
a)Kiến thức cần ghi nhớ
1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Những số có tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5.
3. Các số có tiổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4.
6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
7. Các số có 3 chữ số tận sùng lập thành số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8.
8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125.
9. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m(m > 0) thì tổng a+b và hiệu a – b ( a > b) cũng chia hết cho m.
10. Cho một tổng có một số hạng chia hết cho m dư r (m>0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng
chia cho m cũng dư r.
11. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì ( a – b ) chia hết cho m ( m > 0 ).
12. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m ( m > 0 ).
13. Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0 ). Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết
cho 1 thì a chia hết cho tích m × n.

VD: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích 2 × 9.
14. Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
15. Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m ( m > 1 )
a.Một số a chia hết cho một số x (x ≠ 0) thì tích của số a với một số (hoặc với một tổng, hiệu, tích,
thương) nào đó cũng chia hết cho số x.
b.Tổng hay hiệu 2 số chia hết cho một số thứ ba và một trong hai số cũng chia hết cho số thứ ba đó thỡ số
cũn lại cũng chia hết cho số thứ ba.
c.Hai số cựng chia hết cho một số thứ 3 thỡ tổng hay hiệu của chỳng cũng chia hết cho số đó.
d.Trong hai số, có một số chia hết và một số không chia hết cho số thứ ba đó thỡ tổng hay hiệu của chúng
khụng chia hết cho số thứ ba đó. e. Hai số cùng chia cho một số thứ ba và đều cho cùng một số dư thì
hiệu của chúng chia hết cho số thứ ba đó.
f. Trong trường hợp tổng 2 số chia hết cho x thi tổng hai số dư phải chia hết cho x
b. Viết câc số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Bài 1 : Với 3 chữ số 2; 3; 5 hãy lập các số có 3 chữ số chia hết:
a) Cho 2? b) Cho 5?
Lời giải:
a) Số chia hết cho 2 phải là số chẵn. Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên những số
lập được là:
222; 232;252.
322; 332; 352.
522; 532; 552.
b) Tương tự phần a, các số đó là:
225; 235; 255.

14


325; 335; 355.
525; 535; 555.
c. Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.

Phương pháp giải :
- Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận
cùng.
- Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác
định các chữ số còn lại.
Bài 1 : Thay x và y trong số a = 1996 xy để được số chia hết cho 2; 5 và 9.
Lời giải:
- a chia hết cho 5, vậy y phải bằng 5 hoặc 0.
- a chia hết cho2, vậy y phải là chẵn.
Suy ra y= 0. Số phải tìm có dạng a= 1996x 0 .
- a chia hết cho 9, vậy ( 1+ 9 + 9 + 6 + x ) chia hết cho 9 hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy ra x = 2.
Số phải tìm là a = 199620.
D.bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu.
Các tính chất thường dùng:
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chi hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng còn lại không chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng
không chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì hiệu của chúng
cũng không chia hết cho 2.
Cũng có tính chát tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3,4,5,9...
Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?
a) 240 + 123
b) 240 – 123
c) 459 + 690 + 1236
d) 2454 + 374
Lời giải:
Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
a) 240 + 123 chia hết cho 3.
b) 240 – 123 chia hết cho 3.

c) 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3.
d) 2454 chia hết cho 3 và 734 không chia hết cho 3 nên 2454 + 374 không chia hết cho 3.
E.Các bài toán về phép chia có dư.
Những tính chất cần lưu ý:
1. Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3,5, 7 hoặc 9.
2. Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải bằng 1 hoặc 6. Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ
số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4 tận cùng là 4 hoặc 9.
3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Tương tự, ta có trường hợp
chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9.
Bài 1: Cho a =

x459 y

.Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1.

Lời giải:
Ta nhận xét:
- a chia cho 5 dư 1 nên y phải bằng 1 hoặc bằng 6.
- Mặt khác a chia cho 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a =

x 4591 .

- x 4591 chia cho 9 dư 1 nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư 1. Vậy x phải chia hết cho 9 vì 19 chia cho 9 dư
1. Suy ra x = 9.
Số phải tìm là 94591.
G. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn.
Bài 1: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lờy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ, sau
đó lại lấy một số mảnh xé thành 4 mảnh nhỏ...Khi ngừng xé theo quy luật trên ta đếm được 1999 mảnh
lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai ? Giải thích tại sao?
Lời giải:

15


Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số
mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 1999
không chia hết cho 3 nên người ấy đã đếm sai.
Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả
trong mỗi rổ lần lượt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy
số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Lời giải:
Tổng số cam và chanh của cửa hàng là”
104+115+132+136+148 = 635(quả)
Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia hết cho 5. Tống
số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và chanh của cửa
hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng

1
5

số quả chưa bán. Mặt khác:

( 104+132+136+148): 5 = 104 (quả)
Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng
là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh.
Số cam của cửa hàng có là:
104+115 = 219(quả)
Số chanh của cửa hàng có là:
635-219 = 416(quả)

1
5

số quả còn lại. Vậy theo đầu bài 104 quả

10. CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
-Nếu tăng chiều dài của hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi sẽ tăng lên a x 2 đợn vị ( Vì có 2 chiều dài)
-Nếu tăng chiều rộng của hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi sẽ tăng lên a x 2 đợn vị ( Vì có 2 chiều
rộng)
-Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi sẽ giảm lên a x 2 đợn vị ( Vì có 2 chiều dài)
-Nếu giảm chiều rộng của hình chữ nhật lên a đơn vị thì chu vi sẽ giảm lên a x 2 đợn vị ( Vì có 2 chiều
rộng)
-Nếu gấp một chiều của một hình chữ nhật lên bao nhiêu lần thì diện tích sẽ tăng lên bấy nhiêu lần.
-Nếu giảm một chiều của một hình chữ nhật đi bao nhiêu lần thì diện tích sẽ giảm đi bấy nhiêu lần.
-Nếu tăng hay giảm cả hai chiều thì diện tích sẽ tăng hay giảm đi tích hai số lần đó.
-Trong hình vuông nếu tăng 1 cạnh lên a đơn vị thì chu vi sẽ tăng 4 x a đơn vị.
-Trong hình vuông nếu cạnh tăng lên a lần thì diện tích sẽ tăng lên a x a lần .
A
B
1

2

3

4

5

D
C
Nhận Xét : Mỗi cạnh bên trong là cạnh chung của hai hình chữ nhật cạnh nhau .
Vậy tổng chu vi của 5 hình chữ nhật 1;2;3;4;5 hơn chu vi hình chữ nhật ABCD chính là 4 x 2 = 8 (AD)
Trong hình chữ nhật nếu biết diện tích và tỉ số các cạnh ta chia hình chữ nhật thành các hình vuông nhỏ
sau đó tính cạnh hình vuông nhỏ từ đó tìm chu vi hình chữ nhật.

11/ Bảng đơn vị đo
1. Bảng đơn vị đo thời gian

16


1 giờ = 60 phút;
1 phút = 60 giây;
1 ngày = 24 giờ;
1 tuần = 7 ngày;
1 tháng có 30 hoặc 31 ngày ( tháng 2 có 28 hoặc 29 ngày)
1 năm thường có 365 ngày
1 năm nhuận có 366 ngày ( cứ 4 năm có một năm nhuận)
1 quý có 3 tháng; 1 năm có 4 quý.
1 thập kỉ = 10 năm; 1 thế kỉ = 100 năm;
1 thiên niên kỉ = 1000 năm.
2. Bảng đơn vị đo khối lượng
Tấn
Tạ
yến
kg
hg( lạng)
dag

g
1 tấn = 10 tạ; 1 tạ = 10 yến; 1 yến = 10kg; 1kg = 10hg; 1hg = 10dag;
1dag = 10g
1 tấn = 100kg; 1 tạ = 100kg;
1 yến = 100hg 1 kg = 100dag; ...
1
1
1
1 tạ =
tấn;
1 yến =
tạ; 1kg =
yến; ...
10
10
10
3. Bảng đơn vị đo độ dài
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 km= 10 hm;
1 hm = 10 dam;
1 dam= 10m;
1m = 10dm;
1dm = 10cm;
1cm = 10mm

1
1
1
1 hm =
km;
1 dam =
hm;
1m =
dam; ...
10
10
10
4. Bảng đơn vị đo diện tích
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
2
2
2
2
2
2
1km = 100 hm ;
1 hm = 100 dam ;
1dam = 100m ;
2

2
2
2
1m = 100dm ;
1dm = 100cm ;
1cm2 = 100 mm2
1
1
1
1
1
1 m2 =
dam2 =
hm2; 1dm2 =
m2 ;
1 cm2 =
dm2 =
m2
100
10000
100
100
10000

12. CÁC DẠNG TOÁN LIấN QUAN éẾN CHUYỂN TỪ A
SANG B ; B SANG C; C SANG ...

13.CÁC DẠNG TOÁN KHỬ
B. Giải bài toán bằng phương pháp khử:
1. Kiến thức bổ sung:

Trong một bài toán có thể có nhiều đại lượng, mỗi đại lượng có nhiều giá trị. Nếu cứ để nguyên
như vậy thì rất khó giải do có nhiều đại lượng và giá trị quá. Vì vậy ta cần phải nghĩ cách để rút bớt dần
các đại lượng ấy đi để cho bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn. Thủ thuật giải bài toán theo kiểu này gọi là

17


thủ thuật khử bớt các đại lượng hay gọi tắt là thủ thuật khử. Một trong những cách khử hay gặp là làm
cho hai giá trị của một đại lượng nào đó trở nên giống nhau rồi khử đi.
2. Ví dụ:
Bài toán: Một vườn ươm bán cây, lần thứ nhất bán 10 cây phượng và 8 cây xà cừ được tất cả
64.000 đồng. Lần thứ hai bán 7 cây phượng và 8 cây xà cừ được tất cả 52.000 đồng. Tính giá tiền một cây
phượng, một cây xà cừ?
Bài giải
Ta có: 10 cây phượng + 8 cây xà cừ = 64.000 đồng
7 cây phượng + 8 cây xà cừ = 52.000 đồng
Ta thấy, trong hai lần bán, số cây xà là như nhau nên 3 cây phượng con có giá là: 64.000 – 52.000
= 12.000 (đồng) (bước này ta đã khử đi được 1 đại lương là cây xà cừ). Vậy: Giá tiền một cây
phượng là:
12.000 : 3 = 4.000 (đồng).
Mua 10 cây phượng hết số tiền là:
4.000 x 10 = 40.000 (đồng)
Mua 8 cây xà cừ hết số tiền là:
64.000 – 40.000 = 24.000 (đồng)
Giá tiền một cây xà cừ là:
24.000 : 8 = 3.000 (đồng)
Đáp số: Phượng: 4.000 đồng
Xà cừ: 3.000 đồng

14. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH TUỔI

*Dạng 1: Cách giải bài toán tính tuổi ở tiểu học theo hiệu số phần bằng nhau
Trong nhiều loại toán, người ta thường để ý đến những đại lượng không thay đổi. Đối với bài
toán tính tuổi thì đại lượng đó chính là hiệu số giữa tuổi của hai người. Dựa vào đại lượng này
ta có thể giải được nhiều bài toán tính tuổi.
Bài toán 1 : Hiện nay, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 10 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con.
Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích : Bài toán yêu cầu tính số tuổi của hai bố con hiện nay nhưng chỉ cho biết :
– Tỉ số tuổi của hai bố con ở hai thời điểm khác nhau.
– Khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm đó.
Nhưng ta có thể dễ dàng phát hiện ra một điều kiện nữa của bài toán, đó là “hiệu số tuổi của
hai bố con là không đổi”. Từ đó ta có thể giải được bài toán như sau.
Giải : Hiện nay, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế. Ta có sơ đồ thứ nhất :
?
Tuổi con : |——-| ?
Tuổi bố : |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|
Hiệu số tuổi của hai bố con hiện nay là : 7 – 1 = 6 (phần)
Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 6 = 1/6
Sau 10 năm nữa, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 3 phần như thế (mỗi phần bây giờ có giá
trị khác mỗi phần ở trên). Ta có sơ đồ thứ hai :
?
Tuổi con : |——-| ?
Tuổi bố : |——-|——-|——-|
Sau 10 năm hiệu số tuổi của hai bố con là : 3 – 1 = 2 (phần)
Sau 10 năm tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 2 = 1/2
Vì hiệu số tuổi của hai bố con không bao giờ thay đổi nên ta có thể so sánh về tỉ số giữa tuổi
con hiện nay và tuổi con sau 10 năm nữa.
– Tuổi con hiện nay bằng 1/6 hiệu số tuổi của hai bố con.
– Tuổi con sau 10 năm nữa bằng 1/2 hay 3/6 hiệu số tuổi của hai bố con.
Vậy tuổi con sau 10 năm nữa gấp 3 lần tuổi con hiện nay. Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời

điểm :

18


?
Hiện nay : |——-| 10
Sau 10 năm: |——-|——-|——-|
Tuổi con hiện nay là : 10 : 2 = 5 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là : 5 x 7 = 35 (tuổi)
Đáp số : Con : 5 tuổi ; Bố : 35 tuổi
Bài toán 2 : Trước đây 4 năm tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi con
và tuổi mẹ là 3/8 Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích : Bài toán này đặt ra ba thời điểm khác nhau (Trước đây 4 năm, hiện nay và sau đây
4 năm). Nhưng chúng ta chỉ cần khai thác bài toán ở hai thời điểm : Trước đây 4 năm và sau
đây 4 năm nữa. Ta phải tính được khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm này. Bài toán này
có thể giải tương tự như bài toán 1.
Giải : Trước đây 4 năm nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 6 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 6 – 1 = 5 (phần)
Vậy tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 5 = 1/5
Sau 4 năm nữa, nếu tuổi con được chia thành 3 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ có 8 phần như
thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 8 – 3 = 5 (phần)
Vậy sau 4 năm nữa tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 3 : 5 = 3/5
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi con trước đây 4
năm và tuổi con sau đây 4 năm. Ta có tuổi con sau 4 năm nữa gấp 3 lần tuổi con trước đây 4
năm và tuổi con sau 4 năm nữa hơn tuổi con trước đây 4 năm là : 4 + 4 = 8 (tuổi).
Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm :
?
Trước đây 4 năm : |——-| 8

Sau đây 4 năm: |——-|——-|——-|
Tuổi con trước đây 4 năm là : 8 : (3 – 1) = 4 (tuổi)
Tuổi mẹ trước đây 4 năm là : 4 x 6 = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là : 4 + 4 = 8 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là : 24 + 4 = 28 (tuổi)
Đáp số : Con : 8 tuổi ; Mẹ : 28 tuổi
Chú ý : Để vận dụng tốt thủ thuật giải toán này, các em cần nắm vững kiến thức về tỉ số và
đại lượng không đổi đối với bài toán tính tuổi. Các em có thể giải quyết được nhiều bài toán
khó của dạng toán tính tuổi bằng thủ thuật này đấy. Hãy thử sức mình với các bài toán sau.

*Dạng 2:

Tổng số tuổi của Bố và Mẹ là 74 tuổi. Tổng số tuổi của mẹ và An là 43. Tổng số tuổi
của Bố và An là 49. Hỏi tính tuổi của mỗi người.
bài này giải theo cách lớp 3 thì dùng sơ đồ để nói thì cháu sẽ dễ hiểu hơn
có thể làm như sau "
bố và mẹ :........................................ 74
mẹ và an :............................... 43 ( tổng = 74 +43+49 )
bố và an :.................................. 49
nhìn vào sơ đồ ta có :
2 lần số tuổi của bố , mẹ và an cộng lại 74+43+49=166
tổng số tuổi của bố , mẹ , an = 166:2=83
tuổi an là :83-74=9
tuổi bố an : 83-43=40
tuổi mẹ an : 83-49=34
*Dạng 3:
Tổng số tuổi của Bố và Mẹ là 74 tuổi. Tổng số tuổi của mẹ và An là 43. Tổng số tuổi
của Bố và An là 49. Hỏi tính tuổi của mỗi người.

19

cách 3 : nếu em đã học bài toán tổng hiệu , nhưng chương trình thường thì lên lớp 4 mới học
tổng -hiệu . giải theo tổng hiệu thì làm như sau
bố và me =74 .mẹ và an =43 suy ra hiệu số tuổi của bố và an là 74-43=31
mà tổng số tuổi bố và an là 49
suy ra tuổi an là (49-31):2 = 9
bố an : (49+31):2=40
mẹ an =43-9=34
*Dạng 4:
Tổng số tuổi của Bố và Mẹ là 74 tuổi. Tổng số tuổi của mẹ và An là 43. Tổng số tuổi
của Bố và An là 49. Hỏi tính tuổi của mỗi người.
Tuổi bố + tuổi An = 49
Tuổi mẹ + tuổi An = 43
Công lại ta có: (Tuổi bố+ tuổi mẹ) + 2 lần tuổi An= 49+43
hai lần tuổi An = 49+43-74=18
tuổi An bằng 18:2=9
tuổi bố: 49-9=40
tuổi mẹ= 43-9=34
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HỖ TRỢ SUY LUẬN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TUỔI.
1. SUY LUẬN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
Trong một bài toán, có nhiều đại lượng chưa biết. Các đại lượng chưa biết này được biểu thị bởi
các đoạn thẳng, mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài được thể hiện một cách trực quan, nhờ đó mà
học sinh dễ dàng giải bài toán. Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, học sinh có thể giải được nhiều dạng
bài toán tuổi sau:
Dạng 1: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người.
Dạng 2: Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi của hai người.
Dạng 3: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau.
Dạng 5: Cho tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm khác nhau.

*Dạng 1: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người:
Cách giải: - Dùng sơ đồ doạn thẳng để biểu diễn tổng và tỉ số tuổi của 2 người ở thời điểm đã cho.
- Tổng số tuổi của hai người được biểu thị bằng tổng số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.
- Tìm số tuổi ứng với một phần nhau trên sơ đồ.
- Tìm sơ đồ của mỗi người.
Ví dụ1: Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 45 tuổi. Tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Tính số tuổi mỗi
người?
Bài giải :
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi bố:

45 tuổi

Tuổi con hiện nay là :
45 : (4 + 1) x 1= 9 (tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
9 x 4 = 36 (tuổi ) (hoặc 45 – 9 = 36 tuổi )
Đáp số : Bố :36 tuổi
Con :9 tuổi
Ví dụ2 : Tổng tuổi hai chú cháu là 56 tuổi . Tuổi cháu bằng

2
tuổi chú .Tìm tuổi mỗi người?
5

Bài giải :
Ta có sơ đồ

Tuổi chú:

56 tuổi

20


Tuổi cháu:

Tổng số phần bằng nhau là:
5 + 2 = 7 ( phần )
Tuổi cháu hiện nay là
56 : 7 x 2 = 16 (tuổi )
Tuổi chú hiện nay là:
56 – 16 = 40 (tuổi )
Đáp số: Chú : 40 tuổi
Cháu : 16 tuổi
Ví dụ 3 :Tổng tuổi hai cha con cách đây 3 năm là 57 tuổi . Hiện nay tuổi cha gấp 2,5 tuổi con. Tính tuổi
mỗi người hiện nay ?
Bài giải :
Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi, nên tổng số tuổi hai cha con hiện nay là:
57 + 3 + 3 = 63 ( tuổi )
25
5
Ta thấy: 2,5 =
=
10
2
Ta có sơ đồ:

Tuổi cha:

63 tuổi

Tuổi con:

Tuổi con hiện nay là :
63 : (5 + 2) x 2 = 18 (tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
63 - 18 = 45 tuổi )
Đáp số: Bố: 45 tuổi; Con: 18 tuổi
*Dạng 2: Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi của hai người.
Cách giải:
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn hiệu và tỉ số tuổi của 2 người ở thời điểm đã cho.
- Hiệu số tuổi của hai người ứng với số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.
- Tìm số tuổi ứng với một phần trên sơ đồ.
- Tìm số tuổi của mỗi người.
Ví dụ 4: Năm nay mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tìm số tuổi của mỗi người?
Bài giải :
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi mẹ:

30 tuổi

Tuổi con hiện nay là :
30 : (4 - 1) x 1 = 10 (tuổi )
Tuổi mẹ hiện nay là:
10 x 4 = 40 (tuổi ) (hoặc 10 + 30 = 40 tuổi )

Đáp số: Mẹ: 40 tuổi; Con: 10 tuổi

21


Ví dụ 5: Hiện nay, anh hơn em 6 tuổi. Cách đây 3 năm tuổi em bằng

3
tuổi anh. Tính tuổi mỗi người
5

hiện nay?
Bài giải :
- Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi nên hiệu số tuổi không thay đổi .
Ta có sơ đồ tuổi hai anh em cách đây 3 năm:

Tuổi anh:
6 tuổi

Tuổi em:

Giá trị một phần là;
6 : ( 5 - 3) = 3 (tuổi )
Tuổi em hiện nay là :
3 x 3 + 3 = 12 (tuổi )
Tuổi anh hiện nay là:
12 + 6 = 18 tuổi )
Đáp số : Anh :18 tuổi
Em: 12 tuổi
Ví dụ 6: Tuổi ông gấp 3,5 lần tuổi cháu. Tuổi ông hơn tuổi cháu 50 tuổi. Tính tuổi mỗi người.

Bài giải :
35 7
Ta thấy:
3,5 =
=
10
2
Ta có sơ đồ:
50 tuổi

Tuổi ông:
Tuổi cháu:
Tuổi cháu hiện nay là :
50 : (7 – 2) x 2 = 20 (tuổi )
Tuổi ông hiện nay :
20 + 50 = 70 tuổi
Đáp số: Ông: 70 tuổi
Cháu: 20 tuổi
*Dạng 3: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
Ví dụ 7: Hiện nay tổng số tuổi hai mẹ con là 47 tuổi. Tuổi mẹ hơn tuổi con là 25 tuổi. Tính tuổi mỗi
người?
Bài giải:
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi mẹ:

25 tuổi

47 tuổi

Tuổi con là:
(47 – 25 ) : 2 = 11 (tuổi )
Tuổi mẹ là:
11 + 25 = 36 (tuổi )
Đáp số : Con: 11 tuổi; Mẹ: 36 tuổi
Ví dụ 8: Sau đây 5 năm tổng tuổi hai dì cháu 60 tuổi . Hiện nay, tuổi dì hơn tuổi cháu là 20 tuổi. Tính
tuổi mỗi người hiện nay ?
Bài giải:
Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi nên tổng số tuổi hiện nay của 2 dì cháulà:

22


60 - 5 - 5 = 50 (tuổi )
Ta có sơ đồ:

Tuổi cháu:
Tuổi dì:

20 tuổi

50 tuổi

Tuổi cháu hiện nay là :
(50 –20 ): 2 = 15 (tuổi )
Tuổi dì hiện nay là :
15 + 20 = 35 (tuổi )
Đáp số: Cháu: 15 tuổi
Dì: 35 tuổi

*Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau.
Ví dụ 9: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 nay tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi của
cha và con hiện nay?
Bài giải:
- Vì hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của 2 cha con hiên nay là 3 lần tuổi con
hiện nay.
- Vì trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của 2 cha con trước đây 6 năm là
12 lần tuổi con khi đó.
- Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiệu số tuổi giữa 2 cha con không thay
đổi.
Ta có: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước đây.
Tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con trước đây.
Ta có sơ đồ tuổi con:

Trước đây:

6 tuổi

Hiện nay:
Tuổi con trước đây là 6 : (4 – 1) x 1 = 2 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là : 8 x 4 = 32 (tuổi).
Đáp số: Con: 8 tuổi; Cha: 32 tuổi
Ví dụ 10: Hiện nay, anh 18 tuổi. Trước đây khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì hồi đó anh gấp đôi tuổi
em. Tính tuổi em hiện nay?
Bài giải:
Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiện số tuổi giữa 2 anh em không thay
đổi.
Ta có sơ đồ:

Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:

Hiệu

Tuổi em hiện nay:

Hiệu

Tuổi anh hiện nay:
18 tuổi

Nhìn vào sơ đồ, ta thấy: Giá trị 1 phần là:
18 : 3 = 6 (tuổi)
Hiện nay, em có số tuổi là:
6 x 2 = 12 (tuổi)
Đáp số : 12 tuổi.
Ví dụ 11: Năm nay tuổi của 2 cha con cộng lại bằng 36. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi
5
con bằng tuổi cha lúc đó. Tìm tuổi 2 cha con hiện nay.
9

23


Bài giải:
Nếu coi tuổi con sau này là 5 phần thì tuổi cha sau này là 9 phần như thế. Khi đó hiệu số tuổi của 2
cha con là 9 – 5 = 4 (phần)
Vì hiện nay tuổi cha bằng tuổi con sau này nên hiện nay tuổi cha chiếm 5 phần mà hiệu số tuổi của
2 cha con không thay đổi theo thời gian (hiệu là 4 phần) nên số phần tuổi con là 5 – 4 = 1(phần). Do đó

hiện nay số phần tuổi của 2 cha con là:
5 + 1 = 6 (phần)
Ta có sơ đồ:

Tuổi con hiện nay:

Hiệu

Tuổi cha hiện nay:
Tuổi con sau này:

36 tuổi

Hiệu

Tuổi cha sau này:
Vậy tuổi con hiện nay là:
36 : 6 = 6 (tuổi).
Tuổi cha hiện nay là:
36 – 6 = 30 (tuổi).
Đáp số: Con: 6 tuổi
Bố: 30 tuổi
Ví dụ 12: Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm về trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi
con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?
Bài giải:
Tuổi bố hiện nay hơn tuổi con số lần là:
2,2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay).
Tuổi bố cách đây 25 năm hơn tuổi con số lần là:
8,2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc đó).
Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiện số tuổi giữa 2 bố con không thay đổi

Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi con hiện nay = 7,2 lần tuổi con lúc đó.
Tuổi con hiện nay gấp tuổi con 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = 6 (lần)
Ta có sơ đồ:

Trước đây:

25 tuổi

Hiện nay:
Tuổi con hiện nay là:
25 : (6 – 1) x 6 = 30 (tuổi).
Tuổi bố hiện nay là :
30 x 2,2 = 66 (tuổi).
Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay là:
66 – 30 = 36 (tuổi)
Ta có hiệu số tuổi của 2 bố con khi tuổ khi bố gấp 3 lần tuổi con là 2 lần tuổi con khi đó. Do đó 2
lần tuổi con sau này = 36 tuổi
Vậy tuổi con khi đó là:
36 : 2 = 18 (tuổi)
Đáp số: 18 tuổi
Ví dụ 13: Trước đây 2 năm tuổi của hai chú cháu cộng lại được 24 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi chú
gấp 3 lần tuổi cháu. Biết 2 năm trước tuổi cháu có bao nhiêu ngày thì tuổi chú có bấy nhiêu tuần.
Bài giải:
Hai năm trước tuổi cháu có bao nhiêu ngày thì tuổi chú có bao nhiêu tuần, nếu lúc đó coi tuổi cháu
1 phần thì tuổi chú 7 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

24

Ta có sơ đồ: Tuổi chú và tuổi cháu lúc đó:

Tuổi chú:

24 tuổi

Tuổi cháu:

Tuổi cháu trước đây 2 năm là:
24 : (1 + 7) = 3 (tuổi)
Tuổi chú trước đây 2 năm là:
24 - 3 = 21 (tuổi)
Hiệu số tuổi của hai chú cháu là:
21 - 3 = 18 (tuổi)
Vì mỗi năm mỗi người đều tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi giữa hai chú cháu không thay đổi.
Ta có sơ đồ lúc tuổi chú gấp 3 lần tuổi cháu:

Tuổi cháu:

18 tuổi

Tuổi chú:

Tuổi cháu lúc đó là: 18 :
Số năm để tuổi chú gấp 3 lần tuổi cháu là:
Đáp số: 4 năm.

(3 - 1) x 1 = 9 (tuổi)
9 - (3 + 2) = 4 (năm)

* Dạng 5: Cho tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm khác nhau.
Ví dụ 14: Tuổi em hiện nay gấp hai lần tuổi em khi anh bằng tuổi em hiện nay. Khi tuổi em bằng tuổi anh
hiện nay thì hai lần tuổi em hơn tuổi anh lúc đó là 12 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người?
Bài giải:
Vì mỗi năm mỗi người thêm một tuổi nên hiệu số tuổi của hai người luôn không thay đổi theo thời gian.
Ta có sơ đồ:

Trước đây:
Hiện nay:
Sau này:

Tuổi em:
Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:

Hiệu

Hiệu

Hiệu

Hiệu

12 tuổi

Giá trị một phần là:
12 : (3 x 2 - 4) = 6 (tuổi)

Hiệu
Tuổi em hiện nay là:
6 x 2 = 12 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
Hiệu
51 tuổi
6 x 3 = 18 (tuổi)
Ví dụ 15: Tuổi của em tôi hiện nay bằng 4 lần tuổi của nó khi tuổi của anh tôi bằng tuổi em tôi hiện nay.
Đến khi tuổi em tôi bằng tuổi anh tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51. Hỏi hiện nay em tôi,
anh tôi bao nhiêu tuổi?
Bài giải:
Vì mỗi năm mỗi người thêm một tuổi nên hiệu số tuổi của hai người luôn không thay đổi theo thời gian.
Ta có sơ đồ:
Tuổi em:

Trước đây:

Hiện nay:
Sau này:

Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:

25