Chuyên đề giải bài toán bằng cách LPT =>Ôn 10

I đờng lối chung Để GIảI B I TOáN BằNG CáCH LậP PHơNG TRìNH :
Bớc 1 : Lập phơng trình gồm các công việc:
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có)
- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành
phơng trình, hệ phơng trình.
- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài, mà lập phơng trình, hệ phơng trình.
Bớc 2 : Giải phơng trình (hệ phơng trình). Tùy theo từng dạng phơng trình mà chọn cách giải thích thích
hợp và ngắn gọn.
Bớc 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp
không, có thể thử lại kết quả đó với cả nội dung bài toán (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ)
sau đó trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vị).
Chú ý: Bớc 1 có tính chất quyết định nhất. Thờng đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác
định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn.
II- PHâN TíCH BàI TOáN :
Loại toán :
1. - Bài toán về chuyển động.
2. - Bài tập năng suất lao động.
3. - Bài toán liên quan đến số học và hình học.
4. - Bài toán có nội dung vật lý - hóa học.
5. - Bài toán về công việc làm chung và làm riêng.
6. - Bài toán về tỷ lệ, chia phần.
7. Bài toán về số
Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình
biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt đợc đề bài là các em đã hiểu đợc nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết đợc
đại lợng nào đã biết, đại lợng nào cha biết, mối quan hệ giữa các đại lợng.
Khó khăn nhất đối với học sinh là bớc lập phơng trình, các em không biết chọn đối tợng nào là ẩn, rồi
điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là ở những bài tập đơn giản thì thờng thờng bài
toán yêu cầu tìm đại lợng nào thì chọn đại lợng đó là ẩn.
Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải biết đ ợc nên chọn đối
tợng nào là ẩn để khi lập ra phơng trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn.
Muốn lập đợc phơng trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối t ợng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tợng này lúc đầu nh thế nào? lúc sau nh thế nào?

* Chẳng hạn khi giải bài toán: Một phân xởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày
phân xởng phải may xong 90 áo. Nhng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó,
phân xởng không chỉ hoàn thành trớc kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xởng
phải may bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28).
Phân tích:
ở đây, ta gặp các đại lợng:
Số áo may trong một ngày (đã biết),
Tổng số áo may và số ngày may (cha biết):
Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ:
(Số áo may trong một ngày) x (số ngày may) = Tổng số áo may.
Ta chọn ẩn là trong các đại lợng cha biết. ở đây, ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch. Quy luật trên cho phép
ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán (Giáo viên kẻ bảng và hớng dẫn học sinh điền
vào bảng)
Số áo may trong 1 ngày
số ngày may
Tổng số áo may
Theo kế hoạch
90
x
90x
Đã thực hiện
120
x-9
120(x - 9)
Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may đợc và số áo may theo kế hoạch đợc biểu thị bởi phơng trình:
120(x - 9) = 90x +60.
* Hoặc khi giải bài toán: Số lợng trong thùng thứ nhất gấp đôi lợng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở
thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số dầu trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi
thùng chứa bao nhiêu lít dầu?
Tóm tắt: Lúc đầu:

- Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II
- Bớt thùng I đi 75 lít.
- Thêm vào thùng II là 35 lít.
Lúc sau:
- Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II.
Tìm lúc đầu: Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít)
+ Bài toán có mấy đối tợng tham gia? (2 đối tợng - là 2 thùng dầu).
+ Quan hệ hai đối tợng này lúc đầu nh thế nào?
(Số dầu T1 = 2T2)

1


+ Hai đối tợng này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75 lít, thùng II thêm 35 lít).
+ Quan hệ hai đối tợng này lúc sau ra sao (Số dầu T1 = số dầu T2).
+ Đại lợng nào liên quan đến hai đối tợng? (Số lít).
+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào cha biết.
ở đây cần phải ghi rõ là bài toán yêu cầu tìm số dầu mỗi thùng lúc đầu, có nghĩa là 2 đối tợng đầu cha
biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn số lít dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu là ẩn.
- Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lít).
- Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số dơng).
- Biểu thị đại lợng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc đầu là 2x (lít).
Chú ý : Thêm (+), bớt (-).
- Số dầu thùng I khi bớt 75 lít? (2x 75)
- Số lít dầu thùng II khi thêm 35 lít? (x + 35)
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng lúc sau là (số lít dầu 2 thùng bằng nhau) ta lập phơng trình.
x + 35 = 2x 75
(1)
Sau khi giải xong, tìm đợc giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đối chiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn
ở trên để trả lời bài toán.

- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem còn có thể giải theo cách nào nữa? Học sinh
thấy ngay là ta có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu là ẩn.
Bằng cách lý luận trình tự theo các bớc nh trên, các em sẽ lập đợc phơng trình bài toán:
1
x - 75 = x + 35
(2)
2
Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với cách giải thứ nhất thì giải phơng trình nào dễ hơn.
Chắc chắn là giải phơng trình (1) dễ dàng hơn phơng trình (2) bởi vì khi giải phơng trình (2) ta phải quy
đồng mẫu chung hai vế của phơng trình rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng túng cho các em.
Tóm lại : Nếu hai đối tợng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tợng này gấp mấy lần đối tợng kia thì ta
phải cân nhắc xem nên chọn đối tợng nào là ẩn để bớt khó khăn khi giải phơng trình.N
Nếu gặp bài toán liên quan đến số ngời, số con thì điều kiện của ẩn: nguyên dơng đồng thời phải lu
ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung thực tế bài toán cho.
ở chơng trình lớp 8, 9 thờng gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn giản nh: Chuyển động
cùng chiều, ngợc chiều trên cùng quãng đờng hoặc chuyển động trên dòng nớc.
Do vậy, trớc tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lợng.
Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lợng quãng đờng, vận tốc, thời gian, mối quan hệ
s
s
của chúng qua công thức S = v.t . Từ đó suy ra: v = t ; t = v
Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nớc chảy.
Thì:
Vxuôi = VRiêng + V dòng nớc
Vngợc = VRiêng - V dòng nớc
* Ta xét bài toán sau: Để đi đoạn đờng từ A đến B, xe máy phải đi hết 3 giờ 30; ô tô đi hết 2 giờ 30
phút. Tính quãng đờng AB. Biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.
Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ra vẽ sơ đồ minh họa thì học sinh dễ hình dung
bài toán hơn
Tóm tắt:

Đoạn đờng AB
B
t1 = 3g 30 phút
A
t2 = 2g 30 phút
V2 lớn hơn V1 là 20km/h (V2 V1 = 20)
Tính quãng đờng AB =?
- Các đối tợng tham gia:( ô tõ- xe máy)
- Các đại lợng liên quan: quãng đờng, vận tốc, thời gian.
- Các số liệu đã biết:
+ Thời gian xe máy đi: 3 giờ 30
+ Thời gian ô tô đi: 2 giờ 30
+ Hiệu hai vận tốc: 20 km/h
- Số liệu cha biết:
Vxe máy? Vôtô? SAB ?
* Cần lu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đờng không đổi. Quan hệ giữa các đại lợng s, v,
t đợc biểu diễn bởi công thức: s = v.t. Quan hệ giữa v và t là hai đại lợng tỷ lệ nghịch.
Nh vậy ở bài toán này có đại lợng cha biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên có thể chọn x (km) là
chiều dài đoạn đờng AB; điều kiện: x > 0
Biểu thị các đại lợng cha biết qua ẩn và qua các đại lợng đã biết.

2


Vận tốc xe máy:

x

Vận tốc ô tô: 2, 5

x
3, 5

(km/h)

(km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lợng (V2 V1 = 20)

x
x
= 20
2, 5 3, 5

- Giải phơng trình trên ta đợc x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay
đợc chiều dài đoạn AB là 175km.
Nh ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe cha biết, nên ngoài việc chọn quãng
đờng là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ô tô là ẩn.
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ô tô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đờng AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đờng xe máy đi hoặc của ô tô đi)
- Ta có phơng trình: 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phơng trình trên ta đợc: x = 50.
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán: Vận tốc xe máy là 50 km /h.
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy đợc bài toán yêu cầu tìm quãng đờng nên khi có vận tốc rồi ra phải
tìm quãng đờng.
- Trong bớc chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hớng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện của ẩn, yêu
cầu của đề bài. Chẳng hạn nh bài toán trên, ẩn chọn là vận tốc của xe máy, sau khi tìm đợc tích bằng 50, thì
không thể trả lời bài toán là vận tốc xe máy là 50 km /h, mà phải trả lời về chiều dài đoạn đ ờng AB mà đề bài
đòi hỏi.

Tóm lại : Dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lợng cha biết, nên ở bớc lập phơng trình ta tùy
ý lựa chọn một trong các đại lợng cha biết làm ẩn.
Nhng ta nên chọn trực tiếp đại lợng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn. Nhằm tránh những thiếu sót khi
trả lời kết quả. Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn đợc trực tiếp đại lợng phải tìm là ẩn mà có thể phải
chọn đại lợng trung gian là ẩn.
- Cần chú ý 1 điều là nếu gọi vận tốc ô tô là x (km/h) thì điều kiện x >0 cha đủ mà phải x > 20 vì dựa vào thực
tế bài toán là vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 (km/h)
Đối với bài toán làm chung làm riêng một công việc
- Khi công việc không đợc đo bằng số lợng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số
1.
- Năng suất làm việc là phần việc làm đợc trong 1 đơn vị thời gian.
A : Khối lợng công việc
Ta có công thức A = nt ; Trong đó
n: Năng suất làm việc
t : Thời gian làm việc
- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.
- Biết tìm năng suất làm việc nh thế nào? thời gian hoàn thành, khối lợng công việc để vận dụng vào
từng bài toán cụ thể.
Khi ta nắm đợc các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán.
4
1
*Xét bài toán sau: 2 vòi cùng chảy 4 giờ đầy bể 1 giờ vòi 1 chảy bằng 1 lợng nớc vòi 2. Hỏi: mỗi
5
2
vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
- Trớc hết phân tích bài toán để nắm đợc những nội dung sau:
+ Khối lợng công việc ở đây là lợng nớc của một bể.
+ Đối tợng tham gia? (2 vòi nớc)
+ Số liệu đã biết? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lợng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của mỗi vòi.

+ Số liệu cha biết? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi vòi).
- Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể.
Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể.
Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h)
Điều kiện của x ( x > 4

4
24
giờ =
giờ)
5
5

- Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vòi chảy.
Nên tìm:

+ Năng suất của vòi 1 chảy là?

1
(bể)
x
3


+ Năng suất vòi 2 chảy là?

3
(bể)
2x

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ:
Ta có phơng trình:

1 3
5
+
=
x 2x 24

1:

24
5
=
(bể)
5
24

Đây là dạng phơng trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các bớc để giải phơng trình trên, ta đợc x = 12. Vậy thời
gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.
3
1
- Nhng làm sao để tính đợc thời gian chảy 1 mình của 1 vòi thì ta tìm năng suất của vòi 1 là:
=
(bể)
2.12
8
Từ đó ta tìm đợc thời gian là 8 giờ.
* ở chơng trình đại số lớp 8, 9 các em cũng thờng gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số.
- Cách viết số trong hệ thập phân.

- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm; điều kiện của các chữ số.
*Ví dụ: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau đ ợc một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
Học sinh phải nắm đợc:
- Số cần tìm có mấy chữ số?( 2 chữ sỏ).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị nh thế nào?(Tổng 2 chữ số là 16).
- Vị trí các chữ số thay đổi thế nào?
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ
số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị).
Nếu gọi chữ số hàng chục là x
Điều kiện của x? (x N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vị là: 16 x
Số đã cho đợc biết 10x + 16 - x = 9x + 16
Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới đợc viết.
10 ( 16 x ) + x = 160 9x
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phơng trình:
(160 9x) (9x + 16) = 18
- Giải phơng trình ta đợc x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chữ số hàng chục là 7. Chữ số hàng đơn vị là 16 7 = 9. Số cần tìm là 79.
III- MộT Số Ví Dụ ĐIểN HìNH Về CáC DạNG TOáN Và BàI TậP Đề NGHị:

Loại 1: Bài toán về chuyển động

Ví dụ 1 : Nhà Hòa và nhà Bình cùng nằm trên đờng quốc lộ cách nhau 7km. Nếu Hòa và Bình đi xe đạp
1
cùng một lúc và ngợc chiều thì sau giờ họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ngời, biết rằng vận tốc của Hòa
4
3
bằng vận tốc của Bình.

4
3
Lời giải : Gọi vận tốc của Bình là x (km/h)(x > 0).vận tốc của Hòa là x (km/h).
4
1
1
Trong
giờ,
Bình đi đợc x (km).
x
4
1 3
Hòa đi đợc . x (km)
4 4
1
1 3
7 1
Ta có phơng trình: x + . x =7
Giải ra đợc: x. = 7 ị x = 16
4
4 4
4 4
3
3
1
3
x = 16. = 12
Thử lại: 16. + 12. = 12
4
4

4
4
Vậy vận tốc của Hòa là 12 (km/h), của Bình là 16 (km/h).
Ví dụ 2 : Hai ô tô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120km. Xe thứ
nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ, nên đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Giải: Gọi vận tốc của xe thứ nhất là: x km/h (với x > 10).

4


Vận tốc của xe thứ hai là: (x 10) km/h.
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là

120
giờ
x

120
giờ, và nh vậy lâu hơn 1 giờ.
x - 10
120
120
+1 =
Hay : 120 (x 10) + x (x 10) = 120x
x
x - 10

Xe thứ hai đi từ A đến B mất
Ta có phơng trình:

x2 10x 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225 = 352 ;
' = 35
Phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 40 ; x2 = - 30
Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm.
Thử lại:

120
120
= 4 (giờ)
= 3(giờ) ;
40
30

3 + 1 = 4 (giờ)
Vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h). Vận tốc của xe thứ hai là 30 (km/h).
Bài tập đề nghị :
1- Hai bến tàu thủy A và B cách nhau 48 km. Một tàu thủy đi từ A đến B rồi trở lại A ngay mất 5 giờ tất
cả. Biết vận tốc của dòng nớc là 4 (km/h). Tính vận tốc của tàu thủy khi nớc đứng im.
2- Một xe ô tô phải đi quãng đờng dài 150km với vận tốc đã định. Ngời ta tính rằng: Nếu ô tô tăng vận
tốc thêm 10km mỗi giờ thì thời gian chạy hết quãng đờng sẽ giảm đợc 45 phút. Tính vận tốc đã định.

Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động

Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm đợc, nh vậy năng suất lao động trội = mức quy định + tăng
năng suất.
Ví dụ: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy. Trong tháng sau, tổ I vợt mức 10%, tổ II vợt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao
nhiêu chi tiết máy?
Giải : Cách 1:
Gọi x là số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng đầu, x nguyên dơng, nh vậy tổ 2 sản xuất (400 x) chi tiết

máy.
Trong tháng sau, tổ I làm đợc so với tháng đầu là:
100% + 10% = 110%
Tổ II làm đợc so với tháng đầu là:
100% + 15% = 115%
Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm đợc là:
110x 115(400 - x )
+
= 448
100
100
Giải phơng trình trên: 110x + 115 (400 x) = 44.800
- 5x = - 1.200
x = 240
110.240
115.160
= 264
= 184 ; 264 +184 =448.
Thử lại:
;
100
100
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất đợc 400 240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2 Phần đặt ẩn số nh cách 1.
Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là:
448 - 400 = 48 (chi tiết máy)
10x 15(400 - x )
+
= 48
Nh vậy ta có phơng trình:

100
100
Giải phơng trình trên: 10x + 15 (400 x) = 4.800
- 5x
= - 1200
x
=
240
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất đợc 400 240 = 160 chi tiết máy.
Bài tập đề nghị :
1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xởng B 200 bình bơm thuốc
trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xởng A tăng năng suất 20%, còn phân xởng B tăng năng suất 15% nên phân xởng A sản xuất đợc nhiều hơn phân xởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xởng phải sản xuất
bao nhiêu bình bơm?

5


2- Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của
đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày công.
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học
Chú ý về cấu tạo thập phân của một số: mỗi đơn vị của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vị của
hàng liền sau nó (hoặc liền trớc nó) 10 lần. Chẳng hạn, số có ba chữ số abc bằng:
abc = 100a + 10b + c
trong đó a, b, c là các số tự nhiên từ 0 đến 9, riêng a từ 1 đến 9.
Ví dụ 1: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo
thứ tự ngợc lại thì đợc một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
Giải:
Gọi số đã cho là xy , trong đó x, y là số tự nhiên và 1 < x < 9, 0 < y < 9 và
xy = 10x + y .
Theo giả thiết thì x + y = 7. Số đợc viết theo thứ tự ngợc lại là

yx = 10y + x
.
Theo đầu bài ta có hệ phơng trình:
ỡù x + y = 7
ù
ớ
ùù 10y + x - (10x + y ) = 27
ợ
ỡù x + y = 7
ù
Rút gọn hệ này ta đợc: ớù y - x = 3
ùợ
Cộng theo từng vế ta có 2y = 10 hay y = 5. Suy ra x = 7 - 5 = 2.
Giá trị này thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại: 52 - 25 = 27
Vậy số phải tìm là 25.
Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 35cm. Tính độ dài
mỗi cạnh góc vuông.
Giải:

Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông, x > 0. Cạnh góc vuông kia dài 35 - x (cm). Theo định lý
Pitago ta có phơng trình:
x2 + (35 - x)2 = 252
2
hay
x + 1225 - 70x + x2 = 625
x2 - 35x - 300 = 0
= 1225 - 1200 = 25 ;
D = 5.
Phơng trình có hai nghiệm: x1 = 20 và x2 = 15. Hai giá trị này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại: 20 +

15 = 35 và 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 252.
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lợt là 20cm và 15cm.
Bài tập đề nghị :
1- Nhà trờng dự định làm một sân tập thể dục hình chữ nhật diện tích 350m 2. Tính kích thớc của sân biết
rằng nếu giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích vẫn không đổi.
2- Trong một tam giác vuông, đờng cao thuộc cạnh huyền dài 12cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn
hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài cạnh huyền.
Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học
Để lập đợc phơng trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những
đại lợng có trong đề toán.
Ví dụ 1 : Dùng hai lợng nhiệt, mỗi lợng bằng 168kJ để đun nóng hai khối nớc hơn kém nhau 1kg thì
khối nớc nhỏ nóng hơn khối nớc lớn 20C. Tính xem khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm mấy độ?.
Phân tích : Công thức tính nhiệt lợng là: Q = cm (t2 - t1)

Q

trong đó nhiệt độ đợc tăng thêm là t2 - t1, suy ra khối lợng của nớc là m = c(t - t ) , biết rằng nhiệt dung

2

riêng của nớc là: c =4,2 kJ/kg.độ.
Giải: Giả sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng x độ (x>0).

6

1


Nh vậy khối lợng nớc nhỏ là:

m=

Q
168
c(t - t ) = 4,2.x (kg) ,
2 1

168

vì khối nớc lớn đợc đun nóng kém hơn khối nớc nhỏ 20C nên khối lợng của khối nớc lớn là: 4,2(x - 2) (kg)

168
168
+1 = 4,2(x - 2)
4,2.x
40
40
+ 1=
Giải phơng trình trên ta đợc:
x
x- 2

Theo đầu bài ta có phơng trình:

40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x
x2 - 2x - 80 = 0
= 1 + 80 = 81 ' = 9
Phơng trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8
Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.
Vậy khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm 100C.

(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lợng khối nớc nhỏ).
Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối l ợng riêng nhỏ hơn
100kg/m3 ta đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 350kg/m3. Tính khối lợng riêng của mỗi chất lỏng.
Phân tích : Công thức khối lợng riêng: D =

M
(kg/m3)
V

Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lợng riêng khác nhau thì khối lợng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác
nhng thể tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng thể tích của hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính
M
thể tích: V =
.
D
Giải:
Gọi khối lợng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m3) thì khối lợng riêng của chất lỏng thứ hai là (x 100) kg/m3. Điều kiện x > 100.
So sánh thể tích của hai chất lỏng

0, 04 + 0, 03 0, 07
=
350
350
Ta đi đến phơng trình T:

0.04
x

và

0.03
với thể tích của hỗn hợp:
x - 100

0.04
0.03
0, 07
+
=
x
x - 100 350

Nhân hai vế với 100 và thay

7
1
=
ta đợc phơng trình:
350 50
4
3
1
+
=
x x - 100 50

50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100)
x2 - 450x + 20000 = 0
= 202500 - 80000 = 122500 = 3502 ;
D = 350.

Phơng trình có hai nghiệm: x1 = 400; x2 = 50.
Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.
Vậy khối lợng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m3 và 300kg/m3.
Bài tập đề nghị :
1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có
50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại?
2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối lợng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lợng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm
là 2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng

7


Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ
1
làm đợc công việc.
n
Ví dụ 1: Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công trình. Nếu làm riêng thì
đội I phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình.
Giải :
Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn thành công trình. Nh vậy đội II làm riêng phải mất x - 5
ngày. Điều kiện x > 5. Mỗi ngày đội I làm đợc

1
x

công trình, đội II làm đợc

1

công trình và cả hai đội
x- 5

1
1
1
1
công trình. Ta có phơng trình:
+
=
6
x x- 5 6
Giải phơng trình trên:
6(x - 5) + 6x = x(x - 5)
x2 - 17x + 30 = 0
= 289 - 120 = 169 = 132;
D = 13
Phơng trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2
Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15
Ví dụ 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể không có nớc trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
2
trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy
bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu
5
mới đầy bể.
Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nớc chảy một mình để đầy bể, x và y dơng và tính bằng giờ. Nh vậy, sau 1
1 1
1
giờ mỗi vòi chảy đợc và y bể, cả hai vòi chảy đợc
bể. Theo đề bài ta có hệ phơng trình:

x
12
ỡù 1
ùù + 1 = 1
ùù x
y 12
ớ
ùù 4
6 2
ùù + =
y 5
ợù x
Giải hệ phơng trình: x =20 và y = 30
Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại đúng.Vậy mỗi vòi nếu chảy riêng thì lần l ợt phải
mất 20 giờ và 30 giờ mới đầy bể.
Bài tập đề nghị :
1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau 7 giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng
trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới đợc một nửa công việc. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu để xong công việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mơng. Nếu để mỗi đội làm riêng cả con mơng thì tính ra cả hai
đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào xong mơng?
11
3- Hai vòi nớc cùng chảy vào bể không có nớc, sau 2
giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất
12
sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?.
làm chung đợc

Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần

Ví dụ 1 : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nớc chấm. Nếu cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì
số nớc chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít n ớc
chấm?
Giải : Gọi số nớc chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x lít, ở cửa hàng thứ hai là y lít. Điều kiện x, y d ơng và nhỏ
hơn 600. Theo gia thiết thứ nhất ta có
x + y = 600.
Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít.
Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80). Nh vậy ta có hệ phơng trình:
x + y = 600
y + 80 = 2(x - 80)
Giải hệ phơng trình trên:
x + y = 600
x + y = 600

hay

8


y - 2x = - 240
2x - y = 240
Suy ra 3x = 840 hay x = 280, từ đó y = 600 - 280 hay y = 320. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại: 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 (280 - 80)
Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và cửa hàng thứ hai có 320 lít nớc chấm.
Ví dụ 2 : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng
. Hôm làm việc, có 2 xe phải điều đi nơi khác nên
mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe?(SGK- Lớp 9 - trang 95).
Giải : Gọi x là số xe của đội xe, x nguyên dơng. Hôm làm việc có (x - 2) xe. Theo dự định thì mỗi xe phải chở

120

120
tấn, nhng vì có 2 xe đi làm việc khác nên mỗi xe thực tế phải chở
tấn và nh thế phải chở thêm 16
x
x- 2
120 120
tấn. Ta có phơng trình:
= 16
x- 2 x
Giải phơng trình:120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2)
16x2 - 32x - 240 = 0
x2 - 2x - 15 = 0
= 1 + 15 = 16 ' = 4
Phơng trình có nghiệm là x1 = 5 và x = -3 . Chỉ có giá trị x =5 là thích hợp với điều kiện đã nêu.
Thử lại: 120 : 5 =24 (tấn) ; 5-2=3 (xe)
120 : 3 =40 (tấn) ; 40 24 =16 (tấn).
Vậy đội xe co 5 xe ô tô.
Bài tập đề nghị :
1- Hai lớp 91 và 92 đợc mua tất cả thảy 380 tập giấy và đợc phân phối đều cho hai lớp theo tỷ lệ

9
. Hỏi
10

mỗi lớp mua đợc bao nhiêu tập giấy.
2 - Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào 40 m 3 đất. Nhng khi bất đầu làm đội đợc bổ
sung thêm 5 ngời nên mỗi ngời giảm đợc định mức 0,4 m3 đất. Hỏi đội có bao nhiêu ngời?
3- Hội trờng có 320 chỗ ngồi. Số ngời đến dự là 420 ngời, do đó phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và
phải đặt thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi hội trờng lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.

9