đề tài: nhóm hữu hạn sinh

TR

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN-TIN HỌC
-------------------------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

NHÓM HỮU HẠN SINH

Giáo viên hướng dẫn
ThS. Phạm Thị Vui

Sinh viên thực hiện
Trần Thị Kim Thoa
MSSV: 1090120
Lớp: SP Toán-tin học K35

Cần Thơ, 2013


BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
tập rỗng.


với mọi



tồn tại
tập các số tự nhiên khác 0.

*

tập các số nguyên.
tập các số nguyên không âm.
tập các số hữu tỉ.
tập các số thực.
tập các số phức.



, 

tập các số nguyên với phép cộng.



, 

tập các số hữu tỉ với phép cộng.



, 

tập các số thực với phép cộng.

X /H

nhóm thương của X theo H .

[X : H ]

chỉ số của nhóm con H trong nhóm X

GL2 ( )

nhóm các ma trận cấp 2 trên trường

H

X

H là nhóm con của nhóm X

H

X

H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X

Z(X )

Tâm giao hoán của nhóm X

X

cấp của nhóm X

a

cấp của phần tử a trong nhóm X .

e

phần tử đơn vị của nhóm X .

x 1

nghịch đảo của phần tử x .

S

 x, y

nhóm con sinh bởi S .
một hoán tử của X .


[X, X ]

nhóm con các hoán tử của nhóm X .

idX , 1X

đẳng cấu dồng nhất .

Im f

ảnh đồng cấu f.

Kerf

hạt nhân đồng cấu f.

Abel

nhóm giao hoán.

S3

nhóm hoán vị 3 phần tử.

i  X 

là các nhóm tâm giảm của X .

F  x
xH

là nhóm Abel tự do.


Lời Cảm ơn
Sau khi nhận được đề tài luận văn tốt nghiệp và trong suốt quá trình làm luận văn, em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ, những lời động viên chân thành từ thầy cô, gia
đình và bạn bè . Tất cả những điều đó là một động lực rất lớn giúp em vượt qua những khó

khăn để hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình.
Cảm ơn cha, mẹ, anh chị và tất cả những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện cả về
vật chất lẫn tinh thần cho em trong suốt bốn năm học đại học vừa qua, đặc biệt là suốt quá
trình em làm luận văn tốt nghiệp.
Em xin cảm ơn tất cả các thầy cô trong bộ môn Toán đã trang bị cho em những kiến thức
giúp em có nền tản để có thể hoàn thành tốt luận văn.
Cảm ơn các bạn lớp SP Toán-Tin đã luôn ủng hộ, đồng hành cùng em chia sẽ những khó
khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống . Cám ơn Thư Viện Khoa Sư Phạm và Trung
Tâm Học Liệu trường Đại Học Cần Thơ đã tạo cho em điều kiện tìm kiếm tài liệu một cách
tốt nhất.
Đặt biệt em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến cô Phạm Thị Vui , Cô đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt quá trình em thực hiện luận văn. Không chỉ là những lời động viên khích lệ, Cô
đã rất tận tình giảng giải những kiến thức nền tản mà em còn chưa nắm vững để em có vững
kiến thức hoàn thành luận văn của mình.
Tuy nhiên trong luận văn của em còn nhiều thiếu sót . Em kính mong nhận được sự góp ý
chia sẽ của thầy cô và các bạn. Em xin thành thật biết ơn.
Người thực hiện


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình học, em đã được học môn “ Đại số đại cương”. Được biết về
khái niệm nhóm và một số nhóm đặt biệt như: nhóm hữu hạn , nhóm Abel, nhóm con ,
nhóm sinh bởi một tập…Nhóm hữu hạn sinh là đề tài khá mới đối với em. Trong quá
trình học em chưa được tìm hiểu kĩ chỉ được biết đến một vài tính chất. Đối với em, đề
tài này đã tạo cho em nhiều hứng thú muốn học hỏi, giúp em hiểu sâu hơn về lý thuyết
nhóm .
Được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn em đã mạnh dạng chọn dề tài “ Nhóm
hữu hạn sinh” với mong muốn được tìm hiểu nhiều hơn về nhóm hữu hạn sinh.
2. Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “ Nhóm hữu hạn sinh”, em hướng đến mục đích là rèn luyện kĩ
năng tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu một vấn đề Toán học.
Đây cũng là dịp để em nhìn lại tổng quan kiến thức về lý thuyết nhóm. Vận dụng
những kiến thức mình đã học vào thực hiện đề tài luận văn. Thấy được sự liên hệ giữa
các nhóm . Bên cạnh đó, giúp cho em có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kì thi
sau này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích,
khái quát hóa.
4. Nội dung chính của luận văn.
Chương I : Kiến thức chuẩn bị
Chương II: Nhóm hữu hạn sinh và mối liên hệ với các nhóm khác.

1


PHẦN NỘI DUNG

Chương I
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Nhóm

1.1.1 Khái niệm nhóm
Nhóm X là một tập hợp khác rỗng cùng với phép toán nhân trên nó thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Với mọi x, y, z  X ta có ( xy).z  x.( yz ) .
(ii) Tồn tại phần tử e  X sao cho ex  xe  x .
(iii) Với mỗi phần tử x  X tồn tại phần tử nghịch đảo y  X sao cho xy  yx  e .

Nhóm có tính chất giao hoán thì được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
1.1.2 Nhóm con
a) Định nghĩa:
Tập con khác rỗng H của nhóm nhân X được gọi là nhóm con của X nếu
H cùng với phép toán cảm sinh trong X lập thành một nhóm. Kí hiệu H  X .

b) Các ví dụ:
(i) Tập con e và X của nhóm X là nhóm con của nhóm X . Hai nhóm
này được gọi là nhóm con tầm thường. Các nhóm con khác ( nếu có )
được gọi là các nhóm con thực sự của X .
(ii) Mỗi nhóm cộng sau đây là nhóm con của các nhóm đứng trước nó






.

(iii) Mỗi nhóm nhân sau đây là nhóm con của các nhóm đứng trước nó




\ 0 

\ 0 

\ 0 .

1.2 Nhóm con sinh bởi một tập
1.2.2 Mệnh đề
Cho X là nhóm ,

Hi iI là họ không rỗng các nhóm con của X .
2


Khi đó H 

iI

Hi là nhóm con của X .

Chứng minh
Ta có H   vì e  H . Lấy hai phần tử x, y bất kì thuộc H
1
Khi đó x, y thuộc H , i  I . Vì thế x. y thuộc Hi i  I (vì Hi là nhóm con

của X ). Do vậy xy 1  H
Vậy H là nhóm con của X . 
1.2.3 Hệ quả
Cho X là nhóm, S là tập con của X . Khi đó tồn tại nhóm con nhỏ nhất của X
chứa S.
Chứng minh
Gọi H là tập tất cả các nhóm con của X chứa S . Đương nhiên H khác rỗng
vì S  H . Như vậy giao tất cả các phần tử thuộc H chính là nhóm con nhỏ nhất của
X chứa S .

1.2.4 Định nghĩa

Cho S là tập con của nhóm X . Nhóm con nhỏ nhất của X chứa S gọi là nhóm
con sinh bởi S và được kí hiệu là S . Đặt biệt S   x thì nhóm con x được gọi
là nhóm con xyclic của X sinh bởi x và được kí hiệu là x .
Nếu S  X thì S là một tập sinh của X và X được sinh ra bởi S .





Nếu H là một tập con hữu hạn của X với H  x , x ,..., xn thì ta viết x , x ,..., xn
1 2
1 2
thay cho

 x1, x2,..., xn

là nhóm sinh bởi H .

1.3 Nhóm con chuẩn tắc
1.3.1 Định nghĩa
Cho H là nhóm con của nhóm X . Tập H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X
( hoặc ước chuẩn ) nếu với mọi x  X thì xH  Hx , kí hiệu H

X.

Chú ý: Từ định nghĩa nhóm con chuẩn tắc dễ thấy
(i)

Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.

3


(ii)

Với X là nhóm thì các nhóm con e , X là các nhóm con chuẩn tắc của
X ( được gọi là nhóm con chuẩn tắc tầm thường). Nếu nhóm X  e và

không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài nhóm con chuẩn tắc tầm thường
thì X được gọi là nhóm đơn.
(iii)

Cho H là nhóm con của nhóm X thì x1Hx cũng là nhóm con của X ,
với mọi x  X . Nhóm x1Hx được gọi là nhóm con liên hợp với nhóm
con H . Như vậy, H

X khi và chỉ khi mọi nhóm con liên hợp của H sẽ

trùng với H .
1.3.2 Định lí
Một nhóm con H của nhóm X là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu với
mọi x  X , với mọi h  H thì x1hx  H ( hoặc xhx1  H )
Chứng minh
() Giả sử H

X , khi đó với mọi h  H tồn tại phần tử h'  H sao cho hx  xh' .

Do đó với mọi x  X , với mọi h  H ta có x1hx  x 1 ( xh' )  h'  H
() Giả sử với mọi x  X , với mọi h  H ta có x1hx  H . Khi đó với h  H thì

hx  xH , suy ra Hx  xH . Ngoài ra do x1hx  H suy ra ( x 1 )1 hx 1  H
Do đó với mọi h  H thì xh  Hx , suy ra xH  Hx . Nên xH  Hx . 
1.4 Nhóm thương
Cho X là nhóm và H

X . Trong tập X / H  xH | x  X  xét phép toán nhân

như sau :

xH . yH  xyH với mọi x, y  X
Phép toán này được định nghĩa đúng đắn. Thật vậy, giả sử ta có
xH  x' H , yH  y ' H , với mọi x, x ' , y, y ' , suy ra x' x1  H và y ' y 1  H .

Khi đó ta xét:  x' y '   xy    x' y '  y 1 x 1    x' x 1  xy ' y 1 x 1   H (do H
1

X)

Nên x' y ' H  xyH , rõ ràng tập X / H cùng với phép toán ở trên lập thành một
nhóm với phần tử đơn vị là eH , phần tử nghịch đảo của xH là x1H
Vậy nhóm X / H được gọi là nhóm thương , từ nay về sau nếu xét tập X / H thì ta
hiểu đó là nhóm thương.

4


Chú ý: Nếu X là nhóm Abel thì nhóm thương X / H là nhóm Abel.
1.5 Nhóm con các hoán tử
1.5.1 Định nghĩa
Cho X là nhóm và x, y  X . Phần tử xyx 1 y 1 được gọi là một hoán tử của X , kí

hiệu là  x, y  . Nhóm con sinh ra bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con các
hoán tử, kí hiệu

X, X 

hoặc X ' . Như vậy  X , X    x, y  | x, y  X .

1.5.2 Mệnh đề
Cho là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X , khi đó:
(i)

 X , X  là nhóm con chuẩn tắc của nhóm

X.

(ii)

Nhóm X / H là nhóm Abel khi và chỉ khi

X, X   H .

Chứng minh
(i) Với mọi x  X , h  X , X  thì xhx1h1  X , X  , suy ra tồn tại phần tử

k  X , X  sao cho xhx1h1  k . Suy ra xhx1  kh  X , X  , do đó  X , X  là nhóm
con chuẩn tắc của X .
(ii) Ta có X / H là nhóm Abel khi và chỉ khi với mọi phần tử x, y  X thì

xH . yH  yH .xH . Điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi x, y  X thì xyx 1 y 1  H
Vì thế  X , X   H .

1.6 Cấp của phần tử, cấp của nhóm
1.6.1 Định nghĩa cấp của một phần tử
Giả sử X là một nhóm ( nhân ) có phần tử đơn vị là e và x  X . Nếu tồn tại số tự
nhiên k  0 nhỏ nhất sao cho xk  e . Khi đó k được gọi là cấp của phần tử x .
Nếu không tồn tại k thỏa tính chất trên ta nói x có cấp vô hạn.
Nếu nhóm X được viết theo lối cộng thì phần tử đơn vị được thay bằng phần tử
không, phép lũy thừa được thay bằng bội. Khi đó k được gọi là cấp của phần tử khi
kx  0(k  0) .

1.6.2 Ví dụ
(i) Nhóm



,   có tất cả các phần tử đều có cấp vô hạn.

5


(ii) Xét nhóm nhân các căn bậc n của 1 trong trường số phức

.

Dễ thấy, tập n số phức w1, w2 ,..., wn1 lập thành một nhóm với phép nhân các số
phức .
Với n  6 , ta có ( k  0,1,...,5 )
0.2
0.2
w  cos
 i sin

1
0
6
6

1.2
1.2 1
3
w  cos
 i sin
 i
1
6
6
2
2
2.2
2.2
1
3
w  cos
 i sin
  i
2
6
6
2
2
3.2
3.2

w  cos
 i sin
 1
3
6
6

4.2
4.2
1
3
w  cos
 i sin
  i
4
6
6
2
2
5.2
5.2 1
3
w  cos
 i sin
 i
5
6
6
2
2

Dễ thấy w1 , w5 có cấp là 6, w2 , w4 có cấp là 3, w3 có cấp là 2.
1.6.3

Định nghĩa cấp của một nhóm

Cho X là nhóm và x  X . Cấp của x được gọi là cấp của phần tử x , ký hiệu

x hoặc o( x) . Nếu x   thì x được gọi là có cấp hữu hạn, ngược lại thì x
được gọi là có cấp vô hạn.
1.6.4

Ví dụ

Trong

* có 3  3  *  6
7
7

Thật vậy *  1,2,3,4,5,6 ta có
7

 3

1



2



3



4



5



6

 3 ; 3  2 ; 3  6 ; 3  4 ; 3  5 ; 3 1

Nên 3  3  *7  6
1.6.5

Mệnh đề

Nếu a có cấp hữu hạn là d thì an  e khi và chỉ khi n d .

6


1.7 Đồng cấu nhóm
1.7.1 Định nghĩa

Cho X , Y là nhóm
(i) Ánh xạ f : X  Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu f ( xy)  f ( x) f ( y) , với mọi

x và y thuộc X .
(ii) Đồng cấu nhóm f : X  X được gọi là tự đồng cấu nhóm .
(iii) Đồng cấu nhóm f : X  Y được gọi là đơn cấu nhóm ( toàn cấu nhóm, đẳng
cấu nhóm ) nếu f là đơn ánh( toàn ánh, song ánh ).
(iv) X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu nhóm f : X  Y , kí hiệu X  Y .
1.7.2 Ví dụ
(i) Giả sử X , Y là các nhóm và ánh xạ

f : X Y
f ( x)  e .

x

Dễ thấy f là đồng cấu nhóm . Đồng cấu này được gọi là đồng cấu tầm thường
(ii) Giả sử H  X và ánh xạ
i:H  X

h

i(h)  h .

Dễ thấy i là đơn cấu nhóm. Đơn cấu này gọi là đơn cấu chính tắc . Đặc biệt , nếu
H  X thì đơn cấu chính tắc i : X  X là đẳng cấu nhóm . Đẳng cấu này gọi là

đẳng cấu đồng nhất, kí hiệu idX hoặc 1X .
(iii) Cho H

X và ánh xạ

:X X /H
x

 ( x)  xH .

Khi đó ánh xạ  là một toàn cấu nhóm và được gọi là toàn cấu chính tắc.
1.7.3 Một số tính chất
(i)

Nếu f : X  Y là đồng cấu nhóm thì f (e)  e và

f ( x1 )   f ( x) , x  X
1

7


(ii) Nếu các ánh xạ f : X 1  X 2 và g : X 2  X 3 là các đồng cấu nhóm thì ánh
xạ tích gf : X 1  X 3 cũng là một đồng cấu nhóm. Đặt biệt tích hai đơn cấu
nhóm ( toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu nhóm ( toàn cấu, đẳng cấu).
(iii) Nếu f : X  Y là đẳng cấu nhóm thì ánh xạ ngược f 1 : Y  X cũng là
đẳng cấu nhóm.
1.7.4 Định nghĩa
Cho f : X  Y là đồng cấu nhóm , khi đó:
(i)

Ảnh của đồng cấu f ( kí hiệu là Im f ) là tập được xác định
Im f   f ( x) | x  X   f ( X )

(ii) Hạt nhân của đồng cấu f ( kí hiệu là ) là tập được xác định

Kerf  x  X | f ( x)  e  f 1 (e)
Với e là phần tử đơn vị của Y .
1.8 Định nghĩa tích trực tiếp
Giả sử

 Xi iI là họ khác rỗng các nhóm và X  iI Xi , là tích Descartes của

họ nhóm  X  . Trong X ta định nghĩa phép toán nhân sau:
i iI

( xi )iI .( yi )iI  ( xi yi )iI với xi , yi  X i
Khi đó X cùng với phép toán nhân trên lập một nhóm, có phần tử đơn vị là
trong đó ei là phần tử đơn vị của X i và phần tử nghịch đảo của ( xi )
(ei )
iI
iI
là

( xi1)
iI

trong đó xi1 là phần tử nghịch đảo của xi . Nhóm X   X được gọi
iI i

là tích trực tiếp của họ nhóm  X  .
i iI
1.9 Định nghĩa tổng trực tiếp

8


Giả sử  X i là tích trực tiếp của họ không rỗng các nhóm  X  . Ta gọi giá của
i iI
iI





họ ( xi )   X i là tập con với I0  i  I | xi  0  I . Nếu I 0 là hữu hạn thì ta
iI iI
nói họ ( xi )
có giá hữu hạn.
iI
Tập con H gồm tất cả các họ ( xi )   X i có giá hữu hạn là một nhóm con của
iI iI
nhóm  X i . Nhóm này gọi là tổng trực tiếp của họ các nhóm
iI

 Xi iI và được kí

hiệu là  X i .
iI
1.10 Nhóm hữu hạn
1.10.1 Định nghĩa
Cho X là nhóm , H  X . Số các lớp ghép trái ( hoặc phải) của x theo nhóm con
H được gọi là chỉ số của H trong X , kí hiệu là  X : H 

1.10.2 Định lý ( Lagrange)
Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn X . Khi đó H là ước của X và

X : H 

X
.
H

Chứng minh
Giả sử  X : H   m , nên lúc này m lớp ghép tạo ra một phân hoạch của X , tức là

X  x H  x H ...  xmH mà x j H  x j H   , với mọi i  j . Do đó ta được
1
2
m
X   xi H , nhưng ánh xạ fi sau đây là một song ánh :
i1
fi : H  H i
h

xi h

Thật vậy, giả sử với mọi h, k  X sao cho fi (h)  fi (k ) , suy ra xi h  xi k . Do X là
nhóm nên ta được h  k , tức là fi là đơn ánh. Hiển nhiên fi là toàn ánh, vì thế fi
là song ánh . Do đó H  xi H , với mọi i  1, m . Vậy X  m H   X : H . H

9

.


Chú ý: Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn X thì X / H 

X
.
H

1.10.3 Định nghĩa
Giả sử X là nhóm hữu hạn, khi đó:
(i) Số nguyên dương m thỏa điều kiện xm  e , với x  X gọi là số mũ của x .
(ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu nó là số mũ của
mọi phần tử trong X .
1.10.4 Mệnh đề
Cấp của một nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó.
Chứng minh
Giả sử X  n . Lấy bất kì phần tử x  X sao cho x  m . Theo định lí Lagrange, ta
có x  x là ước số của X , tức là m | n . Suy ra tồn tại k 

 

n
mk  xm
Nên ta có x  x

k

sao cho n  mk .

 e .

1.11 p- Nhóm
1.11.1 Định nghĩa
Giả sử p là số nguyên tố, khi đó:
(i)

Nhóm H được gọi là p -nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p .

(ii) Nhóm H được gọi là p -nhóm con của X nếu H  X và H là p -nhóm.
(iii) Nhóm H được gọi là p -nhóm con Sylow của nhóm H nếu là p -nhóm con
của X và H  pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết X .
1.11.2 Định lí ( Định lí Sylow 1)
Giả sử X là nhóm hữu hạn , p là số nguyên tố chia hết X . Khi đó luôn tồn tại
p -nhóm con Sylow của X .

1.12 Nhóm giải được
1.12.1 Định nghĩa
Nhóm X được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các nhóm con
X  X  X  ...  X n  e
0
1

10

(I )


thỏa hai điều kiện sau:
(i) X i

(ii)

X

X

i1

i1

với mọi 1  i  n .

1 i  n .
X i là nhóm Abel với mọi

Chuỗi ( I ) được gọi là chuỗi giải được ( hoặc dãy Abel).
1.12.2 Các ví dụ
(i)

Mọi nhóm Abel X đều là nhóm giải được với chuỗi giải được là X  e .

(ii) Trong nhóm S ta xét dãy các nhóm con S  A  e . Dễ thấy dãy này
3
3
3
là một chuỗi giải được . Nên S là nhóm giải được.
3
1.12.3 Định lí
Mọi nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được.
Chứng minh

Giả sử X là nhóm giải được và H là nhóm con của X . Khi đó X có một chuỗi
giải được

X  X 0  X1  ...  X n  e

(I )

Đặt Hi  H  Xi ,0  i  n . Khi đó ta được một dãy hữu hạn các nhóm con của H

H  H0  H1  ...  Hn  e

( II )

Dễ thấy H i là nhóm con chuẩn tắc của H ,1  i  n . Gọi x, y  Hi với 1  i  n ,
i1
suy ra x, y  Xi . Vì dãy ( I ) là chuỗi giải được nên xyx 1 y 1  X i 1 . Hiển nhiên
xyx 1 y 1  H . Vì thế xyx 1 y 1  H i 1 , 1  i  n . Suy ra

H

i1

Hi là nhóm abel, vì thế

dãy ( II ) là chuỗi giải được của nhóm H . Vậy H là nhóm giải được . 
1.12.4 Hệ quả
Mọi nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được.
1.12.5 Định lí
Cho X là nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của X . Khi đó X là nhóm giải được
khi và chỉ khi H và X / H là nhóm giải được.

11


Chứng minh
() Suy ra trực tiếp từ Định lí (1.12.3) và Hệ quả (1.12.4) .
() Vì H là nhóm giải được nên H có một chuỗi chuẩn tắc là:

H  H  H  ...  H n  e
0
1

(I )

Theo giả thiết X / H là nhóm giải được nên X / H có một chuỗi giải được là:



X / H  X  X  ...  X m  e
0
1

( II )

 

Xét toàn cấu chính tắc  : X  X / H . Đặt X i   1 X i với 1  i  m . Dễ thấy

X i là nhóm con chuẩn tắc của X

i1

nên ta được một dãy hữu hạn các nhóm con

của X .



X  X  X  ...  X m   1 e  H  H  H  ...  H n  e
0
1
0
1

( III )

Vì dãy ( I ) là chuỗi giải được và X i là nhóm con chuẩn tắc của X
với 1  i  m
i1
nên để chứng minh dãy ( III ) là chuỗi giải được ta chỉ cần chứng minh nhóm

X
X

i1
i1

/ X i là nhóm Abel . Thật vậy, gọi x, y là các phần tử thuộc



  1 X

i1

 suy ra  (x), ( y) thuộc vào Xi1 . Do dãy (II ) là chuỗi giải

được nên  ( x) ( y)  ( x)  ( y)  X i , suy ra   xyx 1 y 1   X i . Vì thế
1

1

 

xyx1y 1  1 X i  X i , do đó ta được X
X là nhóm Abel. Suy ra dãy
i1 i
( III ) là chuỗi giải được của X . Vậy X là nhóm giải được.

1.12.6 Mệnh đề
Mọi nhóm Abel đều giải được .
1.13 Nhóm lũy linh
1.13.1 Định nghĩa
Cho X là nhóm. Họ các nhóm con  i  X  của X được định nghĩa bằng quy nạp
như sau:
1  X   X ,  i1  X    i  X  , X  với mọi i .

Các nhóm  i  X  được xác định như trên được gọi là các nhóm tâm giảm của X .

12

1.13.2 Định nghĩa
Nhóm X được gọi là nhóm lũy linh nếu tồn tại k 

sao cho  k 1  X   1

* . Số

k nhỏ nhất thỏa * được gọi là lớp của nhóm lũy linh X .

1.13.3 Mệnh đề
Mọi nhóm lũy linh đều giải được.
Chứng minh.



Giả sử X là nhóm lũy linh lớp k . Khi đó 
X  1 . Ta lại có X 
k 1  




nên ta có X 

k 

k 



k 1 

X

 1 . Vậy X là nhóm giải được. 

1.13.4 Định lí
Nếu X là nhóm lũy linh khác e thì Z  X   e .
1.13.5 Định lí
Nhóm X  e là lũy linh lớp 1 khi và chỉ khi X là nhóm Abel.
1.13.6 Định lí
Mọi p-nhóm đều lũy linh .
1.14

Nhóm đơn

Nhóm X được gọi là nhóm đơn nếu X chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc là e và X .

13


Chương II
NHÓM HỮU HẠN SINH VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI CÁC NHÓM KHÁC
2.1 Nhóm hữu hạn sinh
2.1.1 Định nghĩa nhóm hữu hạn sinh
Cho nhóm X  S thì tập S được gọi là tập sinh của X . Nếu X có tập sinh hữu
hạn

x1, x2,..., xn thì X

được gọi là nhóm hữu hạn sinh và ta kí hiệu là

x , x ,..., xn . Ngược lại X được gọi là nhóm vô hạn sinh. Nhóm X được gọi là
1 2

nhóm xyclic nếu tồn tại một phần tử x  X sao cho X  x .
Ví dụ
a) Tập hợp
b) Tập hợp

i  a  bi | a, b   với phép cộng là nhóm sinh bởi 1,i .
 ,  là nhóm xyclic sinh bởi 1 ,1 .

c) Tập GL2 ( ) cùng với phép toán cộng hai ma trận lập thành một nhóm hữu hạn

1 0   0 1   0 0  0 0 

sinh. Ta có GL2 ( )  
,
,
,

 0 0   0 0  1 0   0 1 
Tổng quát
Tập GLm , n ( ) cùng với phép cộ ng hai ma trận lập thành một nhóm hữu hạn
sinh GLm ,n ( )  Aij | i  1, m; j  1, n .
Trong đó Aij là ma trận cấp m  n có phần tử tại vị trí (i, j ) bằng 1 và các phần tử
còn lại đều bằng 0.

2.1.2 Định nghĩa
(i) Nhóm X được gọi là nhóm xoắn nếu và chỉ nếu mọi phần tử trong X đều có
cấp hữu hạn.
(ii) Nhóm X được gọi là nhóm không xoắn nếu và chỉ nếu trong X chỉ có duy nhất
phần tử đơn vị có cấp hữu hạn.
Ví dụ

14


a) Nhóm

* với phép toán cộng
n là tập hợp các lớp đồng dư theo module n , n

là nhóm xoắn .
b) Tập hợp các số hữu tỉ

*

Thật vậy, Giả sử  a, b   *

là nhóm không xoắn.
và

 a, b   n hữu hạn

Khi đó  a, b   n  n(a, b)  (0,0)  (na, nb)  (0,0)  (a, b)  (0,0)
Vậy
c)

*

là nhóm không xoắn.

là nhóm không xoắn

Thật vậy, lấy

a

b

, giả sử

a
 n hữu hạn
b

Khi đó

a
a
 n  na  0  a  0(n  0)   0
b
b

Vậy

là nhóm không xoắn.

2.1.3 Mệnh đề
Cho X là nhóm Abel. Ta gọi Ann( X )  m  / xm  e, x  X  và
Ann( x)  m  / x m  e . Khi đó:

(i) Ann( X ), Ann( x) là nhóm con của tập số nguyên

.

(ii) Nếu x có cấp hữu hạn thì Ann( x)  x .
Chứng minh
(i) Lấy m ,n thuộc Ann( X ) . Khi đó x  X thì xmn  xm.xn  e
nên m  n thuộc Ann( X ) .
Vậy Ann( X ) là nhóm con của

.

n

(ii) Gọi x  n . với mọi m thuộc Ann( x) thì x  e . Do dó theo Mệnh đề 1.6.5
thì n là ước của m hay m  n.k
Vì thế m thuộc x .
Vậy Ann( x)  x . 

15


Ví dụ
(i) Nhóm nhân các số hữu tỉ

*

có Ann( *)  0 .

(ii) Nhóm với phép toán cộng có Ann( p )  kp, k 

 p  p .

2.1.4 Định lí
Cho X là nhóm , S  X . Khi đó:
(i) Nếu S   thì S  e .
n
n n
(ii) Nếu S   thì S   x 1 x 2 ...x k | xi  S ; k , ni  , i  1, k  .
k
 1 2


Chứng minh
(i) Hiển nhiên .
n
n n
(ii) Nếu S   ta đặt H   x 1 x 2 ...x k | xi  S ; k , ni  , i  1, k  .
k
 1 2


Ta sẽ chứng minh H  S .
Thật vậy
Lấy hai phần tử x và y bất kỳ thuộc H . Khi đó ta có

n
n n
x  x 1 x 2 ...x k
1 2
k
m
m m
y  y 1 y 2 ... y l
1 2
l

với xi , y j  S ; ni , m j  ; i  1, k , j  1, l .

Suy ra
n  m m
m 1
n n


1
k
1
2
1
2
xy   x x ...x   y y ... y l 
k  1 2
l 
 1 2
n

m
n n
m m
  x 1 x 2 ...x k   y l ... y 1 y 2 
1
2
k  l
 1 2


n m
n n
m m
Hay xy 1  x11 x22 ...xk k . yl l ... y1 1 y2 2

Do đó xy 1  H nên H  X .
Hiển nhiên ta có S  H . Giả sử tồn tại H ' là nhóm con của X chứa S . Lấy phần tử
n
n n
x bất kỳ thuộc H . Khi đó x  x11 x22 ...xk k với xi  S ; k , ni  ; i  1, k

n
n
n n
'
Vì xi  S  H ' và H '  X nên xi i  H , suy ra x11 x22 ...xk k  H '

16

Hay x  H ' . Do đó H  H ' . Theo định nghĩa của nhóm con sinh bởi một tập hợp
thì H  S . 
2.1.5 Hệ quả



.

(i) Nhóm con của X sinh bởi a  X là a  a k , k 
(ii) Nếu X là nhóm sinh bởi

x1, x2,..., xn thì





n
n n
X  x 1 x 2 ...x k | xi  S ; ni , k  ; i  1, k .
1 2
k

2.1.6 Định lí
Cho X là nhóm, A và B là hai tập hợp con của X . Khi đó:

A  B .

(i) Nếu A  B thì

(ii) A  B  A  B  A  B  A  B
(iii) Nếu Ai  X với i  1, n thì

thì

n

n
Ai 
A
i1
i1 i

A  B .
.

Chứng minh
(i) Lấy x bất kì thuộc A .
n

n n

Khi đó x  x 1 x 2 ...x k với xi  A; k , ni  ; i  1, n .
1 2
k
n n

n

Hay x  x 1 x 2 ...x k với xi  B; k , ni  ; i  1, n .

1 2
k
Do đó x  B . Vậy A  B .
(ii) Trước tiên ta chứng minh A  B  A  B
Ta có A  B  A  B
Nên A  B  A  B (2.1.9a)
Lấy x bất kì thuộc

n n

n

A  B . Khi đó x  x11 x22 ...xk k với

xi  A  B; k , ni  ; i  1, k
Nếu xi  B với mọi i  1, k thì x  A  B .

17


Nếu xi  A với mọi i  1, k thì x  A  B ( do A  A  B ).
Do đó x  A  B .
Nếu x1 , x2 ,..., xl  B , x , x ,..., x  A với l  k .
l 1 l 2
k
Khi đó xi  A  B với i  1, l và x j  A  B với j  l  1, k (vì

A  A  B và B  A  B ).
Suy ra x  A  B do đó

A  B  A  B (2.1.9b)

Từ (2.1.9a) và (2.1.9b) ta suy ra

A B  A  B

Chứng minh tương tự ta được A  B  A  B .
Do đó A  B  A  B .
Vậy A  B  A  B  A  B  A  B .
(iii) Ta chứng minh
Đặt A 

n

A suy ra
i1 i

Hay A  n A
i
i1

k 1

Vì thế

A 
i1 i



n

n
Ai 
A
i1
i1 i
A 

do đó

( k>1)

n

A
i1 i

k 1

k
Ai 
A A
 A A
k 1
k 1
i1
i1 i

A  A

k 1

k

A  A
k 1
i1 i
k
k 1

Ai  A

A
k 1
i1
i1 i

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì

n

n
Ai 
A
i1
i1 i

2.1.7 Định lí
Cho X là nhóm, khi đó:

18

.


(i)

Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của X và K là nhóm con của X thì

KH  K  H và KH  HK .
(ii)

Nếu Hi  X , i  1, n và H j

n
H H ...H n 
H
1 2
i1 i

X , j  1, n  1 thì

và Hi H  H Hi , i  k ; i, k  1, n .
k
k

n
(iii) Nếu X là nhóm Abel và Hi  X , i  1, n thì H H ...H n 
H .
1 2

i1 i
Chứng minh
(i) Ta chứng minh KH  H  K .
Thật vậy
Ta có KH   ( do K   và H   ).
Lấy k h , k h bất kì thuộc KH ( với k , k  K , h , h  H )
11 2 2
1 2
1 2

 

Khi đó k h k h
11 2 2



1



 k h h1k 1  k k 1 k h h1k 1
11 2 2
12
212 2

Vì K  X nên k1k21  K . Vì H
Do đó

 

kh k h
11 2 2



1



X nên h1h21  H và k1h1h21k21  H

 KH . Vậy KH  X .

Lấy x bất kì thuộc K  H
Khi đó x  K hoặc x  H .
Nếu x  K thì x  ( x.e)  KH ( vì e  H ).
Nếu x  H thì x  x.e  KH (vì e  H ).
Suy ra x  KH hay K  H  KH . Giả sử tồn tại M là nhóm con của X chứa
K  H . Lấy k.h bất kì thuộc KH với k  K , h  H .

k  K  K  H  M

Khi đó 

h  H  K  H  M

nên kh  M (vì M  X ). Do đó KH  M , vậy

KH  K  H

Ta chứng minh KH  HK .
Thật vậy

19


lấy kh bất kì thuộc KH với k  K , h  H thì kh  k.h.k 1. Vì H

X nên

k.h.k 1.k  H do đó k.h  k.h.k 1.k  HK
suy ra KH  HK
Tương tự ta được HK  KH
Vậy HK  KH .
n
(ii) Ta chứng minh H H ...H n 
H
1 2
i1 i

(*) bằng phương pháp qui nạp theo n

Với n=2 thì ( * ) đúng .
k
Giả sử ta luôn có (n=k ) H H ...H 
H
1 2
k
i1 i

Trong đó Hi  X , i  1, k , H j

với k>1

X , j  1, k  1

Ta cần chứng minh (*) đúng với n=k+1 nghĩa là đi chứng minh
k 1
H H ...H

H .
1 2
k 1
i 1 i

Trong đó Hi  X , i  1, k  1 , H j

X , j  1, k

k 1
Đặt H  H H ...H
;S 
H . Theo giả thiết qui nạp thì H  S , vì
2 3
k 1
i2 i

H
1

X , H  X nên theo kết quả câu (i) ta có

H H  H H  H  S  H S
1
1
1
1

n
k 1

Hi . Vậy H H ...H n 
( do Định lí 2.1.3). Vì thế H H ...H
H
1 2
1 2
k 1
i1
i1 i
và Hi H  H Hi , i, k  1, n
k
k
(ii) Vì X là nhóm Abel và Hi  X ; i  1, n nên Hi

X ; i  1, n . Theo kết quả câu

(ii) thì H H ...Hn  H  H ...  H n . Vậy ta có điều phải chứng minh. 
1 2
1
2

2.1.8 Định lí

20


Cho X là nhóm hữu hạn sinh , X ' là nhóm bất kì và mỗi ánh xạ f : S  X ' trong
đó S là tập sinh của X . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu F : X  X ' sao cho

F |  f . Ngược lại nếu X là nhóm Abel và mỗi ánh xạ f : S  X ' luôn tồn tại
S
duy nhất đồng cấu F : X  X ' sao cho F |  f thì X là nhóm sinh bởi tập S .
S
Chứng minh
n

n n

Ta biết x  X thì x  x11 x22 ...xk k với xi  S , ni  ; i  1, k
Xây dựng tương ứng F : X  X '
n
n
n
F ( x)  f ( x ) 1 f ( x ) 2 ... f ( x ) k
1
2
k

x

1

1
1 1
Nếu x  e  X thì x  x1 x1 với x1  S . Khi đó F ( x)  f ( x ) . f ( x )
hay
1
2







F (e)  e . Ta chứng minh F là ánh xạ . Thật vậy, với x  X thì F ( x)  X '
Lấy a, b thuộc X thỏa a  b thì ab1  e nên F (ab1)  F (e)

nl

n n n
n n
Vì a, b  X nên a  x1 1 x2 2 ...xk k , b  y1 1 y2 2 ... yl

(2.1.11a)

với xi , yi  S

ni , m j , k , l  Z ; i  1, k ; j  1, l .
n
m 
n n

m m
Vì thế ab1   x 1 x 2 ...x k 
y 1 y 2 ... y l 

k  1 2
l 
 1 2

n
 n n
  x 1 x 2 ...x k
k
 1 2
n
 n n
  x 1 x 2 ...x k
k
 1 2

m 
  m1 m2
l
y
y
...
y
 1

2
l



m m 
  ml
... y 2 y 1 
  yl
1
2 


n m
n n
m m
Hay ab1  x11 x22 ...xk k . yl l ... y2 2 y1 1 . Suy ra



n
m
n
n
m
m
F ab1   f ( x )  1 .  f ( x )  2 ...  f ( x )  k  f ( y )  l ...  f ( y )  2 .  f ( y )  1
 1 
2 

2 

1

k  
l 




(2.1.11b)
Từ (2.1.11a) và (2.1.11b) suy ra
n

n

n

 f ( x )  1 .  f ( x )  2 ...  f ( x )  k  f ( y ) 
1 
2 

k  
l 


m
m
m
l ...  f ( y )  2 .  f ( y )  1  e
2 
1



21