On thi cap toc (10 buoi)

ôn thi đại học cấp tốc

Chuyên đề số 1: Khảo sát
hàm số và ứng dụng

y=

1 3
1
x + mx 2 2 x 2m
3
3

(1)

1) Cho m =1/2 Khảo sát sự biến thiên của đồ
thị của hàm số , Viết phơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng D:
y=4x+2
2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các
đờng thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích
bằng 4
Bài 6: Cho hàm số

Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu
hỏi phụ

Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp khảo sát hàm số

Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu
nội dung 3 bài toán tiếp tuyến
Bài toán sự tơng giao giữa các đồ thị của
hàm số, điều kiện để 2 đờng cong tiếp xúc
x 2 + 2mx + 1 3m 2
Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa
y=
(1)
thức, hàm phân thức phơng trình đờng thẳng
xm
đi qua các điểm cực trị
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến
số m=1
hay nghịch biến trên một khoảng hay một
2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về
đoạn
2 phía của trục tung
Các ví dụ
Bài 7: Cho hàm số
Bài 1: Cho hàm số
x 2 + (m + 2) x m
2
2
y=

x + 5x + m + 6
x+3

y=

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số m=-1
2) Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y=x
Bài 8: Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số với m = 0
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(1;+)
Bài 2:
Cho hàm số
x 2 2x + 2
x 1

y=

y=

(1)

x 2 2mx + 2
x 1

x +1
x 1

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
2) Tìm m để đờng thẳng D:y=2x+m cắt (C )
tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến
của (C ) tại A, B song song với nhau
3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho
khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đờng
tiệm cận là ngắn nhất
Bài 9: Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số
2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và
đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y+4=0
Bài 3: Cho hàm số
y=

(1)

x +1

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
2x 1
y=
(1)
số khi m=1
x 1

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B 1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
. CMR khi đó đờng thẳng AB song song
số
với đờng thẳng 2x-y-10=0
2)
Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận ủa (C )
Bài 4: Cho hàm số
Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
tại M vuông góc với dờng thẳng IM
y = ( x m) 3 3 x (1)
Bài 10: Cho hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
y = x 4 2m 2 x 2 + 1 (1)
2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
điểm có hoành độ x=0
số khi m=1
3) Tìm k để hệ sau có nghiêm
2)
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm
x 1 3 3x k < 0
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông

cân
1
1
2
3
Bài

11 Cho hàm số
log x + log ( x 1) 1

2

2

3

2

y=

Bài 5: Cho hàm số

1

x+2
x +1

(1)


ôn thi đại học cấp tốc
Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ đợc 2
HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2
tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tơng ứng Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
nằm về 2 phía đối với trục Ox
trên [-/2; /2]
HD a# -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt

2 + 2 sin 2 x = m(1 + cos x ) 2
Y1.y2<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm

Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm
y = 2 sin 8 x + cos 4 2 x
số

HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm

Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tìm GTLN,GTNN trên một
khoảng, một đoạn
Xác định tham số để các phơng trình hoặc
bất phơng trình có nghiệm VD
F(x)=m m thuộc [MaxF(X);
minF(x)]
F(x)>m với mọi x . .<=>
mF(x)>m có ngiệm . .<=>
mChú y khi đổi biến phải tìm ĐK của biến
mới có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;2]
y=

y = 2 x + 2 x (4 x + 4 x ) voi 0 x 1

HD : 3 và 1/27

Bài 3: Tính giới hạn của hàm số,
tính đạo hàm bằng định nghĩa
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp tính giới hạn của hà số: các
dạng vô định
Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên
tục bên trái liên tục bên phải
Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm
bên trái bên phải
Các ví dụ
Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số

x +1

3
1) Tìm giới hạn I = lim x + 1 + x 1

x +1
2

x

x 0

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên

3 2

x +7
2) Tìm giới hạn I = lim 5 x
2

2
đoạn [1;e3] y = ln x
x

x 1

x 1

2
3) Tìm giới hạn I = lim 3 x 1 + 2 x + 1
3

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên
đoạn [-1;1] y = x 6 + 4(1 x 2 ) 3
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]

2

1 cos x
1 + 2 x 3 1 + 3x
I = lim
x 0
x2
x 0

(1 + 2 x).(3 x ) > m + (2 x 2 5 x + 3)

3
2
4) Tìm giới hạn I = lim 1 + 2 x 1 + x

HD Đặt t= (1 + 2 x).(3 x) Từ miền xác

sinx
2 + x 3 x + 20
I = lim
4
x 7
x+9 2
x 0

7 2
đinh của x suy ra t 0;

4


Biến đổi thành f(t)=t2+t>m+2
Tìm miền giá trị của VT m<-6
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau
thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]

5) Tìm giới hạn
I = lim

x 4

a.( x 2 + x 1) ( x 2 + x + 1) 2

HD Đặt t=x2+x dùng miền giá trị suy ra
a=-1
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm

I = lim

x

I = lim

x

x2 + x +1 + x2 x +1 = m

HD -1Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có
nghiệm với mọi x

I = lim

x 3

3 cos 4 x 5. cos 3 x 36.sin 2 x 15 cos x +
36 + 24m 12m 2 0

2

9x2 + 2 3 6 x2 + 5
16 x + 3 8 x + 7
4

5

x2 + 2x + 3
3

x3 x 1

4

DS 1

x 2 + 2 x + 3x
4x2 + 1 x 2
4 x 2 + 3x 7
27 x 3 + 5 x 2 + 4 + x

DS

3
2


ôn thi đại học cấp tốc

6) Tìm giới hạn

(
I = lim (
I = lim (
I = lim

x2 5x + 6 x

x

3

x

x

I = lim

x

3

(

I = lim x.
x +

e x 4 + 1( x 2)
4) Cho f ( x) =

Tìm a,b để hàm
ax + b( x < 2)
2

)

)

số cá đạo hàm tại x=2

x 3 + 3 x 2 x 2 2 x tach lam 2 chen them x
x + x x +1
3

2

2

)

4x2 + 7 x +1 4 x2 + 8x +1

(

x2 + 1 x

)

( x + 1).e x
5) Cho f ( x) = 2

-x -ax+1

x 0

)

( x + a ).e bx
6) Cho f ( x) = 2
ax +bx+1

8) Cho hàm số f ( x) =

3x 1

CMR hàm

Tình đạo hàm của hàm số tại x=0

Bài tập áp dụng
1) Cho hàm số
a)

mx 2 + x + m
y=
x 1

(1)

x 2 2x + m
y=

x2

(1)

Khảo sát sự biến thiên của đồ thị
của hàm số m =-1
b)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
dơng
2) Cho hàm số

x6 6 x + 5
8) Tìm giới hạn I = lim
x 1
( x 1) 2
x 0

x2 2 x + 3

ecos x cos3 x 1
khi x 0

9) Cho f ( x) =
x
0 khi x = 0


3

9) Tìm giới hạn

khi x 0

số liên tục tại x=-3 nhng không có đạo
hàm tại x=-3

1 cos 2 2 x
x 0
x.sin x
tgx sin x
I = lim
x 0
7) Tìm giới hạn
x3
1 cos x.cos 2 x.cos 3 x
I = lim
x 0
1 cos x

sin x
3

I = lim
1 2.co s x
x

3

khi x<0

Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2

I = lim

I = lim

khi x 0

Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0

2 1 + cosx
tg 2 x

I = lim

khi x>0

x2 + 1 1
x2

x 2 + 3 1 x + x2
I = lim
x 1
x2 1
3

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi m=1

b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến
trên đoạn [-1;0]
c) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2
1 2 x 3
khi x 2

f ( x) = 2 x
1 khi x = 2


91+

2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

1t 2

( a + 2).3t +

1t 2

+ 2a + 1 = 0

3) Cho hàm số y = x 4 mx 2 + m 1 (1) Tìm
m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt
4) Cho hàm số

1 cos 4 x
khi x<0

x
.sin
2
x
f ( x) =
x+a khi x 0
x+1

y=

3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

x 2 + 3x + 3
2( x 1)

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Xác định m để đờng thẳng y=m cắt đồ
thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho
AB=1
5) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

khi x=0
a

f ( x) = cos x cos 2 x
khi x 0

x2

3


ôn thi đại học cấp tốc
m( 1 + x 2 1 x 2 + 2) =
= 2 1 x + 1+ x 1 x
4

2

7)

(1)

y=

x3

2
13) Cho hàm số y = x 2 x + 9

x 2 + (m + 1) x + m + 1
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số
b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt
đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận
A(5,10) là trung điểm
14)Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

(1)

x + (2m + 1) x + m + m + 4
2( x + m)

y = x + 4 x2
2
15) Cho hàm số y = x + 3 x 4

2

2 2x

(1)

2
9) Cho hàm số y = x 2 x + 2

2
16)Cho hàm số y = 2 x + x + 1

x +1

a. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số
b. Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C )
và đối xứng nhau qua đờng thẳng x-y4=0
10) Cho hàm số

y=

x +1

x 2 (5m 2) x + 2m + 1
x 1

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số m=1
b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng
cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5

(1)

Tìm trên đờng thẳng y= - 2 các điểm từ đó
nhìn đờng cong dới một góc vuông
ĐS M(55/27;-2)
2
11) Cho hàm số y = x x 1

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số
b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc
(C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ
thuộc vào vị trí của M
17)Cho hàm số

(1)

x 1

(1)

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau
qua đờng thẳng y=x

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số
b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của
đồ thị của hàm số

y = x 2 3x 2 + 2

(1)

x2

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số khi m=1
b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn
luôn có điểm cực trị và khoảng cách
giữa 2 điểm đó bằng 20
8) Cho hàm số
2

0

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly
viét m=20/9

Cho hàm số
y=

x4

Strên= Sduói<=> f ( x) dx = f ( x)dx

2

6) CMR phơng trình sau có 1 nghiệm
x5 x 2 2x 1 = 0

x3

Chuyên đề số 2: Đại số

(1)

đại số

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của
hàm số khi
b) Một đờng thẳng thayđổi song song với
đờng thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm
số đã cho tại M,N .Tìm quỹ tích trung
điểm I của MN
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm
phơng trình

Bài 1: Hệ phơng trình phơng trình

Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất : cách tính định
thc
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1 :hệ không
thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: nếu trao
đổi vai trò của x và y thì phơng trình này
2
trở thành phơng trình kia và ngợc lại
x (1 + m) x m 1 = 0
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2 : Xét 2 trờng hợp sau đó đặt x=t.y
12) Cho hàm số y = x 4 4 x 2 + m (1)
5) Một số hệ phơng trình khác
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm
Các ví dụ
phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện

xy ( x + 1)( y + 1) = m
tích phần phía trên và phần phía dới đối với
1) Cho hệ phơng trình
2
2
trục hoành bằng nhau
x + y + x + y = 8
HD: ĐK cắt 0a) Giải hệ khi m=12
x2, x3, x4, là nghiệm
b) Tìm m để hệ có nghiệm
4


ôn thi đại học cấp tốc
1 1
+ =a
2) Cho hệ phơng trình x y
x2 + y 2 = a2 + 2


2
a2
2 x = y +
y


2
2 y 2 = x + a

x
x = y
HD: 3
2
2
2 x x = a
xét f ( x) = 2 x 3 x 2 lập BBT suy ra KQ

Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm
phân biệt

x 2 xy + y 2 = 1
3) Cho hệ phơng trình 2
2
x 3 xy + 2 y = m

Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 6:

x + y = a
4) Cho hệ phơng trình 2
2
2
x + y = 6 a

x + 2 y = 2

y + 2 x = 2

a) Giải hệ khi a=2
b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y)
là nghiệm của hệ

HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
xy + x 2 = a ( y 1)
Bài 7:
xác định a để hệ có
xy + y 2 = a ( x 1)

( y + 1) = m + x
2

5) Cho hệ phơng trình

( x + 1) 2 = m + y

nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
x + 2 y = 2

xy 10 = 20 x 2 (1)
Bài 8:
xy = 5 + y 2 (2)

6)

y + 2 x = 2

x + 1 + y + 1 = 3
7)
x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 = m

5 + y2 5
= +y
y
y
5
Cô si x = + y 2 5
y

HD : Rut ra x =

a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:

x 2 20 theo (1) x 2 20 suy ra x,y
3 x y = x y (1)

Bài 9:
(KB 2002)
x + y = x + y + 2


y2 + 2
3 y =
x2

(KB 2003)

2
3 x = x + 2

y2

HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung
(1;1) (3/2;1/2)

HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô
nghiệm
Bài 3:

x + 1 y + 2 = a
Tìm a để hệ có
x + y = 3a

Bài 10:

nghiệm
HD: từ (1) đặt u = x + 1, v = y + 2 đợc
hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc
hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu

2 x y + xy = 15
3

8 x + y 3 = 35
2

2

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
x 3 3x = y 3 3 y


x 6 + y 6 = 1 (2)


Bài tập áp dụng
6 x 2 xy 2 y 2 = 56
1) 2
2

(1)

5 x xy y = 49

x 2 + x = y 2 + y
2) 2 2

x + y = 3( x + y )

HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

f ( t ) = t 3 3t trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm
duy nhất

KD 2003

( x 2 + 2 x)(3 x + y ) = 18
3) 2
x + 5 x + y 9 = 0

5


ôn thi đại học cấp tốc
Phơng pháp hàm số
x y = 7( x y )
2)
Phơng trình ,bất phơng trình chứa giá trị
4) 2 2
tuyệt đối
x + y = x + y + 2
A < B A2 < B 2
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
3

5)

3

xy y 2 = 12

2
x xy = 26 + m

A > B
A >B
A < B
A < B B < A < B

Tìm m để hệ có

nghiệm

3) Phơng trình ,bất phơng trình chứa căn thức
Liệt kê các dạng
Một số ví dụ
Bài 1: Tìm m để ( x + 1)( x + 3)( x 2 + 4 x + 6) m
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm
đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2
Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm

( x y ) 2 . y = 2
dặt t=x/y có 2 nghiệm
3
x y 3 = 19

6)

x( x + 2)(2 x + y ) = 9

7)

2
x + 4x + y = 6

đặt X=x(x+2) và

Y=2x+y

x+ y x y =2
8)

(1)

x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 4

đổi biến

x + y 2

y + x + 2 x ( y 1) + a = 2

theo v,u từ phơng trình số (1)
1 + x 3 y 3 = 19 x 3
9)
Đặt x=1/z thay vào đợc
2
2

HD:

y + xy = 6 x

hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)

x + y 2
(1)


( x 1) 2 +( y 2) 2 =a +1


( 2)

TH1: a+10 Hệ vô nghiệm
TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là đờng tròn
còn
(1) là miền gạch chéo : a-1/2
10)
Bài 3: Giải các phơng trình ,bất phơng trình
sau
1) 8 x 2 6 x + 1 4 x + 1 0
HD: x=y V xy=-1
CM x 4 + x + 2 = 0 vô nghiệm bằng cách 2) x + 4 1 x = 1 2 x : x=0
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
3) 2( x 2 2 x) + x 2 2 x 3 9 = 0 x = 1 5
2
( x + 1) = y + a
11)

xác định a để hệ có
2
2
4)
tích 2 nhân
2
1
1

x x = y y
(KA 2003)

2 y = x 3 + 1


( y + 1) = x + a

nghiệm duy nhất
và đủ

12)

x x 1 + x + x 1 = 2

tử bằng 1 suy ra cách giải

HD sử dụng ĐK cần

5) ( x 2 3 x) x 2 3x 2 0 KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm

2x
2y
+
=3

HD bình phơng 2 vế
x
y
x y + xy = 3


x 2 + 10 x + 9 0
ĐS m>=4
2
x 2 x + 1 m 0

Bài 5: Giải bất phơng trình

x
y
7
+
=
+1

x
xy
13) y
HD nhân 2 vế

x xy + y xy = 78
của (1) với xy

HD

2 x 1 2 + x > x 2

nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK

Bài 6: Giải bất phơng trình
3 x+

Bài 2: Phơng trình và bất phơng trình
phơng trình đại số

3

< 2x +

1
7
2x

2 x
Một số dạng phơng trình và bất phơng trình HD Đặt t = x + 1 , t 2 AD BĐT cô si suy
thờng gặp
2 x
1) Bất phơng trình bậc hai

ra ĐK

Định ly về dấu của tam thức bậc hai

Bài 7:

6

Giải bất phơng trình


ôn thi đại học cấp tốc
x

2

(1 + x + 1) 2

HD

Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác

> x4

Một số kiến thức cần nhớ

Các công thức biến đổi lợng giác
Xét 2 trờng hợp chú y DK x>=-1
Trong trờng hợp x>=4 tiến hành nhân và chia Một số dạng phơng trình cơ bản
cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Phơng trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số lBài 8: Cho phơng trình

ơng giác
Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với
sinx,cosx: asinx+bcosx=c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx:
a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx:
a.sin3x+b.sin2x.cosx+
c.sinx.cos2x+d.cos3x=0
a.sin3x+b.sin2x.cosx+
c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0
Phơng trình đối xứng với sinx,cosx a.
(sinxcosx)+b.sinx.cosx+c=0
Phơng trình đối xứng với tgx,cotgx
Phơng trình đối xứng với sin2nx,cos2nx
Các ví dụ

x + 9 x = x + 9x + m
2

Tìm m để phơng trình có nghiệm

HD

Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ

Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)

2( x 2 16)
7x
+ x3 >
x3
x3

Bài tập áp dụng

x 2 + y 2 + 2x 1
1)
Tìm a để hệ có nghiệm
x y + a = 0

duy nhất. Tìmnghiệm duy nhất đ
ĐS a=-1 và a=3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

Bài 1:

cos x + + cos x +
= (sin x + 1)
3
3 2



x + 4 + x 4 = 2 x 12 + 2 x 2 16

HD: Sử dụng công thức hạ bậc

1 + 2. cos(2 x + ). cos = sin x

4) x + 12 x 3 + 2 x + 1
5) 2(1 x) x 2 + 2 x 1 = x 2 2 x 1

ĐS 3 họ nghiệm
Bài 3:

HD đặt t = x 2 + 2 x 1 coi là phơng trình
bậc hai ẩn t

6)

( x 1) x + (2 + x) x = 2 x 2

7)

x + 2 x 1 + ( x 2) x 1 =

HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2
nhóm

x+3
2

Bài 4:

x + 4 x 4 + x + x 4+ = m

a)Giải phơng trình khi m=6

b)Tìm m để phơng trình có nghiệm

10)

3

sin 2 x sin 2 2 x
+
=2
sin 2 2 x sin 2 x

8) Cho phơng trình

9)

2. cos 4 x
sin 2 x

HD: đặt ĐK x= pi/3 +k.pi
Bài 2:

2 1
2
2

4 x 2 + 16 4 x m

3)

cot gx = tgx +

sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x. cos 3 x
1
=


8

tg x .tg x +
6
3


HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS x=-pi/6+k.pi
Bài 5:

51 2 x x 2
<1
1 x

3 tgx(tgx + 2. sin x ) + 6. cos x = 0

HD: Biến đổi theo sin và cos

x 2 + 3x 4 2 x + 3 + 2 = 0

3. cos 2 x (1 + 2 cos x ) sin 2 x(1 + 2 cos x) = 0

11) Tìm a để với mọi x

ĐS x= pi/3+k.pi
Bài 6:

f ( x ) = ( x 2) 2 + 2 x a 3 ĐS a>=4 V a<=0

Chuyên đề số 3: Lợng giác
7


ôn thi đại học cấp tốc
Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN

y

3.tg 2 + 6 sin x = 2 sin( y x)

tg y 2 sin x = 6 sin( y + x)
2

y = 2. sin 8 x + cos 4 2 x

HD: t=cos2x, -1t1 tìm Max,Min trên
1 đoạn f , ( t ) = 0 8t 3 = (t 1) 3
M=3 m=1/27
Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN

HD: nhân (1) với (2) rút gọn
tg 2

y
= 4 sin 2 y
2

y
2

đặt t = tg 2

t=0, t= can 3
Bài 7:

y = cos 4 x + sin 4 x + sin x. cos x + 1

Bài 5: Cho phơng trình

2.(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4 x + 2 sin 2 x + m = 0

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện
1
. sin 3x + 1 + cos x thuộc đoạn [0; pi/2]
2
HD: [-10/3;-2]
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn
2 sin x + cos x + 1
Bài 8:
Bài 6: Cho phơng trình a =
sin x 2 cos x + 3
1

cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x + cos 5 x =
1) Giải phơng trình khi a=1/3
2
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
cos 3x. sin 2 x cos 4 x. sin x =

HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng

HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)
3
2 x
2

T = cos x + cos 2 x + .. + cos nx
thực hiện rút gọn
T = sin x + sin 2 x + .. + sin nx

4 sin

bằng cách trên
Bài 9:

Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Công thức cần nhớ

HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)
Bài 10
9

cos
x
2


3. cos 2 x = 1 + 2 cos x

4


Bài 3: Hệ thức lợng trong tam giác

tgx. sin 2 x 2. sin 2 x = 3(cos 2 x + sin x. cos x)

log

2

.4. log sin 2 x 2 = 4
log sin x 2
=4
log sin x (sin x ) 2

SinA + SinB = 2 Sin

A+ B
A B
.Cos
2
2

Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng
trình có tham số

SinA SinB = 2Cos

A+ B A B
in
2
2

HD: 2 log sin x .2.

Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp hàm số: Bài toán Max,Min
trên 1 khoảng và một đoạn
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh
giá
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN
y=

3. cos x + 4 sin x
3. sin 4 x + 2 cos 2 x
4

2

HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn
M=8/5 m=4/3
Bài 2: Cho phơng trình
cos 2 x = m. cos 2 x 1 + tgx

1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc
đoạn [0; pi/3]
HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]

CosA + CosB = 2Cos

A+ B
A B
.Cos
2
2

CosA CosB = 2 Sin

A+ B
A B
. sin
2
2

SinA.SinB =

1
[ Cos( A B) Cos( A + B)
2

SinA.CosB =

1
[ sin( A B) + Sin( A + B)
2

CosA.CosB =

1
[ Cos( A B) + Cos( A + B)
2

]

*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ

Lập BBT f(t) ĐS m (1 3) 1 + 3 ;1


8

]

]

ôn thi đại học cấp tốc

CMR tgB.tgC = 3 Và Cos(B-C) = 2CosA

A
B
C
Cos Cos
2
2
2

SinA. + SinB + SinC = 4Cos

CosA. + CosB + CosC = 1 + 4 sin

HD: xuất phát: tg ( B + C ) =

A
B
C
sin sin tgA
2
2
2

Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC
(*)

+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC
cot g
tg

tgB + tgC
đpcm
1 tgB.tgC

Mà cos(B-C) =2.cos[ ( B C ) ] khai triển suy ra

A
B
C
A
B
C
+ cot g + cot g = cot g . cot g . cot g đẳng thức (*)
2
2
2
2
2
2 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có
Bài
1
1
1
+
+
=

sin A sin B sin C
1 A
B
C
A
A
A
tg + tg + tg + cot g cot g cot g

2 2
2
2
2
2
2
HD: thay

A B
B C
C A
.tg + tg .tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2 2

cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1
Sin 2 A. + Sin 2 B + Sin 2 C = 2 + 2CosACosBCo sC
Cos 2 A. + Cos 2 B + Cos 2 C = 1 2 sin A sin B sin C

Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC

cot g

Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC

A
B
C
A
B
C
. cot g . cot g = cot g + cot g + cot g
2
2
2
2
2
2

áp dụng công thức nhân đôi

Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR

Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có

A B
B C
C A

tg .tg + .tg tg + tg tg . = 1...
2
2
2 2
2 2

Sin 2 A. + Sin 2 B + Sin 2 C =
2 sin B sin CCosA + sin C sin A cos B + 2 sin A sin B cos C
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
Thoả mãn đk 4A=2B=C. CMR:

Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

tgA + tgB + tgC 3 3

1 1 1
= +
a b c

dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng bđt cosin

5
4
Bài 9:CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:

tgA + tgB + tgC 33 tgA.tgB.tgC

Cos 2 A. + Cos 2 B + Cos 2 C =

lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc
đpcm.

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có

r
= cos A + cos B + cos C
R
Bài 10:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
1+

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A)
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B
+ Cos(A-B).cosC + cos2C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos2A,
cos2B, cos2C suy ra đpcm.

A
a
=
, CMR tam giác ABC cân
2 2 bc
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
Sin

tgA .tgB = tg

Bài 4:CMR với mọi tam giác ABC ta có

A
B
tg
2
2

CMR tam giác ABC cân
1 Cos A. Cos B Cos C = 2.CosACosBCosC (1Bài
) 12CMR nếu tam giác ABC có
2

2

2

Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi

b+c
thì tam giác vuông
a
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,
AB=c
cos B + cos C =

Sin 2 A. + Sin 2 B + Sin 2 C < 2
Bài 5:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

2tgA=tgB + tgC

9


ôn thi đại học cấp tốc
Bài 24: tg 6 A + tg 6 B + tg 6 C = 81

CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và

bc
BC
= tg
b+c
2
Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn
đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
chỉ khi

A
B
C
A
B
C 1
cos . cos . cos sin .sin .sin =
2

2
2
2
2
2 2

CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
1
1
1
+
+
2 + cos 2 A 2 + cos 2 B 2 cos 2C
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
M =

P = 3 cos B + 3(cos A + cos C )

Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:

a 2 (b + c a ) = b 3 + c 3 a 3 (1)

2a + b
1 + cos C
( 2)
=
sin C
2
2
4
a

b


2 cos B. sin B. sin C + 3 (sin A + cos B + cos C ) =
Hỏi tam giác ABC là tam giác gi? CM?

17
4

Bài tập áp dụng

CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:

1) cos x. cos 2 x. cos 3x sin x. sin 2 x. sin 3 x =

1
1

2

+
3 cot gB + cot gC
sin A sin C

CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk

1
2

2) sin x + 3. cos x + sin x + 3. cos x = 2
5



3 sin 2 (3 x ) + 2 sin
+ x . cos + x
2

2

3)

2 3

A
B
C
5 sin
+ x = 0

+ sin + sin CMR
2
2
2
2

1
1
tam giác ABC là tam giác đều
4) 2. sin 3 x
= 2. cos 3x +
sin x
cos x
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ
1 cos 2 x
5) 1 + cot g 2 x =
sin 2 2 x
2 A
2 B
2 C
thức: Cotg
. + Cotg
+ Cotg
=9
chú y ĐK x=-pi/4+k.pi/2
2
2
2
6) cos 2 x + cos x(2.tg 2 x 1) = 2
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có

7) 3 cos 4 x 8 cos 6 x + 2 cos 2 + 3 = 0
A
B
C
sin A + sin B + sin C = cos + cos + cos (2 3 ) cos x 2 sin 2 x + sin 3 x


2
2
8)2
2 4
=1
thì tam giác đều
2 cos x 1
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
9) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
Một số đề thi từ năm 2002
CMR tam giác đều
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 ) của phBài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
ơng trình
CosA. + CosB + CosC = sin

cos 3x + sin 3x

5 sin x +
= cos 2 x + 3 KA
1 + 2 sin 2 x

A
B
C 1
1
1
cot g . cot g . cot g
+
+

2
2
2 cos A cos B cos C
2
2
2

= cot gA + cot gB + cot gC

2002
2) Giải phơng trình
1 + tg 4 x =

Bài 23: tg A + tg B + tg C 9tgA.tg B.tg C
8

8

8

2

2

10

( 2 sin 2 2 x) sin 3 x (DB 2002)
cos 4 x


ôn thi đại học cấp tốc
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2 ) của ph- 16)Giải phơng trình
cos 2 x ( cos x 1)

2
ơng trình cot g 2 x tgx + 4 sin 2 x =
sin 2 x

KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng [ 0;14]
của phơng trình
cos 3 x 4 cos 2 x + 3cos x 4 = 0 KB 2003
5) Xác định m để phơng trình

(

)

2 sin x + cos x + cos 4 x + 2sin 2 x m = 0

4

4


có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
(DB 2002)
6) Giải phơng trình

cos x + sin x

2003)

17)Giải phơng trình cot gx = tgx +
(DBKD 2003)
18)Giải phơng trình
19)Giải phơng trình

( 2 cos x 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x sin x

(KB 2004)

Chuyên đề số 4: Mũ
Lôgarit

2002)
7) Giải phơng trình

tgx + cos x cos x = sin x 1 + tgx.tg


2002)

x
ữ (DB
2

2sin x + cos x + 1
= a (1)
sin x 2 cos x + 3
1
a) Giải phơng trình (2) khi a =
3

8) Cho phơng trình

b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
9) Giải phơng trình
2002)
10)Giải phơng trình
cot gx 1 =

1
= sin x (DB
8cos 2 x

cos 2 x
1

+ sin 2 x sin 2 x (KA
1 + tgx
2

2003)
11) Giải phơng trình

3 tgx ( tgx + 2sin x ) + 6 cos x = 0 (DBKA

2003)
12)Giải phơng trình

(

)

Bài 1: Phơng trình và hệ phơng trình
Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK
Các ví dụ
Bài 1: Cho phơng trình
log 32 x + log 32 x + 1 2m 1 = 0

1) Giải phơng trình khi m=2
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một
nghiệm thuộc 1;3 3
HD: m thuộc [0;2]

[

3cos 4 x 8cos 6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0 (DBKB

log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5

2 cos x 1

2003)
15)Giải phơng trình
2
2 x

2

x
ữ
2 4 = 1 (DBKB

đs (4,4)

2 log 4 x + log 2 y = 4
1
1
Bài 3: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x 1) 8 = log 2 (4 x)
2
4

HD: ĐK x>0 Và x1

ĐS x=2 , x = 2 3 3
Bài 4: log 5 x. log 3 x = log 5 x. + log 3 x

2003)
14)Giải phơng trình

( 2 3 ) cos x 2sin

]

Bài 2:

cos 2 x = cos x 2tg 2 x 1 = 2 (DBKA 2003)

13)Giải phơng trình

2sin 4 x
sin 2 x

5sin x 2 = 3 ( 1 sin x ) t g 2 x (KB 2004)

sin 4 x + cos 4 x 1
1
(DB
= cot g 2 x
5sin 2 x
2
8sin 2 x

2

= 2 ( 1 + sin x ) (DBKD

HD: dổi cơ số x=1 va x=15
log ( xy )

= 3( xy ) log 2 3
9 2

Bài 5:
Bài 6:

2
2

x + y = 3 y + 3 x + 6

2 log 3 ( x +1) = x

x
HD: ĐK x>-1
sin ữ.tg x cos 2 ữ = 0 (KD 2003)
TH1: -12 4
2

TH2: x>0 dặt y=log3(x+1)

11

ôn thi đại học cấp tốc
y

log x (log 3 .(9 x 27)) 1

y

Suy ra 2 + 1 = 1 PP hàm số

3 3
x2 +1
= 3 x 2 2 x 3
Bài 7: log 2
x

Bài 5:
log log 2 ( x + 2 x 2 x ) < 0

2 = 5 y 4 y

Bài 8: 4 x + 2 x +1
ĐS (0,1) (2,4)
=
y
x
2 +2

HD
đặt t bằng log của x coi là phơng trình

bậc 2 ẩn t
Chú y so sánh 2 trờng hợp t1,t2
ĐS (0;2] v (x>=4)
1
3
Bài 7: Giải bất phơng trình 2 x 2 log x 2 2 log x
Bài 8: Giải bất phơng trình

4

2

2

Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
thuộc [32, +)

(

)

log x + log 1 x 3 = m log 4 x 3
2
2

2

2

log y

2

log 1 ( x + 3) 2 log 1 ( x + 3) 3

m > 0, m 1

1< m 3
1 + 3m 2
=t
2
m 1

Bài 10

2

2

2

HD: t >=5

]

Bài 6:
( x +1) log 21 x +( 2 x +5) log 1 x +6 0

HD: VP <= 1 với x>0 BBT
VT >=1 Côsi trong loggrit

ĐS x=1
3x

[

xy = log x y

2

>0

3

x +1

Bài 9: Giải bất phơng trình
1
1
<
2
log 4 ( x + 3 x) log 2 (3 x 1)

Bài tập áp dụng

2 x + 2 y = 3

HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vào (2) có nghiẹm
1

TH2: x = 2 thay vào (2) CM vô nghiẹm
y

chia thành 2 miền y>1 và 0
Bài 2: Bất phơng trình và hệ bất phơng
trình Mũ lôgarit

x3 1
3
1) log 3 . log 2 x log 3 = + log 2 x
x
3 2

2) 9 x

2

2 x

1
2
3

2 x x2

3

3) 2( log 9 x ) 2 = log 3 x. log 3 ( 2 x + 1 1)
x 4 y + 3 = 0

ĐK x,y>=1(1,1)(9,3)
log 4 x log 2 x = 0

4)

Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và
log x ( x 3 + 2 x 2 3 x 5 y ) = 3
logarit
5)
Chú y ĐK
3
2
log y ( y + 2 y 3 y 5 x ) = 3
Các ví dụ
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm
1

x 1 3 3x k < 0

1
1
2
3
log 2 x + log 2 ( x 1) 1
3
2

HD: ĐK x>1
Giải (2) 1

BBT f(x)=(x-1) mu 3 -3x ĐS k > -5
Bài 2:
log 1 x + 2 log 1 ( x 1) + log 2 6 0

Bài 3:

2

2. x

4

1
log 2 x
2

2. x

3
log 2 x
2

log 1 ( y x ) log 4 ( y ) = 1

6)

4

KA 2004 (3,4)

y 2 + x 2 = 25

7) log 2 (2 x + 1). log 2 (2 x +1 + 2) = 6

ĐS x=log23
Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 x 3
2
log
( x 2 x +3) 0 , 5 x +4 >1

2

x ( a +1) x +a 0
HD: a>3/2
9) log x [log 3 (9 x 6)] =1
8)

Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Bài 4:

12


ôn thi đại học cấp tốc
2) Với m=4 hãy viết phơng trình đờng vuông
2
2
góc với (D) 3x-4y+10=0 và cắt đờng tròn
log 3 ( x + 2 x + 1) = log 2 ( x + 2 x )

tại 2 điểm A,B sao cho AB=6
x 2 + y = y 2 + x
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) có đỉnh
11) x + y
là gốc toạ độ và đi qua A(2;2 2 ) Đờng thẳng
2 2 x 1 = x y
(d) đi qua I(5/2;1) cắt (P) tại M,N sao cho
( x 4 + y ).3 y x = 1
MI=NI Tính độ dài MN
12)
Bài 7: Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
8( x 4 + y ) 6 x y = 0
cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích
bằng 4 Biêt A(1;0) B(2;0) và giao điểm I của 2
13) Tìm m để phơng trình
đờng chéo AC và BD nằm trên y=x Hãy tìm
2
4 log 2 x log 1 x + m = 0 có nghiệm
toạ độ dỉnh C,D
Bài 8: Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
2
cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0) AB:
thuộc khoảng (0;1)
x-2y+2=0 và AB=2CD Tìm toạ độ các đỉnh
biết rằng điểm A có toạ độ âm
Bài 9: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho đờng thẳng d : x y + 1 2 = 0 và điểm A(1;1) . viết phơng trình đờng tròn đi qua điểm
A, qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đờng
Bài 1: Hình học giải tích trong thẳng (d)
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đềcác
mặt phẳng

vuông góc Oxy cho đờng thẳng d:x-y+1=0 và
Một số kiến thức cần nhớ
đờng tròn (C):x2+y2+2x-4y=0 Tìm toạ độ điểm
Các ví dụ
M thuộc đờng thẳng d mà qua đó kẻ đợc 2 đBài 1: Cho tam giác vuông ABC tại A và A,B ờng thẳng tiếp xúc với (C ) tại A,B sao cho góc
thuộc trục hoành, BC:x-y-2=0. Xác định toạ
AMB=60 độ
độ trọng tâm G của tam giác biết bán kính đ- Bài 2: Hình học giải tích trong không
ờng tròn nội tiếp là 3
gian
HD: Xác định đợc toạ độ B
Một số kiến thức cần nhớ
o Biểu thị toạ độ C(m,n) : m-n-2=0
Các ví dụ
o A(a,0) AB vuông góc AC suy ra 1
Bài 1: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0)
phơng trình
B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0
o r=s/p suy ra phơng trình
1) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng
Bài 2: Cho 3 đờng thẳng d1:3x+4y-6=0
(ABC) Tính thể tích khối đa diện
d2:4x-3y-1=0 d3:y=0 : A=d1cắt d2 : B=d3 cắt 2) OABE với E là chân đờng cao từ E trong
d2 , C=d1 cắt d3
tam giác ABC
Viết phơng trình đờng phân giác trong góc Bài 2: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều
A
S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3)
Tính diện tích tam giác , tâm và bán kính 1) Lập phơng trình đờng vuông góc chung
của AC và SD

đờng tròn nội tiếp
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y2=x và 2) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lập phơng trình mặt phẳng qua BI và song
M(1;-1) giả sử A,B phân biệt khác M thay đổi
song với AC
trên (P) sao cho MA,MB luôn luôn vuông góc
3) Gọi H là trung điểm BD, G là trc tâm tam
với nhau. CMR AB luôn đi qua một điểm cố
giác SCD Tính độ dài HG
định
Bài 3: Oxyz cho
HD: A(a2;a) B(b2;b) thuộc (P) a khác b
MA v MB =>ab=a+b-2
x az a = 0
ax + 3 y 3 = 0
(d 1 )
(d 2 )
Phơng trình (AB) x=(b+a)y-ab
y z +1 = 0
x 3z 6 = 0
Điểm Cố định M(2;1)
1)
Tìm
a
để
(d
)
cắt
(d
)

1
2
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho M(5/2;2) và
2 đờng thẳng có phơng trình y=x/2 , y-2x=0 . 2) Khi a=2 : Viết phơng trình mp(P) chứa (d1)
và song song với (d2) . Tính khoảng cách
Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và
giữa 2 đờng thẳng
cắt 2 đờng thẳng trên tại A,B sao cho M là
Bài
4: Oxyz cho
trung điểm AB
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng cong
2 x 2 y z + 1 = 0
(d )
(Cm) x2+y2+2mx-6y+4-m=0
x + 2 y 2z 4 = 0
1) CMR (Cm) là đờng tròn với mọi m Tìm tập
hợp tâm đờng tròn khi m thay đổi
10)Giải phơng trình

4

4

(

)

Chuyên đề 5: Hình học
giải tích trong mặt phẳng

và không gian. Hình học
không gian

13


ôn thi đại học cấp tốc
Đờng phân giác trong góc A là
(S) x + y + z + 4s 6 y + m = 0
x 5 y 3 z +1
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đờng thẳng (d)
. Lập phơng trình
( AI )
=
=
tại M,N sao cho MN=9
7
1
2
Bài 5: Trong hệ trục Oxyz cho
chính tắc cạnh (AC)
2

(d1 )

2

2

Bài 3: Hình học không gian

3x z + 1 = 0
x y +1 z
=
= (d 2 )
1
2
1
2 x + y 1 = 0

Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
1) CMR 2 đờng thẳng trên chéo nhau và
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA=a, OB=b,
vuông góc với nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả 2 đ- OC=c và OA, OB,OC đôi một vuông góc với
nhau , Tính diện tích tam giác ABC theo a,b,c .
ờng thẳng trên và song song với đờng
thẳng
Gọi ,, là góc giữa OA,OB,OC với mặt
phẳng (ABC) CMR
x4 y 7 z 3
()
=
=
sin2+sin2+sin2=1
1
4
2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

Bài 6: Trong hệ trục Oxyz cho
chữ nhật AB=2a; BC=a Các cạnh bên của hình
2
2
2
(S) ( x 1) + ( y + 1) + ( z 1) = 9 và
chóp bằng nhau và bằng a 2
mặt phẳng (P) 2x+2y+z-m 2 -3m = 0
Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) . Với m 1) Tính thể tích hình chóp
2) Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và
tìm đợc hãy xác định toạ độ tiếp điểm
CD, K thuộc AD sao cho AK=a/3 Hãy tính
Bài 7: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1)
khoảng cách giữa 2 đờng thẳng Mn và SK
B(1;0;0) C(1;2;-1)
Bài 3: Trong măt phẳng (P) cho hình vuông
Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
ABCD có cạnh bằng a. S là 1 điểm bất kỳ nằm
giácABC
trên đờng thẳng At vuông góc với (P) tại A
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
1) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp
x y z
hình chóp khi SA=2a
cho 2 đờng thẳng d1 : = =
1 1 2
2) M,N lần lợt là 2 điểm di động trên CB,CD
và đặt CM=m, CN=n Tìm một biểu thức
x = 1 2t
liên hệ m và n để các mặt phẳng (SAM) và

d2 : y = t
(SAN) tạo với nhau góc 45 độ
z = 1 + t
Bài
4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác đều có cạnh a và cạnh bên vuông góc với
a) Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trên
mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điềm A
b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc tới mặt phẳng (SBC) theo a biết rằng
d2 sao cho MN song song với mặt phẳng
a 6
(P) x-y+z=0 và MN = 2
SA =
2
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
Bài 5: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh
cho các điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m)
a) Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng
a = 6 2 . Hãy xác định và tính độ dài đoạn
với gốc toạ độ O qua mặt phẳng SAB
vuông góc chung của AD và BC
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O
Bài 6: : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
trên đờng thẳng SA. CMR với mọi m>0 giác vuông cân tại B, AB=a, BC=2a. Cạnh SA
diện tích tan giác OBH < 4
vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M là trung
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz điểm SC . CMR AMB là tam giác cân tại M.
cho các điểm A(1;1;1) B(1;2;0)

Tính diện tích tam giác AMB theo a
(S) x 2 + y 2 + z 2 6 x 4 y 4 z + 13 = 0
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABCABC đáy
a) Viết phơng trình mặt phẳng chứa AB và ABC là tam giác cân AB=AC=a, góc BAC
bằng 120 độ , BB=a , I là trung điểm CC
tiếp xúc với (S)
CMR tam giác ABI vuông tại A. Tính cos góc
b) Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)
,song song với AB và khoảng cách giữa tạo bởi (ABC) và (ABI)
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với AB=AC=a ,
(P) và AB nhỏ nhất (lớn nhất)
HD: +sử dụng phơng pháp chùm mạ phẳng qua BC=b. (BCD) vuông góc (ABC) góc BDC
bằng 90 độ Xác định tâm và tính bán kính mặt
AB
càu ngoại tiếp tứ diện theo a,b
+Tìm M thuộc (S) sao cho Kc(M,(S)) nhỏ
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là
nhất, (P) tiếp xú với (S) tại M Bài 11: Trong hệ
trục Oxyz cho tam giác ABC có B(2;3;-4). Đ- tam giác đều có cạnh a , mặt bên tạo với đáy
x 1 y 2 z góc bằng (00<<900) .Tính thể tích SABC
ờng cao có phơng trình (CH )
=
=
5
2
5 và khoảng cách từ A tới (SBC)
14


ôn thi đại học cấp tốc

Bài 10: Cho Tam giác vuông cân ABC có cạnh
x-2y+1=0 và 3x+y-1=0 . Viết phơng
huyền BC=a. Trên đờng thẳng vuông góc với
trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác
mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc
36
10
43
ĐS x 2 + y 2 + x y = 0
giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 độ
7
7
7
Tính độ dài đoạn thẳng SA
10) Tam giác ABC cân, cạnh đáy (BC) xBài tập áp dụng
3y-1=0, Cạnh bên (AB) x-y-5=0 (AC) đi
qua M(-4;1) Tìm toạ độ C
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho 2
đờng thẳng d1:x+y+5=0 và d2:x+2y-7=0 và 11) Trong mặt phẳng Oxy cho (P) y2=8x Qua
tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt (P) tại
điểm A(2;3) Tìm điểm B thuộc d1 và C
A,B . CMR các tiếp tuyến tại A,B vuông
thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng
góc với nhau
tâm là điểm G(2;0)
12) Trong mặt phẳng Oxy cho A(10;5)
2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
B(15;-5) D(-20;0) là 3 đỉnh của hình thang
x2 y2
cân ABCD Tìm toạ độ điểm C biết rằng AB

(E)
+
= 1 viết phơng trình tiếp tuyến
64 9
song song CD
d của (E), Biết d cắt 2 trục toạ độ Ox, Oy
13) Trong mặt phẳng Oxy cho (E)
lần lợt tai A,B sao cho AO=2BO
x2 y2
3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho 2
+
= 1 Xét điểm M di chuyển trên tia
16 9
đờng thẳng d1:x-y+1=0 và d2:2x+y-1=0 và
Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao
điểm P(2;1)
cho MN luôn luôn tiếp xúc với (E) . Xác
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
định M,N để MN ngắn nhất(
điểm P và giao điểm I của 2 đờng
14)
Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy
thẳng d1 và d2
cho tam giác ABC có AB=AC , góc BAC
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
= 90 độ Biết M(1;-1) là trung điểm BC và
điểm P và cắt 2 đờng thẳng d1 và d2 lần
G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC . Tìm
lợt tại A,B sao cho P là trung điểm AB
toạ độ các đỉnh của tam giác

4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
15) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
tam giác ABC vuông ở A. Biết A(-1;4)
cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với
B(1;-4) Đờng thẳng BC đi Qua điểm
A(2;0;0) B(0;4;0) O1(0;0;4)
M(2;1/2). Tìm toạ độ đỉnh C
a)
Tìm toạ độ các điểm còn lại. Viết phơng
5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2
trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,O1
điểm A(0;5) B(2;3) Viết phơng trình dờng
b)
Gọi M là trung điểm AB . Mặt phẳng (P)
tròn đi qua 2 điểm A,B và có bán kính 10
qua M vuông góc với O1A và cắt OA , AA1
6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
lần lợt tại N,K. Tính độ dài đoạn KN
2
2
16)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
x
y
C(2;0) và ( E ) +
= 1 tìm toạ độ các
cho
hình lập phơng ABCD. ABCD Với
4
1

A(0;0;0)
B(2;0;0) D(0;2;2)
điểm A,B thuộc (E) Biết rẳng 2 điểm A,B
a)
Xác
định
toạ độ các đỉnh còn lại của hình
đối xứng với nhau qua trục hoành và tam
lập
phơng.
Gọi M là trung điểm BC. CMR
giác ABC là tam giác đều
(ABD)
và
(AMB) vuông góc với nhau
7) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy cho đ- b) CMR tỉ số khoảng
cách từ điểm N thuộc đờng tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x 4 y = 0 đờng
ờng thẳng AC với N khác A tới (ABD)
và (AMB) không phụ thuộc vào vị trí của
thẳng D:x-y+1=0
điểm N
a) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
với D và tiếp xúc với đờng tròn
17) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
b) Viết phơng trình đờng thẳng song song
cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là
với D và cắt đờng tròn tại M,N sao cho
hình chữ nhật AC cắt BD tại gốc toạ độ O.
MN=2
Biết A( 2 ;1;0), B( 2 ;1;0) S(0;0;3)

c) Tìm toạ điểm T trên D sao cho qua T
kẻ đợc 2 đờng thẳng tiếp xúc với (C) tại a) Viết phơng trình mặt phẳng qua trung điểm
M của cạnh AB, song song với 2 đờng
2 điểm A,B và góc ATB =60 độ
thẳng AD và SC.
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
b)
Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông
A(0;2) và đờng thẳng d:x-2y+2=0 Tìm
góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
trên đờng thẳng d hai điểm B,C sao cho
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P)
tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC
18)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
9) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC
cho
2 đờng thẳng
có A(1,0) hai đờng thẳng tơng chứa 2 đờng
x 1 y + 2 z +1
cao kẻ từ B,C của tam giác là
d :
=
=
1

15

3

1

2


ôn thi đại học cấp tốc
điểm cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ
x + y z 2 = 0
S đến đờng thẳng BE
d2 :
x + 3 y 12 = 0
27) Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
a) CMR 2 đờng thẳng trên song song với
AB=a, AC=b, AD=c, và các góc BAC,
nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa
CAD, DAB đều bằng 60 độ
cả 2 đờng thẳng trên
28) Cho tứ diện ABCD với các mặt (ABC),
b) Mặt phẳng (OXZ) cắt d1,d2 tại A,B Tính
(ACD). (ADB) là các tam giác vuông tại A.
diện tích tam giác OAB
Gọi h là đờng cao xuất phát từ A của tứ
diện ABCD . CMR
x 8 z + 23 = 0
19) Cho 2 đờng thẳng d1 :
1
1
1
1
x 2z 3 = 0

d2 :
y + 2z + 2 = 0

y 4 z + 10 = 0

29)

a) CMR đờng thẳng d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả
2 đờng thẳng trên và song song với Oz
20) Cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đờng
thẳng d :

x 2 y 2 z +1
=
=
2
2
3

h2

=

AB 2

+

AC 2

+

AD 2

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi
Ax, By là 2 nửa đờng thẳng vuông góc với
mặt phẳng ABCD và nằm cùng phía đối
với mặt phẳng ABCD. Hai điểm M,N lần lợt đi động trên Ax, By sao cho tam giác
CMN vuông tại M. đặt AM=m, BN=n.
CMR m(n-m)=a2 và tìm GTNN của diện
tích hình thang ABNM theo a

Chuyên đề số 6: Đại số tổ
hợp Nhị thức nitơn

c) CMR đờng thẳng d và đờng thẳng AB
cùng thuộc 1 mặt phẳng
d) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ
nhất
21) Cho 2 điểm A(2;4;1) B(3;5;2) và đờng
thẳng

Bài 1: Các bài đố áp dụng quy tắc
nhân,cộng và tổ hợp,chỉnh hơp

Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
2 x y + z + 1 = 0
Bài 1:Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5
() :

mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau
x y + z + 2 = 0
Bài 2:Đội tuyển học sinh giỏi của trờng gồm
e) Xét vị trí tơng đối giữa AB và ()
18 em . Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học
f) Tìm điểm M thuộc thuộc () sao cho
sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao
uuuv uuuv
nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại
MA + MB đạt GTNN
hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh đợc
22) Cho 2 điểm A(2;0;1) C(1;0;1) B(2;chọn
1;0)và đờng thẳng
Bài 3: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc
bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
x + y z = 0
(d ) :
khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ
2 x y = 0
số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một
đơn vị
Tìm điểm M thuộc thuộc (d) sao cho
uuuv uuuv uuuu
v
Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc
MA + MB + MC đạt GTNN
bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
23) Trong hệ trục Oxyz cho A(2;0;0)
ĐS 192

C(0;4;0) S(0;0;4)
a) Tìm toạ độ B thuộc Oxy sao cho OABC là Bài 5:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể
hình chữ nhật . Viết phơng trình mặt cầu đi lập đợc bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số gồm 6
chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng
qua 4 điểm O,B,C,S
chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8
b) Tìm toạ độ điểm A1 xứng A qua SC
24) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD Bài 6:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số gồm 5 chữ
là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABC) và SA=a E là trung điểm CD. Tính số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1
và 5
theo a khoảng cách từ S tới BE
25) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có Bài 7:Một đội văn nghệ có 15 ngời gồm 10
nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một
đáy là hình vuông cạnh a và
nhóm đồng ca gồm 8 ngới , biết rằng trong
SA=SC=SB=SD=a . Tính diện tích toàn
nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ
phần và thể tích hình chóp
26) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là Bài 8:Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh
nam cần chọn ra 6 học sinh trong đó số học
hình uông cạnh a. SA vuông góc với mặt
sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách
phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung
chọn nh vậy
16


ôn thi đại học cấp tốc
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4

13)Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai
n
chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 2158
Bài 10:Một đội thanh niên tình nguyện có 15
triển nhị thức 13 + x 5 Biết rằng
ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu
x

cách phân công đội thanh niên tình nguyên đó
n +1
n
C n + 4 C n +3 = 7( n + 3) ĐS 495
về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho môĩ tỉnh có
14)Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai
4 nam và 1 nữ
Bài 2: Các bài toán nhị thức, phơng
triển nhị thức (1 + x 2 (1 x) )8
trình bất phơng trình tổ hợp,chỉnh hợp 15)Tìm số tự nhiên n thoả mãn
Một số kiến thức cần nhớ
Cn2 .Cnn 2 + 2Cn2 .Cn3 + Cn3 .Cnn 3 = 100
Các ví dụ
16) Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005)
1) Biết rằng (2 + x)100 = a 0 + a1 x + ... + a100 x100
C21n +1 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 4.23 C24n +1 + ...(2n + 1).22 n C
CMR a2 < a3 Với giá trị nào của k thì
ak< ak+1 (0k99)
k
2) Tìm k thuộc {0,1,.2005} sao cho C 2005
đặt GTLN
3) Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức:

Bài 1: Phơng pháp tính tích phân

Chuyên đề 7: Tích
phân xác định và ứng
dụng

2 Pn + 6 An2 Pn An2 = 12

4) Tính giá trị của biểu thc M =

A

n là số nguyên dơng Biết rằng

+ 3A
(n + 1)!

4
n +1

3
n

C n2+1 + 2C n2+ 2 + 2C n2+3 + C n2+ 4 = 149

5) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa
thức của (2-3x)2n, trong đó n là số nguyên
dơng thoả mãn

Một số kiến thức cần nhớ

Các công thức nguyên hàm cơ bản
Phơng pháp tính tích phân: Hàm hợp, đổi biến,
phân tích, từng phần
Các ví dụ
1

x3
dx
x2 +1

Bài 1: Tính tích phân I =
0

HD C1: t=x2 +1
C
+C
+C
+ ..... + C
= 1024
C2: x=tgt
6) Giả sử (1 + 2 x) n = a 0 + a1 x + ... + a n x n Biết ĐS I=1/2(1-ln2)
ln 3
ex
rằng a 0 + a1 + ... + a n = 729 Tìm n và số lớn Bài 2: Tính tích phân I =
0 (e x + 1) 3 dx
nhất trong các số : a 0 , a1 ,..., a n
HD t=ex +1
Pn +5
k +2
7) Giải bất phơng trình

60 An +3 với 2
ĐS I = 2 1
1
2 n +1

3
2 n +1

5
2 n +1

2 n +1
2 n +1

(n k )!

ẩn n,k thuộc N (TNPT 2003-2004)
8) Giải hệ phơng trình
C xy+1 : C xy +1 : C xy 1 = 6 : 5 : 2 (TNPT 20022003)
9) Giải bất phơng trình

0

Bài 3: Tính tích phân I = x(e 2 x + 3 1 + x )dx
1

HD Tách thành 2 tích phân
ĐS I=3/4e2-4/7
Bài 4: Tính tích phân

2

C 22x + C 24x + ...... + C 22xx 2 2003 1

10)Tìm số n nguyên dơng thoả mãn bất phơng I = 6 1 cos 3 x . sin x. cos 5 dx
0
trình An3 + 2.C nn 2 9n
HD t=1-cos3x
ĐS n=4 v n=3
ĐS I=12/91
11) Giả sử n là số nguyên dơng và
(1 + x) n = a 0 + a1 + ... + a n x n

Biết rằng k nguyên (0a k 1 a k a k +1
Tính n
=
=
2
9
24

ĐS n=10
12)Giả sử n là số nguyên dơng và

(1 + x)10 ( x + 2) = x 11 + a1 + a1 x 10 + ...a11 Hãy

tính hệ số a5 ĐS 672

2 3

Bài 5: Tính tích phân I =



5

1
x. x 2 + 4

dx

HD t = x 2 + 4
ĐS I=1/4.ln5/3

4

x
dx
1 + cos 2 x
0

Bài 6: Tính tích phân I =

HD ĐS I=pi/8-1/4.ln2
17


ôn thi đại học cấp tốc
1

2

x4 x +1
6) Tính tích phân I = 2
dx
x +4
0

Bài 7: Tính tích phân I = x 1 x dx
3

2

0

Bài 8: Cho hàm số f ( x) =

a
+ bx.e x Tìm
3
( x + 1)

7

7) Tính tích phân I = 3
0

1

a,b biết rằng f(0)=-22 và

0

Bài 9: Tính tích phân I =
Bài 10: Tính tích phân I =

dx

8) Tính tích phân I = (tgx + e sin x cos x)dx


0


4

x +1


4

f ( x)dx = 5


3

x+2

tgx
cos x. 1 + cos 2 x


3

dx

9) Tính tích phân I = sin 2 x.tgx.dx

0

2




2

x sin x dx

10)Tính tích phân I = e cos x sin 2 x.dx


0

Bài 1: ứng dụng của tích phân xác định

0

Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng:
3 bài toán cơ bản
Bài toán về thể tích tròn xoay
Các ví dụ
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra
bởi phép quay xung quanh trục ox của hình
phẳng giới hạn bởi trục ox và đờng
y = 2 sin x (0 x )
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng

11) Tính tích phân I =

y = x 4x + 3, y = x + 3

15)Tính tích phân I = x 2 2 x + m .dx

2

Bài 3: Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
y = 4

x. sin x
dx
2

0 1 + cos x
3

0

3

1
1) Tính tích phân I =
dx
3
1 x+ x
ln 8

2) Tính tích phân I =



1
1

14)Tính tích phân I = x 2 4 3x 2 dx
0

3

1

a) Tính I khi m=1
b) Tính I theo m với m<-3

Chuyên đề 8: Một số
dạng bài tâp khác
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
1) Giả sử x,y là 2 số dơng thay đổi thoả mãn
x+y=5/4 Tìm GTNN của F=4/x+1/4y Tìm
GTLN, GTNN của biểu thức sau
y = sin 5 x + 3 cos x
x my = 2 4m
với m là tham số . Tìm

mx + y = 3m + 1

3) Tính tích phân I = (2 x 1) cos 2 xdx

0

4) Tính tích phân I =

x

1

2

dx

2) Gọi (x,y) là nghiệm hệ phơng trình

2

e3

x2 + 1

e

e x + 1.e 2 x dx

ln 3

x5 + 2 x3

13)Tính tích phân I = x 2 ln x.dx

x2
x2
,y =
4
4 2

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(P) y2=16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4;-8)
Bài tập áp dụng



12)Tính tích phân I =

GTLN của biểu thức A=x2+y2-2x khi m
thay đổi
HD ĐS I=pi/8-1/4.ln2

2

ln x
ln x + 1

dx

5) Tính tích phân I = (e sin x + cos x) cos xdx


2
3) Cho f ( x) = e x sin x + x Tìm GTNN của

2

hàm số f(x) và CMR phơng trình f(x)=3 có
đúng 2 nghiệm

0

18


ôn thi đại học cấp tốc
4) Xét tam giác ABC thoả mãn điều kiện
A900 và sinA=2sinB.sinC.tgA/2 Tìm

A

GTNN 1 sin 2
sin B

Bài 2: Bài toán về đại số:
1) Xác định m để hệ sau có nghiệm
x 2 5 x + 4 0
2
3 x mx x + 16 = 0

Bài 4: Bài toán về bất đẳng thức
1) Chứng minh rằng với mọi x ta có
x

x

x

12 15 20
x
x
x
+ + 3 +4 +5
5 4 3

19