Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm lớp 11 môn Toán năm 2015 - 2016 trường THPT Thuận Thành số 1, Bắc Ninh

SỞ GD- ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: Toán 11
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
2

Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số: f ( x )   m  1 x   3m  1 x  2m  3 (1)
a) Giải bất phương trình f ( x)  0 khi m = 2.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x2 sao cho

1 1
  2.
x1 x2
Câu 2 (2,0 điểm)
 

1

a) Cho góc x   ;  mà sinx 
. Tính sin  x   .
 2 

6
5

b) Chứng minh rằng:

1  cos x  cos 2 x  cos 3x
 2 cos x .
2 cos 2 x  cos x  1

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải bất phương trình:

x 2  4 x  5  3x  17

 x  4 y  3 y  2 x  y
b) Giải hệ phương trình: 
2
 y  1  x  1  y  y  10
Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba đường thẳng d1: x+y+3=0; d2: x-y+4=0; d3: x-2y=0
a) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. Tìm tọa độ điểm I.
b) Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết (C) cắt đường thẳng d3 tại hai điểm A, B sao cho AB=2.
Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD (AB//CD, CD > AB) biết B (3;3), C (5;3) .
Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại
của hình thang ABCD để CI  2 BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12, điểm I có hoành độ dương và
điểm A có hoành độ âm.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm có a + b + c = 1.



3

3

Chứng minh rằng: 2 a  b  c

3

  3abc  a

2

 b2  c2


HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
1.
a)

Nội dung

Điểm
2,5
1,0
0,5

Khi m  2 thì f ( x)  0  x 2  7 x  7  0



7  21
7  21
 x
2
2

0,5

7  21 7  21
Vậy bpt có tập nghiệm là: S  [
;
]
2
2
b)

1,5
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là:
 m  1 x 2   3m  1 x  2m  3  0(2)
Ycbt trước hết pt(2) có 2 nghiệm
m  1  0
a  0
pb  

2
  0
 3m  1  4  m  1 2 m  3  0
m  1
m  1
 2

 m  1 (*)
t
/
m

m

m

2
m

13

0


3m  1
2m  3
Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 
và x1 x2 
m 1
m 1
1 1
x x
Theo bài ra:   2  1 2  2
x1 x2
x1 x2

0,25

0,25
0,25
0,25

3


m


3m  1
m5

2
0 
2

2m  3
2m  3
 m  5

0,25

 3

Kết hợp (*) ta được giá trị cần tìm của m là: m   ; 5     ;   \ 1
 2


0,25

2.
a

2,0
1,0








3

1

Ta có: sin     sin  .sin  cos  . cos 
 cos 
6 
6
6

2 5 2




(1)

1

0,5

2

Từ: cos2   sin 2   1 và    ;  Suy ra: cos 1sin2   1 
(2)
2 
5
5

0,25






Thay (2) vào (1) ta được: sin    

6

3 2
2 5

b

0,25
1,0

1  cos x  cos 2 x  cos 3x (1  cos 2 x)  (cosx  cos 3 x)

2 cos 2 x  cos x  1
(2 cos 2 x  1)  cos x
2 cos 2 x  2 cos 2 x cos x

cos 2 x  cos x
2 cos x(cosx  cos 2 x)

 2 cos x =VP. Suy ra điều phải c/m.
cosx  cos 2 x


3
a

0,25
0,5
0,25
2,0
1,0


x2  4x  5  0

x 2  4 x  5  3x  17  
3x  17  0
 x 2  4 x  5  (3x  17) 2


0,25


 x  1

 x5




17

x
3
 2
8 x  98 x  294  0



0,25


  x  1

 x  5

17
x
3


21
 x 
4

x


7
 

0,25

 x  7 . KL

0,25
1,0

b
 y  1; x  1
8 y  2x
Khi đó: pt(1)  ( x  4 y ) 
0
3 y  2y  x
 2x  y  0

ĐK: 

 ( x  4 y )(1 

Do y  1 

2
3 y  2x  y

1
3 y  2x  y

)0

0,25

1
1
 nên pt(1)  x  4 y thế vào pt(2) ta có:
3 0 3

0,25




y  1  4 y  1  y 2  y  10 

y 1 1  4 y  1  3  y2  y  6  0

0,25

1
4

 y  3)  0  y  2  x  8 .Vậy nghiệm
y 1  1
4 y 1  3

 ( y  2)(

0,25

(x;y)=(8;2)
4

1,5

a

0,5
7

x

x  y  3  0

2  I ( 7 ; 1 )
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 

2 2
x  y  4  0
 y1

2

b

0,5

1,0

d ( I ; d3 ) 

7
1
 2.
2
2
1 2

2



 R 2  (d ( I ; d3 ))2  (

9

0,5

2 5

AB 2 101
) 
2
20

0,25
7
2

1
2

Suy ra phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  )2  ( y  ) 2 

101
20

0,25
1,0

5
Vì I    I (
t  1
t ;3  2t ), t  0 CI  2 BI  15t  10t  25  0  
 t  1  I (1;1)
t   5 ( ktm )
3

2

0,25

Phương trình đường thẳng IC : x  y  2  0 .Mà
S ABC 

1
AC.d ( B , AC )  12  AC  6 2
2

0,25
a  11
 a  1  A(1;3)
a  1

Vì A  IC  A(a;2  a), a  0 nên ta có a  52  36  

0,25

Phương trình đường thẳng CD : y  3  0 , IB : x  y  0

0,25


x  y  0
 x  3

 D(3;3)
y  3  0
 y  3

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 
Vậy A(1;3) , D(3;3)
6.

1,0
Do vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức là như nhau nên không mất tính tổng
quát ta giả thiết rằng a  b  c  0 .
Khi đó: a  a  c   b  b  c   0  a  a  b  a  c   b  a  b  b  c 
0,25

 a  a  b  a  c   b  b  a  b  c   0 (1)
Mà  a  c  b  c  c  0  c  c  a  c  b   0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a  a  b  a  c   b  b  a  b  c    a  c  b  c  c  0

 a 3  b 3  c 3  3abc  a 2b  a 2c  b 2c  b 2 a  c 2b  c 2 a
0,25

 a 3  b3  c 3  6abc   a  b  c  ab  bc  ca 
3

3

3

0,25

Kết hợp giả thiết a  b  c  1  a  b  c  6abc  ab  bc  ca (3)
Từ đẳng thức a 3  b3  c 3  3abc   a  b  c   a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  

 a 3  b3  c 3  3abc  a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  (4)
Cộng (3) và (4) ta được: 2  a 3  b3  c3   3abc  a 2  b 2  c 2 (đpcm).
Chú ý: Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng

0,25