Nguồn gốc và cách xử lý cho một bài phương trình vô tỷ

Đề bài: Giải phương trình 8 x  12 x  5 x 
3

2

3

3x  2 .

Lời giải
Biến đổi tương đương phương trình đã cho:

PT  8 x 3 12 x 2  6 x 1  2 x  1  3 x  2  3 3 x  2
 2 x  1  2 x  1  3 x  2  3 3 x  2
3

Xét hàm số: f t   t  t với
3

t  R . Ta có: f ' t   3t 2  1 > 0 với mọi t  R .

Khi đó hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

t R.

Ta có phương trình đã cho được viết lại theo hàm số là:

f 2 x  1  f



3



3x  2  2 x 1  3 3x  2

x  1

 8 x 3  12 x 2  6 x  1  3 x  2  8 x 3  12 x 2  3 x  1  0  
x  1 3

4

x  1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
.
x  1 3

4
Phương pháp liên của bài toán này như sau:

PT  8 x 3 12 x 2  3 x  1  3 3 x  2  2 x  1
 8 x 3 12 x 2  3 x  1  2 x 1  3 3 x  2  0

2 x 1  3 x  2
3

 8 x 12 x  3 x  1 
3

2

 8 x 12 x  3 x  1 
3

2 x  1  2 x 1 3 3x  2   3 3x  2 

2

2

8 x 3 12 x 2  3 x  1

2

2 x  1  2 x 1 3 3x  2   3 3x  2 



1
 8 x  12 x  3 x  1 1 
2

3
 2 x 1  2 x  1 3 x  2 
3

2

x  1

 8 x  12 x  3 x  1  0  
x  1 3

4
3

2

2

2



0

0



0
2

3
3x  2 




Nhưng nếu bạn nào làm được theo phương pháp liên hợp mà người ta không làm theo hàm
số thì làm sao để họ tìm ra được lượng thêm bớt 2 x 1 .
Trước hết chúng ta dùng máy tính Casio nhẩm được nghiệm x1  1 ,


1
 x 2  x 3 

2 .
x 2  0,1830127019 , x 3  0,6830127019 . Đến đây ta có: 

1
 x 2 .x 3 
8

Nghiệm x 2 , x 3 chính là nghiệm của phương trình 8 x  4 x 1 , từ đó thì
2

8 x 2  4 x 1 x 1  8 x 3 12 x 2  3x  1 , ( cái này đã được nói ký hơn ở phương
pháp liên hợp) do đó chúng ta có một phép biến đổi tự nhiên là tách

8 x 3 12 x 2  5x  8 x 3 12 x 2  3x  1  2 x 1 . Tiếp theo nhiệm vụ là liên hợp thôi.
Câu hỏi được đặt ra ở đây là nguồn gốc xuất xứ của bài toán này là như thế nào.
Trước hết người ra đề tìm một hàm số đơn điệu, ví dụ ở đây tôi lấy hàm f t   t  2 t .
3

t1   x  3


Khi đó ta chọn 
thì ta sẽ biến đổi như sau:
t  3 2 x  10
2

 x  3  2  x  3   3 2 x  10   2 3 2 x  10
3

3

 x 3  9 x 2  27 x  27  2 x  6  2 x  10  2 3 2 x  10
 x 3  9 x 2  27 x  23  2 3 2 x  10
Đến đây thì đề bài là: Giải phương trình sau: x  9 x  27 x  23  2 3 2 x  10 .
3

2

Tương tự các bạn đọc có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán hay bằng phương pháp này.

Bài tập tương tự:


Giải phương trình x  4 x  5 x  6  3 7 x  9 x  4 .



Giải phương trình 3 x  6 x  3 x  17  3 3 9 3 x  21x  5 .

3

2

3

2

2



2

