ON THI TUYEN SINH LOP 10 MON TOAN SOC TRANG

TRƯỜNG THCS PHƯỜNG I
THÀNH PHỐ SÓC TRĂNG

Người soạn : Ngô Thanh Hữu

NĂM HỌC 2010 - 2011

1


ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10
NĂM HỌC 2010 – 2011
A. ðẠI SỐ :
NỘI DUNG 1 : BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. Một số kiến thức cần nhớ :
1/ Căn thức bậc hai :
 A (khiA ≥ 0)
A2 = A = 
− A (khiA < 0)
2/ Các phép biến ñổi biểu thức chứa căn thức bậc hai :
a) ðưa thừa số ra ngoài hay vào trong dấu căn :
•
•

 A B ( khiA ≥ 0)

A2 .B = A . B = 

− A B (khiA < 0)

 A2 .B (khiA ≥ 0)

A B =
− A2 .B (khiA < 0)

b) Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
A
=
B


A.B 
=
B



A.B
(khiB > 0)
B
A.B
(khiB < 0)
−B

c) Trục căn thức ở mẫu :
•

A
A B
=
B
B

•

C
C ( A ∓ B)
=
A − B2
A±B

•

C
C( A ∓ B )
=
A− B
A± B

Một số hằng ñẳng thức quen thuộc :
• (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 => a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab
• (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 =>

a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)

• a2 – b2 = (a + b)(a – b)
• a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2)
II. Bài tập :
Baøi 1. Thực hiện phép tính : a) ( 45 − 3 10) 5 + 5 18
c) 42 + 3( 147 − 14 − 75)

d)

1
1
+
3− 7 3+ 7

b)

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

e) 3 + 2 2 − 3 − 2 2

2


1

5
5
+
5 2
5+ 2

f)

(

)(

h) 2 2 5 + 18 .

g) .
2

50 + 5

j) 8 3 2 25 12 + 4

i)

(

)(

8 3 2 + 10 .

3
1

3 +1 1+

(

m)
2 3 0, 4

+

)(

3
3 +1

k) 5 + 2 6 49 20 6

192

2 3
2+ 3
+
2+ 3
2 3

l)
n)

)

4 1
1 3
2
. 4, 5 + . 50 : .
2 2
5
15 8

)

)

52 6

5 2 6 + 8 2 15
7 + 2 10

t) (7 48 + 3 27 2 12) : 363

1
x
x
Bi 2. Cho biu thc: P =
+
:
x +1 x + x
x
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P khi x = 4.
13
c) Tỡm x ủ P =
3
x
2 x 1 2x
+
+
(vi x 0 v x 1)
x + 1 1 x x 1

Bi 3. Cho biu thc P =

a) Rỳt gn biu thc P.

b) Tớnh giỏ tr ca biu thc P khi x = 4 + 2 3 .
x x +1 x 1
x
: x +
với x > 0 và x 1
Bi 4. Cho biểu thức A =



x 1
x 1
x 1

a) Rút gọn A
Bi 5. Cho P =

b) Tìm giá trị của x để A = 3.

x+2
x +1
x +1
+

x 1
x x 1 x + x + 1

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: P <

1
với x 0 và x 1.
3

1
1
1

.1

a
1 a 1+ a



Bi 6. Cho biu thc: A =
a) Rỳt gn A.

1
4
10
c) Tinh a khi A =
7

b) Tớnh A khi a =

x
1

2 2 x

Bi 7. Cho biểu thức A =

x x x + x



x
+
1
x 1


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > -6.

3


NỘI DUNG 2 : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Một số kiến thức cần nhớ :
1. Giải hệ phương trình với hai phương pháp cơ bản :
* Phương pháp thế :
- Từ một trong hai phương trình của hệ ta suy ra x theo y (hoặc y theo x)
- Thay x (hoặc y) vào phương trình còn lại của hệ ta ñược phương trình một ẩn theo x (hoặc
theo y).
- Giải phương trình này ta tìm ñược x (hoặc y)
- Sau ñó tìm ẩn còn lại.
* Phương pháp cộng :

- Biến ñổi sao cho hệ số của x (hoặc y) ñối nhau (hoặc bằng nhau)
- Cộng (hoặc trừ) hai vế của phương trình ta ñược một phương trình một ần. Giải phương trình
này.
- Sau ñó tìm ẩn còn lại.
Chú ý : Một số trường hợp ta có thể ñặt ẩn phụ ñể ñưa hệ phương trình ñã cho về hệ phương
trình tổng quát ñể giải.
2. Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
ðặt x2 = t (t ≥ 0) ta ñược phương trình : at2 + bt + c = 0
Giải phương trình này tìm t và chọn t≥ 0 . Sau ñó tìm x với x = ± t .
3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu :
- Tìm ðKXð .
- Quy ñồng và khử mẫu hai vế của phương trình. ðưa phương trình về phương trình bậc hai
tổng quát.
- Giải phương trình này tìm nghiệm .
- Kết luận những nghiệm thỏa mãn ðKXð.
4. Phương trình tích : có thể làm như sau:
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái của phương trình, khi ñó vế phải bằng 0.
- Phân tích ña thức ở vế trái thành nhân tử ñể ñưa về dạng A(x).B(x)…= 0.
- Giải các phương trình A(x) = 0 , B(x) = 0, …ñể tìm nghiệm.
- Kết luận.
5. Phương trình

A=B

- ðK : B ≥ 0.
- Giải phương trình A = B2 ñể tìm nghiệm
- Kết luận những nghiệm thỏa ðK.
6. Phương trình

A= B

- ðK : B ≥ 0. (Hay A ≥ 0)
- Giải phương trình A = B ñể tìm nghiệm
- Kết luận những nghiệm thỏa ðK.
Chú ý : Có một số phương trình ta phải ñặt ẩn phụ ñể phương trình ñơn giản hơn.

4


II. Bi tp :
x + y = 1

7 x + 3 y = 5
3 x 2 y = 12

b)

Bi 1. Gii cỏc h phng trỡnh sau : a)
x+3 y2
2 + 3 = 2
c)
x 1 + y + 1 = 4
4
3

3 x 2 y + 2 = 1
g)
x 2 + y + 2 = 3

4a 5b 10 = 0

h) a b 1
5 3 + 3 = 0

3 x 2 y = 2

2 x + 3 y = 13
3 x y = 3

j)

i)

1 1
x y =1

l)
3 + 4 = 5
x y

x( y 2) = ( x + 2)( y 4)
( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3)

5
4
2x 3y + 3x + y = 2

e)
5
3
= 21

3x + y 2x 3y

d)

6 ( x + y ) = 8 + 2x 3y
f)
5 ( y x ) = 5 + 3x + 2y

2 x + y = 1

2 x2 + 6 x + 1 = x + 2

f)

( x 5)2 = 8

x2 + 2
1
=
1
2
x 16 x + 4
2x
1
d) 2
=2
x 1 x + 1

g) 2x3 x2 + 3x + 6 = 0

i) (x2 + 2x 5)2 = (x2 x + 5)2
l)

( x 1)2 2 y = 2
2
3( x 1) + 3 y = 1

k)

x +y -10 = 0

m) x 2
y - 3 = 0


Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau : a)
c)

2
2
x + y = 13

x
x +1
10.
=3
x +1
x

b)

e) 3x 4 + 7 x 2 10 = 0
h) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12

j) 3(x2 + x)2 2(x2 + x) 1 = 0
m)

x 2 4 x = x + 14

4x x + 3
+
=6
x +1
x

k) x

x =5 x +7

n) (4x 7)(x2 5x + 4)(2x2 +3) = 0

2 x ay = b
ax + by = 1

Bi 3. Cho hệ phơng trình

a) Giải hệ pt khi a=3 v b=-2
b) Tìm a, b để hệ có nghiệm là (x ; y)=( 2 ; 3)
x + 1 y + 2 2( x y )
3 4 =

5
Bi 4. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phơng trình
x 3 y 3 = 2y x
4
3

cũng là nghiệm

của pt: 3mx - 5y = 2m + 1.

5


NỘI DUNG 3 : GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. HỆ THỨC VIÉT
I. Một số kiến thức cần nhớ :
ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

1. Hệ phương trình : dạng tổng quát 

a b
≠
a' b'
a b c
Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ = ≠
a' b' c'
a b c
Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔ = =
a' b' c'

• Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
•
•

2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

x = 0
Với c = 0 khi ñó: (1) ⇔ ax + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔ 
b
x = −
a

Với b = 0 khi ñó :
−c
(1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 =
a
2

−c
−c
≥ 0 thì x = ±
.
a
a
−c
- Nếu
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
a

- Nếu

Với ñầy ñủ a, b, c :
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

∆ = b 2 − 4ac

∆ ' = b '2 − ac

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân
biệt

−b + ∆
−b − ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép
−b
x1 = x 2 =
2a
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm

∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 =

−b '+ ∆ '

;
a

x2 =

− b '− ∆ '
a

∆ ' = 0 : phương trình có nghiệm kép
−b '
x1 = x 2 =
a
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm

6


* Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

b

S
=
x
+
x
=
−
1

2

a

P = x x = c
1 2

a

u + v = S 2
(S − 4P ≥ 0 ) thì u, v là hai nghiệm của phương
uv
=
P


- Nếu có hai số u và v sao cho 
trình x2 – Sx + P = 0.

c
.
a
c
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = − .
a
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =

* ðiều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)
- Phương trình (1) có 2 nghiệm ∆ ≥ 0 ; có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 ; nghiệm kép ∆ = 0 ;
vô nghiệm ∆ < 0

∆ ≥ 0
.
P
>
0


- Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu khi 

∆ ≥ 0

- Phương trình (1) có 2 nghiệm dương khi P > 0
S > 0

∆ ≥ 0

- Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi P > 0
S < 0

- Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi ac < 0 hoặc P < 0.
Chú ý : Tìm ñiều kiện của tham số ñể 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn ñiều kiện nào ñó.

a) αx1 + βx 2 = γ;

b) x12 + x 2 2 = a;

d) x12 + x 2 2 ≥ h;

e) x13 + x 23 = t; ...

c)

1
1
+
=b
x1 x 2

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương
trình, phương trình.

7


II. Bi tp :
Bi 1. Cho phng trỡnh bc hai: x 2 + 2(m + 1)x + m 2 = 0
a) Gii phng trỡnh vi m = 4
b) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
c) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit, trong ủú cú mt nghim bng -2, khi ủú tỡm
nghim cũn li.
Bi 2. Cho phng trỡnh (m + 4)x2 2mx + m 2 = 0
a) Tỡm m ủ phng trỡnh cú nghim l x =
b) Tỡm m ủ phng trỡnh cú nghim kộp.
Bi 3. Cho phơng trình bậc hai tham số m :

3.

x2 + 4x + m + 1 = 0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Gii phng trỡnh khi m = -6
c) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10
Bi 4. Cho phng trỡnh x2 2 (m + 1 )x - 2m + 3 = 0

(1).

a) Gii phng trỡnh vi m = 1 .
b) Xỏc ủnh giỏ tr ca m ủ phng (1) cú hai nghim trỏi du .
c) Tỡm m ủ phng trỡnh (1) cú mt nghim bng 3 . Tỡm nghim kia .
Bi 5. Cho phơng trình :
x 2 2(m + 1)x + m 4 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu .
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bi 6. Cho phơng trình x 2 3x 7 = 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phơng trình , hãy tính
giá trị của biểu thức :
a) x12 + x22 , x13 + x23 ,

1 1
+
x1 x2

b)

1
1
+
, (3x1 + x2)(3x2 + x1)

x1 1 x2 1

c)

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

Bi 7. Cho phng trỡnh (m + 1)x2 2(m + 2)x + m 3 = 0
a) Xỏc ủnh m ủ phng trỡnh cú nghim.
b) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tha (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
Bi 8. Cho phng trỡnh x2 6x + m = 0 (m l tham s)
(1)
a) Gii phng trỡnh (1) vi m = 5
b) Tỡm giỏ tr ca m ủ phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit x1 v x2 tha món:
3x1 + 2x2 = 20
Bi 9. Cho phng trỡnh x2 (2m 1)x + m 1 = 0 (1)
8


a) Giải phương trình với m =
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

5

.
3

Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm là hai số nghịch ñảo nhau.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1.
Tìm m ñể phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 1
x − 2 y = 0
mx − 3 y = 2

Bài 10. Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ khi m = -2.
b) Tìm m ñể hệ có nghiệm dương.
(a + 1) x − y = 3
ax + y = a

Bài 11. Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ phương trình khi a = 2.
b) Xác ñịnh a ñể hệ có nghiệm x + y = 0.
c) Giải và biện luận hệ phương trình trên.
---------------------------------

9

NỘI DUNG 4 : ðỒ THỊ HÀM SỐ y = a1x + b1 (a1 ≠ 0) và y = a2x + b2 (a2 ≠ 0).
ðỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) và y = ax + b (a ≠ 0)
I. Một số kiến thức cần nhớ :
* Tính chất của hàm số y = ax2 (a ≠ 0):
• a > 0 : Hàm số ñồng biến khi x > 0 , nghịch biến khi x < 0.
• a < 0 : Hàm số ñồng biến khi x < 0 , nghịch biến khi x > 0.
* ðồ thị hàm số y = ax2(a ≠ 0) có ñặc ñiểm :
• a > 0 => y > 0 với mọi x ≠ 0 và ñồ thị nằm phía trên trục hoành.
• a < 0 => y < 0 với mọi x ≠ 0 và ñồ thị nằm phía dưới trục hoành.
* Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy:
Xét hai ñường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
- Hai ñường thẳng (d1) và (d2) song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.
- Hai ñường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.
- Hai ñường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau khi a1 ≠ a2.
- Hai ñường thẳng (d1) và (d2) vuoâng goùc vôùi nhau khi a1.a2 = -1
* Cách vẽ ñồ thị :
• y = ax2
x
–2
–1
0
1
2
2
2
2
y
4a
a

0
a
4a2
Tùy theo hàm số mà cho các trị x cho phù hợp.
ðồ thị y = ax2 là một ñường cong Parabol ñi qua gốc tọa ñộ O và các ñiểm thể hiện
trong bảng giá trị.
• y = ax + b
x
y

0
b

–b/a
0

ðồ thị y = ax + b là một ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm (0 ; b) và ( −

b
; 0)
a

• y = ax là ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O và ñiểm (1 ; a).
* Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (P) và (d) bằng phương pháp ñại số :
- Lập phương trình hoành ñộ giao ñiểm ax2 = ax + b.
- ðưa về phương trình bậc hai tổng quát rồi giải tìm x.
- Thế giá trị x vào một trong hai hàm số của (P) hay (d) ta ñược tung ñộ y tương ứng.
* Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (d1) và (d2) bằng phương pháp ñại số :
- Lập phương trình hoành ñộ giao ñiểm a1x + b1 = a2x + b.
- Giải phương trình này ta tìm ñược x

- Thế giá trị x vào một trong hai hàm số của (d1) hay (d2) ta ñược tung ñộ y tương ứng.

10


II. Bài tập :
Bài 1. a) Viết phương trình ñường thẳng (d) song song với ñường y = 3x + 1 và cắt trục tung tại
ñiểm có tung ñộ bằng 4.
b) Vẽ ñồ thị hàm số y = 3x + 4 và y = −

x2
trên cùng một hệ trục tọa ñộ. Tìm tọa ñộ giao
4

ñiểm của chúng bằng phương pháp ñại số.
Bài 2. Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có ñồ thị là Parabol (P) và ñường thẳng (d) có phương trình
y = 2x – 1.
a) Tìm a sao cho (d) tiếp xúc với (P). Tìm tiếp ñiểm.
b) Tìm a ñể (d) không cắt (P).
Bài 3. Cho parabol (P): y = −

1
x2
và ñường thẳng (d): y = − x + n
2
4

a) Tìm giá trị của n ñể ñường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n ñể ñường thẳng (d) cắt (P) tại hai ñiểm.
c) Xác ñịnh toạ ñộ giao ñiểm của ñường thẳng (d) với (P) nếu n = 1

Bài 4. Cho hai ñường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm ñiều kiện của m ñể:
a) Hai ñường thẳng cắt nhau
b) Hai ñường thẳng song song với nhau
c) Hai ñường thẳng trùng nhau
Bài 5. Cho Parabol (P) y =

1 2
x và ñường thẳng (d) y = 2x + m + 1.
2

a) Tìm m ñể (d) ñi qua ñiểm A thuộc (P) có hoành ñộ bằng -2.
b) Tìm m ñể (d) tiếp xúc (P) . Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm.
c) Tìm m ñể (d) cắt (P) tại hai ñiểm có hoàng ñộ cùng dương.
d) Tìm m ñể (d) cắt (P) tại hai ñiểm có hành ñộ x1 ≠ x2 thỏa :

1
1
1
+ 2 =
2
x1 x2
2

Bài 6. Cho ñường thẳng (d) : y = (m + 1)x – 3n + 6 . Tìm m và n ñể :
a) (d) song song với ñường thẳng y = -2x + 5 và ñi qua ñiểm (2 ; -1)
b) (d) song song với ñường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại ñiểm có hoành ñộ -1.
c) (d) cắt trục hoành tại ñiểm có hoành ñộ

3
và cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 1.

2

d) (d) song song với ñường thẳng y = 2x + 3 vá cắt ñường thẳng y = 3x + 2 tại ñiểm có
hoành ñộ bằng 1.
e) (d) ñi qua ñiểm (-3 ; -3) và cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ là 3.
f) (d) ñi qua (2 ; -5) và tung ñộ gốc là -3.
g) (d) ñi qua 2 ñiểm (-1 ; 3) và (-3 ; 1).
Bài 7. Cho hai ñường thẳng (d) y = -2x + 4 và (d’) y = 2x – 2 .
a) Tìm tọa ñộ giao ñiểm A của hai ñường thẳng trên.
b) Vẽ hai ñường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa ñộ.
c) Gọi B và C lần lượt là giao ñiểm của d và d’ với trục hoành, D và E lần lượt là giao ñiểm
của d và d’ với trục tung . Tính SABC , SADE , SABE.
d) Tình góc tạo bởi d và d’ với trục hoành.
11


Bài 8. Tìm giá trị a ñể ba ñường thẳng y = 2x – 5 , y = x + 2 , y = ax – 12 ñồng quy tại một ñiểm
trong mặt phẳng tọa ñộ.
Bài 9. Cho hàm số : y = − x 2 có ñồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có ñồ thị (d) .
a) Khi m = 1. Vẽ ñồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ ñộ.
b) Tìm toạ ñộ giao ñiểm của (P) và (d) toạ ñộ và bằng phép toán khi m = 1.
c) Tìm các giá trị của m ñể (P) và (d) cắt nhau tại hai ñiểm phân biệt A(x A ; y A ) và B(x B ; y B )
sao cho

1
1
+ 2 =6
2
xA xB

Bµi 10. Cho (P) y =

x2
3
vµ ®−êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ; 1 ) cã hÖ sè gãc lµ m
2
4

a) VÏ (P) vµ (d) .
b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) .
c) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt.
--------------------------------------------

12


NỘI DUNG 5 : GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
I. Một số kiến thức cần nhớ :
* Phương pháp giải
Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong những đại lượng chưa biết làm ẩn và
đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
Bước 2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
Bước 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ giữa đại lượng đã biết
và chưa biết.
Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện của ẩn rồi kết luận.
* Chú ý việc tóm tắt bài tốn trước khi làm.
* Các dạng tốn thường gặp : Chuyển động ( V =
nước

s
s
, s = V.t , t = , Vcanơ xi dòng = Vcanơ + Vdòng
t
V

, Vcanơ ngược dòng = Vcanơ - Vdòng nước , hai xe đi ngược chiều nhau thì sxe 1 + sxe 2 = scả qng đường ,.. ) ;

quan hệ số ( số có hai chữ số ab = 10a + b ; số có ba chữ số abc = 100a + 10b + c , viết thêm chữ số
vào số ban đầu hoặc thay đổi vị trí của các chữ số,…) ; làm chung làm riêng thì năng suất trong 1
ngày (hay 1 giờ) bằng 1 chia cho thời gian hồn thành cơng việc,… ; tốn hình học (sử dụng các
cơng thức tính diện tích và chu vi các hình chữ nhật, tam giác, hình vng, định lý pytago,...);…
II. Bài tập :
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Tìm hai số , biết rằng nếu tăng số thứ nhất 2 đơn vò , giảm số thứ hai 3 đơn vò thì tích
của chúng giảm 41 ; còn nếu giảm số thứ nhất 3 đơn vò , tăng số thứ hai 2 đơn vò thì tích của
chúng giảm 11.
Bài 2. Hai vßi n−íc cïng ch¶y vµo mét bĨ th× sau 6 giê ®Çy bĨ. nÕu më vßi thø nhÊt trong 5 giê,
vßi thø hai ch¶y trong 2 giê th× ®−ỵc

8
bĨ. Hái sau bao l©u mçi vßi ch¶y mét m×nh th× ®Çy bĨ?
15

Bài 3. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng
là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Bài 4. Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược chiều nhau, sau
10 giờ thì chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe
thứ hai đi được 8 giờ thì chúng gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi xe.

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn
rộng 3m. Tính các kích thước của vườn. Biết rằng diện tích đất còn lại là 5076 m2.
Bài 6. Hai người đi mô tô cùng khởi hành đi từ A đến B dài 225km. Vì vận tốc của xe mô tô
thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe mô tô thứ hai là 5 km/h nên người đi xe mô tô thứ nhất đến B
sớm hơn người đi xe mô tô thứ hai là 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

13


Bài 7. Một người ñi bộ từ A ñến B. Sau ñó 3 giờ 45 phút, một người khác ñi xe ñạp từ A và
ñuổi kịp người ñi bộ khi cách A là 21 km. Tính vận tốc của người ñi bộ, biết vận tốc người ñi xe
ñạp lớn hơn vận tốc người ñi bộ là 10 km/h.
Bài 8. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể ñầy nước . Nếu mở
riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm ñầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng
vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu ñầy bể ?
Bài 9. Cho mảnh ñất hình chữ nhật có diện tích 360 m2. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều
dài 6 m thì diện tích mảnh ñất không ñổi. Tính chu vi mảnh ñất lúc ñầu.
Bài 10. Một xe lửa ñi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi). Sau ñó 1 giờ một xe lửa khác ñi
từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau
tại một ga ở chính giữa quãng ñường. Tìm vận tốc mỗi xe , giả thiết rằng quãng ñường Hà Nội –
Bình Sơn dài 900 km.
Bài 11. Một xuồng du lịch ñi từ thành phố Cà Mau ñến ðất Mũi theo một ñường sông dài 120
km. Trên ñường ñi xuồng ñi theo ñường khác dài hơn ñường lúc ñi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn
vận tốc lúc ñi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc ñi , biết rằng thời gian về bằng thời gian ñi.
Bài 12. V−ên tr−êng hình chữ nhật cã diÖn tÝch lµ 600 m 2 . TÝnh kÝch th−íc cña nã biÕt r»ng nÕu
gi¶m mçi c¹nh 4m th× diÖn tÝch lµ 416 m 2 .
Bài 13. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả ñi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận
tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Bài 14. Một mảnh ñất hình chữ nhật có ñộ dài ñường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều

rộng là 7m. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh ñất ñó.
Bài 15. Một người ñi bộ từ A ñến B. Sau ñó 3 giờ 45 phút, một người khác ñi xe ñạp từ A và
ñuổi kịp người ñi bộ khi cách A 21 km. Tính vận tốc của người ñi bộ, biết vận tốc người ñi xe ñạp
lớn hơn vận tốc người ñi bộ là 10 km/h.
Bài 16. Một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh ñáy. Nếu chiều cao tăng 3dm và cạnh ñáy giảm
4

2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh ñáy của tam giác ñó.
Bài 17. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô ñi từ A ñến B , nghỉ 40 phút
ở B, rồi lại trở về A. Thời gian kể từ lúc ñi ñến lúc trở về là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước
yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.
Bài 18. Canh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có ñộ dài hơn
kém nhau 2cm. Tính ñộ dài hai cạnh góc vuông.
---------------------------------

14


B. HÌNH HỌC :
I. Một số kiến thức cần nhớ :
1/ ðịnh lý Pytago trong tam giác vuông :
BC2 = AB2 + AC2
Tức là : (cạnh huyền)2 = (cạnh góc vuông 1)2 + (cạnh góc vuông 2)2
2/ Hệ thức lương trong tam giác vuông :
* Hệ thức về cạnh và ñường cao :
AB2 = BH. BC
A

AC2 = CH. BC
AH. BC = AB. AC
AH2 = BH. HC
B

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

A

* Tỉ số lượng giác của góc nhọn :
AC
; cos α =
AB
AC
tgα =
; cot gα =
AB
sin α =

AB
BC

AC
AB

C

H

B

)α

C

Chú ý :

sin α
cosα
; tgα.cot gα = 1
; cot gα =
cosα
sinα

với góc nhọn α ta ñược : sin 2 α + cos 2α = 1 ; tgα =

3/ Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau :
Giả sử AB , AC là hai tiếp tuyến với ñường tròn (O)
Ta ñược :
B
• AB = AC
•

A1 = A2

•

O1 = O2

1
2

1
O 2

A

C
Từ ñó ta suy ra ñược OA ⊥ BC
* Chú ý : Muốn chứng minh một ñường thẳng là tiếp tuyến ta có thể chứng minh ñường thẳng ñó
vuông góc với bán kính ñi qua tiếp ñiểm của ñường tròn.
4/ Các góc với ñường tròn :
* Góc ở tâm :
A

AOB = sd AB nho?

O

⇒ sd AB lo ' n = 360 − sd AB nho?
0

B

C

* Góc nội tiếp :

sd AB
ACB =
⇒ sd AB = 2. ACB
2

O
B
A

15


ACx =

x

C

* Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung :

sd AC
⇒ sd AC = 2. ACx
2

O
A

* Góc có ñỉnh bên trong ñường tròn :

D

A

sd BC + sd AD
BEC =
2

E

⇒ sd BC + sd AD = 2.BEC

O

B

* Góc có ñỉnh bên ngoài ñường tròn :

sd BC − sd AD
BEC =
2

C
B

A
E

O

⇒ sd BC − sd AD = 2.BEC

D
C

Chú ý : Trong một ñường tròn :
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau và ngược lại.( hình 1 )
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.( hình 2 )
- Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến cùng chắn một cung thì bằng nhau và chúng cùng
bằng nửa góc ở tâm chắn cung ñó.( hình 3 )
A
A

A

x

C

O
B

E

O

E

hình 1

∠BAE=∠EAC <=> BE = EC

B

O
C

hình 2
∠BAC = ∠BEC (cùng chaén cung BC)

B

C
hình 3

∠BAC = ∠CAx =

1

2
(cuøng chaén cung AC)

∠AOC

- Góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn bằng 900.
5/ Một số dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp :

- Chứng minh tổng hai góc ñối nhau của tứ giác bằng 1800.
- Hai ñỉnh kề nhau của một tứ giác nhìn một một cạnh tạo bởi hai ñỉnh còn lại dưới một góc
không ñổi.
- Tứ giác có góc ngoài tại một ñỉnh bằng góc trong tại ñỉnh ñối của ñỉnh ñó.
6/ Hai tam giác ñồng dạng :
- Tam giác này có hai góc nhọn bằng hai góc nhọn của tam giác kia. (g-g)
- Tam giác này có hai cạnh tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc xen giữa hai cạnh ñó bằng
nhau.(c-g-c)
- Tam giác này có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.(c-c-c)
7/ Hai tam giác bằng nhau :
- Cạnh – góc – cạnh
- Góc – cạnh – góc
- Cạnh – cạnh – cạnh
16


8/ Một số công thức tính diện tích :
- Hình chữ nhật : S = a.b (với a, b là hai kích thước của hình chữ nhật )
- Hình vuông : S = a2 ( với a là cạnh của hình vuông )
1
2

- Diện tích tam giác vuông : S = a.b ( với a, b là hai cạnh góc vuông )
1
2

- Diện tích tam giác : S = a.h ( với h là ñường cao tương ứng cạnh a của tam giác )
1
2

- Diện tích hình thang : S = h.(a + b) ( với h là ñường cao, a và b là hai ñáy )
1
2

- Diện tích hình thoi : S = d1.d 2 (với d1 , d2 là hai ñường chéo của hình thoi)
9/ Các công thức tính :
- Chu vi ñường tròn : C = 2 π R hay C = π d.
π Rn
- ðộ dài cung tròn : l =
180

- Diện tích hình tròn : S = π R 2
- Diện tích hình quạt tròn : S =

π R2n
360

hay S =

l .R
2

- Diện tích hình vành khăn : S = π ( R12 − R2 2 ) với R1 > R2.
- Diện tích hình viên phân (giới hạn bởi cung và dây của ñường tròn) :
S = S∆ - Squạt
10/ Hình học không gian :
- Hình trụ : S xq = 2π rh và V = π r 2 h
1
3

- Hình nón : S xq = π rl và V = π r 2 h
4
3

- Hình cầu : S = 4π R 2 và V = π R3 với r là bán kính mặt ñáy, h là chiều cao, l là ñộ dài
ñường sinh, R là bán kính hình cầu.

17


II. Bài tập :
Bài 1. Từ một diểm P ở ngoài đường tròn (O) , vẽ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua B kẻ Bx //
PA cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của PC vời (O) và I là giao điểm của BE và PA.
a) Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp.
b) Chứng minh PA2 = PE.PC và IA2 = IB.IE
c) Chứng minh IP = IA
Bài 2. Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó
một điểm P sao cho AP > R. Từ điểm P, kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O ; R) tại M
(khác A).
a) Chứng minh BM // OP.
b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành.
c) Biết PM cắt ON tại I , PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh tam giác OJP cân
và đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.
(ðối với câu này đề bài có thể u cầu khác như sau : Gọi K là giao điểm của OP và AN.
Chứng minh 3 điểm J, I, K thẳng hàng)
d) Xác đònh độ dài đoạn AP theo bán kính R để tam giác OJP đều.
Bài 3. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại hai điểm A, B và tâm đường tròn
này không nằm trên đường kia. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt lại (O’) tại C ; tiếp tuyến của (O’)
cắt lại (O) tại D.

a) Chứng minh OO’ vuông góc AB.
b) Chứng minh CAB = ADB và BA2 = BC. BD
c) Trường hợp OAO ' = 900 . Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và tính BA, BC, BD
theo R và R’.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH và BK là hai đường cao của tam giác ABC.
a) Chứng minh tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn. Xác đònh tâm I của
đường tròn này.
b) Giả sử ACB = 600 . Chứng minh tam giác HIK là tam giác đều.
c) Chứng minh : CK. CA = CH. CB
Bài 5. Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao AD và BE của
tam giác cắt nhau tại H (D, E là chân đường cao). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm
P (P khác A).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn, gọi đường tròn này là
(O’).
b) Chứng minh DH = DP.
c) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh đường thẳng A’B là tiếp tuyến của
đường tròn (O’).
18


d) Gọi R là bán kính của đường tròn (O), giả sử ACB = 450 . Hãy tính diện tích hình tròn (O’)
theo R.
Bài 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB lấy một điểm S bên ngoài đường tròn sao cho
đoạn thẳng SA cắt đường tròn tại M và đoạn thẳng SB cắt đường tròn tại N. Gọi H là giao điểm
của BM và AN.
a) Chứng minh tứ giác SMHN nội tiếp.
b) Chứng minh SM. SA = SN. SB
c) Giả sử MON = 700 . Tính số đo góc ASB.
Bài 7. Cho Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) (A là tiếp điểm). Lấy B ∈ Ax sao cho AB <
2R. Gọi M là trung điểm AB, đường thẳng vng góc với AB tại M cắt đường tròn tâm O ở H và K

(H nằm giữa K và M).
a) Chứng minh rằng tam giác AMH đồng dạng tam giác AMK.
AB 2
b) Chứng minh rằng
= MH .MK
4

c) AH cắt BK tại D. Chứng minh tứ giác AMDK nội tiếp.
d) Chứng minh BH vng góc AK.
Bài 8. Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp
tuyến tại B, tại C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh :
a) BD2 = AD.CD
b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE
Bài 9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Trên đường chéo BD lấy E sao cho
DAE = BAC . Chứng minh :

a) ∆ADE đồng dạng ∆ACB ; ∆ABE đồng dạng ∆ACD
b) AD.BC + AB.CD = AC.BD
Bài 10. Từ điểm M ở bên ngồi đường tròn tâm O bán kính R , vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A
và B là hai tiếp điểm) và cát tuyến MCD. Gọi I là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh tứ giác MAOI nội tiếp.
b) Tính AB Theo R , khi góc AMB bằng 600.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO . Chứng minh : MH . MO = MC . MD
Bài 11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD
cắt nhau tại E. Kẻ EF vng góc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp.
b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF.
c) Tứ giác BCMF nội tiếp.
Bài 12. Từ một điểm M ở bên ngồi đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn .

Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD vng góc AB, CE vng góc MA, CF vng góc MB.
Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp.
b) CD2 = CE. CF
c) Tứ giác ICKD nội tiếp.
19


d) IK vuụng gúc CD.
Bi 13. Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ủng trũn (O). Cỏc ủng cao AG, BE, CF gp nhau
ti H.
a) Chng minh AEHF ni tip. Xỏc ủnh tõm I ca ủng trũn ngoi tip ủú.
b) Chng minh AF. AC = AH. AG
c) Chng minh GE l tip tuyn ca ủng trũn (I).
d) Cho bỏn kớnh ủng trũn (I) l 3cm, BAC = 600 . Tớnh ủ di cung FHE v din tớch hỡnh
qut trũn IFHE.
Bi 14. Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d
lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB
(B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của
OM và AB.
a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
c) Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
d) Chứng minh OAHB là hình thoi.
e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Bi 15. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác
A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia
phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.

c) Chứng minh BAF là tam giác cân.
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
Bi 16. Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc
nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
a) Chứng minh AC. AE không đổi.
b) Chứng minh ABD = DFB.
c) Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bi 17. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM
< MB. Gọi M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, MA. Gọi P là
chân đờng vuông góc từ S đến AB.
a) Chng minh A, M, S, P cựng nm trờn mt ủng trũn.
b) Gi S l giao ủim ca MA v SP . Chng minh tam giỏc PSM cõn.
c) Chng minh PM l tip tuyn ca ủng trũn.
Bi 18. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC
tại F.
a) Chứng minh AFHE là hình chữ nhật.
b) BEFC là tứ giác nội tiếp.
c) AE. AB = AF. AC.
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn .
20


e) Gi s BH = 40cm , CH = 10cm. Tớnh MN v din tớch gii hn bi ba na ủng trũn
ủng kớnh BC, BH, CH.
Bi 19. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng
kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
c) Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM,

CD đồng quy.
d) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
e) Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bi 20. Cho tam giác đều ABC có đờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không
trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC.
a) Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
đó.
b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
c) Chứng minh OH PQ.
Bi 21. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ).
Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI
vuông góc với CD.
a) Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
b) Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
c) Chứng minh BI // AD.
d) Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
e) Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O).
f) Chng minh OD vuụng gúc MI.
Bi 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE,
đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp .
b) Tính góc CHK.
c) Chứng minh KC. KD = KH.KB
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào?
Bi 23. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD AB ở H. Gọi M là điểm
chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng minh
a)

KC AC
=

.
KB AB

b) AM là tia phân giác của CMD.
c) Tứ giác OHCI nội tiếp
d) Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M.
Bi 24. Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đờng tròn . Các tiếp tuyến với đờng tròn
(O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác
B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB. Chứng minh :
a) Tứ giác ABOC nội tiếp.
b) BAO = BCO.
21


c) MI.MK = MH2.
Bi 25. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối
xứng của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC.
a) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành.
b) E, F nằm trên đờng tròn (O).
c) Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân.
d) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bi 26. Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B
(O), C (O) . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
a) Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO nội tiếp .
b) Chứng minh BAC = 900 .
c) Tính số đo góc OIO.
d) Tính độ dài BC biết OA = 9cm, OA = 4cm.
e) Gi E l giao ủim ca AB v OI ; F l giao ủim ca AC v OI. Chng minh AEIF l hỡnh
ch nht. T ủú suy ra ủ di EF.
f) Chng minh IE. IO = IF. IO.

g) Chng minh OO l tip tuyn ca ủng trũn ủng kớnh BC.
Bi 27. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A
qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp .
b) Chứng minh NE AB.
c) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O).
d) Chứng minh FN là tiếp tuyến của đờng tròn (B; BA).
Bi 28. Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C
không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b) Chứng minh AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
Bi 29. Mt mt phng cha trc OO ca mt hỡnh tr ; phn mt phng nm trong hỡnh tr l
mt hỡnh ch nht cú chiu di 3cm v chiu rng di 2cm. Tớnh din tớch xung quanh v th tớch
ca hỡnh tr ủú.
Bi 30. Khi quay tam giỏc ABC vuụng ti A mt vũng quanh cnh gúc vuụng AC c ủnh ta ủc
mt hỡnh nún. Bit BC = 4dm , ACB = 300 . Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh nún ủú

--------------------------------------------------------------------

22


ðỀ THI THỬ
****

ðỀ 1 :

--------------------------------------------------------

23


ðỀ 2 :
Câu 1:(2 ñ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x2 + 3x – 5 = 0
b) x4 – 3x2 – 4 = 0
2x + y = 1
3x + 4y = −1

c) 

Câu 2:( 2 ñ)
a) Vẽ ñồ thị (P) của hàm số y = –x2 và ñường thẳng (D): y = x – 2 trên cùng một cùng một hệ
trục toạ ñộ.
b) Tìm toạ ñộ các giao ñiểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Câu 3: (1ñ) Thu gọn các biểu thức sau:
7−4 3 − 7+ 4 3

a) A =

 x +1
x − 1  x x + 2x − 4 x − 8
với x > 0; x ≠ 4.
−
 .
x
−
4

x
+
4
x
+
4
x



b) B = 

Câu 4:(1,5 ñ) Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m ñể x12 + x22 − x1x2 = 7 .
Câu 5: (3,5ñ)
Từ ñiểm M ở ngoài ñường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không ñi qua tâm O và hai tiếp tuyến
MA, MB ñến ñường tròn (O), ở ñây A, B là các tiếp ñiểm và C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Gọi I là trung ñiểm của CD. Chứng minh rằng 5 ñiểm M, A, O, I , B cùng nằm trên một
ñường tròn.
c) Gọi H là giao ñiểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp ñược ñường tròn.
Suy ra AB là phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao ñiểm của các tiếp tuyến tại C và D của ñường tròn (O). Chứng minh A, B,
K thẳng hàng.

------------------------------------------------

24

* ðỀ 3 :
Bài 1:(2 ñ) Cho Parabol (P): y = x2 và ñường thẳng (d): y = –3x + 4
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa ñộ Oxy.
b) Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (d) và (P).
Bài 2: (1,5 ñ)
Cho phương trình bậc hai, ẩn số là x:
x2 – 4x + m + 1 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
c) Tìm giá trị của m sao cho phương trình ñã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2
= 10.
Bài 3: (1 ñ)Giải hệ phương trình:

3 x − 2 − y + 2 = 1

 x − 2 + y + 2 = 3
Bài 4: (1,5 ñ) Rút gọn biểu thức:
a) A = 6 + 3 3 + 6 − 3 3

(5 + 2 6)(49 − 20 6) 5 − 2 6
9 3 − 11 2
Bài 5: (4ñ)
Cho ñoạn thẳng AB và một ñiểm C nằm giữa A và B. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là ñường
thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một ñiểm I. Tia vuông góc
với CI tại C cắt tia By tại K. ðường tròn ñường kính IC cắt IK ở P.
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp ñược.
b) Chứng minh: AI.BK = AC.CB
c) Chứng minh tam giác APB vuông.
b) B =

25