Kien thuc toan lop 11

Hệ thống kiến thức Toán 11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯNG GIÁC:
1. Công thức lượng giác cơ bản:
sin 2 x + cos 2 x = 1
cotgx =

tgx =

cosx
sinx

1 + cotg 2 x =

(x ≠ k
1
sin 2 x

π
)
2

sinx
cosx

1 + tg 2 x =

(x ≠ kπ)

π

+ kπ)
2
π
(x ≠ + kπ)
2
π
(x ≠ k )
2

(x ≠
1
cos 2 x

tgx.cotgx=1

2. Bảng giá trò lượng giác một số cung (góc) đặc biệt:
Góc

π

0 (00)

Giá trò
Lượng giác

6

(300 )

sin

0

1
2

cos

1

tg

0

3
2
1
3

cotg



π
4

3

(450 )

π
3

(600 )

π
2

(900 )

2
2
2
2

3
2
1
2

1

3



1

1
3

0

1
0

3. Công thức lượng giác các góc liên quan đặc biệt:
3.1. Cung đối nhau: α và (– α)
3.2. Cung bù nhau: α và (π – α)
cos(– α) = cosα
cos(π – α) = – cosα
sin(– α) = – sinα
sin(π – α) = – sinα
tg(– α) = – tgα
tg(π – α) = – tgα
cotg(– α) = – cotgα
cotg(π – α) = – cotgα
3.3. Cung phụ nhau: α và (

π

cos(
sin(
tg(

2

π

2

π

2

π
2

−α)

− α ) = sinα
− α ) = cosα

3.4. Cung hơn kém π: α và (π +α)
cos(π + α) = – cosα
sin(π + α) = – sinα
tg(π + α) = tgα
cotg(π + α) = cotgα

− α ) = cotgα

cotg(

π
2

− α ) = tgα

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 1


Hệ thống kiến thức Toán 11

II. ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
Txđ: D = R
Hàm số lẻ nên đồ thò hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Sự biến thiên của hàm số trên (0; π):
 π
Hàm số tăng trên  0; 
 2
π 
Hàm số giảm trên  ; π 
2 
Bảng biến thiên:
π
0
x
2
1

π

y = sinx
0

0

Đồ thò:
y
1

– 3π

– 2π

π

–π

2π

3π
x

-1

2. Hàm số y = cosx:
Txđ: D = R
Hàm số chẵn nên đồ thò hàm số đối xứng nhau qua trục Oy.
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm số tăng trên [0; π].
Bảng biến thiên:
π
0

x
2
1
y = cosx

π

0
–1

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 2


Hệ thống kiến thức Toán 11

Đồ thò:
y
– 3π

–π

3π x

π

O

3. Hàm số y = tgx:



Txđ: D = R \  x / x =

π


+ kπ , k ∈ Z 
2


Hàm số lẻ nên đồ thò hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
π
y
Hàm số tăng trên [0; ).
2

Bảng biến thiên, đồ thò:
π
0
2
+∞

x

–π

O

y = tgx

π
x

0
4. Hàm số y =cotgx:
Txđ: D = R \ {x / x = kπ , k ∈ Z}
Hàm số lẻ nên đồ thò hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
y
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
π
Hàm số giảm trên (0; ].
2

Bảng biến thiên, đồ thò:
x

0

π
2

x

+∞
y = cotgx

0

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 3


Hệ thống kiến thức Toán 11

III. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC:
1. Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
2tga
π
π
π
tg2a=
a ≠ + kπ , a ≠ + k
2
1 − tg a
2
4y

2
3. Công thức hạ bậc:
1 + cos2a
1 − cos2a
1 − cos2a
π
cos 2 a=
sin 2 a=
tg 2 a=
(a ≠ + kπ)
2
2
1 + cos2a
2
a
4. Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg :
2
2
2t
1− t
2t
π
sina=
cosa=
tga=
(a ≠ + kπ)
2
2
2
1+t

1+t
1− t
2
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cosa.cosb = [ cos(a + b) + cos(a – b)]
2
1
sina.sinb = – [ cos(a + b) – cos(a – b)]
2
1
sina.cosb = [ sin(a + b)+ sin(a – b)]
2
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+b
a+b
a − b
a − b
cosa + cosb = 2cos
cos
cosa – cosb = – 2sin
sin
2
2
2
2
a+b
a+b
a − b
a − b

sina + sinb = 2sin
cos
sina – sinb = 2cos
sin
2
2
2
2
sin(a + b)
sin(a − b)
tga + tgb =
tga – tgb =
y
cosa.cosb
cosa.cosb
* Một số công thức cần nhớ khác:
cos3x = 4cos3x – 3cosx
sin3x = 3sinx – 4sin3x
3tgx − tg3 x
tg3x =
1 − 3tg 2 x
π
π


cosa + sina = 2 cos  a − 
cosa – sina = 2 cos  a + 


4



4

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:
1. Phương trình lượng giác cơ bản:

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 4


Hệ thống kiến thức Toán 11
 u = v + k2π
sinu = sinv ⇔ 
 u = π − v + k2π

cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a.sin2x + b.sinx + c = 0
a.cos2x + b.cosx + c = 0
a.tg2x + b.tgx + c = 0
a.cotg2x + b. cotg x + c = 0
Cách giải: Đặt ẩn phụ.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

a.cosx + b.sinx = c (a, b, c ∈ R và a ≠ 0, b ≠ 0)
Cách 1: Chia hai vế cho a rồi đặt
Cách 2: Chia hai vế cho
2

b
= tgα.
a

a 2 + b 2 , ta được:

a
a 2 +b 2

sinx +

b
a 2 +b 2

cosx =

c
a 2 +b 2

2






a
b
a
b
= sinβ
Vì  2 2  +  2 2  = 1 nên ta có thể đặt: 2 2 = cosβ ;
2
2
a
+b
a
+b
a
+b
a
+b




c
c
sin ( x + β ) =
Khi đó pt có dạng: cosβ.sinx + sinβ.cosx =
⇔
a 2 +b 2
a 2 +b 2
4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = 0(a, b, c ∈ R và a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

Vì cosx = 0 ( x =

π

+ kπ ) không phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho cos2x,

2
ta được: a.tg x + b.tgx + c = 0
Chú ý:
Phương trình với vế phải khác 0: a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d, ta biến đổi d =
d(sin2x + cos2x).
Có thể dùng công thức hạ bậc để giải.
5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = c(a, b, c ∈ R)
t2 −1
Cách giải: Đặt t = sinx + cosx ( t ≤ 2 ) ⇒ sinx.cosx =
2
2
1− t
Chú ý: Nếu t = sinx – cosx ( t ≤ 2 ) thì sinx.cosx =
2
V. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Gia sử ta cần chứng minh một mệnh đề phụ thuộc n ∈ N.
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0.
2

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 5


Hệ thống kiến thức Toán 11

Bước 2: Giả thuyết mệnh đề đúng với n = k (Giả thuyết quy nạp). Ta CM mệnh đề đúng
với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chúng minh mệnh đề đúng với n ≥ p thì ở B1, ta kiểm tra với n = p.
VI. DÃY SỐ:
1. Dãy số tăng, dãy số giảm:
Đònh nghóa 1:
Dãy (un) tăng nếu un < un + 1, ∀ n ∈ N.
Dãy (un) giảm nếu un > un + 1, ∀ n ∈ N.
Đònh nghóa 2: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Chú ý:
u
Dãy (un) tăng ⇔ un + 1 – un > 0 hoặc n + 1 > 1 , ui > 0, ∀ i ∈ N.
un
u
Dãy (un) giảm ⇔ un + 1 – un < 0 hoặc n + 1 < 1 , ui > 0, ∀ i ∈ N.
un
2. Dãy số bò chặn:
Đònh nghóa:
Dãy (un) bò chặn trên nếu ∃M: ∀ n ∈ N*, un ≤ M.
Dãy (un) bò chặn dưới nếu ∃m: ∀ n ∈ N*, un ≥ m.
Dãy (un) bò chặn nếu nó vừa bò chặn trên, vừa bò chặn dưới.
VII. CẤP SỐ CỘNG:
Đònh nghóa: Là một dãy (un) thỏa un + 1 = un + d (n ≥ 1). Với d: công sai.
Tính chất:
u + un − 1

un = n + 1
(n ≥ 2)
un = u1 + (n – 1)d
2
n
n
Sn = [ 2u1 + (n − 1)d ] = (u1 + u n )
2
2
VIII. CẤP SỐ NHÂN:
Đònh nghóa: Là một dãy (un) thỏa un + 1 = un.q (n ≥ 1). Với q: công bội.
Tính chất:
q −1
Sn = u1 n
u n = u n + 1.u n − 1 (n ≥ 2)
un = u1.qn – 1 (q ≠ 0)
q −1
u
Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q < 1): Sn = 1
q −1
IX. GIỚI HẠN DÃY SỐ:
1. Đònh nghóa: Dãy (un) có giới hạn a nếu ∀ε nhỏ tùy ý, ∃N: ∀ n > N ta có:un – a < ε.
Ta viết: lim u n = a hay lim un = a.
n →∞

Chú ý: lim

1
= 0 , limC = C (C: const)
n

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 6


Hệ thống kiến thức Toán 11

Tính chất:
Đònh lý 1: (ĐK cần để dãy số có giới hạn)Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn.
Đònh lý 2: (Tính duy nhất) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý 3: (ĐK đủ để dãy số có giới hạn)(Đònh lý Weierstrass) Một dãy số tăng và bò
chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bò dưới thì có giới hạn.
Đònh lý 4: (ĐL giới hạn kẹp)
Cho vn ≤ un ≤ wn

A
lim(un ± vn) = lim un ± lim vn
u
lim u n
lim n =
(lim v n ≠ 0)
v n lim v n

Đònh lý 5:

lim(un.vn) = lim un.lim vn
lim qn = 0 với q < 1.

2. Dãy số dần tới vô cực: Dãy số (un) dần tới vô cực ∀M > 0 lớn bao nhiêu tùy ý, ∃N: ∀
n > N ta có:un > M.
Ta viết: lim un = ∞ hay un → ∞.
1
=∞.
Đònh lý :
Nếu lim un = 0 (un ≠ 0, ∀ n > N*) thì lim
un
1
= 0.
Nếu lim un = ∞ thì lim
un
X. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1. Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng K (có thể trừ a ∈ K). Ta nói hàm
số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu ∀(xn)( xn ∈ K, xn ≠ a, ∀ n > N*) sao
cho khi lim xn = a thì lim f(xn) = L. Ký hiệu: lim f(x) = L.
x →a

Tính chất:
Đònh lý 1: (Tính duy nhất) Nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý 2:
lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x)
lim [ f(x).g(x) ] = lim f(x).lim g(x)
x →a

x →a

x →a

x →a

f(x)
f(x) lim
= x →a
(lim g(x) ≠ 0)
x → a g(x)
lim g(x) x →a

x →a

x →a

lim f(x) = lim f(x) (f(x) ≥ 0)

lim

x →a

x →a

x →a

Đònh lý 3: (ĐL giới hạn kẹp)
Đònh lý 4: Nếu lim f(x) = L và với mọi x đủ gần a mà f(x) > 0 (f(x) < 0) thì L ≥ 0 (L ≤ 0)
x→a

2. Hàm số dần tới vô cực: Hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, nếu ∀(xn) (xn ≠ a)
sao cho lim xn = a thì lim f(xn) = ∞. Ký hiệu: lim f(x) = ∞ .
x →a

Đònh lý :

1
=∞
x → a f(x)

Nếu lim f(x) = 0 (f(x) ≠ 0, ∀x đủ gần a) thì lim
x→a

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 7


Hệ thống kiến thức Toán 11

1
=0
Nếu lim f(x) = ∞ thì lim
x → a f(x)
x→a

3. Giới hạn tại vô cực:
Đònh nghóa 1: Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu ∀(xn):lim xn = ∞ thì
lim f(xn) = L. Ký hiệu: lim f(x) = L .
x →∞

Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực dương (hoặc âm), nếu ∀(xn) với xn > 0
(hoặc xn < 0) sao cho lim xn = ∞ thì lim f(xn) = L. Ký hiệu: lim f(x) = L ( lim f(x) = L) .
x → +∞

x → −∞

4. Giới hạn một bên:
Đònh nghóa: Số L được gọi là giới hạn bên phải (trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a
nếu ∀(xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho lim xn = a thì lim f(xn) = L.
Ký hiệu: lim+ f(x) = L ( lim− f(x) = L) .
x→a

x→a

Đònh lý : lim f(x) = L ⇔ lim+ f(x) = lim− f(x) = L
x →a

x →a

x →a

0 ∞
5. Các dạng vô đònh: ; ;0.∞; ∞ − ∞
0 ∞

XI. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0
∈ (a; b) nếu lim f(x) = f(x 0 ).
x →x0

Nếu tại x0 hàm số không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại x0.
Đònh lý : Hàm số f(x) xác đònh trên (a; b) là liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu lim ∆y = 0.
∆x →0

2. Hàm số liên tụctrên một khoảng:
Đònh nghóa:
Hàm số f(x) xác đònh trên (a; b) được gọi là liên tục tại trên khoảng đó nếu nó liên tục
tại ∀x0 ∈ (a; b).
Hàm số f(x) xác đònh trên [a; b] được gọi là liên tục tại trên đoạn đó nếu nó liên tục trên
(a; b), liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.
Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác 0) của những hàm liên tục là một hàm
liên tục.
Đònh lý 2: Các hàm đa thức, hữu tỷ, lượng giác là liên tục trên TXĐ của nó.
Đònh lý 3: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt được giá trò nhỏ nhất, lớn nhất và
mọi giá trò trung gian trên đoạn đó.
Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈
(a; b) sao cho f(c) = 0. Hay phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).
XI. HÀM SỐ NGƯC:
Mọi hàm số tăng hoặc giảm trên TXĐ đều có hàm số ngược.

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 8


Hệ thống kiến thức Toán 11

ĐT hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ
nhất và thứ 3 (y = x).
Hai hs ngược nhau thì TXĐ của hàm này là TGT của hàm kia và ngược lại.
XII. HÀM SỐ MŨ:
1. Hàm số y = ax: (0 < a ≠ 1)
TXĐ: D = R.
TGT: T=R*+ ⇒ ĐT hàm số luôn nằm phía trên trục Ox.
Hàm số tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1.
x
1
x
Hàm số y = a và y =   đối xứng nhau qua Oy.
a
2. Tính chất:

a .a = a
x

y

x+y

x

ax
= ax − y
y
a

ax

a
=
 
bx
b

(a.b) x = a x .b x

m

(a x ) y = a x y

a n = n am

ax = ay ⇔ x = y

 x < y, a > 1
ax < ay ⇔ 
 x > y, 0 < a < 1
 x < log a b, a > 1
ax < b ⇔ 
 x > log a b, 0 < a < 1

a < b, x > 0
a x < bx ⇔ 
a > b, x < 0

XIII. HÀM SỐ LOGARIT:
1. Hàm số y = logax: (0 < a ≠ 1, x > 0)
TXĐ: T=R*+ ⇒ ĐT hàm số luôn nằm phía bên phải Oy.

TGT: D = R.
Hàm số tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1.
Hàm số y = ax và y = logax đối xứng nhau qua y = x.
2. Tính chất:
log a b = x ⇔ a x = b(0 < a ≠ 1, b > 0)
x = a loga x

y
log a b
x
log c b
log a b =
log c a
log a x b y =

lnx = log e x

log a (x.y) = log a x + log a y
log a b =

1
log b a

x
= log a x − log a y
y

log a b.log b c = log a c
log a x = log a y ⇔ x = y

lgx = log10 x

 x > a b , a >1
log a x > b ⇔ 
b
 x < a , 0 < a < 1

log a

 x > y, a > 1
log a x > log a y ⇔ 
 x < y, 0 < a < 1

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 9


Hệ thống kiến thức Toán 11

XIV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1.Phương pháp đưa về cùng cơ số
2.Phương pháp đặt ẩn phụ:
Chú ý phương trình max + nbx + ncx = 0 (0 < a < b): Chia hai vế cho ax hoặc cx.
3.Phương pháp logarit hóa:
Thường áp dụng cho phương trình chứa tích của hai biểu thức khác cơ số và có chứa ẩn ở
2
số mũ. VD: 3x.22x −15 = 216

4.Phương pháp dùng sự biến thiên của hàm số mũ
XV. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
1.Phương pháp đưa về cùng cơ số
2.Phương pháp đặt ẩn phụ
3.Phương pháp dùng sự biến thiên của hàm số logarit

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA HHKG:
Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.
Tiên đề 2: Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tiên đề 3: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung
khác nữa.
Tiên đề 4: Có ít nhất 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Đònh lý 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Đònh lý 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm nằm
ngoài đường thẳng đó.
Đònh lý 3: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:Trả lời hai trong các câu hỏi sau:
Xem trong cách ký hiệu hai mặt phẳng, có điểm nào giống nhau hay không ?
Xem trong mặt phẳng này có điểm nào thuộc một đường trong mặt phẳng kia hay
không?
Xem trong mặt phẳng này có điểm nào thuộc mặt phẳng kia hay không?
Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào cắt một đường nằm trong mặt phẳng kia
hay không ?
Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào song song với một đường nằm trong mặt
phẳng kia hay không ?
Xem trong mặt phẳng này có đường thẳng nào song song với mặt phẳng kia hay không ?
Nếu hai mặt phẳng song song bò cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song

song với nhau.

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 10


Hệ thống kiến thức Toán 11

Phương pháp tìm giao điểm A = d ∩ α:
B1. Chọn một mp β ⊃ d sao cho α ∩ β = d’ là dễ tìm nhất.
B2. Tìm d’ = α ∩ β.
⇒ A = d ∩ d’.
Phương pháp CM ba điểm thẳng hàng: Chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng
phân biệt.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG:
Đònh lý 1: A ∉ b ⇒ ∃! a ∋ A, a // b

A
b
a

Đònh lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân
biệt lần lượt đi qua hai đt // thì giao tuyến
α
của chúng (nếu có) // với hai đt đó.

Đònh lý 2: Hai đt phân biệt cùng //
β
c
với một đường thẳng thứ ba thì // nhau.
b

a

III. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG:
Đònh lý 1:
Đònh lý 2:
d ⊄ α
d // α
⇒ d // α


 β ⊃ d ⇒ d // a
d // a ⊂ α
 β ∩α = a

Đònh lý 3:
β ∩ α = a

⇒ d // a
α // d
 β // d

IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:
Đònh lý 1:
α // β

⇒ a // β

∀a ∈ α

Đònh lý 4: Cho a chéo b ⇒ ∃! α ⊃ a, α //b

Đònh lý 2:
α ⊃ a ∩ b = M

⇒ α // β
a // α
b // β


Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 11


Hệ thống kiến thức Toán 11

Đònh lý 3:
∃! β ∋ A
A ∉α ⇒ 
 β // α

Đònh lý 4: Nếu hai mặt phẳng α // β thì ∀ γ
cắt α đều phải cắt β và các giao tuyến của chúng

//.

V. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP:

VI. PHÉP CHIẾU SONG SONG:
Cho mặt phẳng α và đường thẳng l
không song song α.
Với mỗi M, đường thẳng đi qua M và // l
sẽ cắt α tại M’ được gọi là hình chiếu của M
lên α theo phương l.
α: Mặt phẳng chiếu.

M
l

M'

α

Đònh lý 1: Phép chiếu song song bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm thẳng
hàng.
Hệ quả: Phép chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, tia là tia, đoạn thẳng là
đoạn thẳng.
Đònh lý 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng //
hoặc trùng nhau.
Đònh lý 3: Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc // hoặc
cùng nằm trên một đường thẳng.
VII. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
Đònh lý 1: Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng α khi nó vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau nằm trong α.

Đònh lý 2: Cho điểm O và đường thẳng d, ∃! α ∋ O, α ⊥ d.
Đònh lý 3: Cho điểm O và mặt phẳng α, ∃! đường thẳng d ∋ O, d ⊥ α.
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 12


Hệ thống kiến thức Toán 11

Chú ý: Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng
vuông góc với một đường thẳng thì // nhau.
VIII. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC:
ĐN: Hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu mặt
góc mặt phẳng kia.
Tính chất 1.
α ⊥ β
α ∩ β = d

⇒a⊥β

a ⊂ α
a ⊥ d
Tính chất 3.
α ∩ β = d

⇒d ⊥δ
α ⊥ δ
β ⊥ δ


IX. KHOẢNG CÁCH: (Distance)
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng: Cho điểm O và đường thẳng d, H là hình
chiếu vuông góc của O lên d, ta có: d(O, d) = OH.

phẳng này chứa một đường thẳng vuông
Tính chất 2.
α ⊥ β
A ∈ α

⇒ a ⊂α

a
∋
A

a ⊥ β
Tính chất 4.
∃! β ⊃ a
a ⊥α ⇒
β ⊥ α

H

a

O

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng: Cho điểm O và mặt phẳng α, H là hình
chiếu vuông góc của O lên α, ta có: d(O, α) = OH.

O

H
α

3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và
một mặt phẳng song song:
Cho d // α, ta có d(d, α) = d(A, α) (A ∈ d)

O

d

H
α

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho α // β, d(α, β) = d(A, β) (A ∈ α)

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 13


Hệ thống kiến thức Toán 11

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là độ dài đoạn vuông góc chung của
chúng.
Cách dựng đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.
B1. Gọi α là mặt phẳng qua b và // b.
a
M
B2. Dựng hình chiếu vuông góc a’ của a
β
lên α. Gọi N = a’ ∩ b.
B3. Dựng đường thẳng qua N, vuông
góc α cắt a tại N.
∆
MN là đường thẳng cần dựng.
a'

N

b

α

X. GÓC: (Angle)
Góc giữa đt a và mặt phẳng α là góc giữa a và hình chiếu a’ của a lên α.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng.
Diện tích hình chiếu của một tam giác: Nếu một tam giác có diện tích S, hình chiếu của
nó lên α có diện tích S’ và ϕ là góc giữa tam giác và α thì: S’ = S.cosϕ.
XI. THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN:
1

1. Thể tích khối chóp: V = B.h
3
2. Thể tích khối lăng trụ: V = B.h
1
3. Thể tích khối chóp cụt: V = h(B1 + B2 + B1 .B2 )
3
XII. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY:
R

1. Khối trụ:
Sxq = 2πRl
V = πR2.h (h: đường cao)

h
l

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

0987.192212

Trang 14


Hệ thống kiến thức Toán 11

2. Khối nón tròn xoa:
Sxq = πRl
V=

1

πR2.h
3

l

3. Khối nón cụt:
Sxq = π(R1 + R2)l
V=

h

1
π h(R12 + R 22 + R1 .R 2 )
3

O

R

4. Khối cầu:
S = 4πR2
V=

4
π R3
3

Giáo viên: Nguyễn Hữu Chung Kiên
Trường THPT Vónh Thuận
Email:

Website: fun.easyvn.com/chungkien
I

S

Q

P

A

B

M

N

Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vónh Thuận

D

C

0987.192212

Trang 15