Ôn tập nhanh các dạng Casio thường gặp

ÔN TẬP TỔNG HỢP CASIO
Người biên soạn: Nguyễn Mạnh Hùng – THCS Quảng Kim 0912784489
Những lưu ý:
• Khi đi thi phải cầm theo 2 máy tính để thực hiện các bài toán đòi hỏi máy tính thực hiện
mất nhiều thời gian
• Luôn luôn đọc kỹ đề bài yêu cầu làm tròn bao nhiêu chữ số thập phân, nếu không yêu
cầu thì nên ghi đáp án là các số hiện trên màn hình.
• Sau mỗi bài toán hãy thực hiện thao tác xóa toàn bộ bộ nhớ của máy rồi mới thực hiện
các bài tiếp theo
• Riêng đối với bài hình, các em không được làm tròn số ở các bước trung gian mà phải
gán vào biến hoặc là biến đỗi xong công thức rồi mới thay số một lần.
• Không nên để kết quả tràn màn hình, chỉ khi đề bài yêu cầu viết đáp án là kết quả hiện
trên máy tính.
CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm số dư của A:B
Cách 1: R = A- B.T (Sửa lại phép tính A:B) T là phần nguyên của thương A:B
Cách 2: Bấm máy A :R B trên máy tính fx 570vn Plus (Chỉ áp dụng cho A <10 chữ số)
Cách 3: Bấm phím liên tục: R = A:B – T*B trong đó T là phần nguyên của A:B
Cách 4: Nếu A lớn hơn 10 chữ số thì ta thực hiện như sau:
- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi
chia cho B.
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa
tính liên tiếp như vậy.
Cách 5: Nếu dạng An: B thì ta dùng phương pháp đồng dư để tìm số dư
Bài tập thực hành:
Tìm số dư của:
a) 983637955 cho 9604325
b) 903566896235 cho 37869.
c) 1234567890987654321 : 123456
d) 20059 cho 2007
e) 715 cho 2001

Dạng 2: Tìm UCLN, BCNN
Ghi nhớ công thức

Cách 1: Dùng máy tính fx 570vn Plus
Cách 2: Thực hiện bằng phương pháp thủ công

• Nếu

A a
=
B b

thì UCLN (A,B) = A : a hoặc B : b

A
B

• Nếu
là một số thập phân thì ta tìm số dư của R = A:B
Sau đó tìm UCLN của (B,R) nếu B: R là một số thập phân thì ta lại tiếp tục như thế…
UCLN(A,B)=UCLN(B,R)=UCLN(R,R’)=…
Cho đến khi phép chia là một phân số
Bài tập thực hành: Tìm UCLN và BCNN của
a) 2419580247 và 3802197531
b) 3995649 và 15859375
c) 416745 ; 1389150 và 864360
Dạng 3: Công thức đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số
A, b1b2 ...bm ( c1c2 ...cn ) = A, b1b2 ...bm ( c1c2 ...cn ) +

( c1c2 ...cn )
99...9
{ 00...0
{
n

m

Dạng 4: Tính toán tràn màn hình:
Đối với các biểu thức dạng A x B
• Tách A và B thành các biểu thức có dạng

a1 a 2 a3 a 4

4

. 10 +

a 5 a 6 a 7 a8

• Áp dụng công thức ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD
• Kết hợp trên giấy nữa để tính ra đáp số
Đối với biểu thức A2, A3 ta thực hiện tương tự nhưng áp dụng công thức:
và
Chú ý: Có thể tách thành 104 hoặc 105 tùy theo phép tính phía sau có tràn màn hình không?


Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 . 2222266666.

Giải:
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010 4

9

3

8

1

7

2

8

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

AB.105

1

2

3

4

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

AC.105

1

4

8

1

4

5

1

8

5

2

0

0

0

0

0

3

7

0

3

6

2

9

6

3

0

3

2

0

9

8

2

9

6

3

0

BC
M

4

9

3

8

4

4

4

4

4

Bài tập thực hành:
Hãy tính đúng chính xác kết quả của các phép tính sau:
a)
b)
c)
d)

121234555 . 232322266
989898999.201520167
201520162
201520163

Dạng 5: Tính giá trị của một biểu thức cồng kềnh
- Tùy theo đề bài yêu cầu tính và chỉ đưa ra đáp án
- Yêu cầu lập quy trình ấn phím và đưa ra đáp án. Hãy cố gắng phát hiện ra quy luật từ đó
lập quy trình để tính.
Bài tập thực hành: Tính đúng kết quả các biểu thức sau:


4
4
4
4


+
+
+ ..... +

. 200720072007
15
35
63
399
A= 2
2
2
2
 2008200820 08
36
36

36
3
3
3
3


+
+
+
.....
+
C=
+
+ ........ +

197.200 
 8.11 11.14 14.17
1.3.5 3.5.7
45.47.49

1 
1 
1 

B = 1 − .1 − .1 − ........
3 
9   16 


1 

1 −
.
 10000 


E=

5
5
5
1
1
1
D=
+
+
+
+ .... +
0,(2008) 0, 0(2008) 0, 00(2008)
1+ 2 1+ 2 + 3
1 + 2 + 3 + ... + 15

G=

2.1 2.2
2.9
+
+ ... +

3 3.5
3.5.7....19 I = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 2014.2015.2016

H = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2015.2016

F=

1
1
1
+
+ .... +
1.2.3 2.3.4
97.98.99

K = 1 + 22 + 32 + 42 + ... + 20152
1 1 1
1
M = + + + ... +
4 10 18
4066270 L = 1 + 22 + 23 + 24 + ... + 22015

P =1+

N=

A=

1
1

1
1
+ 2
+ 4
+ ... + 2n
2+ 1 2 + 1 2 + 1
2 +1

3
5
2n + 1
+
+
...
+
(1.2)2 (2.3)2
[n(n + 1)]2

;

1 1 1
1
+ + + ... +
6 14 24
4050150

Cho dãy số A: 2,3,2,3,3,2,3,3,3,…..
Tính tổng của 2015 số hạng đầu tiên của A

CHƯƠNG II: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO
1.1 Chuyên đề: Liên phân số
a
=q +
0
b

1

q+
1

1

q

2

+ ....

trong đó q0 , q1 , q2 ,….qn nguyên dương và qn > 1.

Liên phân số trên được ký hiệu là :

[q , q ,...., q ]
0

1

n

.

Dạng 1: Chuyển một phân số sang liên phân số
Phương pháp: Thực hiện nghịch đảo với tử là 1 và lấy mẫu chia cho tử cho đến khi không
thực hiện được nữa thì dừng lại.

Ví dụ: Viết

15
17

dưới dạng liên phân số

15 1
1
1
1
=
=
=
=
17 17 1 + 2 1 + 1 1 + 1
15
1
15
15
7+
2
2

Dạng 2: Chuyển một liên phân số về thành một phân số
Phương pháp:
Cách 1: Nhập liên phân số đó vào máy tính và bấm = để có kết quả
Cách 2: Nhập từ dưới lên và dùng chứ năng x-1 để có kết quả cuối cùng
Dạng 3: Giải phương trình liên phân số hoặc tìm các số chưa biết trong liên phân số
Phương pháp: Đặt biểu thức chưa biết là X, sau đó dùng chức năng Shift Solve để tìm nghiệm
gần đúng của X
Ví dụ: Giải phương trình
5+

x
5+

=

2
5+

3
4
5+
5

x
1+

329
=
1051 3 +

5
2+

4
3+

3
5+

1
6

hoặc tìm a,b biết

1
5+

1

1

a+

1
b


1.2 Chuyên đề: Đa thức
Dạng 1: Tính giá trị của đa thức f(x) tại x = a.

Phương pháp:
Cách 1: Dùng chức năng gán biến (Shift STO) để gán giá trị vào cho biến. Sau đó nhập đa
thức để tính giá trị. Nếu đề bài yêu cầu tìm nhiều giá trị x cho cùng một đa thức thì ta thay đổi
biến đếm và quay trở về đa thức và ấn = để có kết quả
Cách 2: Dùng chức năng Calc của máy tính: Nhập đa thức trước sau đó nhấn Calc và nhập giá
trị cho x.
Dạng 2: Tìm số dư, tìm số m nào đó để x là nghiệm hoặc để f(x) chia hết cho đa thức,…
b
a

Phương pháp: Theo định lý Bozu thì r=f(a) là số dư của đa thức f(x) chia cho đa thức x – a.
a là nghiệm của f(x) khi f(a) = 0.Nếu đề bài yêu cầu như trên nhưng đa thức có dạng ax + b thì
ta tìm f(- )
Dạng 3: Tìm thương và số dư của phép chia f(x) cho đa thức ax+b (hoặc x+a)
Giả sử ta có đa thức
Đa thức thương là:

f ( x ) = a1 x n + a2 x n −1 + a3 x n − 2 + ... + a0

chia cho đa thức ax+b

g ( x ) = b1 x n −1 + b2 x n −2 + b3 x n −3 + ... + b0

Hoặc ta dùng sơ đồ Hoorne để thực hiện các yêu cầu trên
-b/a

a1
a1

a2

a1. -b/a + a2

a3

….

a0

B1: Gán giá trị x = -b/a (nghiệm của đa thức chia) cho X (dùng Shift STO)
B2: b1=a1:a (nếu đa thức chia là x +a thì b1=a1)
B3: Các giá trị b2, b3,…,bo, r sẽ được tìm theo công thức

bm −1 = bm . X + am −1

(Tức là giá trị sau bằng giá trị trước nhân với X sau đó cộng thêm hệ số tương ứng của nó ở
trên f(x))
3

2

Ví dụ1: P(x) = a3x + a2x + a1x + a0 chia cho x -

α
α

Ta cã: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b3x2 + b2x + b1)(x- ) + r
Trong đó: b3 = a3

Hệ số của x2

b2= b3
b1= b2

α
α

+ a2

Hệ số của x

+ a1

Hệ số tự do

b0 = r = b1

α

+ a3

Số dư


Vớ d 2: Tìm thơng và số d trong phép chia x7 2x5 3x4 + x 1 cho x + 5.
Giải
Ta có:

= - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.

*Qui trình bấm máy :
() 5 SHIFT STO M
1 ì ALPHA M + 0 = (-5)
ì ALPHA M 2 = (23)
ì ALPHA M + () 3 = (-118)
ì ALPHA M + 0 = (590)
ì ALPHA M + 0 = (-2950)
ì ALPHA M + 1 = (14751)
ì ALPHA M + () 1 = (-73756)

Vậy: x7-2x5-3x4+x -1 = (x + 5)(x6 -5x5 + 23x4 -118x3 + 590x2-2590x + 14751) - 73756.
Dng 4: Phõn tớch mt a thc thnh mt a thc cú nhõn t l x-



Phng phỏp: S dng s Hoorne liờn tc tỡm cỏc s d






P(x)=r0+r1(x- )+r2(x- )2++rn(x- )n.
Ví dụ 1: Phân tích P(x) = x4 3x3 + x 2 theo bậc của x 3.
Giải:


Thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x- )+r0 theo theo sơ đồ Horner ta đợc q1(x) và r0. Sau tiếp tục

tìm các qk(x) và rk-1 ta đợc bảng sau:
1

-3

0

1

-2

x4-3x2+x-2


3

1

0

0

1

3

1

3

9

28

3

1

6

27

3

1

9

1

q1(x)=x3+1, r0 = 1
q2(x)=x3+3x+1, r1 =
28
q3(x)=x+6, r0 = 27
q4(x)=1=a0, r0 = 9

VËy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.


Dạng 5: Xác định đa thức khi biết một số giá trị của đa thức đó.

Phương pháp:
Từ các giả thiết lập hệ phương trình với ẩn a, b, c,…Sau đó giải hệ để tìm a, b, c,…
Từ đó suy ra đa thức
Ví dụ 1: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50.
Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Dạng 6: Tìm số dư của đa thức f(x) chia cho một đa thức bậc hai hoặc bậc ba
• Gọi đa thức thương là g(x) và đa thức dư có dạng ax + b hoặc ax2 + bx +c (tùy theo bậc
của đa thức chia)
• Phân tích đa thức chia thành nhân tử
• Viết lại f(x) = g(x). đa thức chia + ax + b hoặc ax2 + bx +c.
• Xét các giá trị riêng f(x1),… trong đó x1 là nghiệm của đa thức chia
• Lập hệ phương trình với ẩn là a, b, c
• Giải hệ phương trình tìm a, b, c để suy ra số dư
Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia đa thức x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1
Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:
x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x
Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)
với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1
Một số bài tập thực hành:
Bµi 1. Cho ®a thøc bËc 4: P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d
BiÕt P(1) = 1; P(2) = 13; P(3) = 33; P(4) = 61
X¸c ®Þnh f(x) tÝnh: P(5); P(6); P(7); P(8)
Bài 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
a) Tính P(

2 2)

.

b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3


1.3 Chuyên đề : Bài toán kinh tế lãi suất
Dạng 1: Một người gửi vào ngân hàng A đồng, với lãi suất ngân hàng m%/ tháng.
Sau tháng 1: Số tiền nhận được sẽ là: A + Am% = A(1+m%)
Sau tháng 2: Số tiền nhận được sẽ là: A(1+m%) + A(1+m%)m%= A(1+m%)2
Sau tháng 3: Số tiền nhận được sẽ là: A(1+m%)2+ A(1+m%)2m%= A(1+m%)3
Sau tháng n: Số tiền nhận được sẽ là: A(1+m%)n
Dạng 2: Một người gửi vào ngân hàng A đồng mỗi tháng, với lãi suất m%/tháng
Sau tháng 1: Số tiền nhận được sẽ là: A + Am% = A(1+m%)
Sau tháng 2: Số tiền nhận được sẽ là: A + A(1+m%) + [A + A(1+m%)]m% = A(1+m%) +
A(1+m%)2
Sau tháng 3: Số tiền nhận được sẽ là: A+A(1+m%) + A(1+m%)2 + [A + A(1+m%)+ A(1+m
%)2]m%= A(1+m%) + A(1+m%)2 +A(1+m%)3
Sau tháng n: Số tiền nhận được sẽ là: A(1+m%) + A(1+m%)2 +A(1+m%)3 +…+A(1+m%)n=
n

A∑ (1 + m%) X
X =1

Dạng 3: Một người nợ A đồng, hàng tháng trả a đồng, với lãi suất m%/tháng cho dư nợ
Sau tháng 1: Số tiền còn lại là: A + Am% - a = A(1+m%) – a
Sau tháng 2: Số tiền còn lại là: A(1+m%) – a + [A(1+m%) – a]m% - a = A(1+m%)2 - a(1+m
%) – a
Sau tháng 3, số tiền còn lại là: A(1+m%)2 - a(1+m%) – a+[ A(1+m%)2 - a(1+m%) – a]m%=
A(1+m%)3 - a(1+m%)2 – a(1+m%) – a
Sau tháng n, số tiền còn lại là: A(1+m%)n - a(1+m%)n-1 –….- a(1+m%) – a =
n −1

A(1 + m%) n − a ∑ (1 + m%) X
X =0

Dạng 4: Tiền lương: Một người lĩnh lương khởi điểm là a đồng, cứ sau t tháng lại tăng
lương thêm m%
Bậc 1, sau t tháng thứ nhất: Người đó nhận được số tiền là: ta
Bậc 2, sau t tháng tiếp theo: Người đó nhận được số tiền là: t(a+am%)=ta(m%+1)


Bậc 3, sau t tháng tiếp theo: Người đó nhận được số tiền là: t[a(m%+1)+ a(m%+1)m%]= ta(m
%+1)2
Bậc n, người đó sẽ nhận được số tiền là: ta(m%+1)n-1
Tổng số tiền người đó nhận được là: ta + ta(m%+1)+ ta(m%+1)2+….+ ta(m%+1)n-1
Nếu dư ra một số tháng chưa đủ tăng lương thì ta tính theo bậc n +1.
Ngoài ra còn một số dạng như tăng dân số theo dạng 1, dạng chi tài sản hoặc góp vốn theo tỉ
lệ thì gọi x, y, z thì ta giải theo toán tỉ lệ thức thông qua lập hệ phương trình
Chú ý: Nếu đề bài cho lãi suất theo năm thì các em phải tính theo đơn vị là năm chứ không
phải tháng
Một số bài tập thực hành:
Bài 1: Tôi có số tiền 50tr đồng. Tôi gửi vào ngân hàng với lãi suất 5,3%/tháng. Sau 3 năm tôi
nhận được tất cả bao nhiêu tiền?
Bài 2: Hàng tháng tôi gửi vào ngân hàng 800.000 đồng với lãi suất 4,9%/ tháng. Sau 3 năm tôi
nhận được tất cả bao nhiêu tiền?
Bài 3: Một người lĩnh lương khởi điểm là 2205000 đồng. Cứ 3 năm người nay lại được tăng
thêm 9%.
a) Hỏi sau 9 năm 7 tháng làm việc người này lĩnh được tất cả bao nhiêu tiền.
b) Hàng tháng bắt đầu từ tháng đầu tiên người này gửi tiết kiệm 400000 đồng/tháng với lãi
suất 0,6%/tháng. Hỏi khi về hưu (sau 36 năm) người này tiết kiệm được bao nhiêu
tiền? (làm tròn đến đồng)
Bài 4: Bạn An được bố mẹ tặng một thẻ tiết kiệm trị giá 60tr đồng.

a) Nếu bạn An gửi ngân hàng với lãi suất 5,5%/tháng thì sau 36 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi
sẽ là bao nhiêu? Cũng với lãi suất đó, nếu bạn An rút hàng tháng 900.000 đồng thì hỏi
sau bao nhiêu tháng số tiền sẽ hết?
b) Nếu bạn An gửi ngân hàng 12 tháng đầu với lãi suất 5,5%/tháng nhưng sau đó lãi suất
đột ngột giảm đi 1,05%/tháng. So với trường hợp trên thì sau 36 tháng bạn An bị lỗ mất
bao nhiêu tiền?
Bài 5: Một người gửi vào ngân hàng với số tiền 3750.000 đồng với lãi suất 5,3%/ tháng. Sau 6
tháng đầu tiên lãi suất giảm còn 4,9%/tháng. Sau đó bạn gửi tiếp với một số tháng nhất định
(<6 tháng) thì lãi suất lại tiếp tục giảm còn 4,6%/tháng. Thì người đó gửi thêm một số tháng
nữa. Sau khi rút ra nhận được số tiền là 9278731,56 đồng. Tính tổng thời gian người này đã
gửi ngân hàng.


1.4: Chuyên đề dãy số
Dạng 1: Cho công thức tổng quát Un, yêu cầu tính các U1, U2,…
• Ta sẽ lập quy trình X=X+1; A=nhập công thức tổng quát theo X, giá trị A chính là giá
trị của U tương ứng với giá trị X, nếu đề bài yêu cầu tính liên tục giá trị U
• Ta sẽ dùng chức năng Calc nếu đề bài không yêu cầu các giá trị U liên tục
Ví dụ 1:
Un =

(13 + 3) n − (13 − 3) n
2 3

Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

U1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 , U 6 , U 7 , U 8

với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .

a) Tính
Dạng 2: Cho công thức tổng quát Un, yêu cầu tìm công thức truy hồi.
• Tính một số giá trị U đầu tiên
• Tùy theo đề bài yêu cầu để ta gọi công thức truy hồi có dạng là:
Un + 1 = aUn + bUn – 1+c hoặc các dạng khác
• Từ các giá trị U của bước 1 thay vào công thức trên để lập hệ phương trình
• Giải hệ phương trình suy ra a, b, c để suy ra công thức truy hồi.

( 5+ 7) −(5− 7)
=
n

Un

2 7

n

Ví dụ:

Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...
Hãy lập công thức truy hồi Un+2 theo Un và Un+1
Dạng 3: Cho công thức Un, yêu cầu lập quy trình tính Un+1
Những dạng này thì đề bài sẽ cho công thức Un+1 dưới dạng công thức truy hồi theo Un.
an3 + an
1 + an3

Hãy nhập giá trị của U đầu tiên để lưu vào biến nhớ Ans, sau đó nhập công thức Un
dưới dạng phím Ans. Sau đó nhấp = liên tục để nhận các giá trị Un tiếp theo.
Ví dụ: Cho dãy số a1 = 3; an +1=

a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1


Dạng 4: Cho công thức truy hồi, lập quy trình tính theo công thức truy hồi đó.
• Dùng biến X để thay cho n, A thay cho U1, B thay cho U2, C thay cho Un
• X=X+1:C=công thức truy hồi theo A,B: A=B:B=C, nhấn Calc nhập giá trị X là giá trị
trước giá trị cần tính đầu tiên, A nhập U1, B nhập U2.
Một số bài tập thực hành:

( 3+ 2) −( 3− 2)
=
n

un

n

2 2

Bài 1: Cho dãy số

với n = 1, 2, 3, …

1) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u1, u2, u3, u4, u5.
2) Chứng minh rằng un+2 = 6un+1 – 7un
3) Lập quy trình bấm phí liên tục để tính un+2.
Bài 2:
1
2

xn+1 =

Cho dãy số x1 = ;

xn3 + 1
3

.

a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1
b) Tính x30 ; x31 ; x32
xn +1 =

Bài 3: Cho dãy số

4 + xn
1 + xn

(n ≥ 1)

a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.

( 5+ 7) −( 5− 7)
=
n

Un

Bài 4: Cho dãy số

n

2 7

với n = 0; 1; 2; 3; ...

a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
n

Bài 5: Cho dãy số

n

 3+ 5   3− 5 
U n = 
÷
÷ +  2 ÷
÷ −2
2

 


với n = 1; 2; 3; ...


a) Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5

b) Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio
d) Tính tổng và tích của 10 số hạng đầu

1.5. Số học
Dạng 1: Tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy của một số thập phân vô hạn tuần
hoàn
Bước 1: Tìm ra chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn đó bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Bấm máy tính để tìm chu kỳ
Cách 2: thực hiện tuần tự như sau:
Xét phép chia A : B
+) A : B = C ( bỏ chữ số thập phân cuối cùng vì có thể số đó đã bị làm tròn)
+) A - B.C = D ( bỏ chữ số thập phân cuối cùng nếu có)
+) D : B = E (....)
+) D - B.E = F (....)
+) F : B = G ....
Nối các kết quả C, E, G, ... với nhau để tìm chu kì, nếu chưa ra thì tiếp tục thực hiện các bước
tương tự.
Bước 2: Tìm dư của số n đó cho chu kỳ. Từ đó suy ra số cần tìm.
Ví dụ 1:
Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm
tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001

(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn.
Không lấy số không vì
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2:
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 (

105 ≡ 3(mod 6)

)

Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng
Chữ số tận cùng chính là số dư của số đó khi chia cho 10, 100, 1000,…
Do đó để tìm chữ số tận cùng ta cần sử dụng kiến thức về đồng dư
Định lí Euler:
Nếu n được phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng

Thì

aϕ ( n ) ≡ 1(mod n)

khi (a,n) =1 và

n = p1a p2b .... pk α


1 
1 
ϕ (n) = n 1 − ÷ 1 − ÷....
p1 
p2 


Định lí Fermat:
p lµ sè nguyªn tè vµ (a,p)=1 th×

a p −1 ≡ 1

(mod p)

NÕu a tËn cïng lµ 0, 1, 5 hoÆc 6 th× an lÇn lît tËn cïng lµ 0, 1, 5 hoÆc 6.
24 k = 16k ≡ 6(mod10)
34 k = 81k ≡ 1(mod10)


7 4 k = 492 k 1(mod10)

Do đó để tìm số tận cùng của an với a có tận cùng là 2, 3 hoặc 7 ta lấy n chia cho 4
a 20 k 00(mod100)
a 20k 01(mod100)

a 0(mod10)

nếu

nếu

a 20 k 25(mod100)

a 1;3; 7;9(mod10)

a 5(mod10)

nếu

a 20 k 76(mod100)

,
,

,

a 2; 4;6;8(mod100)

nếu

.

Vậy để tìm hai chũ số tận cùng của an ta lấy số mũ chia cho 20.
a1000 k 000(mod103 )
a1000 k 001(mod103 )
a1000 k 625(mod103 )
a1000 k 376(mod103 )

nếu

nếu
nếu
nếu

a 0(mod10)
a 1,3, 7,9(mod10)

a 5(mod10)
a 2, 4, 6,8(mod10)

.

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của an ta tìm hai chữ số tận cùng của số mũ n.
1991

Vớ d:1. Tìm hai chữ số tận cùng của

29

.

Giải.
Ta tìm d trong phép chia
Ta có

91991

91991 = (10 1)1991 1 4(mod 5)
91991 1(mod 4)

D

cho 20 = 4 . 5.

r0 = 5t + 4, t = 0,1, 2,3

Vơi t = 1 thì

.

r0 = 9 1(mod14)

.


1991

Vậy

= 20k + 9

29

1991

29

Do đó

.

= 220 k +9 76.29 12(mod100)

.
14

Vớ d 2. Tìm hai chữ số tận cùng của

1414

.

Giải.
14

Cách 1. Ta có

nên

220 76(mod100)

714 = 7 4 k 1(mod100)

. Ta tìm d trong phép chia 1414 cho 20 = 4 . 5

1414 = (15 1)14 1(mod 5)
r0 = 5t + 1

1414

14

14

1414 = 214.714 M4

Ta có

14

1414 = 714 .214



, t = 0, 1, 2, 3.

0 (mod 4).

Với t = 3 thì

r0 = 16M4

. Vậy 1414 = 20k + 16.

14

Suy ra

214 = 220 k + 6 216.76 36(mod100)

.

14

Vậy

1414

có hai chữ số tận cùng là 36.
14

Cách 2. Ta có

1414 414 6(mod10)

14

1414 = 1410 k +6 = 146.1410 k 146.76(mod100)

146 = 7 6.26 7 2.64 36(mod100).
14

Vậy hai chữ số tận cùng của
Vớ d 3:

1414

là 36.

T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña

29

2003

.

Gi¶i.
Tríc hÕt ta t×m hai ch÷ sè tËn cïng cña
Ta cã:

92003

.

92003 = 93.92000 = 93.(320 )200 ≡ 29(mod100)
29

Suy ra:

2003

= 2100 k + 29 = 2 29.(2100 )k ≡ 912.376 ≡ 912(mod1000)

VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña

29

.

2003

lµ 912.

Dạng 3: Tìm ước nguyên tố, ước lẻ, ước chẵn của một số A
• Phân tích số A ra thừa số nguyên tố => chỉ ra được các ước nguyên tố
• Chỉ ra các ước lẻ, ước chẵn bằng cách nhân các ước ở B1 lại với nhau.
Dạng 4: Tìm số chữ số của một lũy thừa an, (a>0, n là số tự nhiên)
Ta làm như sau : 1 + phần nguyên ( n.loga) (Tức là làm tròn lên thêm 1 đơn vị)
Ví dụ: Số chữ số của 512 là 12log5 = 8,387… sẽ làm tròn thành 9. Như vậy 512 có 9 chữ số
khi khai triển.


1.6. Hỡnh hc
I. Giải tam giác:
Một số công thức:
1/. Các hệ thức trong tam giác vuông:
a 2 = a '.c; b 2 = b '.c
ab = hc
1
1 1
= 2+ 2
2
h
a b
2
h = a '.b '

2. Tỉ số lợng giác của góc nhọn: sin, cos, tan, cotan

1
1
1
a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
2 / .S ABC = a.b.SinC = b.c.SinA = c. A.SinB
2
2
2
a+b+c
3 / ..S ABC = p ( p a)( p b)( p c )
P=
2

1/ .S ABC =

3. Các công thức tính diện tích tam giác:

4. Mt s dng toỏn in hỡnh
1
a.ha
2

Dng 1: Tớnh di ng cao khi bit ba cnh

2 p ( p a )( p b)( p c )
a

p ( p a )( p b)( p c )

S dng cụng thc tớnh din tớch ta cú

t ú suy ra ha=
Dng 2: Tớnh di ng trung tuyn khi bit ba cnh

=


Bằng cách vẽ đường cao của tam giác và biến đổi công thức

Phân tích

AB 2 + AC 2 = BH 2 + AH 2 + AH 2 + HC 2
= 2 AH 2 + ( BM − MH ) 2 + ....
= 2 AM 2 +

BC 2
2

Từ đó suy ra AM=.....
Dạng 3: Công thức tính đường phân giác khi biết ba cạnh

• Nếu đề bài cho biết ba cạnh hãy tính góc của đường cao xuất phát
• Sử dụng công thức diện tích:

S ABC = S ABM + S ACM

S ABC = S ABM + S ACM
1
1
A 1
A
AB.AC.sin A = AB.AM.sin + AC. AM .sin
2
2
2 2
2
A
A
AB. AC.sin A = AM ( AB.sin + AC.sin )
2
2

Từ đó suy ra độ dài đường phân giác AM
Dạng 4: Tính diện tích
• Nếu biết ba cạnh dùng công thức Hê rông


• Nếu biết hai cạnh và góc xen giữa dùng công thức có sẵn
• Nếu biết một cạnh và hai góc, kẻ đường cao tính độ dài của nó, hai hình chiếu để suy ra
cạnh đáy, từ đó tính diện tích
• Nếu biết một cạnh của tam giác, một góc, độ dài một hình chiếu của đường phân giác
thì ta kẻ đường thẳng song song với đường phân giác đó. Sau đó áp dụng hệ quả của
định lý Ta lét và tính chất đường phân giác để tính.
Dạng 5: Một số dạng tam giác vuông phức tạp

• Nên đặt giá trị cần tìm là x, kết hợp giữa định lí Pitago và một biểu thức khác để lập
phương trình
• Bấm máy tính để giải phương trình tìm x

II. Giải hình thang
Dạng 1: Cho hình thang có hai đường chéo vuông góc. Có 4 yếu tố: hai cạnh bên, hai cạnh
đáy. Đề bài sẽ cho biết 3 yếu tố. Yêu cầu tính yếu tố còn lại

• Viết biểu thức định lí Pitago cho cả 4 yếu tố đó
• Cần tính cái nào rút cái đó ra
• Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích của hình thang, ta vẽ đường cao để tính diện tích của
nó.
Dạng 2: Cho hình thang có độ dài hai đáy và hai đường chéo, yêu cầu tính diện tích.


• Hãy vẽ đường thẳng song song với một đường chéo để tạo thành hình bình hành
• Ta có DK =BC; CK = BD ; cùng chiều cao AH với nhau. Do đó
• Áp dụng công thức Hê rông tính SACD

S ABCD = S ACD

Dạng 3: Cho hình thang cân có đáy nhỏ bằng chiều cao, biết đáy lớn, tính độ dài
chiều cao
• Gọi khoảng cách từ chân đường cao đến góc của đáy lớn là x
• Lập phương trình dạng: đường cao = đáy bé, để tính x
• Từ đó tính ra đường cao

Một số bài tập thực hành:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD,

AB = 2009 2010 ; AC = 2010 2011

Tính độ dài AD?
Bài 2: Cho tam giác ABC, có AB = 12,7 cm, AC = 18,34cm, BC = 23,07 cm. Tính diện
tích tam giác ABC, độ lớn ba góc (đến phút) và tổng độ dài ba đường cao của tam giác
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc B =1200, AB = 6,25 cm, BC = 12,5 cm. Đường phân giác
góc B cắt AC tại D. Tính độ dài BD và diện tích ABD (BD = 4,167; SABC=11,2763 cm2)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB= 2,75cm; góc C =37025’. Từ A kẻ đường cao
AH, đường phân giác AD, trung tuyến AM.
a) Tính độ dài AH, AD, AM (AH =2,18; AD = 2,20; AM = 2,26)
b) Tính diện tích tam giác ADM (0,33 cm2)
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 12,7 cm, AC = 18,34cm, BC = 31,07 cm.
Hãy tính độ dài đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A
Bài 6: Cho tam giác ABC có góc B = 600, BC = 8cm, AB + AC = 12 cm. Tính AB?
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, đường cao AH. Biết BD =
7,5cm và DC =10cm. Tính độ dài HD?
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy dài 15,6cm, cạnh bên dài
12cm. Tính cạnh đáy
Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết
AB=5,35cm, cạnh bên AD = 6,21cm. Tính độ dài đáy lớn?


Bài 10: Cho hình thang cân có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo
vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao.
Bài 11: Cho hình thang có độ dài hai đáy lần lượt là 12cm, 18cm. Tính diện tích hình thang
biết độ dài hai đường chéo lần lượt là: 15cm và 22 cm
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB = 7,5cm, AC = 11cm, BC = 15cm. Tính độ lớn các góc
của tam giác (làm tròn đến phút).