Đề đáp án Toán vào lớp 10 http://violet.vn/thayNSTHcoL

( Thầy Nguyễn Hoàng Sơn )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi : TOÁN (chuyên) – Sáng ngày 01/7/2010
Thời gian làm bài : 150 phút
Đề chính thức
(Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:

P=

x + 2 x −1 + x − 2 x −1
x + 2x −1 − x − 2x −1

với x ≥ 2

n
n
b) Cho biểu thức S n = ( 5 + 3) + ( 5 − 3) với n là số nguyên dương.
2
n +1
Chứng minh rằng S 2 n = Sn − 2 . Áp dụng: không sử dụng máy tính, hãy tính S 4 và

S8.
Câu 2. (4 điểm)
a) Không sử dụng máy tính, hãy giải phương trình: x 4 − 2009 x 2 − 2010 = 0
b) Giải hệ phương trình:

2
 x + 1 + y ( x + y ) = 4 y

 2
( x + 1)( x + y − 2) = y

Câu 3. (4 điểm)
a) Cho phương trình (ẩn x): x 2 − 2(m + 2) x + 4m + 9 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Tìm m sao
cho biểu thức A = x12 + x2 2 − 8 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Biết hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ca = 0 ( c ≠ 0 ) chỉ có một nghiệm
chung. Chứng minh hai nghiệm còn lại là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0.
Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D. Một
đường thẳng qua D cắt đường tròn đường kính AB tại E và cắt đường tròn đường kính
AC tại F sao cho D nằm giữa hai điểm E và F ( E và F khác A, B, C). Gọi M, N là các
trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN vuông góc với NM.
Câu 5. (3 điểm)
Gọi AB là một đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB
sao cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài
bằng nhau.
Câu 6. (2 điểm)
1
1 1 1
≤ ( + )
a+b 4 a b
1 1 1
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn + + = 2010.
x y z
1
1
1
P=
+

+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng :


( Thầy Nguyễn Hoàng Sơn )
- HẾT Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:…………….
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011

Môn: TOÁN (chung)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Bản hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang)
I. Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách giải nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Điểm toàn bài không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm:

Câu
Câu 1
a)
0,75đ

b)
1,25đ

Đáp án
(2điểm)
Rút gọn biểu thức: A =

12 − 2 48 + 3 75

A= 4 × 3 − 2 16 × 3 + 3 25 × 3

0,25

A= 2 3 − 8 3 + 15 3

0,25

A= 9 3

0,25

Rút gọn biểu thức: B =

 x −2
x + 2  x x − x − x +1
−

÷×
x − 2 x +1
x
 x −1

B xác định khi x > 0 và x ≠ 1

0,25

 x −2
x + 2  x ( x − 1) − ( x − 1)
−
×
B= 
2 ÷
x
 x − 1 ( x − 1) 

0,25

 x −2
x + 2  ( x − 1)( x − 1) ( x − 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)
−
×
−
B =
=
2 ÷
x
x
( x − 1) x
 x − 1 ( x − 1) 

0,25

B=

x − 3 x + 2 ( x + 2)( x + 1)
−
x
x

x−3 x +2 x+3 x +2
−
=
x
x
(2 điểm)
B=

Câu 2.
a) 1đ

x 2 − 2 2.x − 7 = 0
∆' = 2+7 = 9
x1 = 2 + 3; x2 = 2 − 3

b) 1đ

Biểu
điểm

 2 x − 3 y = 13 2 x − 3 y = 13
⇔

 x + 2 y = −4

−2 x − 4 y = 8

0,25
x −3 x + 2− x −3 x −2
= −6
x

0,25

0,5
0,5
0,25


( Thầy Nguyễn Hoàng Sơn )
2 x − 3 y = 13
⇔
−7 y = 21
 2 x − 3(−3) = 13
⇔
 y = −3

Câu 3.
a) 1đ

b)
0,75đ

c)
0,75đ

x = 2
⇔
 y = −3
(2,5điểm)
Vẽ parabol (P)
- Lập bảng:
x
-2 -1
0 1
2
y
8
2
0 2
8
- Vẽ đồ thị (P) có đỉnh tại O, nhận trục tung làm trục đối xứng và đi qua các điểm (2;8), (-1;2), (1;2), (2,8)
(giám khảo tự vẽ)
Ghi chú:- Nếu thí sinh vẽ chính xác đồ thị (P) có đỉnh tại O và ghi được tọa độ hai
điểm trên đồ thị thì vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu thí sinh chỉ vẽ dạng parabol (P)có đỉnh tại O và không ghi các điểm
nào khác trên đồ thị thì chỉ cho 0,25đ.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P) là:
2x2 - 2(m -1)x + m -1 = 0
∆ ' = (m − 1) 2 − 2( m − 1) = ( m − 1)(m − 3)
Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ∆ ' > 0
Khi đó : (m -1)(m - 3) > 0 ⇔ m < 1 hoặc m > 3
Vậy khi m < 1 hoặc m > 3 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Gọi A( x0 ; yo ) là điểm cố định trên đường thẳng (d).
Ta có : y0 = 2(m − 1) x0 − m + 1 đúng với mọi m

⇔ (2 x0 − 1)m − 2 x0 − y0 + 1 = 0 đúng với mọi m
2 x0 − 1 = 0
⇔
−2 x0 − y0 + 1 = 0
1

 x0 =
⇔
2
 y0 = 0
1
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định ( ;0)
2
Ghi chú: thí sinh có thể trình bày:
Phương trình đường thẳng (d): y = 2(m -1)x - m +1 được đưa về dạng:
(2x - 1)m –2x – y + 1 = 0 (*)
Các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định khi và chỉ khi phương trình (*) đúng
2 x − 1 = 0
với mọi m, khi đó hệ phương trình sau đây được thỏa mãn: 
 −2 x − y + 1 = 0
1

x =
⇔
2
 y = 0

0,25
0,25
0,25

0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25


( Thầy Nguyễn Hoàng Sơn )
1
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định ( ;0)
2

Bài 4.
a)
1đ

(2,5 điểm)
E

C

M

A

I

B

O

D
F
K

Vì MC, MD là các tiếp tuyến của (O) nên: OC ⊥ MC; OD ⊥ MD
I là trung điểm của dây AB nên OI ⊥ AB
·
·
·
Do đó: MCO
= MDO
= MIO
= 900
Vậy: M, C, I, O, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MO
b)
0,75đ

c)

0,75đ

Trong hai tam giác vuông ODK và MIK ta có :
µ = KD = KI
Cos K
KO KM
Ghi chú: thí sinh có thể chứng minh ∆ODK : ∆MIK : 0,25đ
KD KO
⇒
=
: 0,25đ
KI KM
⇔ KD. KM = KO.KI ( đpcm)
Vì tam giác MCD cân tại M và EF//CD nên tam giác MEF cân tại M.
Do đó đường cao MO cũng là trung tuyến .
1
1
Ta có: S MEF = MO.EF= MO(2OE ) = MO.OE = OC.ME (vì ∆MOE vuông)
2
2
S MEF = OC ( MC + CE ) ≥ 2OC MC.CE = 2OC. OC 2 = 2OC 2 = 2 R 2
SMEF đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu “=” xảy ra ⇔ MC = CE ⇔ ∆MOE vuông cân tại
O
⇔ OM = OC 2 = R 2 ⇔ M là giao điểm của ( ∆ ) và đường tròn (O;R 2 )

0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

0,25

0,25
0,25

0.25


( Thầy Nguyễn Hoàng Sơn )
Câu 5.

(1 điểm)
S

C

A

I

D

O

B

Gọi V1, R1, h1 lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
V2, R2, h2 lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

V1
9420
2
=
= 30 (cm)
Ta có : V1 = π R1 h1 ⇒ h1 =
2
π R1 3,14 ×100
Ta có : ID // OB nên

ID SI
R h − h 90 − 30 2
=
⇔ 1 = 2 1=
=
OB SO
R2
h2
90
3

3
3
R1 = ×10 = 15 (cm)
2
2
1
1
2
2

Vậy : V2 = π R2 h2 = × 3,14 × 15 × 90 = 21195 (cm3)
3
3
Kết luận : Thể tích của hình nón là 21195cm3
⇒ R2 =

-HẾT-

2 Trang web /> />Là 2 trang web gồm có phần: “ Ôn thi Đại học” với nhiều đề thi về
TNPT và các bộ đề thi ĐH các môn. Để có thể xem và tải về, các em click vào
Xem tất cả ở mục Đề thi, các môn sẽ xuất hiện và phần cuối là ôn thi ĐH. Hai
trang web bổ xung cho nhau, có nhiều đề thi HSG các môn cấp 2 và ĐH.( Đặc
biệt là Toán- thi chuyên)

0,25
0,25
0,25
0,25