Đề thi thử Toán vào lớp 10 năm 2010 2011

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: Toán 9 – Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. (2.5 điểm)

 x
2
+
+
Cho biểu thức: P = 
 x−4 2− x

1  
10 − x 
: x − 2+
÷
÷; với x ≥ 0; x ≠ 4
÷
x +2 
x +2

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P > 0.
Câu 2. (1.5 điểm)
Trên cùng một mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4).
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M.
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong 3 giờ và tổ II làm
trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong công
việc đó trong bao lâu ?

Câu 4. (3.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm I cố định trên đoạn thẳng AB (I không
trùng A và I không trùng B), M là điểm di động trên đường tròn (O) (M không trùng A và
M không trùng B). Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Gọi giao điểm của các
đường thẳng MA, MB với d lần lượt là C, D.
a) E là điểm đối xứng của B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh IA.IB = IC.ID.
c) Chứng minh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD di động trên một đường cố
định khi M di động.
Câu 5. (1 điểm)
Biết rằng a, b là các số thoả mãn a > b và ab = 1.
Chứng minh:

a 2 + b2
≥2 2
a −b

-----------------------------hết-------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………………………………………..SBD…………….


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
Câu

Nội dung

Điểm

x ≥ 0
a, Với 

x ≠ 4
⇒P=
1

=

(2,5đ)

x − 2( x + 2) + ( x − 2) x − 4 + 10 − x
:
( x + 2)( x − 2)
x +2

−6
x +2
.
=
6
( x + 2)( x − 2)

−1
x −2

0,75
0,75

b,
−1
>0⇔ x −2<0⇔ x < 4
x −2

Kết hợp với điều kiện: A > 0 ⇔ 0 ≤ x < 4
P > 0 Khi và chỉ khi

a, A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường
thẳng AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = 2
B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = −4

2
(1,5đ)

Giải hệ ta có a = 3; b = -13.
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x – 13
b, Giả sử M(x; 0) ∈ xx’ ta có:
MA =

( x − 5) 2 + (0 − 2) 2

MB =

( x − 3) 2 + (0 + 4) 2

0,5
0,5
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25

∆ MAB cân tại M ⇒ MA = MB
⇔

( x − 5) 2 + (0 − 2) 2 =

0.25

( x − 3) 2 + (0 + 4) 2

⇔ x = 1. Vậy điểm cần tìm là M( 1; 0)
3
(2,0đ)

Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là: x (giờ, x >15)
Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là:y (giờ, y >15)
Năng suất của tổ I là: 1/x (công việc)

0.5

Năng suất của tổ II là: 1/y (công việc)
Năng suất của cả 2 tổ là: 1/15 (công việc)
Ta có phương trình:

1 1 1
+ =
x y 15

(1)

Trong 3 giờ tổ I làm được: 3/x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được: 5/x (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25%
công việc (bằng 1/4 công việc)
Ta có phương trình:

3 5 1
+ =
x y 4

(2)

0.5


1 1 1
 x + y = 15

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
3 + 5 = 1
 x y 4

0.5

Giải hệ phương trình:
1

1
1



u = x
u + v = 15
u = 24  x = 24
⇒
⇒
⇒
Đặt 
1
1
1
 y = 40
v =
3u + 5v =
v =


y
40

4 


0.5

Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc
D
M

K

C
E

4
(3,0đ)

A

I

O

B

a, E là điểm đối xứng của B qua I => tam giác DEB cân => ∠ DEB = ∠ DBE
Mà ∠ AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
=> ∠ IBD = ∠ DCM ( cùng phụ với góc BDI)
=> Tứ giác ACDE có ∠ DEA + ∠ ACD = 1800 => Tứ giác ACDE nội tiếp

1.0

IA IC
=
⇒ IA.IB = IC.ID .
ID IB
c, K là tâm đường tròn (ACD), mà tứ giác ACDE nội tiếp => K là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác ACDE => KA = KE. Mà A, B, I cố đinh => E cố định
Vậy K di động trên đường trung trực của AE cố định
Vì a > b và ab = 1

1.0

b, VIAC : VIDB (g.g) =>

=>
5
(1,0đ)

a 2 + b 2 ( a − b) 2 + 2
2
=
= ( a − b) +
a −b
a −b
a −b

Áp dụng BĐT Côsi có 2 số (a – b) và

1.0

0.50

2
ta có
a−b

a 2 + b2
2
≥ 2 ( a − b).
= 2 2 (ĐPCM)

a −b
a −b
Ghi chú: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa

0.50