Phân loại và chuyển đổi dạng bài toán tuyến tính

TỐI ƯU HÓA & QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
GVHD: Trần Đại Nguyên

1


Đề tài:
PHÂN LOẠI VÀ CHUYỂN ĐỔI DẠNG BÀI
TOÁN TRONG QUY HOẠCH TUYẾN
TÍNH


Nội Dung Chính:
Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch
tuyến tính.
Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch
tuyến tính.
Phân loại các dạng bài toán quy hoạch tuyến
tính.
Cách chuyển đổi dạng bài toán trong quy
hoạch tuyến tính.
3


I. Một số ví dụ:
1. Bài toán vận tải:
Có m điểm sản xuất cùng 1 loại sản phẩm a và n điểm tiêu thụ b. Cho
rằng 1 đơn vị thời gian lượng cung và cầu bằng nhau
m

n

åa
i =1

i

=å b j
j =1

xij ³ 0, cij lượng sản phẩm và chi phí vận chuyển từ điểm i đến j.
*Tìm phương án vận chuyển sao cho chi phí chuyên chở là nhỏ nhất.

xij

m

n

Z =å .å cij .xij ® min
i =1 j =1

4


2 Bài toán phân phối kế hoạch sản xuất
Có n xí nghiệp sản xuất m loại chi tiết. Gọi :
ai: số chi tiết loại i
b j: quỹ thời gian giành cho sản xuất ở xí nghiệp j
xij:số chi tiết loại i của xí nghiệp j
:chi

phí
cho
chi
tiết
i
ở
xí
nghiệp
j
cij
: thời gian sản xuất 1 chi tiết loại i ở xí nghiệp j
l ij
Tìm ,
sao cho hoàn thành khối lượng trong quỹ thời
(i =1 ¸với
m, jchi
=1 ¸phí
n) ít nhất, nghĩa là:
ij phép
gian x
cho

5


Tìm xij (i =1 ¸ m, j =1 ¸ n) sao cho hoàn thành khối lượng trong quỹ
thời gian cho phép với chi phí ít nhất, nghĩa là:
Hàm mục tiêu
m

n

i =1

j =1

Z =å .å cij .xij ® min
Các điều kiện ràng buộc :
n

åx
i =1

ij

m

=ai : i =1 ¸£³
m; å l ij
j =1

6

b j ; xij

0


Ví dụ thực tiễn:
Đề: Một xí nghiệp sản xuất giấy hiện có số lượng bột gỗ và hồ keo tương

ứng là 5580 m3 và 9 tấn. Các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn. Xí
nghiệp có thể sản xuất ra 3 loại giấy A,B,C. Biết mức tiêu hao các loại
nguyên liệu để sản xuất ra 1 tấn giấy cho ở bảng sau:
Nguyên liệu

Bột gỗ (m3)
Chất hồ keo
(kg)

A
1,5
2

Sản phẩm
B
1,8
3

C
1,6
2,4

Ngoài ra giả sử rằng sản xuất ra đều tiêu thụ được với lợi nhuận khi sản
xuất 1 tấn giấy A,B,C tương ứng là 2,7; 3,6; 3 ( triệu đồng). Yêu cầu lập kế
hoạch sản xuất tối ưu
7


*Gọi x1,x2,x3 tương ứng là số tấn giấy A,B,C cần phải sản xuất
*Mô hình:

f =2, 7 x1 + 3, 6 x2 + 3 x3 ® max

*Với hệ ràng buôc:

ì 1, 5 x +1,8 x +1, 6 x £ 5580
1
2
3
ï
ï
í 2 x1 + 3 x2 + 2, 4 x3 £ 9000
ï
ïî x j ³ 0, j =1, 3
8


3 Bài toán xác định khẩu phần thức ăn
Chất dinh
dưỡng

Số lượng tối
thiểu

T1

T2

...

Tn

D1

b1

a11

a12

...

a1n

D2

b2

a21

a22

...

a2n

.

.

.
.
am1

.
.
am2

.
.
...

.
.
amn

c1

c1

...

cn

Dm

bm
Giá mua

Thức ăn

9


Trong đó:
* m là số các chất dinh dưỡng, n là số loại thức ăn.
* aij là hàm lượng chất dinh dưỡng D có trong 1 đơn vị thức ăn
i
i=1,2….., m; j=1,2…..,n
* b là số lượng chất dinh dưỡng D tối thiểu cần thiết,
i
i
i=1,2…..,m
* là giá mua đơn vị thức ăn Tj, j=1,2,……,n

cij

10

Tj


Mô hình:
*Tìm xj, j=1,2,….n sao cho:
n

*Với hệ ràng buộc:

f =å c j .x j ® min
j =1

n

åa
j =1

ij

.x j ³ bi , i =1, 2...., m

x j ³ 0, j =1, 2,...., n

*Trong đó: xj là số đơn vị thức ăn cần phải mua
11


*Ví dụ thực tiễn
*Đề: Giả sử để sinh sống trong 1 ngày đêm, mỗi người cần ít nhất 70g

protein, 30g lipit, 420g Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong thức
ăn A và B là:
Chất dinh dưỡng

Thức ăn

Protein (g)

A
0,1

B

0,2

Lipit (g)

0,1

0,1

Gluxit (g)

0,7

0,6

Ngoài ra biết giá của mỗi gam thức ăn A và B là 40đ và 60đ. Hãy xác
định khối lượng thức ăn tối ưu cần mua?
12


*Gọi x1,x2 tương ứng là số gam thức ăn A và B cần mua.
* Ta có:

f =40 x1 + 60 x2 ® min
*

Với hệ ràng buộc:

ì 0,1x1 + 0, 2 x2 ³ 70
ï
ï 0,1x1 + 0,1x2 ³ 30

ïï
í 0, 7 x1 + 0, 6 x2 ³ 420
ï
ï x1 ³ 0
ï
ïî x2 ³ 0
13


4 Bài toán sử dụng vật tư.
Một xí nghiệp sử dụng m loại vật tư pi (i =1 ¸ m) để sản xuất n mặt
hàng T j ( j =1 ¸ n)
bi : Lượng vật tư thứ i
aij : Số đơn vị vật tư thứ i để sản xuất 1 đơn vị mặt hàng T j
c j : Lãi từ 1 đơn vị T j
: Lượng sản phẩm của mặt hàng
Tj
xj
Tìm
T
x =[ x1 , x2 ,...., xn ]
Sao cho :
n
Ràng buộc:

Z =å c j .x j ® max
i =1

n

å a .x
j =1

ij

14

j

£ bi ; i =1 ¸ m


II. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH
Quy hoạch tuyến tính là một môn toán học nghiên cứu phương
pháp tìm giá trị nhỏ nhất (min) hoặc giá trị lớn nhất (max) của 1
hàm tuyến tính theo một số biến, thỏa mãn một số ràng buộc
được biểu diễn bằng hệ phương trình và bất phương trình tuyến
tính.

15


2.1 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính:
n

Tìm xj, j=1,2,….,n sao cho: f =å c .x ® min(max)(1)
j
j

j =1

é³ ù
n
ê ú
Với hệ ràng buôc å a .x ê£úb , i =1, 2,..., m(2)
ij
j
i
ê ú
j =1
ê
ë=ú
û

(1) Hàm mục tiêu
(2) Ràng buộc chung
(3) Ràng buộc dấu

é£ ù
ê ú
x j ê³ ú, j =1, 2,....n(3)
ê ú
ê
ëtuy ú
û
16


III Hai dạng cơ bản của quy hoạch tuyến tính.

1/ Dạng chính tắc (canonical): ràng buộc ở dạng đẳng thức.
æa11.......a1n ö
Đặt
ç
÷
A =ç............... ÷
ç
÷
ça ........a ÷
mn ø
è m1
A: được gọi là ma trận hệ số của các ràng buộc.

æ
æ
æ
x1 ö
c1 ö
b1 ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç. ÷
ç. ÷
ç. ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
x =ç. ÷; x j ³ 0; c =ç. ÷; b =ç. ÷
ç ÷

ç ÷
ç ÷
ç. ÷
ç. ÷
ç. ÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çx ÷
çc ÷
çb ÷
è nø
è nø
è mø
17


Tìm các giá trị tối ưu

T

ù sao cho các hàm mục tiêu :
x =é
x
,......,
x
ë

û
'

'
1

n

'
n

Z =c.x =å c j .x j ® max
j =1

Với các ràng buộc :

ìï A .x =b
í
ïî x ³ 0
18


2. Dạng chuẩn ( standard) ràng buộc ở dạng bất
đẳng thức.
Tìm sao cho:

z =c.x ® max
Với các ràng buộc :

ìï A .x £ b

í
ïî x ³ 0
19


IV Đưa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng
chính tắc.
1/ Thêm vào các biến phụ

w =[ xn +1 ,....., xn+m ]

T

Khi đó Ax ≤ b ⇒ A.x + E.w = b; E: ma trận đơn vị
Thí dụ:
ì x1 + x2 £ 18
ì x1 + x2 + x3 =18
ï
ï
ï 0, 5.x1 + x2 £ 12
ï 0, 5 x1 + x2 + x4 =12
ï
ïï
ïï x1 £ 12
® í x2 + x6 =9
í
ï x2 £ 9
ï
ï
ï x j ³ 0; j =1 ¸ 6

ï x1 ³ 0 : x2 ³ 0
ï
ï
ï Z =4 x1 + 6 x2 + 0 x3 +... + 0 x 6
î
ïî Z =4 x1 + 6 x2
20


2. Nếu ràng buộc ở dạng A.x ³ b nhân hai vế với (-1)
n

- å aij .x j £ - bi
j =1

Khi đó ta có

A1.x £ B1
3. Ràng buộc đẳng thức ràng buộc A.x = b có thể thay bằng ràng
buộc bất đẳng thức A.x £ b và - A.x £ - b

21


4 Quan hệ giữa bài toán min và bài toán max.
Trong bài toán min : z =c.x ® min
Đặt z1 =- c.x ® max
Gọi x* là trạng thái tối ưu củaZ1 và - c.x* =max( Z ) khi đó
1
*

- c.x ³ - c.x
Chứng tỏ

x

*cũng

hay

*

c.x £ c.x

là trạng thái tối ưu của của bài toán min

22


5. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Phương pháp này được dùng khi số biến số £ 3
5.1 Bài toán phẳng
Thí dụ:
T
*
*
*
Tìm x =éx , x ù sao cho
ë 1 2û
Các ràng buộc:

Z =c1 x1 + c2 x2 ® max

ì a11.x1 + a12 .x2 £ b1
ïï
í a21.x1 + a22 .x2 £ b2
ï
ïî x1 ³ 0, x2 ³ 0
23


Giải
Vẽ miền nghiệm chấp nhận được ( miền D mà x thỏa mãn các ràng buộc
hình 2.1 ):
+ Nếu ràng buộc là đẳng thức thì miền chấp nhận được là điểm A, giao
điểm của đường N M và N M .
2
2
1 1
+ Nếu là bất đẳng thức thì miền chấp nhận được là hình AN OM bao
1
2
gồm cả biên AN , AM .
1
2
24


* Vẽ các đường cùng mục tiêu ( đường mức):
+ Cho một giá trị cụ thể Z =Z Vẽ đường :

0

z0 c1
x2 = .x1
c1 c2
Thay đổi giá trị ta nhận được các đường song song. Trên mỗi
0
đường
, hàm Z
mục
tiêu có cũng giá trị. Giá trị
càng lớn thì
x2 xa 0.
Z0
đường càng

25