ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Tp Thái Nguyên

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN
(Thời gian 150 phút - Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 4 điểm)
a) Cho x =

4+2 3 − 3
( 5 + 2) 17 5 − 38 − 2

b) Cho A = 1 −

3

.

Tính P = ( x2 + x + 1)2013

1
. Biết x, y ∈ Q và x ≠ 0; y ≠ 0 thỏa mãn : x3+ y3 = 2x2y2
xy

Chứng minh rằng : A∈ Q
Bài 2: ( 4 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2013 và

1 1 1
1 . Thì trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.
+ + =
a b c 2013
Bài 3: ( 4 điểm)
a) Giải phương trình: x 2 + 3x +1= (x + 3) x 2 +1
 y 2 − 2x + 2xy =1
b) Giải hệ phương trình :  2
2
 x + y + x + y = 8
Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho a ∈ R thỏa mãn a5 – a3 + a = 2. Chứng minh rằng : 3< a6 < 4
Bài 5: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung
điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE ⊥ CD.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………..Số báo danh:…………….
Giám thị 1:…………………………………….Giám thị 2…………………………..


UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐÁP ÁN VÀ CÁCH CHO ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN

Bài 1 : ( 4 điểm ) Mỗi ý đúng 2 điểm.

a) Ta có : 3 17 5 − 38 = 3 ( 5 − 2)3 = 5 − 2

4 + 2 3 = ( 3 + 1) 2 = 3 + 1
x=

( 3 + 1) − 3
1
=
= −1
( 5 + 2)( 5 − 2) − 2 5 − 4 − 2

Vậy P = (1 - 1 + 1)2013 = 1

x
y 2 x 2 y2 2
x 6 + y6 2
= 4 4 −
b) Ta có ( 2 − 2 ) = 4 + 4 −
y
x
y
x
xy
x y
xy
(x 3 + y3 ) 2 − 2x 3 y 3 2 4x 4 y 4 − 2x 3 y 3 2
1
=
− =
− = 4(1− ) = 4A 2

4 4
4 4
x y
xy
x y
xy
xy

Vậy A =

x
y
− 2 : 2 Do đó A∈ Q
2
y
x

Bài 2 : ( 4 điểm )
Điều kiện a, b, c ≠ 0. Từ

1 1 1
1
+ + =
⇒ (bc + ac + ba)(a + b + c) − abc = 0
a b c a + b+ c

a + b = 0
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔  b + c = 0

 c + a = 0

Nếu a + b = 0 mà a + b + c = 2013 thì c = 2013
Nếu b + c = 0 mà a + b + c = 2013 thì a = 2013


Nếu c + a = 0 mà a + b + c = 2013 thì b = 2013. Vậy 1 trong 3 số a, b, c bằng 2013
Bài 3 : ( 4 điểm ) Mỗi ý đúng 2 điểm.
a) Giải phương trình sau: x 2 + 3x +1= (x + 3) x 2 +1
Đặt

x 2 + 1 = y với y ≥ 1 . Khi đó ta được

y = 3
y 2 + 3x = (x + 3)y ⇔ (y − 3)(y − x) = 0 ⇔ 
y = x
Từ đó dẫn đến phương trình có nghiệm là x = ± 2 2
 y − 1 = 0
 y 2 − 2x + 2xy =1 (y − 1)(2x + y + 1) = 0

⇔  2x + y + 1 = 0
b)  2
 2
2
2
 x + y + x + y = 8  x + y + x + y = 8
 2
2
x + y + x + y = 8
 y − 1 = 0
 2
2

x + y + x + y = 8
⇔
y = −2x − 1
 
  x 2 + y 2 + x + y = 8
y − 1 = 0
Giải hệ  2
ta được nghiệm (2;1); (-3;1)
2
x
+
y
+
x
+
y
=
8

 y = −2x − 1
8 11
Giải hệ  2
ta được nghiệm (1;-3); (− ; )
2
5 5
x + y + x + y = 8
Bài 4 : ( 4 điểm)

a2 + 1 5 3
6

2
4
2
≠
Dễ thấy a 0 ta có (a + 1) = (a + 1)(a − a + 1) =
.(a − a + a)
a
a2 + 1
1
= 2(
) = 2(a + ) 〉 0 suy ra
a
a

a > 0 do đó a +

1
≥ 2 ⇒ a6 + 1 ≥ 4 ⇒ a6 ≥ 2 + 1 = 3
a

Dấu bằng sảy ra ⇔ a = 1 (loại). Vậy a6 > 3 Mặt khác ta có 2 + a3 = a5 + a


⇔

2
1
2
+
1

=
a
+
〉 2 ( do a ≠ 1) . Nên có a 3 < 2 suy ra a6 < 4. Nên có 3 < a6 < 4
3
2
a
a

Bài 5: (4 điểm)
A

M

E

D

N

O
G

B

C

Kẻ các trung tuyến CM,DN của tam giác ACD chúng cắtt nhau tại E.
Gọi G là giao điểm của CD và AO suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có

CE CG 2
=
= ⇒ EG / /AB . Lại có OD vuông góc AB nên OD vuông góc EG(1)
CM CD 3

Mặt khác DN//BC và OG vuông góc với BC suy ra OG vuông góc với DN hay OG vuông
góc với DE (2)
Từ (1), (2) suy ra O là trực tâm của tam giác GDE. Vậy OE vuông góc với DG hay OE
vuông góc với CD (đpcm).

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.