Sai lần thường gặp khi giải bài toán tích phân

11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN
4

1 x 2 dx .

Bài 1. Tính tích phân I
0

Lời giải sai: Đặt x

sin t

dx

4

cos tdt .

4

1 sin 2 t .cos tdx

I

4

cos 2 tdt

0

0

1

cos 2t
2

8

x

t

0

1
.
4

Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận.
cos tdt . Khi

4
0

x
arcsin

4

1 sin 2 t .cos tdx

cos 2 tdt

0

0

1
sin 2arcsin .
4
4

1

2x

1

1 1
4 34

20
.
81

1 . Khi

w

3

t4
4

1

cos 2t
2

.

5

x
x

2x

w

I

dt
t5

w

3

0

.b

Lời giải sai: Đặt t

dx

1

Bài 2. Tính tích phân I

1

ox

1
arcsin
2
4

0

4

ilie

I

arcsin

4

0

ta

arcsin

t

ar c sin

t

dx

1

1
0

t
t

3
.
1

Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân.
Lời giải đúng: Đặt t

3

I
1

dt
2t 5

t

4

8

3

1

2x

1

1 1
8 34

dt

2dx .

1

10
.
81

x
x

1
0

t
t

2

xe x dx .

Bài 3. Tính tích phân I
0

www.boxtailieu.net

4.

ne

sin t

u.

Lời giải đúng: x

3
.
1


u

Lời giải sai: Đặt

I

xe x

x
x

v'

e

e x dx

e2

u'

1

v

ex

.

2

2
0

1.

0

Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần.
Lời giải đúng: Đặt

x

dv

e dx

du

dx

v

x

e

.

2

2

e x dx

0

e2

1.

0

t

xe x

x

2

Bài 4. Cho n N ; chứng minh I

sin sin x

nx dx

Lời giải sai: Xét hàm số f x

Vậy f x là hàm lẻ, suy ra I

nx trên 0; 2

.

ilie

sin x sin x

Ta có f x là hàm liên tục trên 0; 2

0.

u.

0

ne

I

u

và f

sin sin

x

nx

f x .

ta

0.

x

ox

Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số f x là hàm lẻ, liên tục trên
a

a; a thì

0
n

sin ny

w

1

nx dx

y

dy .

sin sin y

ny

n dy

sin y dy .

Mặt khác ta có: g y
g

dx

w

sin sin x

.b

2

y

w

Lời giải đúng: Đặt x
I

0 ”.

f x dx
a

sin

ny

sin

sin ny

y

sin y xác định trên

sin ny

sin y

;

là hàm liên tục và

g y .

Suy ra g y là hàm lẻ.
Vậy I

0.

Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0;

; hãy so sánh I

xf sin x dx và
0

www.boxtailieu.net


J

f sin x dx .
0

Lời giải sai: Đặt

I

xf cos x

u

x

dv

du
f sin x dx

dx

v

f cos x

.

f cos x dx .

0
0

Do f liên tục trên 0;

, suy ra f cos

f 0

0

I

f cos x dx (1).

f sin x dx

(2).

ne

2

0

Từ (1) và (2) ta có I

J.

u.

Mà J

t

0

ilie

Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
Lời giải đúng: Đặt x

t dx
dt .
0

I

t f sin

t dt

f sin x dx

f sin x dx

I

0

Vậy ta có I

2

0

.b

J.

f sin x dx .

ox

2I

xf sin x dx

0

ta

0

Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên a; b ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm
f x

b

f c dx

w

a; b sao cho

w

c

C

a

f c

f x dx .

c

f x

w

Lời giải sai: Do f liên tục trên a; b , suy ra f x

f c

trên a , c bằng

f c trên b , c , vậy ta có

c

f x

f c dx

a

c
b

b

f x

f c dx

f c

f x dx .

c

Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai.
Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít
b

nhất một điểm C

a; b sao cho

b

f x dx

f c b

a

a
b

a

a

c

f x

Suy ra

f c dx

b

f x
a

f c dx

f c dx

f x
c

www.boxtailieu.net

f c dx

0.

c

b

f x

Hay ta có

f c dx

f x dx (đpcm).

f c

a

c

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y

0; x

y

9

1; x
x

4

2

.

Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là:
4

S

2

9

x dx

1 2
x
3

9x

1

4

7.
1

4

x 2 dx

9
1

3

1 3
x
3

9x

9 dx

9

38
(đvdt).
3

3
4

1 3

x
3

1

x2

9x
3

65
2

u.

1

y

ta

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

0

x

1; y

1

y
x

w

Diện tích hình phẳng là: S

2
x 1
3

x 1dx

1

w

w

Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích.
Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: S S1
12

1

x 1 dx

1

S

1

1
3

3
2

2

1

S2

1 (đvdt).

2

S2

x 1; x

x

0

.

2.
2

Ta có S1

1

x 1

.b

y

x 1

y

0; y

2

ox

Lời giải sai: y 2

ne

3

x2 dx

9

ilie

3

S

t

Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi
“đvdt – đơn vị diện tích”.
Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là:

2
x 1
3

3
2

2

1

1
3

4

(đvdt).
3

www.boxtailieu.net

2
(đvdt).
3


y

x2

2x

1 C1

Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi y

x2

6x

9 C2 .

3
;x
2

x

Lời giải sai: C1

C2

5
2

2;1 .

Vậy diện tích của hình giới hạn là:
2

5
2

2

S

x 1 dx

2

x

3
2

3 dx

1
24

3

1
24

1
3

ne

3
2

1
x
3

5
3 2

u.

1
3

2
3

2

7
(đvdt).
12

ilie

1
x 1
3

t

2

C2

2;1 .

2

S1

x

3

.b

Diện tích hình giới hạn là:
S S1 S2 .
2

x 1

2

w

5
2

2

2

2

dx

w

3
2

ox

Lời giải đúng: C1

ta

Lý do sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn.

4x

2x2

8 dx

8x

3
2

5
2

2x2

8x

Bài 10. Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn x2

y

x 1

2

S

x

w

S2
S1

S2

3

C :x

y

1
2

b

4x

8 dx

2

1
2

2

3
2

5
2

1
2

1
2

2

1 (đvdt).

quay quanh trục Ox .
Lời giải sai: Phương
2

dx

2

trình

2

a hay y

y

b

a2

x 2 C1

y

b

a2

x 2 C2

(x

b

đường
2

a

2

tròn
x

2

a ).

www.boxtailieu.net

b

2

a2 ;( 0

a

b)


Vậy

thể

tích

a

V

a2

b

của

2

x2

a2

b

x2

hình
2

dx

xuyến

là:

2 a2 b (đvtt).

a
b

Lý do sai: Sai công thức tính thể tích:

y12

V

y22 dx

a
b

ya2

V

y22 dx .

a
a

Lời giải đúng: V

b

a2

x2

2

a2

b

x2

2

dx

2 a2 b .

2

Lời giải sai: V

4

x dx
1

x5
5

2

31

5

1

Lý do sai: Đã sử dụng công thức V

(đvtt).

ta

b

2

u.

x

x2
1 .

ilie

y
Bài 11. Tính thể tích hình giới hạn bởi x

ne

t

a

y 2 dx .

x.x 2 dx

2

.b

Lời giải đúng: V

ox

a

2

(đvtt).

w

w

w

1

15
2

www.boxtailieu.net

mà là